Loxodrom

Loxodrom , sau loxodrom [1] (din altă greacă „λοξός” - „oblic”, „înclinat” și „δρόμος” - „cale” [2] ) - o curbă pe suprafața de revoluție care intersectează toate meridianele la un unghi constant , numit unghi de urmărire loxodromic.

Istorie

Introdus de matematicianul portughez Nonius în 1529 [3] .

În lucrarea „ Tiphys batavus ” (1624), matematicianul olandez Willebrord Snell a numit curba care intersectează toate meridianele la un unghi constant „loxodrom” și a studiat-o. Lucrarea a constat din două părți - exerciții teoretice și practice cu recomandări [4] .

În geodezie și cartografie

Pe suprafața Pământului, loxodromurile sunt toate paralele (unghiul de urmărire poate fi de 90°, 270° etc.) și toate meridianele (unghiul de urmărire 0°, 180° etc.). Loxodromurile din alte unghiuri sunt spirale care fac un număr nelimitat de spire, apropiindu-se de poli . Cu toate acestea, dacă călătorul se deplasează de-a lungul oricărui loxodrom (cu excepția paralelelor) cu o viteză constantă fără oprire, atunci va ajunge cu siguranță la unul dintre poli într-un timp finit. O proiecție a hărții în care toate loxodromurile sunt desenate ca linii drepte se numește proiecție Mercator .

În navigare

Dacă vă deplasați cu un unghi de urmărire fix pe Pământ, care este luat în mod condiționat ca o sferă sau geoid , atunci traiectoria mișcării obiectului va fi un loxodrom [5] . Loxodromul nu este cea mai scurtă cale între două puncte (excepția sunt meridianele și ecuatorul). Cu toate acestea, pe vremuri, navele și călătorii se deplasau adesea de-a lungul loxodromurilor, deoarece este mai ușor și mai convenabil să mergi într-un unghi constant spre Steaua Polară . Odată cu inventarea busolei , navigatorii au trecut la deplasarea de-a lungul „loxodromurilor magnetice”, adică de-a lungul liniilor cu un unghi constant spre nordul magnetic, ceea ce a făcut posibilă continuarea mișcării chiar și pe vreme înnorată. Dar, de îndată ce declinațiile magnetice au fost descoperite în toate locurile Pământului, oamenii au trecut din nou la loxodromuri obișnuite. Chiar și în secolul al XX-lea, loxodromul a fost folosit la calcularea cursului necesar la așezarea rutei aeronavelor și navelor. De-a lungul timpului, când au apărut dispozitive cu o putere de calcul suficientă pentru a calcula unghiul de urmărire necesar curent, cercurile mari (cea mai scurtă cale) au început să fie utilizate în mod activ, în special pentru rutele aeronavelor pe distanțe lungi [6] .

Construcția loxodromului sferei

Pentru a așeza o cale de loxodrom pe hărțile de zbor, este necesar să conectați punctele de capăt ale traseului cu o linie dreaptă și să măsurați unghiul de urmărire la meridianul mijlociu. Mai precis, unghiul de traseu al loxodromului este calculat ca unghiul mediu luat de la punctele de început și de sfârșit ale traseului. După aceea, unghiul de urmărire rezultat este construit secvenţial la toate meridianele de pe hartă, începând de la punctul de plecare. Linia întreruptă obținută în timpul construcției este aproape aproape de loxodrom. Mai precis, unghiul de urmărire a loxodromului poate fi calculat prin formula: $\alfa$

${\mathrm {tg}}\alpha ={\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{\varphi _{2}-\varphi _{1}}}\cos \varphi _{ m}$ ,

unde este unghiul de urmărire dorit; $\alfa$
$\varphi_{1}$ și — latitudinile punctelor de plecare și de sosire; $\varphi _{2}$
$\lambda _{1}$ și sunt longitudinele acestor puncte; $\lambda _{2}$
$\varphi _{m}$ este latitudinea medie de zbor.

Exemplu . Determinați unghiul real al traseului loxodromului atunci când zburați de la Reims la Potsdam . $\alfa$

Soluție . Determinăm coordonatele:

— Reims

\varphi _{1}=49^{\circ }15'=2955';\lambda _{1}=4^{\circ }02'=242';

— Potsdam

\varphi _{2}=52^{\circ }24'=3144';\lambda _{2}=13^{\circ }04'=784';

latitudine medie ; . Prin urmare, $\varphi _{m}=50^{\circ }50'$ $\cos 50^{\circ }50'=0{,}6316$

\mathrm {tg} \alpha ={\frac {784-242}{3144-2955}}0{,}6316=1{,}806

\alpha =61^{\circ }

Rezultatul va fi corect dacă punctul final al traseului se află în primul trimestru (0 - 90°). Dacă punctul final se află în al doilea sfert (90° - 180°), unghiul de urmărire dorit se obține prin scăderea numărului de grade rezultat din 180°. Dacă punctul final se află în al treilea sfert (180° - 270°), la unghiul rezultat se adaugă 180°, iar dacă în al patrulea sfert (270° - 360°), atunci unghiul rezultat este scăzut de la 360°.

Lungimea loxodromului în km este determinată de formulele:

a) Pentru unghiuri apropiate de 0° sau 180°, $\alfa$

S\aprox {\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{\cos \alpha }}\cdot 1{,}852

km,

unde și sunt latitudinile punctelor de plecare și de sosire, exprimate în minute sau $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$

S\aprox {\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{\cos \alpha }}\cdot 111{,}18

km,

unde și sunt exprimate în grade. $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$

b) Pentru unghiuri apropiate de 90° sau 270°, $\alfa$

S\aprox {\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{\sin \alpha }}\cdot \cos \varphi _{m}\cdot 1{,}852

km.

Diferența dintre lungimile loxodrom și ortodrom DS atinge valoarea maximă atunci când zboară de-a lungul paralelei.

Deci, de exemplu, lungimea loxodromului dintre Reims și Potsdam din exemplul anterior poate fi calculată aproximativ prin formula:

S\aprox {\frac {784-242}{\sin 61^{\circ ))}\cdot 0{,}6316\cdot 1{,}852\aprox 725

km.

Formule în coordonate carteziene

Formulele parametrice care definesc loxodromul cu unghiul de traseu pe sfera de rază în sistemul de coordonate carteziene sunt: $\alfa$ $r$

x=r{\frac {\cos \lambda }{\mathrm {ch} [(\lambda -\lambda _{0})\operatorname {ctg} \alpha ]));

y=r{\frac {\sin \lambda }{\mathrm {ch} [(\lambda -\lambda _{0})\operatorname {ctg} \alpha ])));

z=r\,\mathrm {th} [(\lambda -\lambda _{0})\operatorname {ctg} \alpha ];

unde parametrul variază de la 0 la și este longitudinea punctului. Aici și sunt cosinus hiperbolic și tangente . $\lambda$ $2\pi$ $\mathrm {ch}$ $\mathrm {th}$

Vezi și

ortodom

Note

↑ Loxodrom // Carte de referință enciclopedică marine / Ed. N. N. Isanina. - Leningrad: Construcţii navale, 1987. - T. 1. - S. 398. - 512 p. — 30.000 de exemplare.
↑ Dicționar istoric al galicismelor limbii ruse. - M .: Dicţionar editura ETS. Nikolai Ivanovici Epișkin. 2010
↑ Şal, Michel . O revizuire istorică a originii și dezvoltării metodelor geometrice . Ch. III, n. 39.
↑ MacTutor .
↑ Acest lucru nu este greu de demonstrat folosind definițiile unghiului de cale și definiția loxodromului.
↑ Pentru a economisi combustibil și a reduce timpul de călătorie.

Link -uri

Calculator online: Urmăriți unghiul și distanța dintre două puncte de-a lungul loxodromului (liniile loxodromului)
Laxodromia // Enciclopedia militară : [în 18 volume] / ed. V. F. Novitsky ... [ și alții ]. - Sankt Petersburg. ; [ M. ] : Tip. t-va I. D. Sytin , 1911-1915.
John J. O'Connor și Edmund F. Robertson . Loxodrome (engleză) - biografie pe arhiva MacTutor .

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius