Cissoid din Diocle

Cisoida lui Diocle este o curbă algebrică plană de ordinul al treilea. În sistemul de coordonate carteziene , unde axa absciselor este îndreptată de-a lungul , iar axa ordonatelor de-a lungul , se construiește un cerc auxiliar pe segment , ca și pe diametru . O tangentă este trasată într-un punct . Din punct se trasează o linie dreaptă arbitrară , care intersectează cercul în punct și tangenta în punct . Din punct , în direcția punctului , este așezat un segment , a cărui lungime este egală cu lungimea segmentului . Când o linie se rotește în jurul unui punct , punctul descrie o linie numită $BOU$ $OY$ $OA=2a$ $A$ $UV$ $O$ $OF$ $E$ $F$ $F$ $O$ $FM$ $OE$ $OF$ $O$ $M$ Cissoid din Diocle . Cele două ramuri ale acestei linii din Fig. 1 sunt afișate în albastru și roșu.

Ecuații

Ecuația cisoidală într-un sistem de coordonate dreptunghiular se scrie după cum urmează:

y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)

Ecuația cissoidului în coordonate polare este:

\rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi )).

Uneori, ecuația cisoidală din sistemul de coordonate polare este scrisă după cum urmează:

\rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=

=2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=

=2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).

Ecuația cisoidală parametrică:

x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},

y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},

Unde

u=\mathrm {tg} \,\varphi

Istorie

Cisoidul a fost explorat pentru prima dată de matematicianul grec Diocles în secolul al II-lea î.Hr. e. Diocle a construit curba astfel: există un punct , care este situat pe cercul auxiliar simetric față de punctul ; axa de simetrie este diametrul . Din punctul , este trasată o perpendiculară pe axa absciselor. Punctul aparținând cisoidului se află la intersecția acestei perpendiculare și a dreptei . Prin această metodă, Diocle a construit doar curba în interiorul cercului auxiliar. Dacă această parte a cisoidului ( ) este închisă cu un arc de cerc , atunci se obține o figură care seamănă cu o frunză de iederă în forma ei . În greacă, iedera este κισσός ("kissos"), de la care provine numele curbei - "Cissoid". $P$ $E$ $BD$ $P$ $M$ $OE$ $DOB$ $DOB$ $EAD$

În forma sa modernă, cissoidul a fost reprodus de matematicianul francez Gilles Roberval în 1640 . Mai târziu, cissoidul a fost explorat și de matematicianul olandez Sluz .

Proprietăți

Cisoida este simetrică față de axa absciselor.
Cisoidul intersectează cercul auxiliar în punctele și , care aparțin diametrului acestui cerc. $B$ $D$
Cisoidul are un cuspid și o asimptotă , a cărei ecuație este: , unde este raza cercului auxiliar. $UV$ $x=2a$ $A$
Cisoida este o evolventă a unei parabole cu un cuspid la vârful parabolei. Mai mult, directricea parabolei este o asimptotă a cisoidului. [unu]

Zona dintre cissoid și asimptotă

Această zonă este egală cu:

S_{1}=3\pi a^{2}.

Concluzie

Zona cuprinsă între ramurile cisoidului și asimptotă . Ecuația ramurilor superioare : $KOL$ $UV$ $S_{1}$ $OL$

y={\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}}.\qquad \qquad (2)

Jumătate din suprafața cuprinsă între cissoid și asimptotă este egală cu integrala ecuației (2) în intervalul de la 0 la : $2a$

{\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{0}^{2a}{\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}} \,dx.\qquad \qquad(3)

Substituţie:

u^{2}=2a-x,\qquad x=2a-u^{2},\qquad dx=-2u\,du.

Limite de integrare:

x=0\Rightarrow u={\sqrt {2a)),\qquad x=2a\Rightarrow u=0.

Integrala (3) se transformă în forma:

{\frac {1}{2}}S_{1}=-2\int \limits _{\sqrt {2a}}^{0}{\sqrt {(2a-u^{2})^ {3}}}\,du=

=\left.-2\left({\frac {u}{8}}(10a-2u^{2}){\sqrt {2a-u^{2}}}+{\frac {3a ^{2}}{2}}\arcsin {\frac {u}{\sqrt {2a}}}\right)\right|_{\sqrt {2a}}^{0}={\frac {3\ pi a^{2}}{2}}.

Asa de:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.

S_{1}=3\pi a^{2}.

Volumul unui corp de revoluție

Volumul ( ) al corpului format prin rotirea ramului în jurul axei absciselor se calculează astfel: $V_{1}$ $OL$

V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=

=\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x }}\dreapta)\,dx=

=\left.-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0} ^{2a}.

Dacă , atunci , adică . $x\la 2a$ $\ln(2a-x)\la -\infty$ $V_{1}\la \infty$

Note

↑ Akopyan A.V. Geometria în imagini .

Literatură

Savelov A.A. Curbe plate. Sistematică, proprietăți, aplicații (Ghid de referință). - Moscova: Editura de stat de literatură fizică și matematică, 1960. - 293 p.
Smogorzhevsky A.S., Stolova E.S. Manual de teoria curbelor plane de ordinul trei. - Moscova: Fizmatgiz, 1961. - 263 p.

J. Dennis Lawrence. Un catalog de curbe plane speciale. - Dover Publications, 1972. - 53-56 p. - ISBN 0-486-60288-5 .
Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius