E (număr)

Numere iraționale ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π și π
Notaţie	Scorul numeric $e$
Binar	10.101101111110000101010001011001…
Zecimal	2,7182818284590452353602874713527…
hexazecimal	2,B7E151628AED2A6A…
Sexagesimal	2; 43 05 48 52 29 48 35 …
Aproximari rationale	8/3 ; _ _ 11/4 ; _ _ 19/7 ; _ _ 87/32 ; _ _ 106/39 ; _ _ 193/71 ; _ _ 1264/465 ; _ _ 2721/1001 ; _ _ 23225 / 8544 (afisate in ordinea cresterii preciziei)
Fracție continuă	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …] (Această fracție continuă nu este periodică . Scrisă în notație liniară)

2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 76839642 43 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 935745

Primele 1000 de zecimale ale lui e [1]

(secvența A001113 în OEIS )

$e$ - baza logaritmului natural , constantă matematică , număr irațional și transcendental . Aproximativ egal cu 2,71828. Numărul este uneori numit numărul Euler sau numărul Napier . Notat cu litera latină minusculă „ e ”. $e$

Numărul joacă un rol important în calculul diferențial și integral , precum și în multe alte ramuri ale matematicii . $e$

Deoarece funcția exponențială se integrează și se diferențiază „în sine”, logaritmii sunt acceptați ca naturali în bază . $e^{x}$ $e$

Modalități de a determina

Numărul poate fi definit în mai multe moduri. $e$

Prin limita: $e=\lim _{x\la \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$ (a doua limită remarcabilă ). ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!)))))$ (asta decurge din formula De Moivre-Stirling ).
Ca suma seriei : $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}$ sau . ${\frac {1}{e}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!)}}$
Ca singur număr pentru care $A$ $\int \limits _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=1.$
Ca singurul număr pozitiv pentru care este adevărat $A$ ${\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}.$

Proprietăți

Derivata exponentului este egală cu exponentul însuși: Această proprietate joacă un rol important în rezolvarea ecuațiilor diferențiale. Deci, de exemplu, soluția generală a unei ecuații diferențiale este funcțiile , unde este o constantă arbitrară. ${\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}.$
${\frac {df(x)}{dx}}=f(x)$ $f(x)=ce^{x)$ $c$
Numărul este irațional . Dovada iraționalității este elementară. $e$

Dovada de iraționalitate
Să presupunem că este rațional. Atunci , unde este un număr întreg și este un număr natural. $e$ $e=p/q$ $p$ $q$ prin urmare $p=eq$ Înmulțind ambele părți ale ecuației cu , obținem $(q-1)!$ $p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \peste n!}$ Deplasarea în partea stângă: $\sum _{n=0}^{q}{q! \peste n!}$ $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \peste n!}$ Toți termenii din partea dreaptă sunt numere întregi, deci suma din partea stângă este, de asemenea, întreg. Dar această sumă este și pozitivă, deci nu este mai mică de 1. Pe de altă parte, $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1} ^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}$ Însumând progresia geometrică din partea dreaptă, obținem: $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}$ Din moment ce , $q\geq 1$ $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \peste n!}<1$ Primim o contradicție.

Dovada de iraționalitate

Să presupunem că este rațional. Atunci , unde este un număr întreg și este un număr natural.

e

e=p/q

p

q

prin urmare

p=eq

Înmulțind ambele părți ale ecuației cu , obținem $(q-1)!$

p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \peste n!}

Deplasarea în partea stângă: $\sum _{n=0}^{q}{q! \peste n!}$

\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \peste n!}

Toți termenii din partea dreaptă sunt numere întregi, deci suma din partea stângă este, de asemenea, întreg. Dar această sumă este și pozitivă, deci nu este mai mică de 1.

Pe de altă parte,

\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1} ^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}

Însumând progresia geometrică din partea dreaptă, obținem:

\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}

Din moment ce , $q\geq 1$

\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \peste n!}<1

Primim o contradicție.

Numărul este transcendent . Acest lucru a fost dovedit pentru prima dată în 1873 de Charles Hermite [2] . Transcendența unui număr rezultă din teorema lui Lindemann . $e$ $e$
Se presupune că este un număr normal , adică frecvența de apariție a diferitelor cifre în înregistrarea sa este aceeași. În prezent (2017) această ipoteză nu a fost dovedită. $e$
Un număr este un număr computabil (și, prin urmare, și aritmetic ). $e$
$e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)$ , vezi formula lui Euler , în special
- $e^{i\pi }+1=0.$
- $e=\cos(i)-i\sin(i)=\sinh(1)+\cosh(1)$
Formula care leagă numerele și , așa-numita. Integrală Poisson sau integrală Gaussiană $e$ $\pi$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}$
Pentru orice număr complex z , următoarele egalități sunt adevărate: $e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}z^{n}=\lim _{n\la \infty }\left( 1 +{\frac {z}{n}}\right)^{n}.$
Numărul se extinde într-o fracție continuă infinită după cum urmează (o dovadă simplă a acestei expansiuni, legată de aproximanții Padé, este dată în [3] ): $e$ $e=[2;\;1,2,1,\;1,4,1,\;1,6,1,\;1,8,1,\;1,10,1,\ldots ]$ , acesta este $e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{ \cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1} {8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+\ldots ))))))))) } }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ sau în notație echivalentă: $e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{\ldots } }}}}}}}}}$
Pentru a calcula rapid un număr mare de caractere, este mai convenabil să utilizați următoarea extindere: ${\frac {e+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1} {\ldots )))))))))$
$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!)}}}.$
Reprezentarea limbii catalane : $e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\ sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15))}\cdot {\sqrt[{16}]{\frac {18 \cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot\cdot 31}}}$
Reprezentarea prin lucrare : $e={\sqrt {3}}\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2 ))}\left(2k-1\right)^{k-{\frac {1}{2)))){\left(2k+1\right)^{2k))}$
Reprezentare prin numere Bell : $e={\frac {1}{B_{n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!)}}$
Măsura iraționalității unui număr este (care este cea mai mică valoare posibilă pentru numerele iraționale) [4] . $e$ $2$

Istorie

Acest număr era uneori numit Neperov în onoarea savantului scoțian Napier , autor al lucrării „Descrierea uimitoarei tabele de logaritmi” ( 1614 ). Cu toate acestea, acest nume nu este în întregime corect, deoarece logaritmul său a fost egal cu . $X$ $10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7))}\right)$

Pentru prima dată, constanta este prezentă tacit în anexa la traducerea în engleză (din latină) a lucrării menționate mai sus a lui Napier, publicată în 1618 . În culise, deoarece conține doar un tabel de logaritmi naturali determinati din considerente cinematice, constanta în sine nu este prezentă.

Se presupune că matematicianul englez Oughtred a fost autorul tabelului .

Aceeași constantă a fost calculată pentru prima dată de matematicianul elvețian Jacob Bernoulli în cursul rezolvării problemei valorii limită a veniturilor din dobânzi . El a constatat că, dacă suma inițială și acumulată pe an o dată la sfârșitul anului, atunci suma finală va fi . Dar dacă aceeași dobândă este calculată de două ori pe an, atunci se înmulțește cu de două ori, obținând . Calculul dobânzii trimestrial rezultă în , și așa mai departe. Bernoulli a arătat că dacă frecvența de calcul a dobânzii este crescută infinit, atunci venitul din dobânzi în cazul dobânzii compuse are o limită : , iar această limită este egală cu numărul . $\$1$ $100\%$ $\$2$ $\$1$ $1{,}5$ $\$1{,}00\cdot 1{,}5^{2}=\$2{,}25$ $\$1{,}00\cdot 1{,}25^{4}=\$2{,}44140625$ $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ $e~(\approx 2{,}71828)$

$\$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{12}}\right)^{12}=\$2{,}613035...$

$\$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{365}}\right)^{365}=\$2{,}714567...$

Astfel, constanta înseamnă profitul anual maxim posibil cu frecvența anuală și maximă de capitalizare a dobânzii [5] . $e$ $100\%$

Prima utilizare cunoscută a acestei constante, unde era desemnată prin litera , apare în scrisorile lui Leibniz către Huygens , 1690-1691 . $b$

Scrisoarea a început să fie folosită de Euler în 1727 , pentru prima dată apare într-o scrisoare a lui Euler către matematicianul german Goldbach din 25 noiembrie 1731 [6] [7] , iar prima publicație cu această scrisoare a fost lucrarea sa „ Mecanica, sau știința mișcării, afirmată analitic”, 1736 . În consecință, este denumit în mod obișnuit numărul Euler . Deși unii cercetători de mai târziu au folosit litera , litera a fost folosită mai frecvent și este denumirea standard astăzi. $e$ $e$ $c$ $e$

În limbajele de programare, simbolul în notație exponențială corespunde numărului 10, nu numărului Euler. Acest lucru se datorează istoriei creării și utilizării limbajului FORTRAN pentru calcule matematice [8] . $e$

Mnemonic

Numărul poate fi amintit ca 2, 7 și se repetă 18, 28, 18, 28. Regula mnemonică: doi și șapte, apoi de două ori anul nașterii lui Lev Tolstoi (1828), apoi unghiurile unui triunghi dreptunghic isoscel ( 45). , 90 și 45 de grade), după primele trei numere prime (2, 3 și 5) și numărul de grade dintr-o revoluție completă (360).

Un mnemonic poetic care ilustrează o parte a acestei reguli: „Există o modalitate simplă de a-și aminti un expozant: două și șapte zecimi, de două ori Lev Tolstoi”

Un poem mnemonic care vă permite să vă amintiți primele 12 zecimale (lungimile cuvintelor codifică cifrele numărului e): Am fluturat și am strălucit, / Dar ne-am blocat în trecere: / Stola noastră nu a fost recunoscută / Raliu auto .[ semnificația faptului? ]

Aproximații

$e\aprox (1+{\frac {1}{10^{6}}})^{10^{6}}$ , cu o precizie de 0,000001;

În conformitate cu teoria fracțiilor continue , cele mai bune aproximări raționale ale unui număr sunt convergentele expansiunii numărului într-o fracție continuă. $e$ $e$

Numărul 19/7 depășește numărul cu mai puțin de 0,004;

e

Numărul 87/32 depășește numărul cu mai puțin de 0,0005;

e

Numărul 193/71 depășește numărul cu mai puțin de 0,00003;

e

Numărul 1264/465 depășește numărul cu mai puțin de 0,000003;

e

Numărul 2721/1001 depășește numărul cu mai puțin de 0,0000002;

e

Suprafața unei piramide pătrate , în care fețele laterale sunt triunghiuri regulate cu o lungime a muchiei de 1 (precizie 0,014).[ semnificația faptului? ]

Probleme deschise

Nu se știe dacă numărul este un element al inelului punctual . $e$
Măsura iraționalității nu este cunoscută pentru niciunul dintre următoarele numere: Nici măcar nu se știe pentru niciunul dintre ele dacă este un număr rațional , un număr irațional algebric sau un număr transcendental . Prin urmare, nu se știe dacă numerele și sunt independente din punct de vedere algebric [9] [10] [11] [12] [13] [14] . $\pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e)),\pi ^{e},e^{\pi ^{2)),e^{e },2^{e}.$ $\pi$ $e$
Nu se știe dacă primul număr Skewes este un număr întreg. $e^{e^{e^{79}}}$

Vezi și

Note

↑ 2 milioane de zecimale . Consultat la 17 aprilie 2009. Arhivat din original pe 19 ianuarie 2011. (nedefinit)
↑ Enciclopedia de matematică . - Moscova: Enciclopedia Sovietică, 1985. - T. 5. - S. 426.
↑ William Adkins. O scurtă demonstrație a expansiunii fracțiunii continue simple a lui e . arXiv . arXiv (25 februarie 2006). Consultat la 1 martie 2017. Arhivat din original pe 2 martie 2017. (nedefinit)
^ Weisstein , Eric W. Măsurarea iraționalității la Wolfram MathWorld .
↑ O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Numărul e . Mac Tutor Istoria matematicii. Preluat la 23 octombrie 2014. Arhivat din original la 11 februarie 2012. (nedefinit)
↑ Scrisoarea XV. Euler à Goldbach, datat 25 noiembrie 1731 în: P. H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle , vol. 1, (Sankt Petersburg, Rusia: 1843), pp. 56-60; vezi pagina 58. Arhivat la 31 ianuarie 2017 la Wayback Machine
↑ Remmert, Reinhold Teoria Funcţiilor Complexe (neopr.) . - Springer-Verlag , 1991. - S. 136 . — ISBN 0-387-97195-5 .
↑ B. Eckel, Java Philosophy = Thinking in Java. - a 4-a ed. - Sankt Petersburg. : Peter, 2009. - S. 84. - (Biblioteca Programatorului). — ISBN 978-5-388-00003-3 .
↑ Weisstein, Eric W. Număr irațional (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
^ Weisstein , Eric W. Pi pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Sondow, Jonathan și Weisstein, Eric W. e (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ Câteva probleme nerezolvate în teoria numerelor . Preluat la 8 decembrie 2011. Arhivat din original la 19 iulie 2010. (nedefinit)
↑ Weisstein, Eric W. Număr transcendental (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
↑ O introducere în metodele iraționalității și transcendenței . Preluat la 8 decembrie 2011. Arhivat din original la 17 mai 2013. (nedefinit)

Link -uri

Numărul e - articol din enciclopedia „În jurul lumii”
Gorobets B.S. Constante mondiale în legile de bază ale fizicii și fiziologiei // Știință și viață . - 2004. - Nr 2 . (Rusă)(un articol cu exemple de semnificație fizică a constantelorși) $\pi$ $e$
JJ O'Connor, E.F. Robertson. Istoria numărului e . Arhiva MacTutor Istoria matematicii . Scoala de Matematica si Statistica, Universitatea St Andrews, Scotia (septembrie 2001). (nedefinit) (Engleză)
e pentru 2,71828… (engleză) (istoria și regula lui Jackson)
„ Funcții exponențiale și număr e : simplu și ușor ” Arhivat 25 septembrie 2015 la Wayback Machine Un ghid intuitiv pentru funcțiile exponențiale și numărul e | BetterExplained _
Pentru o dovadă simplă a transcendenței numerelor e (la nivelul școlii) și π , vezi pp. 520—535 Veber G., Velshtein I. Enciclopedia matematicii elementare. Volumul 1. Algebră și analiză elementară. 1906

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare in jurul lumii
În cataloagele bibliografice	GND : 4150966-3 J9U : 987007546755505171 LCCN : sh93008168 NKC : ph114413

Numere cu nume proprii

Constante matematice

Algebric

Transcendental ,
probabil transcendental

Grade de o mie

numere vechi rusești

Alte puteri de zece

Puterile de doisprezece

Altele întregi

Alte numere

unitate imaginară

Numere irationale
Constanta Apéry ( ζ(3) ) Constanta Erdős-Borwein ( E ) Constantele Feigenbaum vis sofomorian Constanta numărului prim (ρ) Număr de plastic (ρ) Logaritm de doi (ln 2) Rădăcina a 12-a a lui 2 ( 12 √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 2 ( √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 3 ( √ 3 ) Rădăcină pătrată a lui 5 ( √5 ) Raportul de aur (φ) Super raport de aur (ψ) Secțiune de argint ( δS ) e π Constanta Gelfond ( e π ) Constanta Gelfond-Schneider ( 2 √ 2 ) constanta Fibonacci inversă (ψ)
transcendental Trigonometric

Derivate ale literei latine " E, e "
Scrisori	Voi ē̃ è̃ Ee Ëé̈ É̤é̤ ē̃ ẽ Kk Le lu Ë̀ë̀ Ë̂ë̂ Ë̌ë̌ Ë̃ë̃ Ēē ē̃ Ē̤ē̤ Ĕĕ ĕ́ ĕ̀ ê Ẹ̆ẹ̆ Ĕ̱ĕ̱ Ėė Ė̄ė̄ Ėʹėʹ Ė̃ė̃ Ęę Ęię Ę̀ę̀ Ę̂ę̂ Ę̌ę̌ Ę̄ę̄ Ę̄́ę̄ Ę̄̀ę̄̀ Ę̄̂ę̄̂ Ę̄̌ę̄̌ Ę̃ę̃ E᷎e᷎ Ẹ̃ẹ̃ Ẽ̱ẽ̱ Ę̈ę̈ Ę̈̀ę̈̀ Ę̈̂ę̈̂ Ę̈̌ę̈̌ Ěě Ȇȇ Ȩȩ Ḝḝ Ȩ́ȩ́ Ȩ̀ȩ̀ Ȩ̂ȩ̂ Ȩ̌ȩ̌ Ȩ̛ȩ̛ Ɇɇ Ḕḕ Ḗḗ Ē̂ē̂ Ē̌ē̌ Ḙḙ Ḛḛ Ẹẹ Ẹẹ́ Ẹ̀ẹ̀ Ẹ̄ẹ̄ Ẻẻ Ẽẽ Ẽ́ẽ́ Ẽ̀ẽ̀ Ẽ̂ẽ̂ Ẽ̌ẽ̌ Ẽ̍ẽ̍ Ệệ Ếế Ềề Ểể Ê̆ê̆ Ễễ E̛e̛ E̊e̊ e̋e̋ Ȅȅ E̍e̍ E̱e̱ E̱é̱ È̱è̱ Ê̱ḵ Ě̱ě̱ Ē̱ē̱ Ḗ̱ḗ̱ Ḕ̱ḕ̱ Ē̱̂ē̱̂ Ë̱ë̱ Ĕ̤ĕ̤ E̲e̲ E̤e̤ Ê̤ê̤ E̤̍e̤̍ È̤è̤ Ê̌ê̌ Ê̄ê̄ e᷑ e᷑ e᷑ E᷆e᷆ E᷇e᷇ eͥ Əə / Ǝǝ Ə̃ə̃ / Ǝ̃ǝ̃ Əə́ / Ǝ́ǝ́ Ǝ̋ǝ̋ Ə̀ə̀ / Ǝ̀ǝ̀ Ǝ̏ǝ̏ Ə̂ə̂ / Ǝ̂ǝ̂ Ə̄ə̄ / Ǝ̄ǝ̄ Ə̌ə̌ / Ǝ̌ǝ̌ Ǝ̍ǝ̍ Əə Ə́ə́ Ə̀ə̀ Ə̣ə̣ Ə̣́ə̣́ Ə̣̀ə̣̀ ɘ ɘ̝ ᶒ ᶕ ᴇ ⱻ ⱸ ꬳ ꬴ ɚ Ææ ᴁ ᴂ Ǽǽ Æ̂æ̂ Æ̀æ̀ Ǣǣ Æ̃æ̃ Æ̈æ̈ Æ̨æ̨ æ̞ Œœ ɶ Œœ́ œ́̃ Œ̀œ̀ œ̀̃ Œ̂œ̂ Œ̌œ̌ œ̆ œ̆́ œ̆̀ Œ̄œ̄ œ̄ œ̄̀ Œ̈œ̈ œ̃ œ᷑ œ᷑ œ̀᷑ ᵫ ᴔ ꭀ ꭁ ꭂ ꬱ ꭢ ꬲ ꭡ
Literele ce de sus	Aͤaͤ A A A Oͤoͤ Uͤuͤ
Simboluri	& ℮ ∃/∄ 𝔼 ℇ ℯ/ⅇ ℰ ₠ € 🜀 Ⓔⓔ ⒠