Derivată (matematică)

Derivata este un concept matematic fundamental utilizat în diferite variații (generalizații) în multe ramuri ale matematicii. Este construcția de bază a calculului diferențial , permițând multe variante de generalizări utilizate în calcul , topologie și geometrie diferențială și algebră .

Lucrul comun între diferitele variații și generalizări este că derivata mapării caracterizează gradul de modificare a imaginii mapării cu o modificare (infinit) mică a argumentului. În funcție de structurile matematice luate în considerare, se precizează conținutul acestui concept.

Aproximativ 20 de generalizări ale conceptului de derivată sunt cunoscute doar pentru cazul spațiilor liniare topologice. [unu]

Derivată a unei funcții a unei variabile

Definiție de bază

Derivata unei funcții într-un punct este definită ca limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, deoarece incrementul argumentului tinde spre zero: $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $x_{0}$

f'(x_{0})=\lim _({\Delta x\rightarrow 0)){\frac {\Delta f}{\Delta x))

, unde .

\Delta x=x-x_{0},\ \Delta f=f(x)-f(x_{0})

Grafic, aceasta este panta tangentei într-un punct la curba care reprezintă funcția . $x_{0}$ $f(x)$

Pentru modificări suficient de mici în argument, egalitatea este valabilă . În cazul general, această formă de definiție este luată ca bază pentru generalizarea conceptului de derivat. $dx$ $df=f'(x_{0})dx$

Derivate unilaterale

Derivatele unilaterale sunt, de asemenea, definite, unde limita unilaterală ( stângaci și dreptaci ) este utilizată în locul limitei corespunzătoare. Derivatul din dreapta sau derivatul din dreapta este notat cu simbolurile . Derivatul din stânga sau derivatul din stânga este notat cu simbolurile . O derivată obișnuită există dacă și numai dacă există derivate unilaterale egale (mărimea lor este egală cu derivata). $f^{+}(x_{0}),\ f'_{+}(x_{0}),\ {\mathrm {D}}^{+}\!f(x_{0})$ $f^{-}(x_{0}),\ f'_{-}(x_{0}),\ \mathrm {D} ^{-}\!f(x_{0})$

Derivate de ordine superioare

Deoarece derivata unei funcții a unei variabile este și o anumită funcție a unei variabile, putem considera derivata derivatei - a doua derivată și, în general, derivata de orice ordin (un număr natural). $n$

Derivate ale funcțiilor mai multor variabile

Derivate parțiale

În cazul funcțiilor mai multor variabile: , în primul rând, se determină așa-numitele derivate parțiale - derivate față de una dintre variabile, cu condiția ca valorile celorlalte variabile să fie fixe: $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$

${\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x^{i}}}=\lim _{x^{i}\rightarrow x_{0}^{i}}{ \frac {f(x^{1},...,x^{i},...,x^{n})-f(x_{0}^{1},...,x_{0 }^{i},...,x_{0}^{n})}{x^{i}-x_{0}^{i}}}$

Gradient

Derivata reală (ținând cont de modificările vectorului variabilelor în ansamblu, adică toate variabilele) în cazul funcțiilor mai multor variabile este așa-numitul gradient al funcției - un vector ale cărui componente sunt derivate parțiale:

$f'(\mathbf {x} )=\mathbf {grad} f(\mathbf {x} )=\nabla f={\frac {df(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x } } }}=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},...,{\ frac {\partial f}{\partial x_{n))}\right)$

Prin analogie cu cazul unei variabile, pentru modificări mici ale vectorului variabilelor , este valabilă următoarea egalitate: $d\mathbf {x} =(dx_{1},dx_{2},...,dx_{n})$ $\mathbf {x}$

$df({\mathbf {x}})=f'({\mathbf {x_{0}}})d{\mathbf {x}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\ frac {\partial f}{\partial x^{i))}dx^{i}$

Derivată direcțională

În cazul funcțiilor mai multor variabile, se poate defini o derivată direcțională , adică presupunând că variabilele se schimbă într-o direcție dată. Derivata unei functii in raport cu directia vectorului este definita dupa cum urmeaza: $f$ $\mathbf {e}$

$f'_{{\mathbf {e}}}({\mathbf {x}}_{0})=\lim _{{t\rightarrow 0}}{\frac {f({\mathbf {x}} _{0}+t{\mathbf {e}})-f({\mathbf {x}}_{0})}{t}}$

Dacă direcția coincide cu direcția unei axe de coordonate, atunci derivata de-a lungul acestei direcții este de fapt derivata parțială corespunzătoare. Se poate arăta că derivata direcțională este egală cu produsul punctual al vectorului gradient și vectorului direcție normalizat (adică un vector direcție de lungime unitară, care poate fi obținut din orice vector de direcție prin împărțirea la lungimea sa): $\mathbf {e}$ $\mathbf {e}$

$f'_{{\mathbf {e}}}({\mathbf {x}}_{0})=(f'({\mathbf {x}}_{0}),{\mathbf {e}} )$

Derivate de ordine superioare

Prin analogie cu cazul funcțiilor unei variabile, se pot considera derivate parțiale de ordin arbitrar. Mai mult, în acest caz, puteți utiliza atât aceeași variabilă de mai multe ori, cât și mai multe variabile în același timp:

${\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{1}^{{k_{1}}}\partial x_{2}^{{k_{2}}},...,\partial x_{n}^{{k_{n}}}}}$ , Unde $\sum k_{i}=k$

Analogul derivatei a doua în cazul unei funcții de mai multe variabile este matricea derivatelor parțiale secunde - matricea Hessiană , care este derivata unei funcții cu valori vectoriale (vezi mai jos) - gradientul unei funcții scalare. Elementele acestei matrice sunt derivatele secunde . ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j))}$

Derivată totală

În multe cazuri, devine necesar să se evalueze dependența unei funcții de o modificare a unei variabile date într-o situație în care alte variabile se modifică într-un anumit mod în funcție de , adică o modificare a acestei variabile afectează valoarea funcției atât direct (care se exprimă printr-o derivată parțială) și indirect printr-o modificare a altor variabile. Influența totală este exprimată în termenii derivatei totale : $f$ $x^{j}$ $x^{j}$ $f$

${\frac {df}{dx^{j}}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial x^{j}}}$

În cazul general, se poate lua în considerare traiectoria variabilelor independente în forma parametrică , unde este un parametru (în fizică, acesta este cel mai adesea timpul). Atunci putem considera derivata totală în raport cu acest parametru: $x^{i}(t)$ $t$

${\frac {df}{dt}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {dx^{ i}}{dt}}$

În acest caz, una dintre variabile poate acționa ca un parametru . $t$ $x^i$

Derivata Lagrange ia în considerare modificările datorate dependenței de timp și mișcării prin spațiu de-a lungul unui câmp vectorial.

Un set de funcții de mai multe variabile

Un set de funcții de mai multe variabile poate fi interpretat ca o funcție cu valori vectoriale: . Derivata unei astfel de funcții este așa-numita matrice Jacobi , ale cărei rânduri sunt gradienții funcțiilor care alcătuiesc mulțimea , adică elementul din rândul --lea și --a coloană este egal cu derivata parțială. a funcției în raport cu variabila : $\mathbf {F}$ $f_{i}$ $\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m)$ $J$ $f_{i}$ $\mathbf {F}$ $i$ $j$ $f_{i}$ $x^{j}$

$J_F=\mathbf{F}'(\mathbf{x}_0)=\left[\frac {\partial f_i}{\partial x^j}\right]$

Prin analogie cu funcțiile scalare, pentru mici modificări ale vectorului de argumente , egalitatea este adevărată: $d{\mathbf {x}}$

$d{\mathbf {F}}={\mathbf {F}}'({\mathbf {x}}_{0})d{\mathbf {x}}$

Un caz special al derivatei unei funcții cu valori vectoriale este derivata gradientului unei funcții scalare , deoarece gradientul este de fapt un vector al mai multor funcții derivate parțiale. Această derivată, după cum s-a menționat mai sus, este, în esență, derivata a doua a unei funcții scalare și este o matrice de derivate parțiale de ordinul doi al acestei funcții - matricea Hessian ( ) sau Hessianul (Hessianul este de obicei numit determinantul Hessianului). matrice). $f$ $H_{f}$

Derivate de mapări ale spațiilor liniare arbitrare

Generalizare preliminară

O funcție scalară a mai multor variabile a fost considerată formal mai sus ca o funcție a unui vector ale cărui componente sunt variabile independente. În cazul general, ar trebui să luăm în considerare funcțiile scalare (numerice) pe spații vectoriale arbitrare de o anumită dimensiune. Apoi, în fiecare bază fixă, o astfel de mapare poate fi considerată ca o funcție a mai multor variabile. Astfel, toate conceptele considerate mai sus pot fi interpretate ca definiții coordonate ale derivatelor pentru o bază fixă a unui spațiu arbitrar (dotat cu o structură topologică suficientă pentru aceste scopuri). $f:X\rightarrow R$ $X$

În mod similar, valorile unui set de funcții au fost, de asemenea, considerate formal componente ale unui vector, iar acest set de funcții a fost tratat (formal) ca o mapare de la un vector la altul. În cazul general, ar trebui luată în considerare o mapare între spații vectoriale arbitrare și de dimensiuni și natură diferite (dotate cu structura topologică necesară). Dacă fixăm baze în ambele spații, atunci această mapare este analogă cu setul de funcții a mai multor variabile considerate mai sus. Astfel, toate definițiile corespunzătoare sunt interpretate în cazul general ca definiția coordonată a derivatelor sub baze fixe ale spațiilor corespunzătoare. $F:X\rightarrow Y$ $X$ $Y$

Această interpretare înseamnă, în același timp, că, în ciuda faptului că reprezentarea în coordonate a derivatelor depinde de bază (se schimbă la trecerea de la o bază la alta), conceptele de derivate în sine nu ar trebui să depindă de alegerea bazelor. Prin urmare, în general, sunt necesare definiții mai generale ale derivatelor, care nu sunt direct legate de alegerea unei baze și reprezentarea coordonată a acestora. Mai mult, aceste definiții sunt generalizate la cazul spațiilor de dimensiune infinită, care este utilizat, de exemplu, în analiza funcțională și calculul variațiilor.

Derivat Gateau

Noțiunea destul de generală de derivată este considerată în analiza funcțională , unde conceptul de derivată direcțională este generalizat la spații vectoriale topologice convexe local arbitrare . Derivata corespunzătoare este de obicei numită derivată Gateaux sau derivată slabă. Definiția derivatei Gateaux este în esență aceeași cu derivata direcțională pentru cazul unei funcții a mai multor variabile:

$f'_{{e}}({x}_{0})=\lim _{{t\rightarrow 0}}{\frac {f({x}_{0}+t{e})-f ({x}_{0})}{t}}$

derivat Fréchet

In cazul spatiilor Banach se defineste derivata Fréchet sau derivata tare . Derivata Fréchet a unei mapări este un astfel de operator liniar pentru care este valabilă următoarea egalitate: $F:X\rightarrow Y$ $F'$

$\lim _{{||h||_{X}\rightarrow 0}}{\frac {||F(x+h)-F(x)-F'(x)h||_{Y}} {||h||_{X}}}=0$ ,

Aceasta înseamnă că pentru modificări suficient de mici (conform normei spațiului ) în argument, schimbarea converge (conform normei spațiului Y) către , care poate fi scris formal ca o egalitate: $X$ $dx$ $X$ $dF$ $F'(x)dx$

d F ( x ) = F ′ ( x ) d x {\displaystyle dF(x)=F'(x)dx} $dF(x)=F'(x)dx$

Dacă această derivată există, atunci coincide cu derivata Gateaux. Pentru spațiile cu dimensiuni finite din reprezentarea în coordonate este matricea jacobiană, iar dacă , atunci este gradientul funcției scalare. $F'(x)$ $Y=R$

Derivată variațională

În calculul variațiilor , unde funcționalele integrale sunt considerate pe spațiul funcțiilor, în care se introduce produsul scalar (sub forma unei integrale a unei perechi de funcții), conceptul de derivată variațională , numită și derivată funcțională , este introdus . Derivata variațională a unei funcționale este o funcție (în general vorbind, o funcție generalizată ) pentru care, cu o mică variație a funcției , este valabilă următoarea egalitate: $F(f)$ $\delta F/\delta f$ $\delta f$ $f$

δ F = F ( f + δ f ) − F ( f ) = ( δ F / δ f , δ f ) = ∫ δ F ( f ( x ) ) δ f δ f ( x ) d x {\displaystyle \delta F=F(f+\delta f)-F(f)=(\delta F/\delta f,\delta f)=\int {\frac {\delta F(f(x))}{\delta f}}\delta f(x)dx} $\delta F=F(f+\delta f)-F(f)=(\delta F/\delta f,\delta f)=\int {\frac {\delta F(f(x))} {\delta f}}\delta f(x)dx$

Se poate arăta că, în esență, derivata variațională este derivata Fréchet.

Derivată cu privire la măsură

În teoria măsurării , derivata Radon-Nikodim generalizează jacobianul folosit pentru variabile variabile în măsuri. Exprimă o măsură în termenii unei alte măsuri (în anumite condiții). $\mu$ $\nu$

Derivata permite, de asemenea, generalizări la spațiul distribuțiilor , folosind integrarea prin părți în subspațiul adecvat bine aranjat.

Operatori diferențiali în spații cu dimensiuni finite

1. Divergența (divergența) funcțiilor cu valori vectoriale (câmpuri vectoriale ) pe un spațiu finit-dimensional , oferă o măsură a cât de puternică este „sursa” sau „puitul” în acest punct. Poate fi folosit pentru a calcula debitul folosind teorema divergenței . În reprezentarea în coordonate (în coordonate carteziene), divergenţa este $F:X\rightarrow X$ $X$

$\operatorname {div}{\mathbf {F}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial F_{{x^{i}}}}{\partial x^{ eu}}}$

2. Rotorul câmpurilor vectoriale din spațiul tridimensional măsoară „rotația” câmpului vectorial în acest punct. În reprezentarea în coordonate (în coordonate carteziene) este: $\mathbb {R} ^{3}$ $\operatorname {putrezire} \mathbf {F} =\operatorname {putrecerea} \;(F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y }+F_{z}\mathbf {e} _{z})=\left({\frac {\partial F_{z)){\partial y))-{\frac {\partial F_{y)){ \partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}} {\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x} }{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}.$

( F este un câmp vectorial cu componente carteziene și sunt orte de coordonate carteziene) $(F_{x}, F_{y}, F_{z})$ $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z$

3. Laplacianul este divergența (divergența) gradientului unei funcții scalare (câmp scalar) pe un spațiu finit-dimensional. Deseori notat ca sau ca . În reprezentarea în coordonate (în coordonate carteziene) este: $\Delta$ $\nabla ^{2}$

$\operatorname {div}\operatorname {grad}f=\Delta f=\nabla ^{2}f=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial ^{2}f} {\partial x_{i}^{2))}$

4. D'Alembertian - definit similar cu Laplacianul, dar folosind metrica spațială Minkowski , în loc de metrica spațială euclidiană . Considerat în fizică pentru spațiu-timp cu patru dimensiuni. În reprezentarea în coordonate (în coordonate carteziene) este:

\square f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2))}+ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{ \partial t^{2}}}.

Derivate în topologie diferențială, geometrie și analiză tensorială

Maparea vectorului tangent și a tangentei

În topologia diferențială , pentru funcțiile scalare netede pe o varietate netedă (în continuare - doar o varietate și doar o funcție), este introdus conceptul de vector tangent la un punct . Aceste funcții formează o algebră sub operațiile punctuale de adunare și înmulțire și înmulțire cu un număr. Un vector tangent este definit ca o funcțională liniară pe algebra unor astfel de funcții care satisface regula Leibniz . Pentru varietățile care sunt submulțimi ale lui , acest vector tangent va fi analog cu derivata direcționată în punctul definit mai sus. $f:M\rightarrow R$ $M$ $p\în M$ $\mathbb {R} ^{n}$

Un operator liniar pe algebra funcțiilor care satisface regula Leibniz este de fapt o derivație pe algebra acestor funcții și determină de fapt derivata funcțiilor scalare. Astfel de operatori liniari din algebra funcțiilor scalare formează un câmp vectorial pe varietate. Acest câmp vectorial poate fi definit și ca o mapare care atribuie fiecărui punct al varietatii un vector tangent la acel punct.

Mulțimea tuturor vectorilor tangenți la un punct dat al varietății formează un spațiu tangent la un punct dat . $T_{p}M$

Pentru mapările netede ale varietatilor de dimensiuni arbitrare , o diferenţială într-un punct este un operator liniar , care, pentru orice vector tangent , constă în diferenţierea unei funcţii pentru o funcţie numerică arbitrară f pe o varietate N. $F\colon M\la N$ $p\în M$ $d_{p}F:T_{p}M\rightarrow T_{F(p)}N$ $X\in T_{p}M$ $g(p)=f(F(p))$

În reprezentarea în coordonate, diferența este o matrice jacobiană . Bazele din spațiile tangente sunt definite ca derivate parțiale ale funcțiilor numerice ale reprezentării în coordonate a punctului p. $\left\{{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}\right\}$

Unirea tuturor spațiilor tangente (considerate ca mulțimi disjunse) pentru toate punctele varietății se numește mănunchi tangent al varietății (are dimensiunea 2n, deoarece un mănunchi tangent este în esență o mulțime de perechi - un punct și un vector tangent la aceasta). Mai precis, un fascicul tangent este o mapare a spațiului TM într-o varietate M. O mapare tangentă ( ing. pushforward ) este o generalizare a conceptului jacobian și acționează asupra fasciculelor tangente de varietăți: . Argumentele de afișare a tangentei sunt un punct și un vector . Pentru un punct fix , maparea este diferența de mai sus într-un punct - o mapare liniară de la spațiul tangent la spațiul tangent . $TM$ $dF\colon \,TM\la TN$ $p\în M$ $\xi \inTM$ $p\în M$ $dF(x,\cdot)\colon \,T_{x}M\la T_{\varphi (x)}N$ $T_{p}$ $T_{F(p)}N$

Un câmp vectorial pe o varietate este o mapare a varietatii M pe TM, adică una care atribuie fiecărui punct al varietății un vector tangent la acest punct. Câmpul vectorial poate fi considerat ca o secțiune a unui pachet tangentă - o mapare a lui M în TM. Câmpurile vectoriale pot fi considerate, de asemenea, o derivație a unei algebre de funcții, mapând fiecare funcție a algebrei la o altă funcție a aceleiași algebre. Aceasta este o mapare liniară care satisface regula Leibniz.

Pentru varietățile Riemanniene, gradientul unei funcții scalare f este definit ca un vector spațiu tangent astfel încât pentru orice vector tangent X, diferența funcției este egală cu produsul scalar . În reprezentarea în coordonate, aceasta este convoluția metricii spațiale prin derivatele parțiale ale funcției: $\nabla f$ $T_{x}M$ $(d_{x}f)X=Xf=(\nabla f,X)$ $\nabla f=g^{ij}\partial _{i}f$

Lie derivat

Derivata Lie este rata de schimbare a unui câmp tensor (în special un câmp scalar sau vectorial) în direcția unui câmp vectorial dat. În cazul unui câmp scalar, derivata Lie coincide cu derivata direcțională . Pentru câmpurile vectoriale, derivata Lie este egală cu așa-numita paranteză Lie . Acesta este un exemplu de aplicare a parantezei Lie (câmpurile vectoriale formează o algebră Lie pe grupul de difeomorfism al unei varietăți). Aceasta este derivata de ordinul 0 în algebră.

Derivate externe și interne

Pe algebra exterioară a formelor diferențiale peste o varietate netedă , derivata exterioară este o mapare liniară unică care satisface versiunea ordinală a legii lui Leibniz și este zero la pătrat. Aceasta este derivata de ordinul 1 a algebrei exterioare.

Derivata internă este derivata „-1” de ordinul algebrei externe a formelor. Împreună, derivata exterioară, derivata Lie și derivata interioară formează o superalgebră Lie .

Derivată covariantă

În geometria diferențială (și analiza tensorială rezultată ), cu ajutorul unei derivate covariante, derivatele sunt luate în direcțiile câmpurilor vectoriale de-a lungul curbelor sau în general într-un sistem de coordonate curbiliniu. Aceasta extinde derivata direcțională a funcțiilor scalare la secțiuni de mănunchiuri vectoriale sau pachete principale . În geometria riemanniană , existența unei metrici permite să se facă o alegere canonică a unei derivate covariante fără torsiune cunoscută sub numele de conexiune Levi-Civita .

Pentru funcțiile scalare, derivata covariantă este aceeași cu derivata față de direcția câmpului vectorial. Derivata covariantă a unui câmp vectorial în raport cu un câmp vectorial poate fi definită formal ca o mapare care este F-liniară în (adică în sumă și înmulțire cu o funcție scalară), aditivitate în și regula Leibniz standard pentru produsul lui un câmp scalar și un câmp vectorial . În cazul general al câmpurilor tensorale, regula Leibniz este necesară pentru produsul lor tensor. $f$ $D_{v}f$ $v$ $u$ $v$ $v$ $u$ $f$ $u$

În cazul unui câmp vectorial, derivata covariantă în reprezentarea în coordonate poate fi scrisă ca:

D_{j}u^{i}=\partial _{j}u^{i}+\Gamma _{{kj}}^{i}u^{k}

unde este derivata parțială obișnuită în raport cu coordonatele și sunt simbolurile Christoffel . $\partial _{j}u^{i}$ $x^{j}$ $\Gamma _{{kj}}^{i}$

În cazul coordonatelor carteziene, simbolurile Christoffel sunt zero, deci derivata covariantă este egală cu derivata obișnuită.

Derivata covariantă exterioară extinde derivata exterioară la forme cu valori vectoriale.

Derivată în alte ramuri ale matematicii

Derivate în analiza complexă

În analiza complexă (analiza funcțiilor variabilelor complexe), obiectele centrale de studiu sunt funcțiile holomorfe , care sunt funcții cu valori complexe pe planul numerelor complexe și satisfac definiția extinsă corespunzător a diferențiabilității.

Derivata Schwartz descrie modul în care o funcție complexă este aproximată printr-o mapare liniară-fracțională , într-un mod similar cu modul în care derivata obișnuită descrie modul în care o funcție este aproximată printr-o mapare liniară.

Derivate în algebră și geometrie algebrică

O derivație în algebră generală este o mapare liniară pe un inel sau algebră care îndeplinește legea lui Leibniz ( regula produsului ). Ele sunt studiate într-un cadru algebric pur în teoria diferențială Galois , dar apar și în multe alte domenii unde sunt adesea folosite cu definiții algebrice mai puțin riguroase ale derivatelor.

În geometria algebrică Kahler, diferența permite ca definiția derivatei exterioare să fie extinsă la varietăți algebrice arbitrare , în loc de doar varietăți netede .

Alte generalizări

Este foarte posibil să combinați două sau mai multe concepte diferite de extensie sau abstracție a unei derivate simple. De exemplu, geometria Finsler studiază spațiile care arată local ca spații Banach . În acest fel este posibil să se creeze o derivată cu unele caracteristici ale derivatei funcționale și derivatei covariante .

În domeniul grupurilor cuantice , derivata - este deformarea derivatei obișnuite a unei funcții. $q$

Derivate fracționale

Pe lângă derivatele-lea ale oricărui număr natural , folosind diverse metode, este posibil să se introducă derivate în puteri fracționale, obținându-se astfel așa-numitele derivate fracționale . Derivatele ordinelor negative vor corespunde integrării, de unde provine termenul diferintegral . Studiul diferitelor definiții posibile și notare a derivatelor de ordine nenaturale este cunoscut sub numele de calcul fracțional . $n$ $n$

Nevoie de definiție

derivat dini
Calcul matriceal
derivat de Pinkerle
Derivată parametrică
Semidiferentiabilitate

Vezi și

Note

↑ Frölicher, 1970 , p. 131.

Literatură

Frölicher, A., Bucher W. Calcul diferențial în spații vectoriale fără normă. — M .: Mir, 1970.

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare