Spirala arhimediană

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 aprilie 2021; verificările necesită 4 modificări .

O spirală arhimediană  este o spirală , o curbă plană , o traiectorie a punctului M (vezi Fig. 1), care se deplasează uniform de-a lungul razei OV cu începutul la O , în timp ce raza OV însăși se rotește uniform în jurul O. Cu alte cuvinte, distanța ρ = OM este proporțională cu unghiul de rotație φ al fasciculului OV . Rotirea razei OV cu același unghi corespunde aceluiași increment ρ.

Proprietățile acestei spirale sunt descrise de savantul grec antic Arhimede în eseul său „ On Spirals ”.

Descriere

Ecuația spiralei arhimediene în sistemul de coordonate polare se scrie după cum urmează:

(unu)  

unde k  este deplasarea punctului M de-a lungul razei r când este rotit printr-un unghi egal cu un radian.

Rotirea dreptei pe corespunde deplasării a = | bm | = | MA | = . Numărul a  se numește „ pasul helixului ”. Ecuația spiralei arhimediene poate fi rescrisă după cum urmează:

Când fasciculul se rotește în sens invers acelor de ceasornic, se obține o spirală dreaptă (linia albastră) (vezi Fig. 2), când este rotită în sensul acelor de ceasornic se obține o spirală stânga (linie verde).

Ambele ramuri ale spiralei (dreapta și stânga) sunt descrise de o singură ecuație (1). Valorile pozitive corespund helixului drept, valorile negative helixului stâng. Dacă punctul M se deplasează de-a lungul liniei UV de la valori negative prin centrul de rotație O și mai departe la valori pozitive, de-a lungul liniei UV, atunci punctul M va descrie ambele ramuri ale spiralei.

Raza OV, trasă din punctul de plecare O, traversează spirala de un număr infinit de ori - punctele B, M, A și așa mai departe. Distanțele dintre punctele B și M, M și A sunt egale cu pasul helixului . Când spirala se derulează, distanța de la punctul O la punctul M tinde spre infinit, în timp ce pasul spiralei rămâne constant (finit), adică cu cât mai departe de centru, cu atât spirele în formă de spirală se apropie de un cerc. .

Zona sectorului

Zona sectorului OCM :

,

unde , , .

Pentru , , , formula (2) oferă aria figurii delimitată de prima tură a spiralei și a segmentului CO:

,

unde  este aria unui cerc a cărui rază este egală cu pasul spiralei - .

Toate aceste proprietăți și ecuații au fost descoperite de Arhimede .

Calcularea lungimii arcului unei spirale arhimedice

Un segment infinit de mic al arcului este (vezi Fig. 3):

,

unde  este incrementul razei , când unghiul este incrementat cu . Pentru o creștere infinit de mică a unghiului , este adevărat:

.

De aceea:

precum şi

sau

.

Lungimea arcului este egală cu integrala de la până la în intervalul de la până la :

. [unu]

Generalizare tridimensională

O generalizare tridimensională a spiralei arhimediene poate fi considerată proiecția unei spirale conice pe un plan perpendicular pe axa conului.

Note

  1. ^ Weisstein , Spirala lui Eric W. Archimedes pe site-ul Wolfram MathWorld . 

Link -uri