Fractal circular

Un fractal circular este o clasă de fractali  geometrici (constructivi) (vezi, de exemplu, [1] [2] ) construite prin înscrierea în mod repetat a altor cercuri cu rază mai mică într-un cerc. (vezi Fig. 1a, 1b, 1c).

Aplicație

Fractalii circulari constructivi pot fi utilizați ca modele ale diferitelor structuri naturale în chimie, biologie, tehnologia materialelor, etc. Fractalii de acest tip au fost propuși în [3] [4] ca modele de clustere de tuburi de flux magnetic în straturile superioare ale convectivei solare. zona. Au fost luate în considerare și structuri mai complexe de acest fel, de exemplu, fractali circulari cu elemente suprapuse care simulează tuburi de flux magnetic răsucite [5] , vezi și [6] [7] [8] . De asemenea, este posibil să se construiască structuri multifractale de acest tip pentru modelarea structurilor mai complexe. Spre deosebire de covoarele Sierpinski , astfel de fractali nu sunt construiti din dreptunghiulare sau triunghiulare, ci din elemente circulare.

Primele trei dintr-o succesiune potențial infinită de astfel de fractali circulari sunt prezentate în Fig. 1a, 1b și 1c.

Pentru a calcula dimensiunile Hausdorff ( d ) ale acestor obiecte, puteți folosi formula binecunoscută pentru fractali constructivi: . În cazul Fig. 1a, valoarea n =3. Parametrul a este raportul dintre lungimile caracteristice ale scalelor adiacente. În acest caz, este ; unde  este raza cercului mai mare,  este raza cercului scalei mai mici vecine. Din considerații geometrice simple, găsim: a = 0,4641. Înlocuind aceste valori în formulă, obținem d≈1,43. Pentru varianta din fig. 1b, respectiv, n=4, a=0,4142…, d≈1,57… 1c, avem: n=7, a=1/3 și, dimensiunea d≈1,77… Creșterea numărului de cercuri înscrise, obținem o succesiune infinită de obiecte fractale, cu dimensiunile Hausdorff d → 2.

Exemplu

Șapte cercuri cu raza R/3 sunt înscrise într-un cerc cu raza R în așa fel încât toate să se atingă, dar să nu se intersecteze. În fiecare dintre aceste șapte cercuri sunt înscrise șapte cercuri R/9 și așa mai departe.

Note

  1. ↑ Morozov A. D. Introducere în teoria fractalilor. - Moscova-Ijevsk. Institutul de Cercetări Informatice, 2002, 160 p.
  2. ↑ Bozhokin S. V., Parshin D. A. Fractali și multifractali. — Izhevsk. Centrul de Cercetare „Dinamica regulată și haotică”, 2001, 128 p.
  3. ↑ Chumak O. V. Dimensiunile fractale ale asociațiilor MFT. - Circulară Astronomică, Nr. 1546, 1990
  4. ↑ Chumak O. V. Entropia și fractalii în analiza datelor. - M.-Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”, 2011, 164p.
  5. ↑ Chumak O. V. Fractali auto-similari cu elemente suprapuse ca model de structuri magnetice fotosferice. - Circulară Astronomică, Nr. 1546, 1990
  6. ↑ Chumak OV, Zhang H. - Relația mărime-flux în regiunile active. — Jurnalul chinez Astron. şi Astroph., voi. 3, nr. 2, 2003, pp. 175-182
  7. ↑ Chumak O. V. Dimensiuni fractale și relații „zonă-flux” pentru câmpurile magnetice locale de pe Soare. - Circulară Astronomică Nr. 1545, 1990.
  8. ↑ Chumak O. - Structuri auto-similare și auto-afine în datele observaționale privind activitatea solară - Asrton&Astroph. Trans. V. 24, nr. 2, 2005, pp. 93-99

Literatură