Epicicloid

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 8 martie 2020; verificările necesită 9 modificări .

Epicicloid (din altă greacă ὲπί - pe, peste, la și κύκλος - cerc, cerc) - o curbă plată formată dintr-un punct fix al unui cerc care se rostogolește de-a lungul părții exterioare a altui cerc fără alunecare. Potrivit lui Leibniz, mai devreme în 1676, Ole Römer a făcut o descoperire practic importantă că dinții epicicloizi ai unei roți dințate produc cea mai mică frecare.

Ecuații

Dacă centrul unui cerc fix este la originea coordonatelor, raza lui este , raza cercului care se rostogolește de-a lungul lui este , atunci epicicloida este descrisă prin ecuații parametrice în raport cu : $R$ $r$ $\varphi$

{\begin{cases}x=(R+r)\cos \varphi -r\cos(\alpha +{\frac {R+r}{r))\varphi )\\y=(R+r)\ sin \varphi -r\sin(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{cases}}

unde este unghiul de rotație al punctului care descrie epicicloidul față de centrul cercului în mișcare în momentul începerii mișcării (în sens invers acelor de ceasornic față de axa x), este un parametru, dar de fapt acesta este unghiul de înclinare al segmentul dintre centrele la ax . $\alfa$ $\varphi$ $BOU$

Puteți introduce valoarea , apoi ecuațiile vor apărea în formular $\textstyle k={\frac {R}{r}}$

{\begin{cases}x=r(k+1)\left(\cos \varphi -{\frac {\cos((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\\y =r(k+1)\left(\sin \varphi -{\frac {\sin((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\end{cases}}

Valoarea determină forma epicicloidului. Când un epicicloid formează un cardioid și când formează un nefroid . Dacă este o fracțiune ireductibilă a formei ( ), atunci este numărul de cuspizi ale epicicloidului dat și este numărul de rotații complete ale cercului de rulare. Dacă numărul irațional , atunci curba nu este închisă și are un număr infinit de cuspidi nepotriviți. $k$ $k=1$ $k=2$ $k$ ${\frac {m}{n}}$ $m,n\in \mathbb {N}$ $m$ $n$ $k$

Epicicloizi pentru diferite valori ale parametrului k:
$k=1$ ( cardioid )
$k=2$ ( nefroid )
$k = 3$
$k={\frac {3}{4}}$
$k={\frac {1}{3}}$
$k=0,5={\frac {1}{2))$
$k=2,1={\frac {21}{10}}$
$k=3,8={\frac {19}{5}}$
$k=5,5={\frac {11}{2}}$
$k=7,2={\frac {36}{5}}$

Obținerea

Fie - punctul dorit, - unghiul de abatere al punctului de la punctul de contact a două cercuri, - unghiul de abatere dintre centrele acestor cercuri.

P

\alfa

P

\theta

Din moment ce cercul se rostogolește fără să alunece, atunci

\ell _{R}=\ell _{r}

Prin definiția lungimii arcului de cerc :

\ell _{R}=\theta R\land \ell _{r}=\alpha r

Din aceste două afirmaţii rezultă că

\theta R=\alpha r

Obținem rapoartele pentru :

\alfa

\alpha ={\frac {R}{r}}\theta

Fie centrul cercului fix , centrul celui de-al doilea cerc . Este evident că

A

B

{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {AP}}

Să rescriem în coordonate :

{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {(\left(R+r\right)\cos \theta;\left(R+r\right)\sin \theta )))+{\overrightarrow {(r\cos \left(\pi +\theta +\alpha \right);r\sin \left(\pi +\theta +\alpha \right))))={\overrightarrow {(\left(R +r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right);\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \dreapta))}}

Prin urmare, poziția punctului este: $p$

x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\ cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

y=\left(R+r\dreapta)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\ sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

Vezi și

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius