Spirala arhimediană

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 aprilie 2021; verificările necesită 4 modificări .

O spirală arhimediană este o spirală , o curbă plană , o traiectorie a punctului M (vezi Fig. 1), care se deplasează uniform de-a lungul razei OV cu începutul la O , în timp ce raza OV însăși se rotește uniform în jurul O. Cu alte cuvinte, distanța ρ = OM este proporțională cu unghiul de rotație φ al fasciculului OV . Rotirea razei OV cu același unghi corespunde aceluiași increment ρ.

Proprietățile acestei spirale sunt descrise de savantul grec antic Arhimede în eseul său „ On Spirals ”.

Descriere

Ecuația spiralei arhimediene în sistemul de coordonate polare se scrie după cum urmează:

(unu)

\rho =k\varphi ,

unde k este deplasarea punctului M de-a lungul razei r când este rotit printr-un unghi egal cu un radian.

Rotirea dreptei pe corespunde deplasării a = | bm | = | MA | = . Numărul a se numește „ pasul helixului ”. Ecuația spiralei arhimediene poate fi rescrisă după cum urmează: $2\pi$ $2k\pi$

\rho ={\frac {a}{2\pi }}\varphi .

Când fasciculul se rotește în sens invers acelor de ceasornic, se obține o spirală dreaptă (linia albastră) (vezi Fig. 2), când este rotită în sensul acelor de ceasornic se obține o spirală stânga (linie verde).

Ambele ramuri ale spiralei (dreapta și stânga) sunt descrise de o singură ecuație (1). Valorile pozitive corespund helixului drept, valorile negative helixului stâng. Dacă punctul M se deplasează de-a lungul liniei UV de la valori negative prin centrul de rotație O și mai departe la valori pozitive, de-a lungul liniei UV, atunci punctul M va descrie ambele ramuri ale spiralei. $\varphi$

Raza OV, trasă din punctul de plecare O, traversează spirala de un număr infinit de ori - punctele B, M, A și așa mai departe. Distanțele dintre punctele B și M, M și A sunt egale cu pasul helixului . Când spirala se derulează, distanța de la punctul O la punctul M tinde spre infinit, în timp ce pasul spiralei rămâne constant (finit), adică cu cât mai departe de centru, cu atât spirele în formă de spirală se apropie de un cerc. . $a=2k\pi$

Zona sectorului

Zona sectorului OCM : $S$

\stanga(2\dreapta)

S={\frac {1}{6}}\varphi \left(\rho ^{2}+\rho \rho '+\rho '^{2}\right)

unde , , . $\rho=OC$ $\rho '=OM$ $\varphi=\angle COM$

Pentru , , , formula (2) oferă aria figurii delimitată de prima tură a spiralei și a segmentului CO: $\rho=0$ $\rho '=a$ $\varphi=2\pi$

S_{1}={\frac {1}{3}}\pi a^{2}={\frac {1}{3}}S'_{1}

unde este aria unui cerc a cărui rază este egală cu pasul spiralei - . $S'_{1}$ $A$

Toate aceste proprietăți și ecuații au fost descoperite de Arhimede .

Calcularea lungimii arcului unei spirale arhimedice

Un segment infinit de mic al arcului este (vezi Fig. 3): $dl$

dl={\sqrt {d\rho ^{2}+dh^{2)}}

unde este incrementul razei , când unghiul este incrementat cu . Pentru o creștere infinit de mică a unghiului , este adevărat: $d\rho$ $\rho$ $\varphi$ $d\varphi$ $d\varphi$

dh^{2}=\left(\rho d\varphi \right)^{2}

De aceea:

dl={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2)))

precum şi $\rho=k\varphi$

d\rho=kd\varphi

dl={\sqrt {k^{2}d\varphi ^{2}+k^{2}\varphi ^{2}d\varphi ^{2)))

dl=kd\varphi {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}

Lungimea arcului este egală cu integrala de la până la în intervalul de la până la : $L$ $dl$ $d\varphi$ $0$ $\varphi$

L=\int \limits _{0}^{\varphi}k{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}d\varphi

L={\frac {k}{2}}\left[\varphi {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\ varphi ^{2}}}\dreapta)\dreapta]

. [unu]

Generalizare tridimensională

O generalizare tridimensională a spiralei arhimediene poate fi considerată proiecția unei spirale conice pe un plan perpendicular pe axa conului.

Note

^ Weisstein , Spirala lui Eric W. Archimedes pe site-ul Wolfram MathWorld .

Link -uri

Wikimedia Commons are conținut media legate de spirala arhimediană

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius