Geometrie

Geometria (din altă greacă γεωμετρία ← γῆ pământ + μετρέω „măsură; evaluează”) este o ramură a matematicii care studiază structurile și relațiile spațiale, precum și generalizările acestora [1] .

Geometria ca știință sistematică a apărut în Grecia Antică , construcțiile ei axiomatice sunt descrise în Elementele lui Euclid . Geometria euclidiană a fost angajată în studiul celor mai simple figuri din plan și din spațiu, calculul ariei și volumului lor . Metoda coordonatelor propusă de Descartes în 1637 a stat la baza geometriei analitice și diferențiale , iar problemele asociate desenului au dus la crearea geometriei descriptive și proiective.. În același timp, toate construcțiile au rămas în cadrul abordării axiomatice a lui Euclid. Schimbările fundamentale sunt asociate cu lucrările lui Lobachevsky din 1829, care a abandonat axioma paralelismului și a creat o nouă geometrie non-euclidiană , determinând astfel calea pentru dezvoltarea ulterioară a științei și crearea de noi teorii.

Clasificarea geometriei propusă de Klein în „ Programul Erlangen ” în 1872 și care conține în baza sa invarianța obiectelor geometrice în raport cu diferite grupuri de transformări s-a păstrat până astăzi.

Subiectul geometriei

Geometria se ocupă de aranjarea reciprocă a corpurilor, care se exprimă prin atingerea sau aderarea între ele, locația „între”, „în interior” și așa mai departe; dimensiunea corpurilor, adică conceptele de egalitate a corpurilor, „mai mult” sau „mai puțin”; precum şi transformările corpului. Corpul geometric a fost o abstractizare încă de pe vremea lui Euclid, care credea că „o linie este o lungime fără lățime”, „o suprafață este aceea care are lungime și lățime”. Ideea este o abstractizare asociată cu o reducere nelimitată a tuturor dimensiunilor corpului, sau limita diviziunii infinite. Localizarea, dimensiunea și transformarea formelor geometrice sunt determinate de relații spațiale [2] .

Explorând obiecte reale, geometria ia în considerare doar forma și poziția relativă a acestora, făcând abstracție de la alte proprietăți ale obiectelor, cum ar fi densitatea, greutatea, culoarea. Acest lucru face posibilă trecerea de la relațiile spațiale dintre obiectele reale la orice relații și forme care apar atunci când se consideră obiecte omogene și sunt similare cu cele spațiale. În special, geometria ne permite să luăm în considerare distanțele dintre funcții [1] .

Clasificare

Clasificarea diferitelor ramuri ale geometriei a fost propusă de Felix Klein în „ Programul Erlangen ” ( 1872 ). Potrivit lui Klein, fiecare secțiune studiază acele proprietăți ale obiectelor geometrice care sunt păstrate ( invariante ) sub acțiunea unui grup de transformări care este specific fiecărei secțiuni. În conformitate cu această clasificare, următoarele secțiuni principale pot fi distinse în geometria clasică.

Geometria modernă include următoarele secțiuni suplimentare.

După metodele utilizate, se disting și astfel de subsecțiuni instrumentale.

Axiomatică

Axiomele geometriei euclidiene, formulate în secolele III-IV î.Hr. e., au stat la baza geometriei până în a doua jumătate a secolului al XIX-lea, întrucât au descris bine spațiul fizic și au fost identificați cu acesta [1] . Cele cinci postulate ale lui Euclid nu au fost suficiente pentru a descrie pe deplin geometria, iar în 1899 Hilbert și-a propus sistemul său de axiome . Hilbert a împărțit axiomele în mai multe grupuri: axiomele de apartenență, congruență , continuitate (inclusiv axioma lui Arhimede), completitudine și paralelism. Schur a înlocuit mai târziu axiomele congruenței cu axiomele mișcării, iar axioma lui Cantor a fost folosită în locul axiomei completității . Sistemul de axiome ale geometriei euclidiene ne permite să demonstrăm toate teoremele școlare cunoscute [3] .

Există și alte sisteme de axiome, care, pe lângă punct, linie și plan, se bazează nu pe mișcare, ci pe congruență, ca în Hilbert, sau pe distanță, ca în Kagan . Un alt sistem de axiome este legat de conceptul de vector. Toate sunt derivate una din alta, adică axiomele dintr-un sistem pot fi demonstrate ca teoreme în altul [3] .

Pentru a demonstra consistența și completitudinea axiomelor geometriei euclidiene, ei construiesc modelul său aritmetic și arată că orice model este izomorf cu aritmetica, ceea ce înseamnă că sunt izomorfi unul față de celălalt [4] . Independența axiomelor geometriei euclidiene este mai greu de arătat din cauza numărului mare de axiome. Axioma paralelismului nu depinde de celelalte, deoarece geometria lui Lobaciovski este construită pe afirmația opusă. În mod similar, independența axiomei lui Arhimede (tripla numerelor complexe este folosită ca coordonate în loc de triplul numerelor reale), axioma lui Cantor (numerele reale construite într-un anumit mod sunt folosite ca coordonate în locul triplului oricăror numere reale). ), precum și una dintre axiomele de apartenență, care determină de fapt dimensiunea spațiului (în loc de spațiu tridimensional, puteți construi un spațiu cu patru dimensiuni și orice spațiu multidimensional cu un număr finit de dimensiuni) [5] .

Postulatele lui Euclid

Postulatele lui Euclid sunt regulile de construcție folosind o busolă ideală și o riglă ideală [6] :

  1. Orice două puncte pot fi conectate printr-o linie dreaptă;
  2. O linie dreaptă restricționată poate fi extinsă la nesfârșit;
  3. Din orice centru, orice rază poate descrie un cerc;
  4. Toate unghiurile drepte sunt egale între ele;
  5. Dacă o linie cade pe două linii și formează unghiuri interioare unilaterale cu o sumă mai mică de două linii, atunci dacă aceste două linii sunt continuate la infinit, ele se vor intersecta pe partea în care unghiurile sunt mai mici de două linii.

O altă formulare a celui de-al cincilea postulat ( axioma paralelismului ) spune [7] : Printr-un punct din afara unei drepte în planul lor, se poate trasa cel mult o dreaptă care nu intersectează dreapta dată.

Axiome ale geometriei euclidiene

Enciclopedia Matematicii Elementare propune următorul sistem de axiome [3] :

  1. Prin fiecare două puncte distincte trece o linie dreaptă și, mai mult, una;
  2. Există cel puțin două puncte pe fiecare linie;
  3. Există trei puncte care nu se află pe aceeași linie;
  4. Prin fiecare trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă trece un plan și, în plus, doar unul;
  5. Există cel puțin un punct pe fiecare plan;
  6. Dacă două puncte se află pe un plan, atunci linia care trece prin ele se află și pe acest plan;
  7. Dacă două planuri au un punct comun, ele mai au cel puțin un punct comun;
  8. Sunt patru puncte care nu se află pe același plan.
    • Axiomele ordinii:
  9. Dintre oricare trei puncte distincte ale unei linii, unul și numai unul se află între celelalte două;
  10. Pentru oricare două puncte de pe o linie, există un al treilea punct pe această linie, astfel încât al doilea punct se află între primul și al treilea;
  11. Dacă dreapta situată în planul ABC nu trece prin niciunul dintre punctele A, B, C și conține un punct al segmentului AB , atunci are un punct comun cu cel puțin unul dintre segmentele AC, BC ;
    • Axiomele mișcării:
  12. Orice mișcare este o mapare unu-la-unu a spațiului pe sine;
  13. Fie f  o mișcare arbitrară. Atunci, dacă punctele A, B, C sunt situate pe aceeași linie și C se află între A și B , atunci punctele f(A), f(B), f(C) sunt de asemenea situate pe aceeași linie, şi f(C) se află între f(A) şi f(B) ;
  14. Două mișcări făcute una după alta sunt echivalente cu o singură mișcare;
  15. Pentru oricare două cadre , luate într-o anumită ordine, există una și o singură mișcare care transferă primul cadru în al doilea;
    • Axiomele continuității:
  16. Axioma lui Arhimede . Fie A 0 , A 1 , B  trei puncte situate pe aceeași dreaptă, iar punctul A 1 este între A 0 și B . Mai mult , fie f  o mișcare care ia punctul A 0 la A 1 și raza A 0 B la A 1 B . Fie f(A 1 )=A 2 , f(A 2 )=A 3 , … . Atunci există un număr natural n astfel încât punctul B se află pe segmentul A n-1 A n .
  17. Axioma lui Cantor . Fie A 1 , A 2 , … și B 1 , B 2 , …  două șiruri de puncte situate pe aceeași dreaptă l astfel încât pentru orice n punctele A n și B n sunt diferite și se află pe segmentul A n- 1 B n-1 . Apoi există un punct C pe dreapta l care se află pe segmentul A n B n pentru toate valorile lui n .
    • Axioma paralelismului:
  18. Printr-un punct A care nu se află pe dreapta l se poate trasa în planul lor cel mult o dreaptă care nu intersectează dreapta l .

Dacă scoatem din sistem axiomele 4-8 legate de geometria spațială, atunci obținem un sistem de axiome din planul euclidian [3] .

Transformări geometrice

O transformare a unui set este maparea sa unu-la-unu pe sine. În acest sens, termenul este folosit în geometrie, deși uneori este folosit ca sinonim pentru maparea sau maparea unui set în sine.

Vorbind de „transformări geometrice”, ele înseamnă de obicei niște tipuri specifice de transformări care joacă un rol fundamental în geometrie - mișcări, transformări de asemănare, transformări afine, proiective, circulare (în ultimele două cazuri, planul sau spațiul este completat cu puncte la infinit). Acest rol fundamental a fost dezvăluit de matematicianul german Felix Klein în prelegerea sa de la Universitatea din Erlangen în 1872, cunoscută sub numele de Programul Erlangen. Conform conceptului lui Klein, geometria studiază proprietățile figurilor care sunt păstrate sub toate transformările unui anumit grup de transformări. Având în vedere grupele de transformări ale tipurilor de mai sus, se obțin geometrii diferite - euclidiene (pentru transformări de similaritate), afine etc.

Istorie

În mod tradițional se crede că întemeietorii geometriei ca știință sistematică sunt grecii antici , care au adoptat meșteșugul topografiei și măsurării volumelor de corpuri de la egipteni și au transformat-o într-o disciplină științifică riguroasă [2] . În același timp, geometrii antici au trecut de la un set de rețete la stabilirea legilor generale și au compilat primele lucrări sistematice și demonstrative despre geometrie. Locul central printre ele îl ocupă cele scrise în secolul al III-lea î.Hr. e. „ Începuturi ” de Euclid . Timp de mai bine de două milenii, această lucrare a fost considerată o expunere exemplară în spiritul metodei axiomatice: toate prevederile sunt derivate logic dintr-un număr mic de ipoteze explicit indicate și nedemonstrabile - axiome [2] . Primele dovezi ale afirmațiilor geometrice au apărut în lucrările lui Thales și, aparent, au folosit principiul suprapunerii, când figurile, a căror egalitate trebuie dovedită, erau suprapuse una peste alta [8] .

Geometria grecilor, numită astăzi euclidiană sau elementară , s-a preocupat de studiul celor mai simple forme: drepte , plane , segmente , poligoane și poliedre regulate , secțiuni conice , precum și bile , cilindri , prisme , piramide și conuri . Au fost calculate suprafețele și volumele acestora . Transformările s-au limitat în mare parte la similitudine . În Grecia, în lucrările lui Hiparh și Menelaus , au apărut și trigonometria și geometria pe o sferă [2] .

Evul Mediu a dat puțin geometriei [1] , iar următorul mare eveniment din istoria sa a fost descoperirea de către Descartes în secolul al XVII-lea a metodei coordonatelor (tratat de geometrie , 1637 ). Seturile de numere sunt asociate cu punctele din spațiu, acest lucru vă permite să studiați relația dintre formele geometrice folosind metode algebrei. Așa a apărut geometria analitică , care studiază figurile și transformările care sunt date în coordonate prin ecuații algebrice. O expunere sistematică a geometriei analitice a fost propusă de Euler în 1748. La începutul secolului al XVII-lea, Pascal și Desargues au început să studieze proprietățile figurilor plane care nu se schimbă atunci când se proiectează dintr-un plan în altul. Această secțiune se numește geometrie proiectivă și a fost generalizată pentru prima dată de Poncelet în 1822. Chiar și mai devreme, în 1799, Monge a dezvoltat geometria descriptivă , direct legată de sarcinile de desen . Metoda coordonatelor stă la baza geometriei diferențiale care a apărut puțin mai târziu , unde figurile și transformările sunt încă specificate în coordonate, dar deja prin funcții arbitrare suficient de netede . Geometria diferențială a fost sistematizată de Monge în 1795 [2] , dezvoltarea ei, în special teoria curbelor și teoria suprafețelor , a fost realizată de Gauss . La intersecția geometriei, algebrei și analizei, calcul vectorial , calcul tensor , a luat naștere metoda formelor diferențiale [1] .

În 1826, Lobaciovski , abandonând axioma paralelismului a lui Euclid, a construit o geometrie non-euclidiană numită după el . Axioma lui Lobaciovski afirmă că printr-un punct care nu se află pe o dreaptă se poate trasa mai mult de o dreaptă paralelă cu cea dată. Lobaciovski, folosind această axiomă împreună cu alte prevederi, a construit o nouă geometrie, care, din cauza lipsei de claritate, a rămas ipotetică până în 1868, când i s-a dat deplina justificare. Lobaciovski a descoperit astfel principiile construirii de noi teorii geometrice și a contribuit la dezvoltarea metodei axiomatice [2] .

Următorul pas a fost definirea unui spațiu matematic abstract . Transformările proiective, afine și conformale , păstrând în același timp proprietățile figurilor, au condus la crearea geometriilor proiective, afine și conforme. Tranziția de la spațiul tridimensional la spațiul n - dimensional a fost efectuată pentru prima dată în lucrările lui Grassmann și Cayley în 1844 și a condus la crearea geometriei multidimensionale. O altă generalizare a spațiului a fost geometria riemanniană propusă de Riemann în 1854 [2] . F. Klein a sistematizat toate tipurile de geometrii omogene în „ Programul Erlangen ” ; după el, geometria studiază toate acele proprietăți ale figurilor care sunt invariante la transformări dintr-un anumit grup. În plus, fiecare grup își stabilește propria geometrie. Deci, izometriile (mișcările) definesc geometria euclidiană, grupul  de transformări afine definește geometria afină .

În anii 70 ai secolului al XIX-lea, a apărut teoria mulțimilor , din punctul de vedere al căreia o figură este definită ca un set de puncte. Această abordare ne-a permis să aruncăm o privire nouă asupra geometriei euclidiene și să analizăm fundamentele acesteia, care au fost supuse unor rafinamente în lucrările lui Hilbert [2] .

Geometria în filosofie și artă

Încă din Grecia antică, geometria s-a bazat pe concepte filozofice. Definind un punct ca „ceea ce nu are părți”, abordarea lui diferă la Pitagora, care identifică punctul cu o unitate numerică și în care punctul are doar o poziție în spațiu și nu are dimensiune, și la Democrit, care, construirea unei teorii atomiste, dă punctului dimensiunea „suprasensibil de mică”. Definițiile liniei și suprafeței revin și la ideile atomiste, unde „lățimea” și „adâncimea” sunt indivizibile, respectiv [6] .

Geometria este a cincea dintre cele șapte arte liberale în ceea ce privește nivelul de învățare. Este precedat de un trivium format din Gramatică , Retorică și Dialectică și Aritmetică, știința principală în quadrivium , care include și Muzică și Astronomie [9] . Marcianus Capella , în tratatul său Căsătoria filozofiei și Mercur, a creat imagini vizuale ale tuturor celor șapte arte, inclusiv ale geometriei. Artele erau personificate de femei cu atribute adecvate, care erau însoțite de reprezentanți cunoscuți ai sferei. Geometria ține în mâini un glob și o busolă, cu ajutorul cărora poate măsura, mai rar un pătrat, riglă sau busole. Ea este însoțită de Euclid [10] [11] .

Asteroidul (376) Geometrie , descoperit în 1893, poartă numele după Geometrie .

Note

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Geometrie // Enciclopedie matematică: în 5 volume . - M  .: Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 1 .
  2. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 TSB, 1971 .
  3. ↑ 1 2 3 4 Geometrie, 1963 , p. 32-41.
  4. ↑ Geometrie, 1963 , p. 41-44.
  5. ↑ Geometrie, 1963 , p. 44-48.
  6. ↑ 1 2 Geometrie, 1963 , p. 12-17.
  7. ↑ Geometrie, 1963 , p. 18-21.
  8. ↑ Geometrie, 1963 , p. 12.
  9. ↑ Arte  liberale . Enciclopaedia Britannica. Preluat la 20 martie 2012. Arhivat din original la 27 mai 2012.
  10. ↑ Şapte arte liberale (link inaccesibil) . Simbolariu. Preluat la 20 martie 2012. Arhivat din original la 27 mai 2012. 
  11. ↑ Cele șapte arte liberale . Enciclopedia Catolică. Preluat la 20 martie 2013. Arhivat din original la 3 aprilie 2013.

Literatură

  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii
 Ramuri ale matematicii
Portalul „Știință”
Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii
Teoria numerelor ( aritmetică )
  • Portalul „Matematică”
  • Categoria „Matematică”
 Șapte arte liberale
Trivium Gramatică Retorică Dialectică ( logică ) quadrivium Aritmetic Geometrie Astronomie Muzică