Curba Viviani

Curba Viviani este o curbă tridimensională, intersecția unui cilindru circular cu o sferă centrată pe suprafața cilindrului și cu o rază egală cu diametrul cilindrului.

Numit după Vincenzo Viviani , care a făcut un studiu detaliat al acestei curbe în 1692 și a observat pentru prima dată că cele două regiuni delimitate de ea pe emisferă admit o cuadratura simplă : aria lor totală este astfel încât suprafața părții rămase a emisferei este egală. la aria pătratului construit pe diametrul sferei [1 ] . Înainte de Viviani, această curbă a fost studiată de De la Loubert, Simon și Gilles Roberval (1666).

Ecuații

Curba Viviani este linia de intersecție a suprafeței cilindrului $(xa)^{2}+y^{2}=a^{2}$

cu o sferă de două ori mai mare decât raza, al cărei centru se află pe suprafața cilindrului:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\cdot a^{2}\,.

Ecuație parametrică: $\left(a\cdot (1+\cos t),\ a\cdot \sin t,\ 2\cdot a\cdot \sin {\tfrac {t}{2}}\right).$

Ecuații de proiecție pe plan , , : $(x\,y)$ $(y\,z)$ $(x\,z)$ $x(z)=2\,r-{\dfrac {z^{2}}{2\,r}}\,,$ $y(z)=\pm z\,{\sqrt {1-{\dfrac {z^{2}}{4\,r^{2}}}}}\,,$ $y(x)=\pm {\sqrt {x(2\,rx)))\,,$ $z(x)=\pm {\sqrt {2\,r\,(2\,rx)))\,,$ $x(y)=r\pm {\sqrt {r^{2}-y^{2))}\,,$ $z(y)=\pm {\sqrt {2\,r^{2}\pm 2\,r\,{\sqrt {r^{2}-y^{2))))}\ ,.$

Proprietăți

Proiecția curbei Viviani pe tangenta comună a cilindrului și sferei este lemniscata lui Gerono .
Curba Viviani de pe emisfera care intersectează cilindrul separă două regiuni astfel încât aria părții rămase a emisferei este egală cu aria pătratului construit pe diametrul sferei.

Dovada Aflați aria suprafeței delimitată de curba Viviani integrând în coordonate .

f(x,y)={\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2)))

(x\,y)

Suprafața este determinată în mod obișnuit prin integrală:

S_{\text{VC}}=\int \limits _{\Omega }{\sqrt {1+\left({\dfrac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2 }+\left({\dfrac {\partial z}{\partial y))\right)^{2))}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,,

unde este regiunea mărginită de curba Viviani.

\Omega

Să calculăm integrandul:

{\sqrt {1+\left({\dfrac {\partial z}{\partial x)}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial y} }\right)^{2))}={\dfrac {2\,r}{\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2))))\,.

Continuând calculul și ținând cont de simetria regiunii de integrare față de axă (obținând astfel patru părți identice), găsim:

X\,

S_{\text{VC}}=4\cdot 2\,r\,\int \limits _{0}^{2\,r}\mathrm {d} x\int \limits _{0} ^{\sqrt {x\,(2\,rx)}}\mathrm {d} y\,{\dfrac {1}{\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y ^{2))))=8\,r\int \limits _{0}^{2\,r}\mathrm {d} x\,\mathrm {arctg} {\sqrt {\dfrac {x}{ 2\,r}}}=8\,r\,(-2\,r+4\,r\,\mathrm {arctg} \,1)=8\,\pi \,r^{2}- 16\,r^{2}={\dfrac {1}{2}}\,\pi \,(4\,r)^{2}-(4\,r)^{2}\,.

Primul termen din expresia rezultată este aria unei emisfere cu diametru , al doilea termen este aria unui pătrat cu o latură egală cu același diametru.

4\,r

Astfel, diferența dintre zonele emisferei și suprafața luată în considerare este egală cu aria pătratului construit pe diametrul sferei:

S_{\text{emisferă}} -S_{\text{VC}}=(4\,r)^{2}\,,

Q.E.D.

Literatură

Berger M. Geometrie, vol. 1-2. M: Mir, 1984.
Loria G. Curve sghembe speciali, Ed. Zanichelli, Bologna, 1925.
Roero CS L'intérêt international d'un problème propus de Viviani, Actes de l'Univ. d'Été Hist. des Math., IREM Toulouse, 1986.
Roero CS Provocarea italiană la calculul leibnitzian în 1692. Leibnitz și Viviani: o comparație a două epistemologii, V Int. Congresul Leibnitz, Hanovra, 1988.

Note

↑ Fâșia Mobius și ferestrele lui Viviani . Preluat la 15 august 2017. Arhivat din original la 8 martie 2014. (nedefinit)

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius