Grup (matematică)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 mai 2022; verificările necesită 5 modificări .

O grupă în matematică este o mulțime nevidă pe care este definită o operație binară asociativă , iar pentru această operație există un element neutru (analog cu unitatea pentru înmulțire), iar fiecare element al mulțimii are un invers . Ramura algebrei generale care se ocupă cu grupurile se numește teoria grupurilor [1] .

Un exemplu de grup este mulțimea de numere întregi , echipată cu operația de adunare : suma oricăror două numere întregi dă și un număr întreg, zero joacă rolul unui element neutru , iar un număr cu semnul opus este elementul invers. Alte exemple sunt setul de numere reale cu operația de adunare, setul de rotații plane în jurul originii . Datorită definiției abstracte a unui grup printr-un sistem de axiome care nu este legat de specificul mulțimilor generatoare, teoria grupurilor a creat un aparat universal pentru studiul unei clase largi de obiecte matematice de origine cea mai diversă din punctul de vedere al proprietăţile generale ale structurii lor . Ubicuitatea grupurilor în matematică și nu numai le face un construct esențial în matematica modernă și în aplicațiile sale.

Grupul este legat fundamental de conceptul de simetrie și este un instrument important în studiul tuturor manifestărilor sale. De exemplu, un grup de simetrie reflectă proprietățile unui obiect geometric : constă dintr-un set de transformări care lasă obiectul neschimbat și operația de combinare a două astfel de transformări care urmează una după alta. Grupurile de simetrie, cum ar fi grupurile de simetrie punctuală, sunt utile în înțelegerea fenomenului de simetrie moleculară în chimie; grupul Poincare caracterizează simetria spațiu-timpului fizic , iar în modelul standard al fizicii particulelor elementare sunt utilizate grupuri unitare speciale [2] .

Conceptul de grup a fost introdus de Evariste Galois în timp ce studia polinoamele în anii 1830 [3] .

Teoria modernă a grupurilor este o ramură activă a matematicii [4] . Unul dintre cele mai impresionante rezultate a fost obținut în clasificarea grupurilor finite simple , care a fost finalizată în 1981 : dovada teoremei este de zeci de mii de pagini de sute de articole științifice de peste o sută de autori publicate din 1955, dar articolele continuă să apară din cauza lacune detectabile în dovadă [5 ] . De la mijlocul anilor 1980, teoria geometrică a grupurilor , care studiază grupurile generate finit ca obiecte geometrice, a primit o dezvoltare semnificativă.

Definiție

O mulțime nevidă cu o operație binară definită pe ea : se numește grup dacă următoarele axiome sunt adevărate : $G$ ${*}$ $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,*)$

asociativitate : ; $\forall (a,b,c\in G)\colon (a*b)*c=a*(b*c)$
prezenta unui element neutru : ; $\exists e\in G\quad \forall a\in G\colon (e*a=a*e=a)$
prezenta unui element invers : . $\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$

Ultimele două axiome pot fi înlocuite cu o axiomă a existenței unei operații inverse $*$ :

$\forall (a,b\in G)\quad\exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b)$ .

Mai mult, axiomele de mai sus nu sunt strict minime. Pentru existența unui element neutru și invers , este suficient să existe un element neutru stâng și un element invers stâng . În același timp, se poate demonstra că vor fi automat elemente neutre și inverse obișnuite [6] .

Definiții înrudite

În general, grupul nu este obligat să îndeplinească proprietatea comutativității .
- Perechile de elemente pentru care este valabilă egalitatea se numesc navetă sau navetă . $a,\;b$ $a*b=b*a$
- Setul de elemente care permută cu toate elementele grupului se numește centrul grupului .
- Un grup în care orice două elemente comută se numește comutativ sau abelian .
Un subgrup este un subsetal grupuluicare este un grup în raport cu operația definită în. $H$ $G$ $G$
Ordinea grupului este puterea (adică numărul elementelor sale). $(G*)$ $G$
- Dacă mulțimea este finită, atunci se spune că grupul este
finit . $G$

Homomorfismele de grup sunt mapări ale grupurilor care păstrează structura grupului. Adică, o mapare de grupuri se numește homomorfism dacă îndeplinește condiția .

f\colon (G,*)\la (H,\times )

f(a*b)=f(a)\time f(b)

Se spune că două grupuri sunt izomorfe dacă există un homomorfism de grup și un homomorfism de grup astfel încât și , unde și . În acest caz, aceste homomorfisme sunt numite izomorfisme .

f\colon (G,*)\la (H,\times )

g\colon (H,\times )\to (G,*)

f(g(a)) = a

g(f(b))=b

b\în G

a\în H

Pentru un element, setul din stânga după subgrup este mulțimea , iar setul din dreapta după subgrup este mulțimea .

g\în G

H

gH=\{gh\mid h\in H\)

H

Hg=\{hg\mid h\in H\)

Un subgrup normal este un subgrup de tip special ale cărui clase stânga și dreapta coincid. Pentru orice,.

g\în G

gH=Hg

Un grup de coeficient este un set de clase ale unui grup în raport cu subgrupul său normal, care este el însuși un grup.

Notație standard

Notație multiplicativă

De obicei, operația de grup se numește înmulțire (abstractă) ; atunci se aplică notația multiplicativă :

rezultatul operației se numește produs și se scrie sau ; $a\cdot b$ $ab$
elementul neutru este notat cu " " sau si se numeste unitate ; $1$ $e$
inversul elementului se scrie ca . $a$ $a^{-1}$

Dacă operația de grup se numește înmulțire , atunci un astfel de grup în sine se numește multiplicativ și, cu notația completă (când vor să indice în mod explicit operația de grup), se notează după cum urmează :. $\mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,\cdot )$

Produse multiple , , sunt scrise ca puteri naturale , , [7] . Pentru un element , un grad întreg este definit corect [ 8] ; se scrie astfel: , . $aa$ $aaa$ $...$ $a^2$ $a^{3}$ $...$ $A$ $a^{0}=e$ $a^{-n}=(a^{-1})^{n)$

Notație aditivă

Într-un grup comutativ, operația de definire este adesea văzută ca adunare (abstractă) și este scrisă aditiv :

scrieți „ ” și numiți elementul rezultat suma elementelor și ; $a+b$ $a$ $b$
elementul neutru este notat cu „ ” și numit zero ; $0$
elementul invers cu este notat cu „ ” și se numește opusul său cu elementul; $a$ $-a$ $a$
intrarea este abreviată astfel: ; $a+(-b)=ab$
expresiile de forma , , sunt notate prin simboluri , , . $a+a$ $a+a+a$ $-aa$ $2a$ $3a$ $-2a$

Dacă operația de grup se numește adăugare , atunci un astfel de grup în sine se numește aditiv și, cu notația completă, se notează după cum urmează :. [9] Acest termen se referă doar la modul în care o operație este scrisă într-un grup; este util atunci când pe un set sunt definite mai multe operații. De exemplu, se poate vorbi de grupul aditiv al numerelor reale sau grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive . În plus, există cazuri în care un grup aditiv este izomorf cu unul multiplicativ (vezi Rădăcini din unitate ). $\mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,+)$

Exemple

Mulțimea numerelor întregi echipate cu operația de adunare este un grup.
Mulțimea tuturor numerelor raționale cu excepția zero, cu operația de înmulțire, este un grup.

Grupurile sunt folosite în diferite domenii ale matematicii. De exemplu, în topologie , prin introducerea conceptului de grup fundamental [10] . Pe lângă aplicarea teoretică a grupurilor, există multe modalități de aplicare a grupurilor în practică. De exemplu, ele sunt utilizate în criptografie , care se bazează pe teoria grupurilor de calcul și cunoașterea algoritmilor .

Aplicarea teoriei grupurilor nu se limitează la matematică, este utilizată pe scară largă în științe precum fizica , chimia și informatica .

Numerele întregi modulo $n$ - rezultatul adunării modulo este restul sumei atunci când este împărțit la . Mulțimea numerelor întregi de la până formează un grup cu această operație. Elementul neutru este , elementul invers al lui k este numărul . Un bun exemplu de astfel de grup $n$ $n$ $0$ $n-1$ $0$ $a\neq 0$ $na\equiv -a{\pmod {n}}$

poate exista un ceas cu cadran [11] .

Numerele întregi cu operație de adunare. este un grup comutativ cu un element neutru. Numerele întregi cu o operație de înmulțire nu vor forma un grup. Închiderea, asociativitatea și existența unui element neutru vor avea loc, dar axioma despre existența unui element invers nu se va menține. De exemplu,, atunciadică. Elementul invers nu este un întreg [12] . $(\mathbb{Z},+)$ $0$ $a=2$ $a\cdot b=1$ $b = 1/2$
Numere raționale pozitive cu operație de înmulțire. Produsul numerelor raționale este din nou un număr rațional, elementul reciproc la un număr rațional este reprezentat printr-o reciprocă, există asociativitate, iar elementul neutru este unul [12] .
Un grup liber cu doi generatori () este format din cuvântul gol (unitatea de grup) și toate cuvintele finite de patru caractere,șicele carenuapar lângășinu apar lângă. Operația de înmulțire a unor astfel de cuvinte este pur și simplu ocombinație de două cuvinte într-unul, urmată de reducerea perechilor,și [13] . $F_{2}$ $a$ $a^{{-1}}$ $b$ $b^{{-1}}$ $a$ $a^{{-1}}$ $b$ $b^{{-1}}$ $aa^{-1}$ $a^{-1}a$ $bb^{-1}$ $b^{{-1}}b$
Grup simetric . Mulțimea tuturor bijecțiilor unui set finit în sine cu operația de compunere este un grup finit, care se numește grup simetric sau grup de permutare . Cardinalitatea unui grup simetric finitpentru o mulțime deelemente este. Căciacest grup nu este abelian [14] . Orice grup finit este un subgrup al unui grup simetric ( teorema lui Cayley ) [12] [15] . $S_{n}$ $n$ $n!$ $n\geq 3$

Grupurile ciclice sunt formate din puterileunui element. Un elementse numește generator al unui grup ciclic. Grupurile ciclice sunt întotdeauna comutative. Un exemplu de astfel de grup sunt numerele întregi de adunare deja menționate. Ciclic va fi un grup format din rădăcini complexe ale unității , adică un grup de numere complexe care îndeplinesc condițiași operația de înmulțire a numerelor complexe [16] . Un grup finit multiplicativeste, de asemenea, ciclic. De exemplu,este un element generator al grupuluiatunci când: $\langle a\rangle =\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \)$ $a$ $a$ $n$ $z$ $z^{n}=1$ $(\mathrm {G} ,\cdot )$ $3$ $\mathrm {G}$ $n=5$

\begin{align} 3^1 &\equiv 3 \pmod 5\\ 3^2 &\equiv 4 \pmod 5\\ 3^3 &\equiv 2 \pmod 5\\ 3^4 &\equiv 1 \pmod 5\, \end{align}

Grupul cubului Rubik este un subgrup al grupului simetricale cărui elemente corespund transformărilor cubului Rubik . Compoziția a două transformări este din nou o transformare, pentru fiecare transformare există un element invers, există o asociativitate și un element neutru [17] . $S_{{48}}$
grupuri Galois . Au fost introduse în matematică pentru rezolvarea ecuațiilor polinomiale într-o variabilă în radicali . De exemplu, soluția unei ecuații pătratice dă rădăcini:formule similare pentru ecuațiile de gradul al treilea și al patrulea , dar nu există pentru ecuațiile de gradși superior [18] . $ax^{2}+bx+c=0$ $x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.$ $5$

Cele mai simple proprietăți

Pentru fiecare element, elementul invers este unic. $A$ $a^{{-1}}$
Elementul neutru este unic: Dacă sunt neutre, atunci . $e_{1},e_{2)$ ${\displaystyle e_{1}\cdot e_{2}=e_{1}=e_{2}\cdot e_{1}=e_{2}=e_{1))$
$(a^{m})^{n}=a^{mn}$ .
$(a^{-1})^{-1}=a$ .
$a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n)$ .
$e^{n}=e$ , pentru orice [9] . $n\in \mathbb {Z}$
$(ab)^{{-1}}=b^{{-1}}a^{{-1}}$ .
Legile reducerii sunt corecte : $c\cdot a=c\cdot b\Leftrightarrow a=b$ , $a\cdot c=b\cdot c\Leftrightarrow a=b$ .
Elementul invers față de neutru este elementul neutru însuși [19] .
Grupul conține o soluție unică pentru orice ecuație sau ; adică într-un grup, sunt posibile „diviziuni” drepte și stângi definite unic [1] . $x$ $x\cdot c=b$ $c\cdot x=b$
Intersecția a două subgrupuri ale unui grup este un subgrup al grupului [20] . $\mathrm {G}$ $\mathrm {G}$
Teorema lui Lagrange : dacă este un grup de ordin finit , atunci ordinea oricăreia dintre subgrupurile sale este un divizor al ordinului grupului. De aici rezultă că ordinea oricărui element împarte și ordinea grupului [21] . $\mathrm {G}$ $g$ $g_{1}$ $\mathrm {G_{1}}$
Teorema lui Lagrange și teoremele lui Sylow sunt folosite pentru a determina numărul de subgrupuri dintr-un grup .

Modalități de a seta un grup

Grupul poate fi setat:

Cu ajutorul unui set generator [22] și al unui set de relații între elementele sale;
Grup de factori , unde este un grup și este subgrupul său normal [23] ; $G/H$ $G$ $H$
Produsul semidirect a două grupe și, în special,
- Un produs direct al două grupe și , adică un set de perechi dotate cu operația de înmulțire pe componente: [24] ; $(G,\cdot )$ $(H,\cdot )$ $G\time H$ $(g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}\cdot h_{2} )$
Un produs liber de două grupuri: un produs liber de grupuri este un grup al cărui sistem de generatori [25] este unirea sistemelor de generatoare și , iar sistemul de relații [26] este unirea sistemelor de relații și [ 27] . $G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$

Istorie

Conceptul modern de grup a fost format din mai multe domenii ale matematicii. Forța motrice inițială din spatele teoriei grupurilor a fost căutarea soluțiilor pentru ecuații algebrice de grad mai mare de patru. Matematicianul francez din secolul al XIX-lea Évariste Galois , după ce a perfecționat studiile lui Ruffini și Lagrange , a oferit un criteriu pentru solubilitatea unei anumite ecuații algebrice în ceea ce privește grupul de simetrie al soluțiilor sale. Elementele unui astfel de grup Galois corespund anumitor permutări ale rădăcinilor . Ideile lui Galois au fost respinse de contemporanii săi și publicate postum de Liouville în 1846. Pe baza aceleiași lucrări ca și Galois, Cauchy a studiat în detaliu grupurile de permutare [3] . Conceptul de grup finit a fost introdus pentru prima dată de Arthur Cayley în 1854 în lucrarea sa „ Despre teoria grupurilor, ca depinzând de ecuația simbolică θ n 1 ” ) [28] . $=$

Geometria este a doua zonă în care grupurile au fost aplicate sistematic, în special grupurile de simetrie, ca parte a „ Programului Erlangen ” al matematicianului german Felix Klein . După apariția unor noi ramuri ale geometriei, cum ar fi geometria hiperbolică și proiectivă , Klein a folosit teoria grupurilor pentru a le reconcilia mai bine. Dezvoltarea ulterioară a acestor idei duce la introducerea în matematică a conceptului de grup Lie în 1884 [3] .

A treia zonă a matematicii care a contribuit la dezvoltarea teoriei grupurilor este teoria numerelor . Unele grupuri abeliene au fost utilizate implicit în Investigațiile aritmetice ale lui Gauss (1801). În 1847, Ernst Kummer a făcut primele încercări de a demonstra Ultima Teoremă a lui Fermat folosind grupuri care descriu factorii primi. În 1870, Kronecker a generalizat lucrarea lui Kummer și a dat o definiție apropiată de definiția modernă a unui grup abelian finit [3] .

Separarea teoriei grupurilor a început cu Tratatul lui Camille Jordan despre schimbări și ecuații algebrice (1870) [29] . În secolul al XX-lea, teoria grupurilor a început să se dezvolte activ. S-au născut lucrarea de pionierat a lui Frobenius și Burnside privind reprezentarea grupurilor finite , teoria reprezentării modulare a lui Richard Braur și notațiile lui Schur . Progrese semnificative în studiul teoriei grupurilor Lie și grupurilor compacte local au fost realizate de Weyl și Cartan . Adăugarea algebrică la aceste teorii a fost teoria grupurilor algebrice , formulată mai întâi de Claude Chevalley , menționată mai târziu în lucrările lui Borel și Tits [3] .

În anul universitar 1960-1961, Universitatea din Chicago a organizat un an de teorie a grupurilor care a reunit teoreticieni precum Daniel Gorenstein, John Thompson și Walter Feith, punând astfel bazele colaborării unui număr mare de matematicieni care au derivat ulterior teorema de clasificare pentru toate grupurile finite simple în 1980. -s ani. Acest proiect a depășit ca dimensiune toate încercările anterioare de a clasifica grupurile, atât în ceea ce privește lungimea dovezilor, cât și numărul de oameni de știință implicați în această lucrare. Cercetările actuale vizează simplificarea clasificării grupurilor. În prezent, teoria grupurilor continuă să se dezvolte activ și să influențeze alte ramuri ale matematicii [5] [30] [31] .

Variații și generalizări

Un grupoid este o mulțime cu o operație binară definită pe el [32] .
Un cvasigrup este un grupoid format dintr-o mulțime și o operație binară astfel încât pentru oricare există elemente unice și astfel încât și [33] . $Q$ $\cdot$ $a,b\in Q$ $x$ $y$ $a\cdot x=b$ $y\cdot a=b$
Un semigrup este un sistem algebric cu o operație binară asociativă definită pe el . Mulțimea numerelor naturale cu operația de adunare formează un semigrup [34] .
O mulțime cu o operație binară definită pe ea care satisface doar primele două axiome se numește monoid . Mulțimea numerelor întregi nenegative cu operație de adunare formează un monoid [34] . $G$

Grupuri cu structură suplimentară

Multe grupuri au simultan o altă structură matematică (suplimentară). În limbajul teoriei categoriilor, acestea sunt obiecte de grup din categoria ; cu alte cuvinte, acestea sunt obiecte (adică, de exemplu, mulțimi care au o anumită structură matematică) pentru care este dată o clasă de anumite transformări (numite morfisme ), urmând axiomele grupului. În special, fiecare grup (în sensul definit anterior) este simultan o mulțime , astfel încât un grup este un obiect de grup din categoria mulțimi Mulțimi (morfismele din această categorie sunt mapări de mulțimi) [35] .

Inele

Un inel este o mulțime pe care operațiile binare de adunare comutativă și de înmulțire (nu neapărat comutativă) sunt definite, în plus, în raport cu adunarea, K formează un grup, iar înmulțirea este legată de adunare printr -o lege distributivă . $K$

Un inel se numește comutativ și asociativ dacă operația de înmulțire dată pe el este comutativă și, în consecință, asociativă. Un element al unui inel se numește unitate dacă este îndeplinită următoarea condiție: , unde este orice element al inelului. $1$ $a\cdot 1=1\cdot a=a$ $a$

Mulțimile numerice Z , Q , R sunt inele asociative comutative cu identitate. Mulțimea vectorilor cu operația de multiplicare vectorială este un inel anticomutativ (adică ) datorită proprietăților înmulțirii vectoriale [36] : . $a\cdot b=-b\cdot a$ $a\times b+b\times a=0$

Câmpuri

Un câmp este un inel asociativ comutativ cu o unitate, iar în raport cu adunarea formează un grup, iar elementele sale nenule sunt un grup prin înmulțire. Câmpul nu poate consta dintr-un singur zero. Mulțimile numerelor raționale și reale sunt câmpuri. În orice domeniu numai dacă și/sau [37] . $F$ $F$ $a\cdot b=0$ $a=0$ $b=0$

Grupuri topologice

Unele spații topologice pot fi înzestrate în același timp cu o structură de grup. În acest caz, un astfel de spațiu se poate dovedi a fi un grup topologic .

Și anume, un grup topologic este un grup care este simultan un spațiu topologic , iar înmulțirea elementelor grupului și operația de luare a elementului invers se dovedesc a fi mapări continue în topologia utilizată [38] . Grupurile topologice sunt obiecte de grup în spații topologice Top [35] . $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$

Cele mai importante exemple de grupuri topologice sunt grupul aditiv al realilor , grupul multiplicativ al realelor nenule , grupul liniar complet , grupul liniar special , grupul ortogonal , grupul ortogonal special , grupul unitar , grupul unitar special [39] ] . $(\mathbb {R} ,+)$ $(\mathbb {R^{*}} ,\cdot )$ $GL(n)$ $SL(n)$ $Pe)$ $SO(n)$ $U(n)$ $Soare)$

Grupuri de minciuni

Un grup Lie (în onoarea lui Sophus Lie ) este un grup care este simultan o varietate diferențiabilă peste câmpul K (câmpul numerelor reale sau complexe poate acționa ca acesta din urmă), și înmulțirea elementelor grupului și operația. de luare a elementului invers se dovedesc a fi mapări netede (în cazul complex este necesară holomorfia mapărilor introduse). Mai mult, orice grup de Lie dimensional complex este simultan un grup Lie real de dimensiune [40] . $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $n$ $2n$

Toate grupurile concrete date în subsecțiunea anterioară ca exemple de grupuri topologice sunt în același timp grupuri Lie.

Grupurile de minciuni apar în mod natural atunci când se iau în considerare simetriile continue ; astfel, grupul Lie este format [41] din izometrii de forma , unde este spațiul punctual euclidian . Grupul rezultat, notat [42] , este un subgrup al altui grup Lie, grupul afin al spațiului , notat [43] . $\mathrm {E} \rightarrow \mathrm {E}$ $\mathrm {E}$ $Is(\mathrm {E} )$ $\mathrm {E}$ $Aff(\mathrm {E} )$

Grupurile de Lie sunt cele mai bune dintre varietăți în ceea ce privește bogăția structurii pe care o au și, ca atare, sunt foarte importante în geometria și topologia diferențială . Ele joacă, de asemenea, un rol proeminent în geometrie, calcul, mecanică și fizică [40] .

Vezi și

Note

↑ 1 2 Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Fundamentele teoriei grupurilor. - Ed. a III-a - Moscova: Nauka, 1982. - S. 16. - 288 p. - 11 800 de exemplare.
↑ Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Fundamentele teoriei grupurilor. - Ed. a III-a - Moscova: Nauka, 1982. - S. 9-14. — 288 p. - 11 800 de exemplare.
↑ 1 2 3 4 5 Israel Kleiner. Evoluția teoriei grupurilor: un scurt sondaj // Mathematics Magazine : a journal . - 1986. - Octombrie ( vol. 59 , nr. 4 ). - P. 195-215 . - doi : 10.2307/2690312 .
↑ Abia în 2005, conform MathSciNet , au fost publicate peste 2 mii de lucrări de cercetare în domeniul teoriei grupurilor și generalizărilor .
↑ 1 2 Gorenstein D. Grupuri simple finite. Introducere în clasificarea lor = Grupuri simple finite. O introducere în clasificarea lor / ed. A.I. Kostrikin. - Lumea. - Moscova: Mir, 1985. - S. 9-17. — 352 p. - 5250 de exemplare.
↑ Sagalovici, 2010 , p. cincizeci.
↑ Gradul natural al unui element este corect determinat datorită asociativității
↑ Corectitudinea rezultă din unicitatea elementului invers.
↑ 1 2 Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Fundamentele teoriei grupurilor. - Ed. a III-a - Moscova: Nauka, 1982. - S. 18. - 288 p. - 11 800 de exemplare.
↑ Hatcher Allen. Topologie algebrică. - Cambridge: Cambridge University Press, 2002. - P. 30. - ISBN 978-0-486-45868-7 .
↑ M. Welschenbach. capitolul 5 // Criptografia în C și C++ în acțiune . - M . : „Triumf”, 2004. - S. 81 -84. — 464 p. — ISBN 5-89392-083-X .
↑ 1 2 3 Olshansky A. Yu. Geometria definirii relațiilor într-un grup. - Nauka, 1989. - S. 18-19. — 448 p. - ISBN 5-02-013916-5 .
↑ Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Fundamentele teoriei grupurilor. - Ed. a 3-a. - Moscova: Nauka, 1982. - S. 122-124. — 288 p. - 11 800 de exemplare.
↑ Kurosh A. G. Teoria grupurilor / ed. Brudno K.F. - ed. a 3-a. - Moscova: Nauka, 1967. - S. 34. - 648 p. — 20.000 de exemplare.
↑ Kulikov L. Ya. Algebră și teoria numerelor. - Liceul, 1979. - S. 351. - 559 p. - 40.000 de exemplare.
↑ Vinberg E. B. Fundamentele teoriei grupurilor. - Ed. a II-a. - Presa factorială, 2001. - S. 162-163. — 544 p. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Schonert, Martin. Analizarea cubului Rubik cu GAP . Consultat la 19 iulie 2013. Arhivat din original la 5 septembrie 2013.
↑ Teoria Postnikov M. M. Galois. - Moscova: Fizmatgiz, 1963. - S. 126-127. — 220 s. — 11.500 de exemplare.
↑ Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Fundamentele teoriei grupurilor. - Ed. a III-a - Moscova: Nauka, 1982. - S. 17. - 288 p. - 11 800 de exemplare.
↑ Sagalovici, 2010 , p. 56.
↑ Kulikov L. Ya. Algebră și teoria numerelor. - Liceul, 1979. - S. 353. - 559 p. - 40.000 de exemplare.
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentele teoriei grupurilor. - Ed. a 3-a. - Moscova: Nauka, 1982. - S. 24. - 288 p. - 11 800 de exemplare.
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentele teoriei grupurilor. - Ed. a 3-a. - Moscova: Nauka, 1982. - S. 45-46. — 288 p. - 11 800 de exemplare.
↑ Vinberg E. B. Fundamentele teoriei grupurilor. - al 2-lea. - Presa factorială, 2001. - S. 409, 415. - 544 p. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Leng S. Algbra. M. : Mir, 1964. S. 23.
↑ Leng S. Algbra. M. : Mir, 1964. S. 52.
↑ Olshansky A. Yu. Geometria definirii relațiilor într-un grup. - Nauka, 1989. - S. 330-331. — 448 p. - ISBN 5-02-013916-5 .
↑ Cayley (1854) „Despre teoria grupurilor, ca în funcție de ecuația simbolică θ n = 1”, Philosophical Magazine , seria a IV-a, (42): 40-47.
↑ Wussing, Hans. Geneza conceptului de grup abstract: o contribuție la istoria originii teoriei abstracte a grupurilor. — Revista de psihologie generală. - New York : Dover Publications , 2007. - P. 154. - ISBN 978-0-486-45868-7 .
↑ Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov. Walter Feit (1930–2004) Walter Feit (1930–2004) // Notices of the American Mathematical Society : Journal. - 2005. - august ( vol. 52 , nr. 7 ). - P. 728-735 .
↑ Wilson, Robert A. Grupurile simple finite . — Texte de absolvent în matematică. - New York: Springer-Verlag , 2009. - P. 2 -5. - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
↑ Belousov V. D. Fundamentele teoriei cvasigrupurilor și buclelor. - Nauka, 1967. - S. 5. - 223 p. - 2800 de exemplare.
↑ Belousov V. D. Fundamentele teoriei cvasigrupurilor și buclelor. - Nauka, 1967. - S. 6. - 223 p. - 2800 de exemplare.
↑ 1 2 Kulikov L. Ya. Algebră și teoria numerelor. - Liceul, 1979. - S. 346-347. — 559 p. - 40.000 de exemplare.
↑ 1 2 Bucur I., Deleanu A. Introducere // Introduction to the theory of categories and functors = Introduction to the theory of categories and functors / trad. din engleza. D. A. Raikova , V. F. Retakh . - M . : Mir, 1972. - S. 9-10. — 259 p.
↑ Vinberg E. B. Fundamentele teoriei grupurilor. - Ed. a II-a. - Presa factorială, 2001. - S. 14-15. — 544 p. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Vinberg E. B. Fundamentele teoriei grupurilor. - Ed. a II-a. - Presa factorială, 2001. - S. 16. - 544 p. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Bourbaki N. Topologie generală. Grupuri topologice. Numere și grupuri și spații înrudite. M. : Nauka, 1969. S. 12.
↑ Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Curs inițial de topologie. Capete geometrice. M. : Nauka, 1977. S. 268-271.
↑ 1 2 Vinberg E. B. Fundamentele teoriei grupurilor. - Ed. a II-a. - Presa factorială, 2001. - S. 501. - 544 p. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Algebră liniară și geometrie. M. : Nauka, 1986. S. 201.
↑ Dieudonné J. Linear Algebra and Elementary Geometry. M. : Nauka, 1972. S. 129.
↑ Dolgaciov I. V., Shirokov A. P. Spațiu afin // Matem. enciclopedie. T. 1. M .: Sov. enciclopedie, 1982. Stb. 362-363.

Literatură

Literatură științifică

Sagalovici Yu. L. Introducere în codurile algebrice - ed. a II-a. - M. : IPPI RAN , 2010. - 320 p. — ISBN 978-5-901158-14-2
Belonogov V. A. Caiet de sarcini despre teoria grupurilor. Moscova: Nauka, 2000.
Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. Fundamentele teoriei grupurilor. Moscova: Nauka, 1982.
Kostrikin A.I. Introducere în algebră. Moscova: Nauka, 1977.
Kurosh A.G. Teoria grupurilor. (ed. a 3-a). Moscova: Nauka, 1967.
Hall M. Teoria grupurilor. M.: Editura de literatură străină, 1962.
Gorenstein D. Grupuri finite. NY: Harper and Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen. IB: Springer, 1967.

Literatură populară

Aleksandrov PS Introducere în teoria grupurilor . - T. 7. - ( "Biblioteca Kvant" ).
Sadovsky L., Arshinov M. Grupuri // Kvant . - 1976. - Nr. 10 .
Grupa // Dicţionar enciclopedic al unui tânăr matematician / Comp. A. P. Savin. - M . : Pedagogie , 1985. - S. 88 -94. — 352 p.

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier

Dicționare și enciclopedii	Mare norvegian Britannica (online) Brockhaus Universalis Universalis
În cataloagele bibliografice	GND : 4022379-6