Schemă (matematică)

Schema este o abstractizare matematică care vă permite să conectați geometria algebrică , algebra comutativă și geometria diferențială și să transferați idei dintr-o zonă în alta. În primul rând, noțiunea de schemă permite transferul intuiției geometrice și construcțiilor geometrice, cum ar fi câmpurile tensorale , mănunchiurile și diferențiale , în teoria inelelor . Din punct de vedere istoric, teoria schemelor a apărut cu scopul de a generaliza și simplifica geometria algebrică clasică a școlii italiene din secolul al XIX-lea, preocupată de studiul ecuațiilor polinomiale .

Aparatul principal al teoriei schemelor este teoria categoriilor , teoria snopilor , algebra comutativă și omologică .

În cele ce urmează, cuvântul „ring” înseamnă întotdeauna „un inel asociativ comutativ cu unitate”.

Istoria și motivația definiției

Geometrii algebrici ai școlii italiene au folosit conceptul destul de vag al unui „ punct comun ” în demonstrarea teoremelor asupra varietăților algebrice . S-a presupus că afirmațiile care sunt adevărate pentru un punct general sunt adevărate pentru toate punctele varietatii, cu excepția unui număr mic de puncte „speciale”. Emmy Noether a propus în anii 1920 o modalitate de a clarifica acest concept: în inelul de coordonate al unei varietăți algebrice (adică în inelul funcțiilor polinomiale de pe varietate), idealurile maxime corespund punctelor varietății, iar idealurile prime nemaximale corespund . la diferite puncte comune, câte unul pentru fiecare subvarietate. Cu toate acestea, Noether nu a dezvoltat această abordare.

În anii 1930, Wolfgang Krull a făcut următorul pas: luând un inel comutativ complet arbitrar, se poate lua în considerare un set al idealurilor sale principale, se poate oferi topologia Zariski și se poate dezvolta geometria acestor obiecte mai generale. Alți matematicieni nu au văzut rostul într-o generalitate atât de mare, iar Krull a abandonat această idee.

În anii 1950, Jean-Pierre Serre , Claude Chevallet și Masayoshi Nagata , pentru a se apropia de demonstrarea conjecturilor Weyl , au început să folosească o abordare similară, tratând idealurile primare ca puncte. Potrivit lui Pierre Cartier , schema de cuvinte a fost folosită pentru prima dată în 1956 la seminarul lui Chevalley [1] .

În continuare, Alexander Grothendieck a dat o definiție modernă a circuitului, rezumând propunerile experimentale anterioare. El încă definește spectrul unui inel comutativ ca un set de idealuri prime cu topologia Zariski, dar îl furnizează și cu un snop de inele: fiecare submulțime deschisă a spectrului este asociată cu un inel comutativ, prin analogie cu inelul polinomului. funcții pe acest set. Obiectele rezultate sunt scheme afine; schemele generale se obțin prin lipirea mai multor scheme afine, prin analogie cu modul în care se obțin varietățile algebrice generale prin lipirea varietăților afine , iar soiurile obișnuite prin lipirea submulților deschise . $\mathbb {R} ^{n}$

Mulți au criticat această definiție pentru că este prea generală: unele scheme în acest sens nu au o interpretare geometrică evidentă. Cu toate acestea, luarea în considerare a acestor scheme face ca proprietățile categoriei tuturor schemelor să fie mai „rezonabile”. În plus, studiul spațiilor de module duce la scheme care nu sunt „clasice”. Necesitatea de a lua în considerare scheme care nu sunt în sine soiuri algebrice (ci sunt construite din varietăți) a condus la adoptarea treptată a unei noi definiții.

Definiție

Unul dintre conceptele de bază ale teoriei schemelor este spațiile inelate local .

Un spațiu inel este un spațiu topologic pe care este dat un snop de inele, numit snop de structură . Se spune că un spațiu este inelat local dacă fibra snopului în fiecare punct este un inel local . Principalele obiecte de studiu în geometria și topologia diferențială sunt spațiile local inelate; în acest caz, snopul corespunzător de funcții acționează ca un snop structural . De exemplu, spațiile topologice corespund unui snop de funcții continue , varietăților netede unui snop de funcții netede , varietăților complexe unui snop de funcții holomorfe . Afirmația că frunza snopului este un inel local înseamnă că pentru orice element al inelului snopului de structură se pot determina valorile sale în fiecare punct care aparțin unui anumit câmp , astfel încât elementele snopului de structură să poată într-adevăr să fie considerate funcții. Rețineți că, în cazul general, o astfel de „funcție” nu este determinată de valorile sale punctuale, deși nu există un analog cu acest fenomen în geometria clasică.

O schemă afină este un spațiu local inelat izomorf cu spectrul unui inel cu snopi structural corespunzător . Aceste definiții ne permit să considerăm orice submulțime deschisă ca o schemă, în timp ce pentru schemele afine identitatea este valabilă , ceea ce înseamnă echivalența vederilor geometrice și algebrice de pe inel (și anume, orice inel poate fi asociat cu o schemă afină, iar cea afină). schema poate restabili în mod unic inelul original). ${\mathrm {Spec.}}\;A$ ${\mathcal {O}}_{{{\mathrm {Spec.}}\;A}}({\mathrm {Spec.}}\;A)=A$

O schemă este un spațiu local inelat care poate fi acoperit de seturi deschise astfel încât fiecare , împreună cu restricția snopului de structură la el, este o schemă afină. Această definiție poate fi înțeleasă în moduri diferite: se poate considera că fiecare punct al schemei are o vecinătate , care este o schemă afină, și se poate gândi și la schemă ca rezultat al lipirii unui set de scheme afine, în concordanță cu structura snopului. $(X,{\mathcal O}_{X})$ $U_{i}$ $U_{i}$ ${\mathcal O}_{X}$

Categorie de scheme

Schemele formează o categorie ale cărei morfisme sunt morfisme ale schemelor ca spații inelate local .

Construcția care dotează spectrul cu un snop structural definește un functor contravariant :

{\mathrm {Spec.}}\colon {\mathrm {CRing}}\la {\mathrm {Aff}}

de la categoria inelelor la categoria schemelor afine. Există, de asemenea, un functor contravariant invers:

{\mathcal {O}}\colon {\mathrm {Aff}}\la {\mathrm {CRing}}

( functor secțiune globală ),

care atribuie unui spaţiu local inelat inelul snopului său structural. Această pereche de functori definește echivalența categoriei . Functorul de secțiune globală poate fi definit pentru scheme arbitrare, deoarece orice schemă este un spațiu inel local. În această generalitate, functorul de spectru este conjugat corect cu functorul de secțiune globală: $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ${\mathcal {O}}_{X}(X)$ ${\mathrm {CRing^{{op))))\simeq {\mathrm {Aff}}$

{\mathrm {Hom}}_{{{\rm {Schemes}}}}(X,\;{\mathrm {Spec}}\;A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{{{\rm {CRing^{{op))))))({\mathcal {O}}(X),\;A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{({\rm {CRing}}}}( A,\;{\mathcal {O}}(X))

Se presupune că spectrul este conjugat corect, deoarece lipirea împreună a schemelor afine poate genera scheme care nu sunt afine. Lipirea circuitelor printr-un subcircuit gol este o colimită în categoria circuitelor. Deoarece este cocomplet , atunci sub condiția conjugației din stânga a spectrului, orice lipire a schemelor afine ar fi afină și o teorie a schemelor pur și simplu nu ar putea exista netrivială (nereductibilă la teoria inelelor). În lumina celor spuse, mai observăm că, deși diagrama lipirii schemelor afine printr-o subschemă se află în categoria cocompletă a schemelor afine, limita ei trebuie calculată într-o categorie mai mare, categoria tuturor schemelor. Acesta este un exemplu instructiv conform căruia un functor de imbricare de categorii nu este necesar pentru a păstra limitele. ${\mathrm {CRing}}^{{op}}$

Existența functorilor adjuncți de mai sus ne permite să descriem morfisme de la o schemă arbitrară la una afină folosind homomorfisme de inel . De exemplu, deoarece este obiectul inițial al categoriei de inele comutative, este obiectul terminal al categoriei de scheme. $\mathbb {Z}$ ${\mathrm {Spec.}}\;{\mathbb Z}$

Categoria schemelor are produse finite , cu toate acestea, trebuie să fiți atenți când le folosiți, deoarece spațiul topologic corespunzător schemei nu este întotdeauna izomorf cu spațiul topologic , dar are adesea „mai multe” puncte. De exemplu, dacă K este un câmp de nouă elemente , atunci: $(X,{\mathcal O}_{X})\ori (Y,{\mathcal O}_{Y})$ $X\ ori Y$

{\mathrm {Spec.}}\;K\times {\mathrm {Spec.}}\;K\cong {\mathrm {Spec.}}\;K\otime _{({\mathbb {Z}}}K\cong { \mathrm {Spec.}}\;K\ori K

—

este format din două puncte, în timp ce Spec K constă dintr-un punct (idealul nul).

Pentru o schemă fixă S , categoria schemelor peste S are și produse din fibră, iar din faptul că are un obiect terminal S rezultă că în ea există toate limitele finite , adică categoria schemelor peste o schemă dată este finit complet .

A doua definiție a schemelor

În geometria algebrică, schemele sunt de obicei definite în modul descris mai sus. Cu toate acestea, în unele dintre aplicațiile sale (de exemplu, în teoria grupurilor algebrice liniare ), este mai utilă o altă abordare, care este mult mai abstractă și necesită o bună cunoaștere a teoriei categoriilor. În acest limbaj, o schemă este definită nu ca un obiect geometric, ci ca un functor din categoria inelelor. Nu vom lua în considerare această abordare în detaliu aici, vezi cartea [2] pentru detalii .

O schemă afină este un functor reprezentabil : ${\mathrm {Spec.}}\;A$ ${\mathrm {Spec.}}\;A\colon {\mathrm {CRing}}\la {\mathrm {Set}}$

({\mathrm {Spec.}}\;A)(R)={\text{Hom}}(A,R)

Dintre toți functorii, se remarcă o clasă deosebit de importantă și ușor de studiat numită scheme. Și anume, o schemă este un functor care este un snop de mulțimi în raport cu topologia Grothendieck generată de epimorfismele Zariski-deschise ale inelelor și acoperite de mapările Zariski-deschise ale schemelor afine din categoria functorilor . Schemele care nu sunt afine sunt functori nereprezentabili pe categoria inelelor. Un morfism de schemă este definit ca o transformare naturală a functorilor corespunzători. Conform lemei lui Yoneda , $X$ $X\colon {\mathrm {CRing}}\la {\mathrm {Set}}$ $\left[{\mathcal {R}}ing;{\mathcal {S}}et\right]$

X(A)=\left[(A;\cdot );X\right]=\left[{\mathrm {Spec.}}A;X\right]

Această afirmație stabilește o legătură cu teoria geometrică a schemelor dată mai sus, deoarece teorema fundamentală privind morfismele schemelor afirmă că functorul

Y\colon {\mathrm {Scheme}}\la \left[{\mathrm {Aff}}^{{op}};{\mathrm {Set}}\right]

Y(X)=\stanga(\cdot ;X\dreapta)

este destul de univalent . Mai mult, imaginea înglobării este exact acei functori pe scheme afine care îndeplinesc condițiile de mai sus.

Exemple

Linia afină este un functor uituc care atribuie fiecărui inel setul său de subiecte. Structura inelului de pe el definește structura inelului de pe set pentru orice schemă , de aceea se numește inelul de funcții pe . Linia afină este o schemă afină, corespunde spectrului inelului polinomial . $O$ $O\colon {\mathrm {CRing}}\la {\mathrm {Set}}$ $[X;O]$ $X$ $[X;O]$ $X$ $\mathbb{Z } [T]$
Grassmannianul ( este dimensiunea Grassmannianului) este un functor care atribuie unui inel setul de sumand directi de rang din modul . Săgeata se afișează pe afișaj . În special, este un spațiu proiectiv n-dimensional , este o linie proiectivă . $G_{{r,n}}$ $n$ $R$ $P$ $r$ $R^{{r+n}}$ $\phi :R\la S$ $P\mapsto P\otimes _{R}S$ $\mathbb {P} _{n}=G_{1,n}$ $\mathbb {P} _{1}$

Note

↑ O schemă în sensul lui Chevalley este un caz special al schemei moderne: definiția ei funcționează numai pentru varietăți ireductibile. Vezi Cartier, Pierre , O zi nebună de muncă: de la Grothendieck la Connes și Kontsevich. Evoluția conceptelor de spațiu și simetrie. - Taur. amer. Matematică. Soc., 38 (2001), nr. 4, p. 398.
↑ M. Demazure, P. Gabriel. Introducere în geometria algebrică și grupurile algebrice. - Editura North-Holland, 1980. - 357 p. - ISBN 0-444-85443-6 .

Literatură

Mumford D. Cartea roșie a soiurilor și schemelor. — M .: MTSNMO , 2007. — 296 p. — ISBN 978-5-94057-195-7 .
Hartshorne R. Geometrie algebrică = Geometrie algebrică. — M .: Mir , 1981. — 597 p.
Shafarevich I. R. Fundamentele geometriei algebrice. - Ed. a II-a - M . : Nauka , 1988. - V. 2. Scheme. Varietăți complexe. — 304 p. - 5900 de exemplare. - ISBN 5-02-014412-4 .
David Eisenbud; Joe Harris . Geometria Schemelor. Springer-Verlag, 1998 - ISBN 0-387-98637-5 .

Link -uri

Ravi Vakil , Math 216: Fundamentele geometriei algebrice (versiunea 06/11/2013) - note dintr-un curs de geometrie algebrică susținut la Universitatea Stanford .