Număr ciclic

Un număr ciclic  este un număr întreg ale cărui permutări ciclice ale cifrelor sunt produsele acestui număr prin numere succesive. Cel mai faimos exemplu al unui astfel de număr este 142857 :

142857 × 1 = 142857 142857 × 2 = 285714 142857 × 3 = 428571 142857 × 4 = 571428 142857 × 5 = 714285 142857 × 6 = 857142

Detalii

Pentru ca un număr să fie ciclic, este necesar ca înmulțirea cu numere succesive să dea permutări ale cifrelor numărului. Astfel, numărul 076923 nu este considerat ciclic deoarece, deși toate permutările ciclice sunt produsul numărului de unii factori întregi , acești factori nu sunt numere întregi consecutive :

076923 × 1 = 076923 076923 × 3 = 230769 076923 × 4 = 307692 076923 × 9 = 692307 076923 × 10 = 769230 076923 × 12 = 923076

Următoarele cazuri tipice sunt de obicei excluse:

1. O singură cifră, de exemplu 5
2. repetarea numerelor precum 555
3. repetarea numerelor ciclice precum 142857142857

Dacă zerourile nu sunt permise în numere , atunci 142857 este singurul număr ciclic în notație zecimală , așa cum este determinat de structura numerică necesară descrisă în secțiunea următoare. Dacă sunt permise zerouri înainte, succesiunea numerelor ciclice începe cu:

(10 6 −1) / 7 = 142857 (6 cifre) (10 16 −1) / 17 = 0588235294117647 (16 cifre) (10 18 −1) / 19 = 052631578947368421 (18 cifre) (10 22 −1) / 23 = 0434782608695652173913 (22 de cifre) (10 28 −1) / 29 = 0344827586206896551724137931 (28 de cifre) (10 46 −1) / 47 = 0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 de cifre) (10 58 −1) / 59 = 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 de cifre) (10 60 −1) / 61 = 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 de cifre) (10 96 −1) / 97 = 0103092783505154639175257731958762886597938144329896907216494845360824742268041865979381443298969072164948453608247422680418659793814432989690721649484536082474226804186576804186567680418969

Relația cu numerele zecimale repetate

Numerele ciclice sunt legate de fracții zecimale periodice de unu . Un număr ciclic de lungime L are o reprezentare zecimală

1/( L + 1).

În schimb, dacă perioada zecimală a numărului 1 / p (unde p este prim) este [1]

p - 1

atunci cifrele reprezintă un număr ciclic.

De exemplu:

1/7 = 0,142857 142857….

Înmulțirea acestei fracții dă o permutare ciclică:

1/7 = 0,142857 142857... 2/7 = 0,285714 285714... 3/7 = 0,428571 428571... 4/7 = 0,571428 571428... 5/7 = 0,714285 714285... 6/7 = 0,857142 857142….

Formatul numeric ciclic

Folosind legătura cu fracțiile de unu, se poate demonstra că numerele ciclice au forma coeficientului lui Fermat

,

unde b  este baza sistemului numeric (10 pentru zecimal ) și p  este un prim care nu împarte b . (Primele p care formează numere ciclice în baza b se numesc numere prime complete repetate sau numere prime lungi în baza b [2] ).

De exemplu, pentru b = 10, p = 7 dă numărul ciclic 142857, iar pentru b = 12, p = 5 dă numărul ciclic 2497.

Nu toate valorile p dau numere ciclice conform acestei formule. De exemplu, pentru b = 10, p = 13 dă 076923076923 10 , iar pentru b = 12, p = 19 dă 076B45076B45076B45 12 . Aceste numere nu sunt ciclice deoarece constau în secvențe repetate.

Primele p valori pentru care formula furnizează numere ciclice în zecimală de bază ( b = 10) ( secvența OEIS A001913 )

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 3, 257, 3, 3, 2, 3, 6 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 647, 659, 71, 7, 7, 7, 8 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, …

Pentru b = 12 ( duozecimal ) aceste valori p sunt (secvența A019340 în OEIS )

5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 223, 257, 223, 257, 8, 2, 8, 2, 2 317, 353, 367, 379, 389, 401, 449, 461, 509, 523, 547, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 619. 761, 773, 787, 797, 809, 821, 857, 881, 929, 953, 967, 977, 991, …

Pentru b = 2 ( binar ) aceste valori p sunt (secvența A001122 în OEIS )

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 197, 2, 2, 2 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, …

Pentru b = 3 ( ternar ), aceste valori p sunt (secvența A019334 în OEIS )

2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 2112, 3, 212, 3, 2, 3 269, 281, 283, 293, 317, 331, 353, 379, 389, 401, 449, 461, 463, 487, 509, 521, 557, 569, 571, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7 677, 691, 701, 739, 751, 773, 797, 809, 811, 821, 823, 857, 859, 881, 907, 929, 941, 953, 977, …

Nu există astfel de numere p în hexazecimal .

Scheme cunoscute pentru astfel de secvențe sunt obținute din teoria numerelor algebrice , și anume, această secvență este mulțimea de numere prime p astfel încât b este o rădăcină primitivă modulo p .

Construcția numerelor ciclice

Numerele ciclice pot fi obținute prin următoarea procedură :

Fie b  baza sistemului numeric (10 pentru numere zecimale)
Fie p  un număr prim care nu este un divizor al lui b .
Fie t = 0.
Fie r = 1.
Fie n = 0.
ciclu:

Fie t = t + 1 Fie x = r b _ Să punem d = parte întreagă ( x / p ) Fie r = x mod p Fie n = n b + d _ Dacă r ≠ 1, mergeți la începutul buclei.

Dacă t = p − 1, atunci n este un număr ciclic.

Procedura funcționează prin calcularea cifrelor fracției 1/ p la baza b folosind împărțirea printr-un algoritm de coloană . La fiecare pas , r este restul și d este următoarea cifră.

Etapa

n = n b + d _

furnizează pur și simplu ansamblul cifrelor unui număr. Pentru computerele care nu sunt capabile să calculeze numere întregi foarte mari, aceste numere pot fi pur și simplu tipărite sau colectate într-un alt mod.

Rețineți că atunci când t atinge limita p /2, numărul rezultat trebuie să fie ciclic și nu este nevoie să calculați alte cifre.

Proprietățile numerelor ciclice

Notă : Sub indicele înseamnă bază. Deci, 142 10 înseamnă numărul 142 în baza 10, iar 142 5 înseamnă numărul 142 în baza 5 (adică 47 10 ).

• Dacă înmulțim un număr cu un prim generator, obținem șirul de cifre’ baza −1’ (9 în cazul unei baze zecimale). 142857 10  × 7 = 999999 10 .
• Dacă împărțim numărul în grupuri de cifre (două, trei, patru, etc.) și apoi adunăm numerele rezultate, obținem secvențe de nouă. 14 + 28 + 57 = 99 , 142 + 857 = 999 , 1428 + 5714+ 2857 = 9999 etc... (Acesta este un caz special al teoremei lui Midi .)
• Toate numerele ciclice sunt divizibile cu ́ baza −1' (9 în cazul bazei zecimale).

Câte numere ciclice?

Numărul de numere ciclice care nu depășește 10 n pentru n natural formează o secvență (secvența A086018 în OEIS ):

1, 9, 60, 467, 3617, 25883, 248881, 2165288, 19016617…

S-a emis ipoteza (nedemonstrată încă) că există o mulțime infinită de numere ciclice [2] . Conform conjecturii lui Emil Artin [3] , această secvență conține 37,395..% din numere prime (pentru b din șirul A085397; secvența A085397 în OEIS ).

Alte sisteme numerice

Folosind tehnica de mai sus, puteți găsi numere ciclice în alte sisteme numerice.

În binar, succesiunea numerelor ciclice începe cu: (secvența A001122 în OEIS )

11 2 =3 10 → 01 2 101 2 = 5 10 → 0011 2 1011 2 = 11 10 → 0001011101 2 1101 2 = 13 10 → 000100111011 2 10011 2 =19 10 → 000011010111100101 2 11101 2 =29 10 → 0000100011010011110111001011 2 100101 2 = 37 10 → 000001101110101100111110010001010011 2

În ternar : (secvența A019334 în OEIS )

2 3 =2 10 → 1 3 12 3 = 5 10 → 0121 3 21 3 = 7 10 → 010212 3 122 3 = 17 10 → 0011202122110201 3 201 3 =19 10 → 001102100221120122 3 1002 3 = 29 10 → 0002210102011122200121202111 3 1011 3 = 31 10 → 0002121112210202222010111001202 3

În sistemul cuaternar:

(fără numere ciclice)

În quinar: (secvența A019335 în OEIS )

2 5 = 2 10 → 2 5 3 5 = 3 10 → 13 5 12 5 = 7 10 → 032412 5 32 5 = 17 10 → 0121340243231042 5 43 5 = 23 10 → 0102041332143424031123 5 122 5 = 37 10 → 003142122040113342441302322404331102 5 133 5 = 43 10 → 002423141223434043111442021303221010401333 5

În hexazecimal: (secvența A167794 în OEIS )

15 6 = 11 10 → 0313452421 6 21 6 = 13 10 → 024340531215 6 25 6 = 17 10 → 0204122453514331 6 105 6 = 41 10 → 0051335412440330234455042201431152253211 6 135 6 = 59 10 → 0033544402235104134324250301455220111533204514212313052541 6 141 6 = 61 10 → 003312504044154453014342320220552243051511401102541213235335 6 211 6 =79 10 → 002422325434441304033512354102140052450553133230121114251522043201453415503105

În septenar: (secvența A019337 în OEIS )

2 7 = 2 10 → 3 7 5 7 = 5 10 → 1254 7 14 7 = 11 10 → 0431162355 7 16 7 = 13 10 → 035245631421 7 23 7 = 17 10 → 0261143464055232 7 32 7 = 23 10 → 0206251134364604155323 7 56 7 = 41 10 → 0112363262135202250565543034045314644161 7

În octal : (secvența A019338 în OEIS )

3 8 = 3 10 → 25 8 5 8 = 5 10 → 1463 8 13 8 = 11 10 → 0564272135 8 35 8 = 29 10 → 0215173454106475626043236713 8 65 8 = 53 10 → 0115220717545336140465103476625570602324416373126743 8 73 8 = 59 10 → 0105330745756511606404255436276724470320212661713735223415 8 123 8 = 83 10 → 0061262710366576352321570224030531344173277165150674112014254562075537472464336045

În sistem zecimal:

2 9 = 2 10 → 4 9 (nu altele)

În Unix 11: (secvența A019339 în OEIS )

2 11 = 2 10 → 5 11 3 11 = 3 10 → 37 11 12 11 = 13 10 → 093425A17685 11 16 11 = 17 10 → 07132651A3978459 11 21 11 = 23 10 → 05296243390A581486771A 11 27 11 = 29 10 → 04199534608387A69115764A2723 11 29 11 = 31 10 → 039A32146818574A71078964292536 11

În duozecimal : (secvența A019340 în OEIS )

5 12 = 5 10 → 2497 12 7 12 = 7 10 → 186A35 12 15 12 = 17 10 → 08579214B36429A7 12 27 12 = 31 10 → 0478AA093598166B74311B28623A55 12 35 12 = 41 10 → 036190A653277397A9B4B85A2B15689448241207 12 37 12 = 43 10 → 0342295A3AA730A068456B879926181148B1B53765 12 45 12 = 53 10 → 02872B3A23205525A784640AA4B9349081989B6696143757B117 12

Treisprezece: (secvența A019341 în OEIS )

2 13 = 2 10 → 6 13 5 13 = 5 10 → 27A5 13 B 13 = 11 10 → 12495BA837 13 16 13 = 19 10 → 08B82976AC414A3562 13 25 13 = 31 10 → 055B42692C21347C7718A63A0AB985 13 2B 13 = 37 10 → 0474BC3B3215368A25C85810919AB79642A7 13 32 13 = 41 10 → 04177C08322B13645926C8B550C49AA1B96873A6 13

Hexazecimal : (secvența A019342 în OEIS )

3 14 = 3 10 → 49 14 13 14 = 17 10 → 0B75A9C4D2683419 14 15 14 = 19 10 → 0A45C7522D398168BB 14 19 14 = 23 10 → 0874391B7CAD569A4C2613 14 21 14 = 29 10 → 06A89925B163C0D73544B82C7A1D 14 3B 14 = 53 10 → 039AB8A075793610B146C21828DA43253D6864A7CD2C971BC5B5 14 43 14 = 59 10 → 03471937B8ACB5659A2BC15D09D74DA96C4A62531287843B21C80D4069 14

Hexazecimal : (secvența A019343 în OEIS )

2 15 = 2 10 → 7 15 D 15 = 13 10 → 124936DCA5B8 15 14 15 = 19 10 → 0BC9718A3E3257D64B 15 18 15 = 23 10 → 09BB1487291E533DA67C5D 15 1E 15 = 29 10 → 07B5A528BD6ACDE73949C6318421 15 27 15 = 37 10 → 061339AE2C87A8194CE8DBB540C26746D5A2 15 2B 15 = 41 10 → 0574B51C68BA922DD80AE97A39D286345CC116E4 15

În hexazecimal :

(fără numere ciclice)

Hexazecimal : (secvența A019344 în OEIS )

2 17 = 2 10 → 8 17 3 17 = 3 10 → 5B 17 5 17 = 5 10 → 36DA 17 7 17 = 7 10 → 274E9C 17 B 17 = 11 10 → 194ADF7C63 17 16 17 = 23 10 → 0C9A5F8ED52G476B1823BE 17 1E 17 = 31 10 → 09583E469EDC11AG7B8D2CA7234FF6 17

Hexazecimal : (secvența A019345 în OEIS )

5 18 = 5 10 → 3AE7 18 B 18 = 11 10 → 1B834H69ED 18 1B 18 = 29 10 → 0B31F95A9GDAE4H6EG28C781463D 18 21 18 = 37 10 → 08DB37565F184FA3G0H946EACBC2G9D27E1H 18 27 18 = 43 10 → 079B57H2GD721C293DEBCHA86CA0F14AFG5F8E4365 18 2H 18 = 53 10 → 0620C41682CG57EAFB3D4788EGHBFH5DGB9F51CA3726E4DA9931 18 35 18 =59 10 → 058F4A6CEBAC3BG30G89DD227GE0AHC92D7B53675E61EH19844FFA13H7 18

Hex : (secvența A019346 în OEIS )

2 19 = 2 10 → 9 19 7 19 = 7 10 → 2DAG58 19 B19 = 1110 → 1DFA6H538C 19 D 19 = 13 10 → 18EBD2HA475G 19 14 19 = 23 10 → 0FD4291C784I35EG9H6BAE 19 1A 19 = 29 10 → 0C89FDE7G73HD1I6A9354B2BF15H 19 1I 19 = 37 10 → 09E73B5C631A52AEGHI94BF7D6CFH8DG8421 19

În vigesimal : (secvența A019347 în OEIS )

3 20 = 3 10 → 6D 20 D 20 = 13 10 → 1AF7DGI94C63 20 H 20 = 17 10 → 13ABF5HCIG984E27 20 13 20 = 23 10 → 0H7GA8DI546J2C39B61EFD 20 1H 20 = 37 10 → 0AG469EBHGF2E11C8CJ93FDA58234H5II7B7 20 23 20 = 43 10 → 0960IC1H43E878GEHD9F6JADJ17I2FG5BCB3526A4D 20 27 20 = 47 10 → 08A4522B15ACF67D3GBI5J2JB9FEHH8IE974DC6G381E0H 20

În sistem cu 21 de zecimale: (secvența A019348 în OEIS )

2 21 = 2 10 → A 21 J 21 = 19 10 → 1248HE7F9JIGC36D5B 21 12 21 = 23 10 → 0J3DECG92FAK1H7684BI5A 21 18 21 = 29 10 → 0F475198EA2IH7K5GDFJBC6AI23D 21 1A 21 = 31 10 → 0E4FC4179A382EIK6G58GJDBAHCI62 21 2B 21 = 53 10 → 086F9AEDI4FHH927J8F13K47B1KCE5BA672G533BID1C5JH0GD9J 21 38 21 = 71 10 → 06493BB50C8I721A13HFE42K27EA785J4F7KEGBH99FK8C2DIJAJH356GI0ID6ADCF1G5D 21

În sistem cu 22 de zecimale: (secvența A019349 în OEIS )

5 22 = 5 10 → 48HD 22 H 22 = 17 10 → 16A7GI2CKFBE53J9 22 J 22 = 19 10 → 13A95H826KIBCG4DJF 22 19 22 = 31 10 → 0FDAE45EJJ3C194L68B7HG722I9KCH 22 1F 22 = 37 10 → 0D1H57G143CAFA2872L8K4GE5KHI9B6BJDEJ 22 1J 22 = 41 10 → 0BHFC7B5JIH3GDKK8CJ6LA469EAG234I5811D92F 22 23 22 = 47 10 → 0A6C3G897L18JEB5361J44ELBF9I5DCE0KD27AGIFK2HH7 22

În sistem cu 23 de zecimale: (secvența A019350 în OEIS )

2 23 = 2 10 → B 23 3 23 =3 10 → 7F ​​​​23 5 23 = 5 10 → 4DI9 23 H 23 = 17 10 → 182G59AILEK6HDC4 23 21 23 = 47 10 → 0B5K1AHE496JD4KCGEFF3L0MBH2LC58IDG39I2A6877J1M 23 2D 23 = 59 10 → 08M51CJK65AC1LJ27I79846E9H3BFME0HLA32GHCAL13KF4FDEIG8D5JB7 23 3K 23 = 89 10 → 05LG6ADG0BK9CL4910HJ2J8I21CF5FHD4327B8C3864EMH16GC96MB2DA1IDLM53K3E4KLA7H759IJKFBEAJEGI8 23

În sistem cu 24 de zecimale: (secvența A019351 în OEIS )

7 24 = 7 10 → 3A6KDH 24 B 24 = 11 10 → 248HALJF6D 24 D 24 = 13 10 → 1L795CM3GEIB 24 H 24 = 17 10 → 19L45FCGME2JI8B7 24 17 24 = 31 10 → 0IDMAK327HJ8C96N5A1D3KLG64FBEH 24 1D 24 = 37 10 → 0FDEM1735K2E6BG54CN8A91MGKI3L9HC7IJB 24 1H 24 = 41 10 → 0E14284G98IHDB2M5KBGN9MJLFJ7EF56ACL1I3C7 24

În sistemul de 25 de ani:

2 25 = 2 10 → C 25 (nu altele)

Rețineți că pentru o bază ternară ( b = 3) cazul p = 2 dă 1, care după reguli nu este un număr ciclic (caz trivial, o cifră). Aici, acest caz este dat pentru completitudinea teoriei că toate numerele sunt obținute în acest fel.

Se poate demonstra că numerele ciclice (altele decât cazurile triviale cu o cifră) nu există în sistemele de numere bazate pe pătrat, adică bazele 4, 9, 16, 25 etc.

Vezi și

• Fracție periodică
• Mica Teoremă a lui Fermat
• Permutarea ciclică a cifrelor numerelor întregi

Note

1. ↑ Gardner, 2009 , p. 114.
2. ↑ 1 2 Vasilenko .
3. ↑ Artin's Constant - de la Wolfram MathWorld

Literatură

• S.L. Vasilenko. Modele ascunse ale formelor numerice ciclice . (nedefinit)
• Martin Gardner. Circul matematic: mai multe puzzle-uri, jocuri, paradoxuri și alte distracții matematice de la Scientific American. New York: The Mathematical Association of America, 1979. pp. 111–122.
  • Martin Gardner. Cele mai bune jocuri și puzzle-uri de matematică (sau un adevărat circ matematic). - Moscova: AST Astrel, 2009. - S. 111–121. - ISBN 978-5-17-058244-0 ; 978-5-271-23247-3; UDC 159,9 BBK 88,37.

Lectură pentru lecturi suplimentare

• Dan Kalman. Fracții cu modele de cifre pentru ciclism  // The College Mathematics Journal. - 1996. - Martie ( vol. 27 , numărul 2 ). — S. 109–115 .
• John Leslie. Filosofia aritmeticii: Prezentarea unei perspective progresive asupra teoriei și practicii lui .... . - Longman, Hurst, Rees, Orme, Brown, 1820. - ISBN 1-4020-1546-1 .
• David Wells. Dicționarul Pinguin al numerelor curioase și interesante . — Penguin Press. — ISBN 0-14-008029-5 .

Link -uri

• Weisstein, Eric W. Numărul ciclic  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
• Youtube: „Numere ciclice - Numberphile”

Clase de numere naturale
Puteri și numere aferente	Ahile Gradul 2 10 grade 12 grade pătrate Cuba gradul al patrulea Gradul al cincilea Gradul perfect Multiplu complet Puterea unui număr prim
Numerele de forma a × 2 b ± 1	Cullen Numerele Mersenne duble Numerele fermei Mersenne Catalana - Mersenne Prota Sabita Woodala
Alte numere polinomiale	Carola Gilbert Numerele potrivite Kenya Leyland Numerele norocoase ale lui Euler Se repune
Numere definite recursiv	Fibonacci Jacobsthal Leonardo Luca Secvența Padovan Pella Perrina
Seturi de numere cu proprietăți specifice	Knodel Riesel Sierpinsky
Exprimat în termeni de sume	Non-ipotenuză Practic Principalul semisimplu Ulama Wolsenholm
Obținut cu o sită	numere norocoase
Coduri înrudite _	Mirtens
numere ondulate	2-dimensională centrat _ triunghiular pătrat pentagonal hexagonal heptagonală octogonală neunghiulară decagonală stelat decentrat _ triunghiular pătrat triunghiular pătrat hexagonal octogonală 3 dimensionale centrat _ tetraedric cub octaedric dodecaedral icosaedric decentrat _ tetraedric octaedric dodecaedral icosaedric Steaua-octaedrică piramidal _ pătrat pentagonal hexagonal heptagonală 4-dimensională centrat _ pentachoric triunghiular într-un pătrat decentrat _ pentatop
Pseudosimple	Carmichael Catalana eliptic Euler Euler-Jacobi Fermă Frobenius Luca Somera - Luca puternic pseudosimplu
numere combinatorii	Numerele clopoțelului numere de tort Catalana Dedekind Delanoya Euler Fussa - Catalana poligonal central Lobba numere Motzkin Narayana Numărul de comenzi de Bell numerele Schroeder Schroeder - Hipparchus
Funcții aritmetice	σ( n ) redundant aproape perfect aritmetic colosal de redundant Descartes numere hemiperfecte numere extrem de redundante numere cu componente înalte numere hiperperfecte numere multiperfecte comise practic redundant primitiv usor redundante numerele tau numere maiestuoase numere supraabundente numere supercompozite numere superperfecte Ω( n ) aproape simplu semisimplu φ( n ) foarte covalent înalt cu răbdare perfect totient uşor toţios s( n ) prietenos logodit insuficient semi-perfect Euclid numere de avere
Prin divizori	Viferikha Fibonacci - Viferiha Wolstenholm Wilson
Alți divizori primi sau legați de divizibilitate	a inflori Erdős - Pădure coprime prietenos modest Jugi Numerele de minereu Luca - Carmichael dreptunghiular regulat k-dur neted convivial sfenic Sturmer Numerele Super Poole Zeisel
Matematică distractivă	Sisteme numerice număr automorf ciclic Osiris Dudeni cifre egale extravagant Factorion Friedman multumit Nivena Kita Lichrel suma cu cifra lipsă Armstrong palindromic pandigitală parazitar dăunătoare magic primitiv repdigits reunește autogenerat autodescriptivă Smarandsha - Wellena strict non-palindromic schimbatoare deplasare trimorf ondulat vampiri secvența Aronson numere de clătite