Un număr foarte redundant

Un număr extrem de redundant sau un număr extrem de redundant este un număr natural a cărui sumă de divizori (inclusiv numărul în sine) este mai mare decât suma divizorilor oricărui număr natural mai mic.

Numerele cu redundanță mare și unele clase similare de numere au fost introduse de Pillai [2] , iar lucrările timpurii pe această temă au fost făcute de Alaoglu și Erdős [3] . Alaoglu și Erdős au enumerat toate numerele cu redundanță mare până la 10 4 și au arătat că numărul de numere redundante mari mai mici decât N este cel puțin proporțional cu log 2 N .

Definiție formală și exemple

În mod formal, se spune că un număr natural n este extrem de redundant dacă și numai dacă pentru toate numerele naturale m < n

unde σ înseamnă funcția „suma divizorilor” . Primele câteva numere extrem de redundante

De exemplu, 5 nu este foarte redundant deoarece σ(5) = 5+1 = 6 este mai mic decât σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7, în timp ce 8 este foarte redundant deoarece σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 este mai mare decât toate valorile anterioare ale lui σ.

În afară de numerele 1 și 3, nu există alte numere impare extrem de redundante [4]

Relația cu alte seturi de numere

Deși primii opt factoriali sunt extrem de redundanți, nu toți factorialii vor fi. De exemplu,

dar există un număr mai mic cu o sumă mai mare de divizori,

deci 9! nu foarte redundant.

Alaoğlu și Erdős au observat că toate numerele super-redundante sunt extrem de redundante și au pus întrebarea dacă există un număr infinit de numere super-redundante care nu sunt super-redundante. La această întrebare a răspuns afirmativ de către Jean-Louis Nicholas [5] .

Spre deosebire de terminologie, nu toate numerele extrem de redundante sunt redundante . În special, niciunul dintre primele șapte numere extrem de redundante nu este redundant.

7200 este cel mai mare număr multiplu complet care este, de asemenea, foarte redundant, toate numerele mari cu redundanță mare au un factor prim care împarte numărul o singură dată. Din același motiv, 7200 este cel mai mare număr extrem de redundant cu o sumă impară de divizori [6] .

Note

1. ↑ Bețișoarele Kuizener sunt bețe de numărat pentru școala elementară, concepute pentru a preda numărarea și înțelegerea împărțirii. Bastoanele au lungimi diferite si sunt vopsite in culori diferite. Bețișoarele au fost inventate de profesorul belgian Georg Cuisener.
2. ↑ Pillai, 1943 .
3. ↑ Alaoglu, Erdős, 1944 .
4. ↑ Vezi articolul lui Alaoglu și Erdős ( Alaoglu, Erdős 1944 ), p. 466. Alaoglu și Erdős fac o afirmație mai puternică că toate numerele extrem de redundante mai mari de 210 sunt divizibile cu 4, dar această afirmație este eronată - 630 este foarte redundant, dar nu este divizibil cu 4. (De fapt, doar acest număr 630 este un contraexemplu , toate numerele mari redundante sunt divizibile cu 12.)
5. ↑ Nicolae, 1969 .
6. ↑ Alaoglu, Erdős, 1944 , p. 464–466.

Literatură

• Leonidas Alaoglu , Paul Erdős . Pe numere foarte compuse și similare  // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică . - 1944. - T. 56 , nr. 3 . — S. 448–469 . - doi : 10.2307/1990319 . — .
• Jean-Louis Nicholas. Ordre maximal d'un élément du groupe S n des permutations et "highly composite numbers"  // Bull. soc. Matematică. Franţa. - 1969. - T. 97 . — S. 129–191 .
• Subbayya Sivasankaranarayana Pillai. Cifre foarte abundente // Bull. Calcutta Math. Soc.. - 1943. - T. 35 . — S. 141–156 .