Ecuația Schrödinger este o ecuație diferențială parțială liniară care descrie schimbarea în spațiu (în cazul general, în spațiul de configurație ) și în timp a unei stări pure , dată de funcția de undă , în sisteme cuantice hamiltoniene .
Ea joacă același rol important în mecanica cuantică ca și ecuațiile lui Hamilton sau ecuația a doua lege a lui Newton din mecanica clasică sau ecuațiile lui Maxwell pentru unde electromagnetice.
Formulat de Erwin Schrödinger în 1925 , publicat în 1926 . Ecuația Schrödinger nu este derivată, ci postulată prin analogie cu optica clasică, bazată pe o generalizare a datelor experimentale [1] .
Ecuația Schrödinger este destinată particulelor fără spin care se mișcă la viteze mult mai mici decât viteza luminii . În cazul particulelor rapide și al particulelor cu spin, se folosesc generalizările acestuia ( ecuația Klein-Gordon , ecuația Pauli , ecuația Dirac etc.).
La începutul secolului al XX-lea, oamenii de știință au ajuns la concluzia că există o serie de discrepanțe între predicțiile teoriei clasice și datele experimentale privind structura atomică. Descoperirea ecuației Schrödinger a urmat presupunerea revoluționară a lui de Broglie că nu numai lumina, ci orice corp în general (inclusiv orice microparticule ) are proprietăți de undă .
Din punct de vedere istoric, formularea finală a ecuației Schrödinger a fost precedată de o lungă perioadă de dezvoltare a fizicii . Ecuația în sine a fost formulată de Erwin Schrödinger în 1925 , în procesul de a explica, la solicitarea lui Peter Debye , ideile lui de Broglie despre natura ondulatorie a microparticulelor unui grup de studenți absolvenți de la Universitatea din Zurich [2] . Publicat în 1926 [3] .
Pentru descoperirea acestei ecuații, E. Schrödinger a primit Premiul Nobel pentru Fizică în 1933 [4] .
Cea mai generală formă a ecuației Schrödinger este forma care implică dependența de timp [5] [6] :
Ecuație dependentă de timp (caz general)
|
unde este Hamiltonianul , sunt coordonatele și sunt momentele.
Un exemplu de ecuație Schrödinger nerelativistă în reprezentarea în coordonate pentru o particulă punctuală de masă care se mișcă într-un câmp potențial cu potențial :
Un exemplu de ecuație Schrödinger dependentă de timp
|
În acest exemplu, Hamiltonianul .
Funcția de undă , care este o soluție a ecuației Schrödinger, și primele sale derivate trebuie să fie cu o singură valoare și continue în spațiu. Continuitatea derivatelor înseamnă fizic continuitatea densității fluxului [7] .
Dacă energia potențială nu se transformă la infinit nicăieri sau se întoarce la un anumit punct mai lent decât , unde este distanța până la acest punct, atunci funcția de undă trebuie să fie finită în tot spațiul [7] .
Valorile medii ale mărimilor mecanice pentru un pachet de undă , care pot fi descrise prin ecuația Schrödinger, satisfac ecuațiile clasice Hamilton ( teorema lui Ehrenfest ) [8] .
Ecuația Schrödinger este invariantă sub transformările galileene . Din acest fapt rezultă o serie de consecințe importante: existența unui număr de operatori de mecanică cuantică asociați transformărilor galileene; incapacitatea de a descrie stări cu un spectru de masă sau particule elementare instabile în mecanica cuantică nonrelativista ( teorema lui Bargman ); existența invarianților mecanici cuantici generați de transformarea galileană [9] .
Ecuația Schrödinger este mai complexă decât ecuațiile Hamilton ale mecanicii clasice. Ecuațiile lui Hamilton sunt un sistem de ecuații diferențiale ordinare de ordinul întâi , iar ecuația Schrödinger este o ecuație cu diferență parțială [10] .
Ecuația Schrödinger este liniară, adică dacă funcțiile de undă și satisfac ecuația Schrödinger, atunci orice combinație liniară a acestora o satisface , unde și sunt numere complexe [11] . Ca rezultat, suprapunerea liniară a funcțiilor de undă nu este încălcată de ecuația Schrödinger și este necesară o operație de măsurare pentru a reduce funcția de undă. Liniaritatea operatorului Schrödinger este o consecință și generalizare a principiului de suprapunere , care este important pentru formularea corectă a conceptului de operație de măsurare [12] .
Pentru toate sistemele cuantice care ocupă regiuni limitate ale spațiului, soluțiile ecuației Schrödinger există numai pentru un set numărabil de valori energetice și reprezintă un set numărabil de funcții de undă , ale căror membri sunt numerotați printr-un set de numere cuantice [7] [13 ]. ] . Funcția de undă a stării normale (cu cea mai mică energie) nu dispare (nu are noduri) nicăieri în spațiu. Nivelul normal de energie nu poate fi degenerat. Teorema de oscilație : pentru mișcarea unidimensională, funcția de undă a spectrului discret corespunzătoare celei de -a-a-a mari valori proprii dispare (pentru valori finite ale coordonatei x) ori [7] .
Ecuația Schrödinger, ca și ecuațiile Hamilton, este o ecuație de ordinul întâi în timp. Este o expresie matematică a principiului determinismului statistic în mecanica cuantică: o stare dată a unui sistem determină starea sa ulterioară nu fără ambiguitate, ci numai cu o anumită probabilitate specificată folosind funcția de undă .
Ecuația Schrödinger este simetrică față de ambele direcții ale timpului. Această simetrie este exprimată în invarianța sa atunci când semnul este schimbat și funcția de undă este înlocuită simultan cu un conjugat complex [14] .
Dacă și sunt două soluții ale ecuației Schrödinger, atunci produsul lor scalar nu se modifică în timp: . Aceasta rezultă din egalitatea la zero a derivatei produsului scalar [15] :
Ecuația Schrödinger nu poate explica emisia spontană , deoarece funcția de undă a stării excitate este soluția exactă a ecuației Schrödinger dependentă de timp [16] [17] .
Ecuația Schrödinger nu poate descrie procesul de măsurare în mecanica cuantică, deoarece este liniar, determinist și reversibil în timp, în timp ce procesul de măsurare este neliniar, stocastic și ireversibil în timp [18] .
Ecuația Schrödinger nu poate descrie procesele de transformări reciproce ale particulelor elementare . Procesele de transformări reciproce ale particulelor sunt descrise de teoria cuantică relativistă a câmpului.
În fizica cuantică , este introdusă o funcție cu valori complexe care descrie starea pură a unui obiect, care se numește funcție de undă . În cea mai comună interpretare de la Copenhaga , această funcție este legată de probabilitatea de a găsi un obiect în una dintre stările pure (pătratul modulului funcției de undă este densitatea de probabilitate ) [19] [20] . Comportamentul unui sistem hamiltonian în stare pură este complet descris de funcția de undă.
Abandonând descrierea mișcării unei particule cu ajutorul traiectoriilor obținute din legile dinamicii , și după ce s-a determinat în schimb funcția de undă, este necesar să se introducă în considerare o ecuație care să fie echivalentă cu legile lui Newton și să dea o rețetă pentru găsind în special probleme fizice. O astfel de ecuație este ecuația Schrödinger.
Fie dată funcția de undă în spațiul de configurare n-dimensional , apoi în fiecare punct cu coordonate la un anumit moment în timp va arăta ca . În acest caz, ecuația Schrödinger va fi scrisă astfel:
unde , este constanta lui Planck ; este masa particulei, este energia potențială exterioară particulei la momentul respectiv , este operatorul Laplace (sau Laplacian), este echivalent cu pătratul operatorului nabla și în sistemul de coordonate n-dimensional are forma :
În cazul tridimensional , funcția psi este o funcție a trei coordonate, iar în sistemul de coordonate carteziene este înlocuită cu expresia
atunci ecuația Schrödinger va lua forma:
unde , este constanta lui Planck ; este masa particulei, este energia potențială în punctul la momentul t .
Forma ecuației Schrödinger arată că, în raport cu timpul, soluția sa ar trebui să fie simplă, deoarece timpul intră în această ecuație doar prin derivata întâi din partea dreaptă. Într-adevăr, o soluție specială pentru cazul în care nu este o funcție de timp poate fi scrisă astfel:
unde funcția trebuie să satisfacă ecuația:
care se obține din ecuația Schrödinger (1) prin înlocuirea formulei de mai sus cu (2) în ea . Rețineți că această ecuație nu conține deloc timp; în acest sens, se numește ecuația Schrödinger staționară (ecuația Schrödinger care nu conține timp) .
Expresia (2) este doar o soluție particulară a ecuației Schrödinger dependentă de timp (1) , soluția generală este o combinație liniară a tuturor soluțiilor particulare de forma (2) . Dependența funcției de timp este simplă, dar dependența sa de coordonată nu are întotdeauna o formă elementară, deoarece ecuația (3) cu o alegere a formei funcției potențiale este complet diferită de aceeași ecuație cu o altă alegere de această funcție. De fapt, ecuația (3) poate fi rezolvată analitic doar pentru un număr mic de tipuri particulare ale funcției .
Fie energia cinetică clasică a unui sistem dinamic să aibă forma . Mărimile pot fi considerate componente ale unui tensor metric în spațiul măsurătorilor. În coordonatele carteziene dreptunghiulare , acestea sunt doar masele particulelor și sunt masele reciproce.
Ecuația Schrödinger în formă invariantă are forma:
Iată determinantul matricei .
Ecuația Schrödinger care descrie mișcarea unui micro-obiect într-un câmp potențial :
Funcția de undă a unei microparticule la poate fi reprezentată ca . Datorită identităților , ecuația Schrödinger în acest caz poate fi scrisă și sub forma: .
În acest caz, această ecuație devine ecuația Hamilton-Jacobi a mecanicii clasice:
.Existența unei tranziții limită de la ecuația Schrödinger la ecuația Hamilton-Jacobi dă motive să se considere mecanica lui Newton ca un caz limitativ al unei mecanici cuantice mai generale, potrivită pentru descrierea atât a obiectelor microscopice cât și macroscopice ( principiul corespondenței ).
Ecuațiile lui Maxwell pentru undele electromagnetice în spațiul gol
poate fi convertit într-o singură ecuație prin introducerea unei noi mărimi complexe , similară cu funcția de undă din ecuația Schrödinger
similar cu ecuația Schrödinger [27] .
Ecuația Schrödinger este similară cu ecuațiile de conducție și difuzie a căldurii din fizica clasică prin aceea că este o ecuație de ordinul întâi în timp și diferă de ele prin prezența unui coeficient imaginar înainte de . Datorită acesteia, poate avea și soluții periodice [28] .
Ecuația lui Schrödinger poate fi derivată din principiul celei mai mici acțiuni tratând drept ecuația lui Euler
o problemă variațională în care densitatea lagrangianului are forma [29] [30] :
Ecuația lui Dirac poate fi scrisă ca ecuația Schrödinger:
Aici: , ,
În unele cazuri, soluția ecuației staționare Schrödinger prin metoda WKB poate fi căutată sub forma , iar acțiunea satisface ecuația Hamilton-Jacobi . Extinderea funcției într-o serie în puteri ale parametrului : , se obține ecuația staționară Hamilton-Jacobi în aproximația zero, iar corecții de diferite ordine în aproximațiile următoare [31] .
Ecuația Schrödinger poate fi ajunsă prin generalizarea ecuației undelor la cazul undelor De Broglie : [32]
unde este operatorul Laplace , este funcția de undă , care are proprietățile unei unde de Broglie, este timpul, este coordonata spațială, este viteza fazei .
Dacă funcția de undă este monocromatică, atunci soluția acestei ecuații poate fi reprezentată ca
unde este frecvența circulară .
Ecuația pentru partea spațială a funcției de undă este:
Să folosim expresia pentru lungimea de undă:
Ecuația pentru partea spațială a funcției de undă ia forma:
Luând în considerare expresia pentru lungimea de undă de Broglie :
și legea conservării energiei :
unde este impulsul particulei, este constanta lui Planck , este masa particulei, este energia potențială a particulei, este energia totală a particulei.
Primim:
Ca rezultat, avem ecuația staționară Schrödinger:
Pentru a trece la ecuația Schrödinger non-staționară, reprezentăm ecuația Schrödinger staționară sub forma:
unde .
Cu ajutorul egalității
ajungem la ecuația Schrödinger non-staționară:
În mecanica cuantică, derivata în timp a funcției de undă poate fi gândită ca un operator de deplasare în timp. Prin analogie cu mecanica clasică și relația dintre energie și timp, putem presupune că rolul său este întotdeauna jucat de hamiltonian . Aceasta implică imediat ecuația Schrödinger [33] [34] .
Ecuația Schrödinger poate fi ajunsă pe baza corespondenței dintre mecanica clasică și optica geometrică. Conceptele de punct material, traiectorie, viteză, energie potențială, energie, principiul variațional Maupertuis din mecanica clasică corespund conceptelor de pachet de undă, fascicul, viteza de grup, viteza de fază (indicele de refracție), frecvența, principiul variațional al lui Fermat în geometrie. optica [35] .
Principiul variațional al lui Maupertuis în mecanica clasică
(unu)corespunde principiului variațional al lui Fermat în optică
(2)Aici , este energia totală, este energia potențială și este viteza fazei. O traiectorie în mecanica clasică corespunde unui fascicul de lumină în optică dacă
(3)Pachetul de undă poate fi reprezentat ca
.Pentru pachetul maxim, egalitatea
.Din această egalitate rezultă că . În mecanica clasică, aceasta corespunde egalității . Din aceste două expresii, se obține o formulă pentru viteza de grup [36] :
(patru)Atunci condiția de egalitate a vitezei punctului material și a vitezei de grup a pachetului de undă poate fi scrisă ca [37] :
(5)De aici, folosind (3), obținem:
Comparând coeficienții la aceleași puteri , găsim
Prima dintre ele dă , apoi a doua implică , , . Viteza de fază a undei depinde de frecvența :
(6)O undă monocromatică cu viteza de fază satisface ecuația
(7)O soluție specială a acestei ecuații are forma:
(opt)unde este frecvența undei. Înlocuind soluția (8) în ecuația (7), obținem:
(9)Înlocuind (6) în (9), obținem:
(zece)Din ecuația (8) obținem:
(unsprezece)Înlocuind (11) în (10), obținem ecuația Schrödinger dependentă de timp (12) [38] :
(12)O particulă nerelativista fără spin într- un câmp electromagnetic definit de potențiale și descrie ecuația Schrödinger într-un câmp magnetic (potențialul câmpului electric este scalar și intră ca un termen obișnuit ):
Iată operatorul de impuls . Această ecuație este scrisă în sistemul gaussian de unități . În sistemul SI , coeficientul at este egal cu nu , dar .
Ecuația neliniară Schrödinger are forma:
unde este o funcție cu valori complexe .
Este folosit în descrierea fenomenelor mecanice cuantice neliniare.
În teoria cuantică a câmpului, atunci când se studiază procesele relativiste cu anihilarea și crearea particulelor elementare, se cunoaște o generalizare a ecuației Schrödinger în derivate variaționale:
Aici , este amplitudinea stării , este intensitatea interacțiunii, este densitatea funcției Hamilton generalizate și este matricea de împrăștiere [39] .
Această ecuație poate fi rescrisă sub forma ecuației diferențiale funcționale Schwinger-Tomonaga :
unde este o suprafață asemănătoare spațiului în spațiul Minkowski [40] .
Fizică matematică | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tipuri de ecuații | |||||||||||
Tipuri de ecuații | |||||||||||
Condiții de frontieră | |||||||||||
Ecuații ale fizicii matematice |
| ||||||||||
Metode de rezolvare |
| ||||||||||
Studiul ecuațiilor | |||||||||||
subiecte asemănătoare |
![]() | |
---|---|
În cataloagele bibliografice |
|