Algebră universală

Algebra universală este o ramură a matematicii care studiază proprietățile generale ale sistemelor algebrice , folosind asemănările dintre diferitele structuri algebrice - grupuri, inele, module, rețele, introducând concepte inerente tuturor și stabilind enunțuri comune tuturor acestora. Ocupă o poziție intermediară între logica matematică și algebra generală , ca un aparat de realizare a logicii matematice aplicate structurilor algebrice generale.

Conceptul central este un sistem algebric , obiect de maximă generalitate, care cuprinde o parte semnificativă a variantelor structurilor algebrice ; peste acest obiect se pot construi conceptele de homomorfism si sisteme factoriale, generalizand constructiile corespunzatoare din teoriile grupurilor, inelelor, retelelor etc. O direcție dezvoltată în secțiune este studiul claselor de sisteme algebrice axiomatizabile, în primul rând, cum ar fi cele definite de identitățile varietății (inclusiv algebrele libere ), și definite de cvasi-identitățile cvasi -varietății . În Clasificarea subiectelor matematice , o secțiune de nivel superior este atribuită algebrei universale 08.

Istorie

Prima mențiune a unei ramuri a matematicii cu acest nume se referă la Alfred Whitehead ( „Tratatul său de algebră universală, cu aplicații” [1] a fost publicat în 1898 ) [2] , totuși, apariția unei discipline separate care studiază structurile algebrice. ca multimi arbitrare cu seturi arbitrare de operatii si relatii este asociata cu lucrarea lui Garrett Birkhoff din 1935 [3] [4] , in cadrul lucrarii sale despre teoria retelelor , el a atras atentia asupra unui numar de constructii paralele folosite in teorie de grupuri și inele : homomorfisme , grupuri de factori și inele de factori , subgrupuri normale și idealuri cu două laturi . Lucrarea lui Birkhoff nu a evocat răspunsuri și dezvoltare publicate de ceva timp, cu toate acestea, anii 1940 au marcat apariția unui anumit „folclor” asociat cu o abordare atât de universală a algebrei, în special, abordarea a fost conturată în prelegerile de la sfârșitul anilor 1940 de Philip . Hall . Hall ) la Universitatea din Cambridge [2] .

Următorul pas către crearea algebrei universale ca ramură a matematicii este lucrarea lui Alfred Tarski despre teoria modelelor și Kenjiro Shoda asupra algebrelor cu operații binare , precum și lucrarea lui Leon Genkin [5] , Anatoly Maltsev [6] , Abraham Robinson [7] , Bjarni Jonsson ( Isl. Bjarni Jónsson ) [8] , care au atras atenția asupra eficienței aplicării aparatului logicii matematice, utilizat în cadrul teoriei modelelor construite în acei ani , la studiu a sistemelor algebrice ca structuri care generalizează modele şi algebre. În același timp, lucrarea lui Maltsev din 1941 [9] a fost remarcată ca anticipând o abordare logică a algebrei universale, dar nu a primit răspunsuri și dezvoltare în timp util din cauza războiului , iar prelegerea lui Tarski la Congresul Internațional al Matematicienilor din 1950 a fost remarcată ca punctul de plecare pentru a doua perioadă de dezvoltare a secțiunii [10] .

De la sfârșitul anilor 1950, direcția de explorare a algebrelor libere s-a dezvoltat , în primul rând datorită lucrării lui Edvard Marchevsky și a seriei ulterioare de peste cincizeci de articole ale matematicienilor polonezi în această direcție [11] . La mijlocul anilor 1950, Philip Higgins a introdus și a studiat grupurile multioperatoare [12] [13] ca structuri în care noțiunea de comutator poate fi generalizată și orice congruență poate fi reprezentată ca o descompunere în seturi în idealuri (prin analogie cu cele corespunzătoare). proprietățile unui subgrup normal și ale unui inele ideal cu două fețe), ulterior au fost studiate clase speciale de grupuri multioperatoare (inele multioperatoare și algebre).

De la începutul anilor 1960, teoria cvasivarietăților și întrebările conexiunii lor cu clasele axiomatizabile de sisteme algebrice s-a dezvoltat (Maltsev, Gorbunov ), cea mai rapidă direcție la începutul - mijlocul anilor 1970 a fost studiul varietăților de congruențe. (Bjarni Jónsson, Gretzer).

Până în 1968, bibliografia despre algebra universală includea peste 1.000 de articole, până în 1980, peste 5.000; în perioada 1976-1988 au fost publicate 2 mii de lucrări [14] .

În a doua jumătate a anilor 1970, au apărut aplicații ale algebrei universale în informatică - teoria tipurilor de date abstracte , teoria sistemelor de management al bazelor de date [15] , aplicațiile sunt construite în principal în jurul conceptului de algebre multisortate . Printre principalele domenii care au fost dezvoltate cel mai activ în anii 1980–1990 [16] se numără teoria cvasivarietăților, teoria comutatoarelor pentru varietăți de congruențe și teoria dualității naturale . În anii 2000, o direcție separată a primit o dezvoltare intensivă - geometria algebrică universală , generalizând geometria algebrică clasică , lucrând cu câmpuri algebrice , la clase mai largi de sisteme algebrice [17] .

Sisteme algebrice, algebre și modele

Obiectul de studiu de bază al secțiunii este un sistem algebric — o mulțime nevidă arbitrară cu o mulțime dată (posibil infinită) de operații cu matrice finite asupra acesteia și relații cu matrice finite: , , . Mulțimea în acest caz se numește purtătorul (sau setul principal ) al sistemului, setul de simboluri funcționale și predicate cu ariitățile lor este semnătura sa . Un sistem cu un set gol de relații se numește algebră universală (în contextul subiectului - cel mai adesea doar o algebră ), iar cu un set gol de operații - un model [18] sau un sistem de relații , un sistem relațional [19] . ${\mathfrak {A}}=\langle A,\;F,\;R\rangle$ $F=\langle f_{1}\colon A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A,\;\ ldots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1)),\;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i)),\;\ldots \rangle$ $A$ $\langle F,\;R,\;\langle n_{1},\;\ldots n_{i},\;\ldots \rangle ,\;\langle m_{1}\ldots m_{i} ,\;\ldots \rangle \rangle$

Toate structurile algebrice generale de bază se încadrează în această abstracție, de exemplu, o mulțime parțial ordonată este un sistem relațional dotat cu o relație de ordin parțial binar, iar un grup este o algebră echipată cu o operație zero [20] care selectează un element neutru , un operație unară pentru obținerea unui element invers și o operație asociativă binară .

Datorită faptului că orice operație -ary poate fi reprezentată ca o relație -dimensională , orice sisteme algebrice pot fi studiate ca modele, folosind instrumente teoretice de model [21] . $n$ $f\colon A^{n}\to A$ $(n+1)$ $\mathrm {r} f=\{\langle a_{1},\;\ldots,\;a_{n},\;a_{n+1}\rangle \mid a_{n+1}= f(a_{1},\;\ldots ,\;a_{n})\}$

Modele de bază

Pentru sistemele algebrice se introduc construcții care sunt caracteristice tuturor structurilor algebrice generale de bază: un subsistem ( subalgebră , submodel ), ca submulțime al purtătorului sistemului, închis față de toate operațiile și relațiile, homomorfismul sistemelor, ca mapări. între sisteme de același tip, păstrând operațiile și relațiile de bază, izomorfismul , ca homomorfism inversabil, automorfismul ca izomorfism asupra lui însuși. Introducerea conceptului de congruență ca relație de echivalență stabilă pe un sistem face posibilă construirea unei astfel de construcții ca sistem de factori ( algebră factorială , model factorial ) - un sistem peste clase de echivalență. În același timp, se demonstrează teorema homomorfismului , care este comună tuturor sistemelor algebrice , afirmând că pentru orice homomorfism, maparea naturală a sistemului factorilor în raport cu concurența nucleară cu este un homomorfism , iar în cazul algebrelor. , este un izomorfism . $\varphi \colon {\mathfrak {A}}(A,\;\Sigma)\la {\mathfrak {A}}'(A',\;\Sigma )$ ${\mathfrak {A}}/\{(x,\;y)\in A\times A'\mid \varphi (x)=\varphi (y)\)$ ${\mathfrak A}'$

Toate subsistemele unui sistem algebric formează o rețea completă , în plus, orice rețea algebrică (adică o rețea, fiecare element poate fi reprezentat ca cea mai mică limită superioară a elementelor sale compacte) este izomorfă cu rețeaua subalgebrelor unora. algebră universală [22] . Au fost studiate grupuri de automorfisme ale sistemelor algebrice [23] , rețele de congruențe . În special, se arată că pentru orice grup și rețele și există o algebră universală astfel încât , , . $\mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$ $G$ $L_0$ $L_{1}$ $\mathfrak A$ $G\cong \mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}$ $L_{0}\cong \mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}$ $L_{1}\cong \mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$

Într-o familie de sisteme algebrice de același tip, un produs direct este definit ca un sistem ale cărui operații și relații sunt definite în funcție de coordonate pe produsul cartezian al purtătorilor: adică pentru - , și pentru - . Proiecțiile directe ale produsului sunt homomorfisme surjective naturale care restabilesc operațiuni și relații în componentele produsului. Gradul cartezian al unui sistem algebric este un produs direct cu sine: ; rețeaua de congruențe a unei algebre în acest sens poate fi considerată ca intrând în rețeaua subalgebrelor pătratului său cartezian , de altfel, s-a stabilit că este o subrețea completă în ea [24] . $\prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}(A_{i},\;\langle f_{1}\colon A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A,\;\ldots \rangle ,\;\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}}, \;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\;\ldots \rangle )}$ $f_{k}\colon (\prod _{i\in I}A_{i})^{n_{k}}\la \prod _{i\in I}A_{i}$ $f_{k}(\langle \ldots a_{i,\;1}\ldots \rangle ,\;\ldots ,\;\langle \ldots a_{i,\;n_{k))\ldots \ rangle )=\langle \ldots ,\;f(a_{i,\;1},\;\ldots a_{i,\;n_{k}}),\;\ldots \rangle$ $r_{k}\subseteq (\prod _{{i\in I}}A_{i})^{{n_{k}}}$ $\{\langle \ldots,\;r(a_{i,\;1},\;\ldots,\;a_{i,\;k}),\;\ldots \rangle \mid a_{ i,\;j}\în A_{i},\;i\în I,\;1\leqslant j\leqslant k\}$ $\pi _{k}\colon \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}}\to {\mathfrak {A}}_{k}$ ${\mathfrak A}^{n}=\prod _{{i=1}}^{n}{{\mathfrak A}_{i}}$ $\mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}^{2}$

Soiuri

O varietate de sisteme algebrice (sau o clasă ecuațională ) este o clasă de sisteme algebrice cu o semnătură fixă, axiomatizate printr-un set de identități exprimate în termeni de semnătură, acest concept generalizează astfel de clase speciale de algebre date axiomatic ca clasa tuturor semigrupurilor, clasa tuturor grupelor, clasa tuturor inelelor. Baza pentru studierea unei astfel de construcții generalizate ca varietate este teorema Birkhoff , care afirmă că pentru ca o clasă nevidă de sisteme algebrice să fie axiomatizabilă prin identități, este necesar și suficient ca aceasta să conțină: ${\mathfrak {K}}$

Produsul cartezian al unei secvențe arbitrare (a fost închis multiplicativ); ${\mathfrak {K}}$
orice subsistem al unui -sistem arbitrar (era ereditar); ${\mathfrak {K}}$
imaginea homomorfă a oricărui sistem (a fost închisă homomorf) [25] . ${\mathfrak {K}}$

A treia condiție este echivalentă cu a fi închis în raport cu sistemele factoriale.

În studiile despre algebra universală, proprietățile structurale ale varietăților și problemele imersibilității sistemelor unei varietăți în sistemele alteia sunt studiate în detaliu. Subvarietățile pentru o anumită clasă ecuațională formează o rețea prin includere, iar proprietățile unor astfel de rețele de soiuri sunt diferite, în special, rețeaua tuturor varietăților de rețele este distributivă și are cardinalitatea continuumului și rețeaua tuturor varietăților de grupurile este modulară , dar nu este distributivă.

Pe lângă varietăți, clase mai generale de sisteme precum prevarietățile (clase replica-complete), care sunt clase închise față de subalgebre și produse carteziene, care conțin un sistem cu un singur element, și cvasivarietăți , sunt axiomatizate printr-un set de cvasiidentități ( definite de clauzele Horn ), precum și variantele finit închise ale soiurilor și cvasi-varietăților sunt pseudo -soiuri și pseudo-cvasi- soiuri .

Algebre libere

Algebre speciale

Categorii de sisteme algebrice

Aplicații

Note

↑ Whitehead, Alfred North. Un tratat de algebră universală, cu aplicații . - Cambridge : Cambridge University Press , 1898. - 547 p.
↑ 1 2 Kohn, 1969 , p. unsprezece.
↑ Maltsev, 1970 , p. 7.
↑ Gretzer, 2008 , Deși Whitehead a recunoscut necesitatea algebrei universale, nu a avut niciun rezultat. Primele rezultate au fost publicate de G. Birkhoff în anii treizeci, p. vii.
↑ Henkin L. Câteva interconexiuni între algebra modernă și logica matematică // Transactions of the American Mathematical Society . - 1953. - Vol. 74 . - P. 410-427 . — ISSN 0002-9947 . Arhivat din original pe 21 septembrie 2015.
↑ A. I. Maltsev. Despre teoria generală a sistemelor algebrice // Culegere matematică . - 1954. - T. 35 , Nr. 77 . - S. 3-20 . (Rusă)
↑ Abraham Robinson. Notă despre o teoremă de încorporare pentru sisteme algebrice // Journal of the London Mathamtical Society . - 1955. - Vol. 30 . - P. 249-252 .
↑ Bjarni Jonsson. Sisteme relaționale universale (engleză) // Mathematica Scandinavica. - 1957. - Nr. 5 . - P. 224-229 . — ISSN 0025-5521 .
↑ Maltsev A.I. Despre o metodă generală de obținere a teoremelor locale ale teoriei grupurilor // Note științifice ale Institutului Pedagogic de Stat Ivanovo. Seria de științe fizice și matematice. - 1941. - T. 1 , Nr. 1 . - S. 3-20 .
↑ Gretzer, 2008 , lucrarea lui Mal'cev din 1941 a fost prima, dar a trecut neobservată din cauza războiului. După război, A. Tarski, LA Henkin și A. Robinson au început să lucreze în acest domeniu și au început să-și publice rezultatele în jurul anului 1950. Conferința lui A. Tarski la Congresul Internațional al Matematicienilor (Cambridge, Massachusetts, 1950) poate fi considerată ca fiind începutul noii perioade., p. viii.
↑ Gretzer, 2008 , Marczewski a subliniat importanța bazelor algebrelor libere; le-a numit seturi independente. Drept urmare, Marczewski, J. Mycielski, W. Narkiewicz, W. Nitka, J. Plonka, S. Swierczkowski, K. Urbanik și alții au fost responsabili pentru mai mult de 50 de lucrări despre teoria algebrică a algebrelor libere, p. viii.
↑ Higgins PJ Groups with multiple operators // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1956. - Vol. 6 , nr. 3 . - P. 366-416 . - doi : 10.1112/plms/s3-6.3.366 .
↑ Kurosh A. G. Prelegeri de algebră generală / ed. O. N. Golovin - ed. a II-a. — M .: Nauka , 1973. — 400 p. — ISBN 978-5-8114-0617-3
↑ Algebră generală, 1991 , p. 45.
↑ Plotkin B. I. Algebră universală, logică algebrică și baze de date. — M .: Nauka, 1991. — 448 p. - 3960 de exemplare. — ISBN 5-02-014635-8 .
↑ Gretzer, 2008 , p. 584.
↑ Prezidiul Academiei Ruse de Științe a decis (octombrie-noiembrie 2007) // Buletinul Academiei Ruse de Științe. - 2008. - T. 78 , nr. 3 . - S. 286 . Arhivat din original pe 9 decembrie 2014.
↑ Maltsev, 1970 .
↑ Gretzer, 2008 , p. opt.
↑ Se presupune că $A^{0}=\varnothing$
↑ Algebră generală, 1991 , p. 313.
↑ Gretzer, 2008 , Teorema 2, p. 48.
↑ Plotkin B. I. Grupuri de automorfism ale sistemelor algebrice. — M .: Nauka , 1966. — 603 p. - 6000 de exemplare.
↑ Algebră generală, 1991 , p. 302.
↑ Maltsev, 1970 , pp. 337-339.

Literatură

Artamonov V. A. . Capitolul VI. Algebre universale // Algebră generală / Ed. ed. L. A. Skornyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Bibliotecă matematică de referință). — 25.000 de exemplare. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Kon P. Algebră universală. - M .: Mir , 1969. - 351 p.
Maltsev AI Sisteme algebrice. — M .: Nauka , 1970. — 392 p. - 17.500 de exemplare.
Gratzer, George. Algebră universală. — al 2-lea. - Springer , 2008. - 585 p. — ISBN 978-0-387-77486-2 .

Ramuri ale matematicii

Portalul „Știință”

Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii

Teoria numerelor ( aritmetică )

Algebră
Algebră elementară	Soluția ecuației
Algebră liniară	Calcul vectorial matrici Calcul tensor Algebră multiliniară
Algebră generală	Algebră comutativă Teoria reprezentării Algebră diferențială Algebră omologică Algebră universală Teoria categoriilor

Analiză
Analiza clasică	Calcul diferenţial Calcul integral
Teoria funcției	Analiza armonică Analiza cuaterniilor Analiză complexă teoria măsurării Teoria funcțiilor unei variabile reale analiza functionala Calculul variațiilor
Ecuații diferențiale și integrale	Sisteme dinamice și teoria ergodică Ecuatii diferentiale comun în derivate parţiale Ecuații integrale
Analiza Vectorială Analiza globală Teoria catastrofei Analiză personalizată Analiză infinitezimală netedă

Geometrie și topologie
Geometrie	Geometrie algebrică Geometrie analitică Geometrie euclidiană Geometrie non-euclidiană Planimetrie Stereometrie
Topologie	Topologie generală Topologie algebrică Geometrie și topologie diferențială

Matematică discretă
Combinatorică teoria grafurilor

Matematică aplicată
Fizică matematică Chimie matematică biologie matematică Statistici matematice Modelare matematică Teoria algoritmilor Metode numerice economie matematică matematica financiara Teoria probabilității Cercetare operațională Teoria jocului

Portalul „Matematică”
Categoria „Matematică”