Hilbert aritmetică scurtă

Versiunea stabilă a fost verificată pe 17 aprilie 2022 . Există modificări neverificate în șabloane sau .

Aritmetica scurtă a lui Hilbert  este un exemplu de semigrup , ilustrând faptul că, pentru a demonstra teorema principală a aritmeticii , este necesar să se folosească nu numai proprietățile înmulțirii , ci și adunării . Acest exemplu se datorează lui David Hilbert [1] .

Definiție

Aritmetica scurtă a lui Hilbert este un set de numere de forma , unde trece prin toate numerele naturale [2] :

Uneori sunt numite numere Hilbert [3] . Pe această mulțime, operația standard de înmulțire poate fi definită corect, deoarece produsul a două numere din mulțime dă din nou un număr din această mulțime: . Astfel, aritmetica Hilbert scurtă este un semigrup .

Primele Hilbert

În aritmetica Hilbert, se pot defini numere prime ( prime Hilbert [a] ) în modul standard: un număr Hilbert este numit prim Hilbert dacă nu este divizibil cu un număr Hilbert mai mic (altul decât ) [5] [6] . Secvența primelor Hilbert începe astfel [7] :

Un prim Hilbert nu este neapărat prim în sensul obișnuit . De exemplu, este compus în numere naturale , deoarece , totuși, este un prim Hilbert, deoarece nici , nici (adică toți divizorii numărului, alții decât și numărul însuși) nu sunt numere Hilbert. Din proprietățile înmulțirii modulo rezultă că primul Hilbert este fie un număr prim al formei (astfel de numere se numesc numere prime pitagorice ) fie un semisimplu al formei .

Nesatisfacerea teoremei fundamentale a aritmeticii

Orice număr Hilbert poate fi descompus într-un produs al primelor Hilbert, totuși, teorema fundamentală a aritmeticii nu este valabilă pentru aritmetica Hilbert scurtă : o astfel de descompunere poate să nu fie unică. De exemplu, este un număr Hilbert, dar se descompune în numere prime Hilbert în două moduri:

.

unde numerele , și sunt prime Hilbert [1] [4] .

Note

Comentarii

  1. ↑ În manualul lui Kostrikin se numesc numere cvasiprime [4] .

Surse

  1. ↑ 1 2 Jikov V. V. Teorema fundamentală a aritmeticii  // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , nr 3 . - S. 113 . Arhivat din original pe 23 noiembrie 2018.
  2. ↑ Secvența OEIS A016813 _
  3. ↑ Flannery S. , Flannery D. În Code: A Mathematical Journey. - Profile Books, 2000. - P. 35.
  4. ↑ 1 2 Kostrikin A. I. Introducere în algebră. - M . : Nauka, 1977. - S. 72-73. — 496 p.
  5. ↑ Don Redmond. Teoria numerelor: o introducere în matematica pură și aplicată . — CRC Press, 1996-04-23. - S. 30. - 784 p.
  6. ↑ James J. Tattersall. Teoria elementară a numerelor în nouă capitole . - Cambridge University Press, 1999-10-14. - S. 84. - 420 p.
  7. ↑ Secvența OEIS A057948 _

Link -uri