Superelipsă

Superelipsa ( curba Lame ) este o curbă geometrică definită în coordonate carteziene de ecuație

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1

unde n , a și b sunt numere pozitive.

Formula definește o curbă închisă mărginită de un dreptunghi − a ≤ x ≤ + a și − b ≤ y ≤ + b . Parametrii a și b se numesc semiaxe sau semidiametre ale curbei.

Când n este între 0 și 1, superelipsa arată ca o stea cu patru colțuri cu laturile concave. În special, pentru n = 1/2, laturile stelei sunt parabole .

Când n = 1, curba este un romb cu vârfuri (± a , 0) și (0, ± b ). Pentru n între 1 și 2, curba arată ca un romb cu laturile convexe.

Pentru n = 2, curba se transformă într-o elipsă (în special, pentru a = b , se transformă într-un cerc). Pentru n > 2, curba arată ca un dreptunghi cu colțuri rotunjite. În punctele (± a , 0) și (0, ± b ) curbura curbei este zero.

Pentru n < 2, curba este uneori numită „hipoelipsă”, iar pentru n > 2, „hiperelipsă”.

Punctele extreme ale superelipsei sunt egale cu (± a , 0) și (0, ± b ), iar coordonatele „colțurilor” (adică punctele de intersecție cu diagonalele dreptunghiului circumscris) sunt (± sa, ±sb ), unde [1] ). $s=2^{-1/n)$

Proprietăți algebrice

Când n este un număr rațional diferit de zero p / q , superelipsa este o curbă algebrică . Pentru n pozitiv ordinul este pq , pentru n negativ este 2 pq . În special, când a = b = 1 și n este un întreg par, superelipsa este o curbă Fermat de grad n . În acest caz, nu este singular, deși în general este singular ..

De exemplu, dacă x 4/3 + y 4/3 = 1, atunci curba este o curbă algebrică de gradul 12 de al treilea fel dată de ecuația implicită

(x^{4}+y^{4})^{3}-3(x^{4}-3x^{2}y^{2}+y^{4})(x^{ 4}+3x^{2}y^{2}+y^{4})+

+3(x^{4}+y^{4})-1=0,

sau ecuație parametrică

\left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \ dreapta)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2} }

{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{n))\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ). \end{aliniat}}

Aria unei superelipse este exprimată prin formula

S=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n)}\right)\right)^{2)}{\Gamma \left(1+{ \tfrac {2}{n}}\dreapta)}}.

Generalizări

Superelipsa poate fi generalizată ca:

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m n>0.

{\begin{aligned}x(\theta)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m))\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta)\ \y(\theta )&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}

(iată un parametru care nu trebuie interpretat ca un unghi). $\theta$

Istorie

Superelipsa sub forma unei ecuații în coordonate carteziene ca o generalizare a elipsei obișnuite a fost propusă pentru prima dată de Gabriel Lame (1795-1870).

„Invenția” superelipsei este uneori atribuită în mod eronat poetului și savantului danez Piet Hein (1905-1996). În 1959, biroul de arhitectură din Stockholm a anunțat un concurs pentru proiectarea unui sens giratoriu în jurul Pieței Sergelstorg . Piet Hein a câștigat competiția propunând un inel de transport cu superelipse cu n = 2,5 și a / b = 6/5 [2] . Reconstrucția pieței a fost finalizată în 1967. Hein a folosit superelipsa în alte modele - paturi, farfurii, mese [3] . Prin rotirea superelipsei în jurul axei sale lungi, el a produs „ superou ”, care a devenit o jucărie populară deoarece, spre deosebire de un ou obișnuit, acesta putea sta pe o suprafață plană.

În 1968, când delegațiile de la discuțiile războiului din Vietnam de la Paris nu au putut cădea de acord asupra formei mesei, a fost propusă o masă superelipsă [2] . Stadionul Azteca din Mexico City , principalul stadion al Jocurilor Olimpice din 1968, are o formă super-eliptică .

Waldo Tobler a dezvoltat în 1973 o proiecție a hărții cunoscută sub numele de proiecție hipereliptică a lui Tobler , în care meridianele sunt superelipse [4] .

Tipul Melior , creat de Hermann Zapf în 1952, are „o” supereliptice. Se crede că Zapf a ales forma literei în mod intuitiv, neavând nicio idee despre conținutul matematic al acestei forme și abia mai târziu Piet Hein a remarcat asemănarea elementelor unor litere ale fontului cu superelipse. 30 de ani mai târziu, Donald Knuth a integrat în familia sa de fonturi Computer Modern abilitatea de a alege între elipse adevărate și superelipse (ambele forme aproximate prin spline cubice ).

Sigla echipei de fotbal Pittsburgh Steelers prezintă trei stele patrulatere, care sunt superelipse cu n = 0,5.

În sistemul de operare mobil iOS , începând cu versiunea 7, superelipsele sunt folosite pentru a forma conturul exterior al pictogramelor (în loc de pătrate cu colțuri rotunjite) și pictograme de grupare (în loc de dreptunghiuri dreptunghiulare). [5] iOS folosește parametrii a = b = 60 și n = 5.

Vezi și

Astroida este o superelipsă cu n = 2/3 și a = b , o hipocicloidă cu patru colțuri.
- Deltoidul este un hipocicloid triunghiular .
Un veveriță este o superelipsă n = 4 și a = b care arată ca o „roată cu patru paturi”.
- Triunghiul Reuleaux este o roată triunghiulară.
O superformula este o generalizare a unei superelipse.
Superquadrics sunt analogi tridimensionali ai superelipselor.

Note

↑ Donald Knuth: The METAFONTbook , p. 126
↑ 1 2 Gardner, Martin (1977), Superelipsa lui Piet Hein, Carnavalul matematic. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American , New York: Vintage Press, p. 240–254, ISBN 978-0-394-72349-5
↑ The Superellipse Arhivat la 10 martie 2005 la Wayback Machine , în The Guide to Life, The Universe and Everything de BBC (27 iunie 2003)
^ Tobler , Waldo (1973), The hyperelliptical and other new pseudocylindrical equal area map projections , Journal of Geophysical Research vol . 78 (11): 1753–1759 , DOI 10.1029/JB078i011p01753
↑ Pictogramele aplicației actualizate // Kyle Begeman. Dezvoltarea aplicațiilor în iOS 7 . Packt Publishing Ltd, 2014.

Link -uri

Barr, Alan H. (1983), Geometric Modeling and Fluid Dynamic Analysis of Swimming Spermatozoa , Institutul Politehnic Rensselaer (teza de doctorat folosind superelipsoizi)
Barr, Alan H. (1992), Rigid Physically Based Superquadrics, în Kirk, David, Graphics Gems III , Academic Press, p. 137–159 ( cod : 472–477), ISBN 978-0-12-409672-1
Gielis, Johan (2003), Inventing the Circle: The Geometry of Nature , Anvers: Geniaal Press, ISBN 978-90-807756-1-9
Sokolov, D. D. (2001), Curba Lamé , Springer Encyclopaedia of Mathematics , < http://eom.springer.de/L/l057390.htm >
Calculator Superelipse și Generator de șabloane
Superelipse (MathWorld)
Johan Gielis și Bert Beirinckx arhivat pe 6 decembrie 2007 la Wayback Machine „ Superformula ”.

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius