Model matematic

Un model matematic  este o reprezentare matematică a realității [1] , una dintre variantele unui model ca sistem , al cărui studiu permite obținerea de informații despre un alt sistem. Un model matematic, în special, este destinat să prezică comportamentul unui obiect real, dar reprezintă întotdeauna unul sau altul grad de idealizare a acestuia [B: 1] .

Modelarea matematică se numește atât activitatea în sine, cât și totalitatea metodelor și tehnicilor acceptate pentru construirea și studierea modelelor matematice.

Toate științele naturale și sociale care folosesc aparatul matematic, de fapt, sunt angajate în modelarea matematică: ele înlocuiesc obiectul de studiu cu modelul său matematic și apoi îl studiază pe acesta din urmă. Cu ajutorul metodelor matematice, de regulă, se descrie un obiect sau un proces ideal, construit în stadiul modelării semnificative . Legătura unui model matematic cu realitatea se realizează cu ajutorul unui lanț de legi empirice , ipoteze , idealizări și simplificări.

Definiții

Un model matematic  este o descriere aproximativă a unei clase de fenomene din lumea exterioară, exprimată în simboluri matematice. [B:2]

Potrivit lui Lyapunov , modelarea matematică este un studiu indirect practic sau teoretic al unui obiect, în care nu obiectul care ne interesează este studiat direct, ci un sistem (model) auxiliar artificial sau natural care este într-o corespondență obiectivă cu obiectul care este cunoscut, capabil să-l înlocuiască în anumite privințe și să ofere în timpul studiului său, în ultimă instanță, informații despre obiectul modelat însuși [B: 3] .

În alte versiuni, modelul matematic este definit ca un obiect-substitut al obiectului original, oferind studiul unor proprietăți ale originalului [B: 4] , ca „un” echivalent „al obiectului, reflectând în formă matematică cea mai mare parte a acestuia. proprietăți importante - legile cărora le respectă, conexiunile inerente părților sale constitutive" [B: 5] , ca un sistem de ecuații, sau relații aritmetice, sau figuri geometrice, sau o combinație a ambelor, al căror studiu prin intermediul matematica ar trebui să răspundă la întrebările puse cu privire la proprietățile unui anumit set de proprietăți ale unui obiect din lumea reală [B: 6] , ca un set de relații matematice, ecuații, inegalități care descriu principalele modele inerente procesului, obiectului sau sistemului în conformitate cu studiu [B: 7] .

În sistemele de control automate, un model matematic este utilizat pentru a determina algoritmul de funcționare a controlerului. Acest algoritm determină modul în care acțiunea de control ar trebui să fie schimbată în funcție de schimbarea în master pentru a atinge obiectivul de control. [B:8]

Nicio definiție nu poate acoperi pe deplin activitatea reală a modelării matematice. În ciuda acestui fapt, definițiile sunt utile prin faptul că încearcă să evidențieze cele mai semnificative caracteristici.

Universalitatea modelelor

Cele mai importante modele matematice au de obicei o proprietate importantă de universalitate : fenomene reale fundamental diferite pot fi descrise de același model matematic. De exemplu, un oscilator armonic descrie nu numai comportamentul unei sarcini pe un arc, ci și alte procese oscilatorii, adesea de o natură complet diferită: mici oscilații ale unui pendul, fluctuații ale nivelului lichidului într-un vas în formă de - sau un modificarea intensității curentului într-un circuit oscilator. Astfel, studiind un model matematic, studiem deodată o întreagă clasă de fenomene descrise de acesta. Acest izomorfism al legilor exprimat de modelele matematice în diferite segmente ale cunoștințelor științifice l-a determinat pe Ludwig von Bertalanffy să creeze o „ teorie generală a sistemelor ”.

În același timp, trebuie amintit că modelul în sine este un obiect și poate avea unele proprietăți proprii care nu sunt legate de obiectul real care se modelează; cu toate acestea, există publicații chiar și în reviste de renume, unde sunt studiate exact acele proprietăți ale modelelor matematice complexe care nu au legătură cu obiectul modelat. [B:9]

Clasificarea modelelor

Clasificarea formală a modelelor

Clasificarea formală a modelelor se bazează pe clasificarea instrumentelor matematice utilizate. Adesea construită sub formă de dihotomii . De exemplu, unul dintre seturile populare de dihotomii [2] :

si asa mai departe. Fiecare model construit este liniar sau neliniar, determinist sau stocastic,... Desigur, sunt posibile și tipuri mixte: concentrate într-o privință (din punct de vedere al parametrilor), modele distribuite în alta etc.

Clasificare după modul în care este reprezentat obiectul

Alături de clasificarea formală, modelele diferă prin modul în care reprezintă obiectul:

Modelele structurale reprezintă un obiect ca sistem cu propriul dispozitiv și mecanism de funcționare. Modelele funcționale nu folosesc astfel de reprezentări și reflectă doar comportamentul (funcționarea) perceput extern al obiectului. În expresia lor extremă, ele sunt numite și modele „cutie neagră” . [6] Sunt de asemenea posibile tipuri combinate de modele, denumite uneori modele „ cutie gri ”.

Modele semnificative și formale

Aproape toți autorii care descriu procesul de modelare matematică indică faptul că mai întâi se construiește o construcție ideală specială, un model semnificativ [7] . Nu există o terminologie stabilită aici, iar alți autori numesc acest obiect ideal un model conceptual [8] , un model speculativ [B: 10] [9] sau un premodel [10] . În acest caz, construcția matematică finală se numește model formal sau pur și simplu model matematic obținut ca urmare a formalizării acestui model de conținut (pre-model). Un model semnificativ poate fi construit folosind un set de idealizări gata făcute, ca în mecanică, unde arcurile ideale, corpurile rigide, pendulele ideale, mediile elastice etc. oferă elemente structurale gata făcute pentru o modelare semnificativă. Cu toate acestea, în domeniile de cunoaștere în care nu există teorii formalizate complet finalizate (de vârf ale fizicii , biologiei , economiei , sociologiei , psihologiei și în majoritatea altor domenii), crearea de modele semnificative devine mult mai complicată.

Clasificarea semnificativă a modelelor

Peierls [11] oferă o clasificare a modelelor matematice utilizate în fizică și, mai larg, în științele naturii. În cartea lui A. N. Gorban și R. G. Khlebopros [12] , această clasificare este analizată și extinsă. Această clasificare se concentrează în primul rând pe etapa construirii unui model semnificativ.

Ipoteza

Modelele de primul tip - ipoteze ( „aceasta ar putea fi” ) „reprezintă o descriere probă a fenomenului, iar autorul fie crede în posibilitatea lui, fie îl consideră chiar adevărat”. Potrivit lui Peierls, acestea sunt, de exemplu, modelul Ptolemeu al sistemului solar și modelul copernican (îmbunătățit de Kepler ), modelul atomic al lui Rutherford și modelul Big Bang .

Ipotezele-model în știință nu pot fi dovedite o dată pentru totdeauna, se poate vorbi doar despre infirmarea sau neinfirmarea lor ca urmare a experimentului [13] .

Dacă se construiește un model de primul tip, atunci aceasta înseamnă că este recunoscut temporar ca adevărat și se poate concentra asupra altor probleme. Totuși, acesta nu poate fi un punct în cercetare, ci doar o pauză temporară: statutul modelului de primul tip nu poate fi decât temporar.

Model fenomenologic

Al doilea tip, modelul fenomenologic ( "ne comportăm ca și cum..." ), conține un mecanism de descriere a fenomenului, deși acest mecanism nu este suficient de convingător, nu poate fi suficient confirmat de datele disponibile sau este slab în concordanță cu teoriile disponibile. și cunoștințele acumulate despre obiect. Prin urmare, modelele fenomenologice au statut de soluții temporare. Se crede că răspunsul este încă necunoscut, iar căutarea „mecanismelor adevărate” trebuie să continue. Peierls referă, de exemplu, modelul caloric și modelul cuarc al particulelor elementare la al doilea tip.

Rolul modelului în cercetare se poate schimba în timp, se poate întâmpla ca noi date și teorii să confirme modelele fenomenologice și să fie promovate la statutul de ipoteză. În mod similar, noile cunoștințe pot intra treptat în conflict cu modelele-ipoteze de primul tip și pot fi transferate la al doilea. Astfel, modelul cuarcilor trece treptat în categoria ipotezelor; atomismul în fizică a apărut ca o soluție temporară, dar odată cu cursul istoriei a trecut în primul tip. Dar modelele eterice au trecut de la tipul 1 la tipul 2, iar acum sunt în afara științei.

Ideea simplificării este foarte populară atunci când construiești modele. Dar simplificarea este diferită. Peierls distinge trei tipuri de simplificări în modelare.

Aproximare

Al treilea tip de modele sunt aproximațiile ( „considerăm ceva foarte mare sau foarte mic” ). Dacă este posibil să se construiască ecuații care să descrie sistemul studiat, aceasta nu înseamnă că acestea pot fi rezolvate chiar și cu ajutorul unui calculator. O tehnică comună în acest caz este utilizarea aproximărilor (modele de tip 3). Printre acestea se numără modelele de răspuns liniar . Ecuațiile sunt înlocuite cu unele liniare. Exemplul standard este legea lui Ohm .

Dacă folosim modelul de gaz ideal pentru a descrie gazele suficient de rarefiate, atunci acesta este un model de tip 3 (aproximație). La densități mai mari de gaz, este de asemenea util să ne imaginăm o situație de gaz ideală mai simplă pentru înțelegerea și evaluarea calitativă, dar atunci este deja tipul 4.

Simplificare

Al patrulea tip este simplificarea ( „omitem unele detalii pentru claritate” ), în acest tip sunt aruncate detalii care pot afecta în mod vizibil și nu întotdeauna controlabil rezultatul. Aceleași ecuații pot servi ca model de tip 3 (aproximație) sau de tip 4 (lăsând unele detalii pentru claritate), în funcție de fenomenul pe care modelul este utilizat pentru a-l studia. Deci, dacă modelele de răspuns liniar sunt utilizate în absența unor modele mai complexe (adică ecuațiile neliniare nu sunt liniarizate, dar ecuațiile liniare care descriu obiectul sunt pur și simplu căutate), atunci acestea sunt deja modele liniare fenomenologice și aparțin următorul tip 4 (toate detaliile neliniare „ au fost omise pentru claritate).

Exemple: aplicarea unui model de gaz ideal la unul non-ideal, ecuația de stare van der Waals , majoritatea modelelor de fizică a stării solide , lichide și nucleare . Calea de la o microdescriere la proprietățile corpurilor (sau mediilor) constând dintr-un număr mare de particule este foarte lungă. Multe detalii trebuie omise. Acest lucru duce la modele de al patrulea tip.

Model euristic

Al cincilea tip este un model euristic ( „nu există nicio confirmare cantitativă, dar modelul contribuie la o perspectivă mai profundă a esenței problemei” ), un astfel de model păstrează doar o asemănare calitativă cu realitatea și oferă predicții doar „în ordinea magnitudine”. Un exemplu tipic este aproximarea medie a drumului liber în teoria cinetică . Oferă formule simple pentru coeficienții de vâscozitate , difuzie , conductivitate termică , în concordanță cu realitatea în ordinea mărimii.

Dar atunci când se construiește o nouă fizică, este departe de a obține imediat un model care oferă cel puțin o descriere calitativă a obiectului - un model de al cincilea tip. În acest caz, un model este adesea folosit prin analogie , reflectând realitatea cel puțin într-un fel.

Analogie

Al șaselea tip este un model de analogie ( „să luăm în considerare doar câteva caracteristici” ). Peierls oferă o istorie a utilizării analogiilor în prima lucrare a lui Heisenberg despre natura forțelor nucleare [14] .

Experiment de gândire

Al șaptelea tip de model este experimentul de gândire ( „principalul este să respingi posibilitatea” ). Acest tip de simulare a fost adesea folosit de Einstein, în special, unul dintre aceste experimente a condus la construirea teoriei speciale a relativității . Să presupunem că în fizica clasică urmărim o undă luminoasă cu viteza luminii. Vom observa un câmp electromagnetic care se schimbă periodic în spațiu și constant în timp . Conform ecuațiilor lui Maxwell , acest lucru nu poate fi. De aici, Einstein a concluzionat: fie legile naturii se schimbă atunci când cadrul de referință se schimbă, fie viteza luminii nu depinde de cadrul de referință și a ales a doua opțiune.

Demonstrarea posibilității

Al optulea tip este o demonstrație a posibilității ( „principalul este de a arăta consistența internă a posibilității” ), astfel de modele sunt, de asemenea, experimente gândite cu entități imaginare, demonstrând că presupusul fenomen este în concordanță cu principiile de bază și este intern. consistent. Aceasta este principala diferență față de modelele de tip 7, care dezvăluie contradicții ascunse.

Unul dintre cele mai faimoase dintre aceste experimente este geometria lui Lobachevsky . ( Lobachevsky a numit-o „geometrie imaginară”.) Paradoxul Einstein-Podolsky-Rosen a fost conceput ca un experiment de gândire pentru a demonstra inconsecvența mecanicii cuantice, dar într-un mod neplanificat de-a lungul timpului sa transformat într-un model de tip 8 - o demonstrație a posibilității a teleportării cuantice a informaţiei.

Clasificarea de fond se bazează pe etapele premergătoare analizei și calculelor matematice. Opt tipuri de modele conform lui Peierls sunt opt ​​tipuri de posturi de cercetare în modelare.

Complexitatea sistemului care se modelează

S-a propus [B: 11] [B: 12] să se distingă trei niveluri de complexitate ale sistemelor: sisteme fizice simple, sisteme fizice complexe și biologice și s-a remarcat că în majoritatea cazurilor reducerea sistemelor mai complexe la sistemele mai simple este inacceptabilă. .

Modele dure și moi

Academicianul A. A. Andronov [B: 1] a evidențiat trei tipuri de instabilitate a modelului asociate cu efectuarea de mici modificări ale sistemului: 1) instabilitate la o modificare a condițiilor inițiale (încălcarea condiției de stabilitate Lyapunov), 2) instabilitate la modificări mici în parametri care nu conduc la o modificare a numărului de grade de libertate ale sistemului și 3) instabilitate la mici modificări ale parametrilor, care implică o modificare a numărului de grade de libertate ale sistemului. Sistemele în care există instabilitate la mici modificări ale parametrilor cu o modificare a numărului de grade de libertate ale sistemului, era obișnuit să se desemneze ca „ non- brut ”. Mai târziu au fost denumite modele „dure”.

Oscilatorul armonic  este un exemplu de model „hard”; se obține ca urmare a unei puternice idealizări a unui sistem fizic real:

,

unde înseamnă derivata a doua a în raport cu timpul: . Conform clasificării formale, acest model este liniar, determinist, dinamic, concentrat, continuu. În procesul construcției sale, s-au făcut multe ipoteze (despre absența forțelor externe, absența frecării, micimea abaterilor etc.), care în realitate ar putea să nu fie îndeplinite.

În raport cu realitatea, acesta este, de cele mai multe ori, un model de simplificare de tip 4 („omitem unele detalii pentru claritate”), deoarece unele caracteristici universale esențiale sunt omise (de exemplu, disiparea ). Într-o anumită aproximare (să zicem, în timp ce abaterea sarcinii de la echilibru este mică, cu frecare mică, pentru o perioadă nu prea lungă și supusă anumitor alte condiții), un astfel de model descrie destul de bine un sistem mecanic real, deoarece factorii eliminați au un efect neglijabil asupra comportamentului său. Cu toate acestea, modelul poate fi rafinat luând în considerare unii dintre acești factori. Acest lucru va duce la un nou model, cu un domeniu de aplicare mai larg (deși din nou limitat).

Proprietățile unui oscilator armonic sunt modificate calitativ de mici perturbații. De exemplu, dacă adăugăm un termen mic (frecare) (  -un parametru mic) în partea dreaptă, atunci obținem oscilații amortizate exponențial, dacă schimbăm semnul termenului suplimentar, atunci frecarea se va transforma în pompare și oscilația amplitudinea va crește exponențial.

Pentru a rezolva problema aplicabilității unui model rigid, este necesar să înțelegem cât de importanți sunt factorii pe care i-am neglijat. Este necesar să se investigheze modele moi obținute printr-o mică perturbare a celui rigid. Pentru un oscilator armonic, acestea pot fi date, de exemplu, de următoarea ecuație:

.

Iată  o funcție care poate lua în considerare forța de frecare sau dependența coeficientului de rigiditate a arcului de gradul de întindere a acestuia. Forma explicită a funcției nu ne interesează momentan.

Dacă demonstrăm că comportamentul unui model soft nu diferă fundamental de comportamentul unui model hard (indiferent de forma explicită a factorilor perturbatori, dacă aceștia sunt suficient de mici), problema se va reduce la studierea modelului hard. În caz contrar, aplicarea rezultatelor obținute în studiul modelului rigid va necesita cercetări suplimentare.

Dacă un sistem își păstrează comportamentul calitativ sub o mică perturbare, se spune că este stabil din punct de vedere structural. Oscilatorul armonic este un exemplu de sistem instabil structural (negru). [B:13] Cu toate acestea, acest model poate fi aplicat proceselor de studiu pe intervale de timp limitate.

Probleme directe și inverse de modelare matematică

Există multe probleme asociate cu modelarea matematică. În primul rând, este necesar să se vină cu schema de bază a obiectului care se modelează, să o reproducă în cadrul idealizărilor acestei științe. Deci, un vagon se transformă într-un sistem de plăci și corpuri mai complexe din materiale diferite, fiecare material fiind specificat ca idealizare mecanică standard (densitate, module elastice, caracteristici standard de rezistență), după care se întocmesc ecuații, pe parcurs. unele detalii sunt aruncate ca nesemnificative, se fac calcule, se compară cu măsurătorile, modelul este rafinat și așa mai departe. Cu toate acestea, pentru dezvoltarea tehnologiilor de modelare matematică, este utilă dezasamblarea acestui proces în principalele sale elemente constitutive.

În mod tradițional, există două clase principale de probleme asociate modelelor matematice: directe și inverse.

Sarcina directă : structura modelului și toți parametrii săi sunt considerați cunoscuți, sarcina principală este de a studia modelul pentru a extrage cunoștințe utile despre obiect. Ce sarcină statică poate rezista podul? Cum va reacționa la o sarcină dinamică (de exemplu, la marșul unei companii de soldați sau la trecerea unui tren cu viteze diferite), cum va depăși avionul bariera sonoră, dacă se va destrăma de flutter - acestea sunt exemple tipice de sarcină directă. Stabilirea corectă a problemei directe (a pune întrebarea corectă) necesită abilități speciale. Dacă nu se pun întrebările potrivite, podul se poate prăbuși, chiar dacă a fost construit un model bun pentru comportamentul său. Deci, în 1879, în Marea Britanie, un pod feroviar metalic s-a prăbușit peste Firth of Tay , ai cărui proiectanți au construit un model al podului, l-au calculat pentru o marjă de siguranță de 20 de ori pentru sarcina utilă, dar au uitat de vânturile care suflau în mod constant în acele locuri. Și după un an și jumătate s-a prăbușit. [cincisprezece]

În cel mai simplu caz (ecuația unui oscilator, de exemplu), problema directă este foarte simplă și se reduce la o soluție explicită a acestei ecuații.

Problemă inversă : sunt cunoscute multe modele posibile, este necesar să alegeți un model specific pe baza datelor suplimentare despre obiect. Cel mai adesea, structura modelului este cunoscută și trebuie să fie determinați niște parametri necunoscuți. Informațiile suplimentare pot consta în date empirice suplimentare sau în cerințele pentru obiect ( problema de proiectare ). Datele suplimentare pot veni independent de procesul de rezolvare a problemei inverse ( observarea pasivă ) sau pot fi rezultatul unui experiment special planificat în cursul rezolvării acesteia ( observarea activă ).

Unul dintre primele exemple de soluție virtuoasă a unei probleme inverse cu cea mai deplină utilizare a datelor disponibile a fost metoda lui Newton pentru reconstrucția forțelor de frecare din oscilațiile amortizate observate.

Un alt exemplu este statistica matematică . Sarcina acestei științe este de a dezvolta metode de înregistrare, descriere și analiză a datelor observaționale și experimentale pentru a construi modele probabilistice ale fenomenelor aleatorii de masă [B: 14] . Adică, setul de modele posibile este limitat de modele probabilistice. În problemele specifice, setul de modele este mai limitat.

Sisteme de simulare pe computer

Pentru a sprijini modelarea matematică, au fost dezvoltate sisteme de matematică pe calculator, de exemplu, Maple , Mathematica , Mathcad , MATLAB , VisSim , [B: 15] și Scilab , etc. Acestea vă permit să creați modele formale și bloc ale proceselor atât simple, cât și complexe. și dispozitive și schimba cu ușurință parametrii modelului în timpul simulării. Modelele bloc sunt reprezentate de blocuri (cel mai adesea grafice), al căror set și conexiune sunt specificate de diagrama modelului.

Exemple

Modelul Malthus

Conform modelului propus de Malthus , rata de creștere este proporțională cu dimensiunea actuală a populației , adică este descrisă de ecuația diferențială:

,

unde  este un anumit parametru determinat de diferența dintre rata natalității și rata mortalității. Soluția acestei ecuații este o funcție exponențială . Dacă natalitatea depășește rata mortalității ( ), mărimea populației crește la nesfârșit și foarte rapid. În realitate, acest lucru nu se poate întâmpla din cauza resurselor limitate. Când este atinsă o anumită dimensiune critică a populației, modelul încetează să fie adecvat, deoarece nu ține cont de resursele limitate. O rafinare a modelului Malthus poate servi ca model logistic , care este descris de ecuația diferențială Verhulst :

,

unde  este dimensiunea populației „de echilibru”, la care natalitatea este exact compensată de rata mortalității. Mărimea populației într-un astfel de model tinde spre valoarea de echilibru , iar acest comportament este stabil din punct de vedere structural.

Modelul Bonhoeffer-van der Pol

Modelul propus în lucrarea lui Richard FitzHugh din 1961, [A:2] este în mod obișnuit privit ca un exemplu clasic al studiului modelelor conceptuale ale sistemelor rapid-lent . În forma sa canonică, se scrie [A: 3] ca

.

Richard FitzHugh a derivat acest model ca urmare a unei generalizări a ecuației van der Pol și a unui model propus de chimistul german Karl-Friedrich Bonhoeffer . În timp ce ecuația van der Pol (și sistemul corespunzător) este un model conceptual de ciclu limită , ecuația Bonhoeffer-van der Pol (și sistemul corespunzător) este clasificată ca un model conceptual al proceselor autowave . Pe baza ei, au fost create un număr mare de modele subiecte, formal cinetice, ale sistemelor oscilatorii chimice și biologice.

Sistem prădător-pradă

Să presupunem că într-o anumită zonă trăiesc două tipuri de animale : iepuri (care mănâncă plante ) și vulpi (care mănâncă iepuri). Fie numărul de iepuri , numărul de vulpi . Folosind modelul Malthus cu corecțiile necesare, luând în considerare consumul de iepuri de către vulpi, ajungem la următorul sistem, care poartă numele modelului Lotka-Volterra :

Comportamentul acestui sistem nu este stabil din punct de vedere structural : o mică modificare a parametrilor modelului (de exemplu, luând în considerare resursele limitate necesare iepurilor) poate duce la o schimbare calitativă a comportamentului .

Pentru unele valori ale parametrilor, acest sistem are o stare de echilibru când numărul de iepuri și vulpi este constant. Abaterea de la această stare duce la fluctuații atenuate treptat ale numărului de iepuri și vulpi.

Este posibilă și situația inversă, când orice mică abatere de la poziția de echilibru va duce la consecințe catastrofale, până la dispariția completă a uneia dintre specii. La întrebarea care dintre aceste scenarii este implementat, modelul Volterra-Lotka nu oferă un răspuns: aici sunt necesare cercetări suplimentare.

Vezi și

Note

  1. ↑ „O reprezentare matematică a realității” (Encyclopaedia Britanica)
  2. ↑ Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale  Fenomene . Springer, seria Complexitate, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 p. ISBN 3-540-35885-4 . Consultat la 18 iunie 2013. Arhivat din original pe 18 iunie 2013.
  3. ↑ „O teorie este considerată liniară sau neliniară în funcție de faptul că este un aparat matematic liniar sau neliniar, ce modele matematice liniare sau neliniare folosește. ... fără a nega aceasta din urmă. Un fizician modern, dacă s-ar întâmpla să redefinească o entitate atât de importantă ca neliniaritate, cel mai probabil ar acționa diferit și, preferând neliniaritatea ca fiind cea mai importantă și comună dintre cele două opuse, ar defini liniaritatea ca „non-non-liniaritate”. liniaritate”. Danilov Yu. A. , Prelegeri despre dinamica neliniară. Introducere elementară. Sinergetice: de la trecut la seria viitor. Ed.2. — M.: URSS, 2006. — 208 p. ISBN 5-484-00183-8
  4. ↑ Anishchenko, 1997 , „Sistemele dinamice modelate printr-un număr finit de ecuații diferențiale obișnuite sunt numite sisteme concentrate sau puncte. Ele sunt descrise folosind un spațiu de fază cu dimensiuni finite și sunt caracterizate de un număr finit de grade de libertate. Unul și același sistem în condiții diferite poate fi considerat fie concentrat, fie distribuit. Modelele matematice ale sistemelor distribuite sunt ecuații diferențiale parțiale, ecuații integrale sau ecuații obișnuite cu argument retardat. Numărul de grade de libertate ale unui sistem distribuit este infinit și este necesar un număr infinit de date pentru a determina starea acestuia.
  5. ↑ 1 2 3 Sovetov, 2001 , „În funcție de natura proceselor studiate în sistemul S, toate tipurile de modelare pot fi împărțite în deterministă și stocastică, statică și dinamică, discretă, continuă și discret-continuă. Modelarea deterministă afișează procese deterministe, adică procese în care se presupune absența oricăror influențe aleatorii; modelarea stocastică afișează procese și evenimente probabilistice. … Modelarea statică este folosită pentru a descrie comportamentul unui obiect în orice moment în timp, în timp ce modelarea dinamică reflectă comportamentul unui obiect în timp. Modelarea discretă este folosită pentru a descrie procese care se presupune că sunt discrete, respectiv, modelarea continuă vă permite să reflectați procese continue în sisteme, iar modelarea discret-continuă este utilizată pentru cazurile în care doriți să evidențiați prezența atât a proceselor discrete, cât și a celor continue.
  6. ↑ Myshkis, 2007 , De obicei, structura (dispozitivul) obiectului care se modelează este reflectată în modelul matematic , proprietățile și interconexiunile componentelor acestui obiect care sunt esențiale în scopurile cercetării; un astfel de model se numește structural. Dacă modelul reflectă doar modul în care funcționează obiectul - de exemplu, cum reacționează la influențele externe - atunci se numește o cutie funcțională sau, la figurat, o cutie neagră. Sunt posibile și modele combinate.
  7. ↑ Myshkis, 2007 , „O etapă inițială evidentă, dar cea mai importantă în construirea sau alegerea unui model matematic este de a obține cea mai clară idee posibilă despre obiectul modelat și de a-și rafina modelul de conținut pe baza discuțiilor informale. Timpul și eforturile nu trebuie cruțate în această etapă; succesul întregului studiu depinde în mare măsură de acesta. Nu o dată s-a întâmplat ca munca considerabilă petrecută pentru rezolvarea unei probleme matematice să se dovedească a fi ineficientă sau chiar irosită din cauza atenției insuficiente acordate acestei părți a problemei. 35.
  8. ↑ Sovietici, 2001 , „ Descrierea modelului conceptual al sistemului. La această sub-etapă de construire a unui model de sistem: a) modelul conceptual M este descris în termeni și concepte abstracte; b) se face o descriere a modelului folosind scheme matematice tipice; c) ipotezele și ipotezele sunt în cele din urmă acceptate; d) se fundamentează alegerea unei proceduri de aproximare a proceselor reale la construirea unui model.», p. 93.
  9. ↑ Myshkis, 2006 , capitolul 2.
  10. ↑ Samarsky, 2001 , „Construcția unui model începe cu o descriere verbală și semantică a unui obiect sau fenomen. … Această etapă poate fi numită formularea pre-modelului.”, p. 25.
  11. ↑ Peierls R. Model-Making in Physics. — Contemp. Phys., ianuarie/februarie 1980, v. 21, pp. 3-17; Traducere: R. Peierls , Construcția modelelor fizice, UFN, 1983, nr. 6.
  12. ↑ Gorban A. N., Khlebopros R. G. , Darwin's Demon: The Idea of ​​​​Optimity and Natural Selection . - M: Știință. Ed. șef. Fiz.-Matematică. lit., 1988. - 208 p. - (Probleme ale științei și progresului tehnologic) - ISBN 5-02-013901-7 (Capitolul „ Crearea modelelor ” Arhivat 7 octombrie 2008 la Wayback Machine )
  13. ↑ „Avem întotdeauna capacitatea de a infirma o teorie, dar rețineți că nu putem dovedi niciodată că este corectă. Să presupunem că ați înaintat o ipoteză reușită, că calculați unde duce și găsiți că toate consecințele ei sunt confirmate experimental. Înseamnă asta că teoria ta este corectă? Nu, înseamnă pur și simplu că nu ai reușit să o infirmi ”
    Feynman P. , Natura legilor fizice. Biblioteca „Quantum”, Numărul 62. - M .: Nauka, Ed. al doilea, revizuit, 1987; Cursul 7. În căutarea unor noi legi. Arhivat pe 5 martie 2016 la Wayback Machine
  14. ↑ „Acest lucru s-a întâmplat după descoperirea neutronului și, deși W. Heisenberg însuși a înțeles că nucleele pot fi descrise ca fiind formate din neutroni și protoni , tot nu a putut scăpa de ideea că neutronul ar trebui, în cele din urmă, să fie format dintr-un proton. și un electron . În acest caz, a apărut o analogie între interacțiunea din sistemul neutron-proton și interacțiunea atomului de hidrogen și a protonului. Această analogie l-a condus la concluzia că trebuie să existe forțe de schimb de interacțiune între un neutron și un proton, care sunt analoge cu forțele de schimb din sistem datorită tranziției unui electron între doi protoni. ... Mai târziu, cu toate acestea, s-a dovedit existența unor forțe de schimb de interacțiune între un neutron și un proton, deși nu au epuizat complet interacțiunea dintre două particule... Dar, urmând aceeași analogie, W. Heisenberg a ajuns la concluzia că nu există forțe nucleare de interacțiune între doi protoni și să se postuleze repulsie între doi neutroni. Ambele concluzii din urmă sunt în conflict cu constatările studiilor ulterioare.
  15. ↑ Science-Building Arhivat 23 mai 2009 la Wayback Machine , Enciclopedia tehnică

Literatură

Cărți

  1. ↑ 1 2 Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Teoria oscilațiilor. - Ed. a II-a, revizuită. și corectat.- M . : Nauka , 1981. - 918 p.
  2. ↑ Dicţionar Enciclopedic Matematic / Cap. ed. Prohorov Yu. V. . - M . : Sov. Enciclopedie, 1988. - 847 p.
  3. ↑ Novik I. B. Despre problemele filozofice ale modelării cibernetice . - M .: Cunoașterea, 1964.
  4. ↑ Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A. Modelare sistem: Proc. pentru universitati . - Ed. a 3-a, revizuită. și suplimentar .. - M . : Vyssh. şcoală, 2001. - 343 p. — ISBN 5-06-003860-2 .
  5. ↑ Samarsky A. A. , Mikhailov A. P. Modelare matematică. Idei. Metode. Exemple . — Ed. a II-a, corectată. - M. : Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X .
  6. ↑ Myshkis A. D. Elemente de teoria modelelor matematice . - Ed. a III-a, Rev. - M . : KomKniga, 2007. - 192 p. — ISBN 978-5-484-00953-4 .
  7. ↑ Sevostyanov, A. G. , Sevostyanov, P. A. Modelarea proceselor tehnologice: manual. - M. : Industria ușoară și alimentară, 1984. - 344 p.
  8. ↑ Rotach V. Ya. Teoria controlului automat. - primul. - M . : CJSC „Editura MPEI”, 2008. - 333 p. - ISBN 978-5-383-00326-8 .
  9. ↑ Skorinkin A.I. Modelarea matematică a proceselor biologice. - Kazan: Kazan. un-t, 2015. - 86 p.
  10. ↑ Blekhman I. I. , Myshkis A. D. , Panovko N. G. Matematică aplicată: subiect, logică, trăsături ale abordărilor. Cu exemple din mecanică: Manual. - Ed. a 3-a, Rev. şi suplimentare .. - M . : URSS, 2006. - 376 p. — ISBN 5-484-00163-3 .
  11. ↑ Mișcenko E. F. , Kolesov Yu. S. , Kolesov A. Yu. , Rozov N. Kh . Mișcări periodice și procese de bifurcație în sisteme perturbate singular . - M . : Fizmatlit, 1995. - 336 p. — ISBN 5-02-015129-7 .
  12. ↑ Mișcenko E. F. , Sadovnichiy V. A. , Kolesov A. Yu. , Rozov N. Kh . Mult haos . - M . : Fizmatlit, 2012. - 432 p. — ISBN 978-5-9221-1423-3 .
  13. ↑ Arnold V. I. Modele matematice rigide și moi . - M. : MTSNMO, 2004. - ISBN 5-94057-134-4 .
  14. ↑ Secțiuni probabilistice de matematică / Ed. Yu. D. Maksimova . - Sankt Petersburg. : „Ivan Fedorov”, 2001. - S.  400 . — 592 p. — ISBN 5-81940-050-X .
  15. ↑ Dyakonov V.P. Matlab R2006/2007/2008. Simulink 5/6/7. Bazele aplicării. - M. : Solon-Press, 2008. - 800 p. - (Biblioteca unui profesionist). - ISBN 978-5-91359-042-8 .

Articole

  1. ↑ Anishchenko V.S. Sisteme dinamice // Soros Educational Journal. - 1997. - Nr. 11 . - S. 77-84 .
  2. ↑ FitzHugh R. Impulsuri și stări fiziologice în modelele teoretice ale membranei nervoase   // Biophys . J. : revistă. - 1961. - Vol. 1 . — P. 445–466 .
  3. ↑ Moskalenko A. V. , Tetuev R. K. , Makhortykh S. A. Despre problema stării actuale a teoriei oscilațiilor  // Preprints of the IAM im. M. V. Keldysh  : jurnal. - 2019. - Nr. 44 . — S. 1–32 . — ISSN 2071-2901 . - doi : 10.20948/prepr-2019-44 .

Lectură suplimentară

 Ramuri ale matematicii
Portalul „Știință”
Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii
Teoria numerelor ( aritmetică )
  • Portalul „Matematică”
  • Categoria „Matematică”
  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii