Numărul total perfect

Versiunea stabilă a fost verificată pe 29 septembrie 2022 . Există modificări neverificate în șabloane sau .

Un număr total perfect  este un număr întreg care este egal cu suma totalităților sale iterate (valorile funcției Euler). Adică aplicăm funcția Euler numărului n și succesiv tuturor totalităților rezultate până ajungem la numărul 1, adunând succesiv numerele rezultate. Dacă suma este n , atunci n este un număr total perfect. Algebric, dacă

Unde

funcția Euler iterată recursivă și c  este un număr întreg astfel încât

atunci n este un număr totient perfect.

Un număr total perfect este, prin definiție, impar .

Câteva primele numere perfecte

3 , 9 , 15 , 27 , 39 , 81 , 111 , 183 , 243 , 255 , 327 , 363 , 471, 729 , 2187, 2063, 471, 729 , 2187, 2063, … 335, … secvența A082897 în OEIS ).

De exemplu, începând de la 327 calculăm φ(327) = 216, φ(216) = 72, φ(72) = 24, φ(24) = 8, φ(8) = 4, φ(4) = 2, φ( 2) = 1, obținem 216 + 72 + 24 + 8 + 4 + 2 + 1 = 327.

Numere ca a(n)=2^(2^n)-1

Mai multe numere de formă ( secvența OEIS A051179 ), cum ar fi 255 , 65 535 , 4 294 967 295 , și 18 446 744 073 709 551 615 , sunt numere perfecte, total în adunări și totalități. numere întregi maxime fără semn , respectiv variabile de 8, 16, 32 și 64 de biți. Numerele anterioare 3 și 15 din aceeași succesiune sunt, de asemenea, numere perfecte.

Grade de triplu

Se poate observa că multe numere totient perfecte sunt divizibile cu 3. De fapt, numărul 4375 este cel mai mic număr totient perfect care nu este divizibil cu 3. Toate puterile lui 3 sunt numere totient perfecte, care pot fi arătate prin inducție folosind fapt

Venkataraman (1975) a găsit o altă familie de numere totient perfecte - dacă p = 4×3 k +1 este prim, atunci 3 p este un număr totient perfect. Valorile lui k conduc la numere totient perfecte în acest fel:

0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635, ... (secvența A005537 în OEIS ).

Mai general, dacă p este un prim mai mare decât 3 și 3 p este un număr total perfect, atunci p ≡ 1 (mod 4) [1] . Nu toate p de acest fel conduc la numere perfecte. Astfel, 51 nu este un număr total perfect. Ianucci, Deng și Cohen [2] au arătat că dacă 9 p este un număr total perfect, atunci p este prim și are una dintre cele trei forme enumerate în articol. Nu se știe dacă există numere perfecte totient de forma 3 k p , unde p este prim și k > 3.

Note

  1. ↑ Mohan, Suryanarayana, 1982 , p. 101–105.
  2. ↑ Iannucci, Deng, Cohen, 2003 , p. 03.4.5.

Literatură

Notă : articolul original include material din articolul Perfect Totient Number de la PlanetMath sub o licență Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported.