Regula finală a subdiviziunii

În matematică , regula subdiviziunii finite este un mod recursiv de a împărți un poligon și alte forme bidimensionale în bucăți din ce în ce mai mici. Regulile de subdiviziune în acest sens sunt o generalizare a fractalilor . În loc să repeți același model iar și iar, există ușoare modificări la fiecare pas, permițând texturi mai bogate, menținând în același timp suport pentru stilul fractal elegant [1] . Regulile de subdiviziune sunt folosite în arhitectură, biologie și informatică, precum și în studiul varietăților hiperbolice . Înlocuirea plăcilor este o regulă de subdiviziune bine studiată.

Definiție

Regula de subdiviziune ia o placare în planul cu poligoane și o transformă într-o nouă placare prin împărțirea fiecărui poligon în poligoane mai mici. Regula este finită dacă există doar un număr limitat de moduri de a împărți fiecare poligon. Fiecare mod de împărțire a unei plăci se numește tip de plăci . Fiecare tip de placă este reprezentat de o etichetă (de obicei o literă). Fiecare tip de plăci este împărțit în tipuri de plăci mai mici. Fiecare muchie este, de asemenea, împărțită într-un număr finit de tipuri de muchii . Regulile finale de subdiviziune pot subdiviza doar plăcile care sunt compuse din poligoane etichetate cu tipuri de plăci. Astfel de plăci sunt numite complexe de subdiviziune pentru regula de subdiviziune. Având în vedere orice complex de subdiviziune pentru regula de subdiviziune, îl putem împărți iar și iar pentru a obține o secvență de tiling.

De exemplu, o diviziune binară are un tip de plăci și un tip de margine:

Deoarece plăcile sunt doar quad-uri, o subdiviziune binară poate da o țiglă constând doar din quad-uri. Aceasta înseamnă că complexele de subdiviziune sunt plăci de patrulatere. Mozaicul poate fi corect , dar nu trebuie să fie:

Aici începem cu patru patru și le subdivizăm de două ori. Toate pătratele sunt plăci de tip A.

Exemple de reguli de sfârșit de subdiviziune

Subdiviziunea baricentrică este un exemplu de regulă de subdiviziune cu un tip de margine (care se subdivizează în două margini) și un tip de țiglă (un triunghi care se împarte în 6 triunghiuri mai mici). Orice suprafață triangulată este un complex de subdiviziune baricentric [1] .

O placă Penrose poate fi obținută folosind regula de subdiviziune pe un set de patru tipuri de plăci (curbele din tabelul de mai jos ajută doar să arate cum se potrivesc plăcile):

Nume	Dale inițiale	Generația 1	Generația 2	Generația 3
Semi-deltoid
jumătate de săgeată
Soare
Stea

Unele mapări raționale dau naștere la reguli de subdiviziune finite [2] . Acestea includ majoritatea display-urilor Latte [3] .

Orice complement alternativ simplu inseparabil al unui nod sau al unei verigi are o regulă de subdiviziune cu niște plăci care nu sunt subdivizate în funcție de limitele complementului verigii [4] . Regulile de subdiviziune arată cum ar arăta cerul nopții dacă cineva ar trăi în complementul nodului În acest caz, universul se înfășoară singur (adică nu este pur și simplu conectat ), iar observatorul ar vedea partea vizibilă a universului repetându-se ea însăși într-un mozaic infinit. Regula de subdiviziune descrie acest tiling.

Regula subdiviziunii arată diferit pentru diferite geometrii. Iată regula de subdiviziune pentru un trefoil care nu este un link hiperbolic :

Și iată regula de împărțire pentru inelele Borromee care sunt hiperbolice:

În fiecare caz, regula subdiviziunii operează pe o anumită teselație a sferei (adică cerul de noapte), dar este mai ușor să desenezi o mică parte a cerului înstelat corespunzătoare unei singure plăci subdivizate de mai multe ori. Iată ce se întâmplă cu shamrock:

Și pentru inelele Borromee:

Reguli de subdiviziune în alte dimensiuni

Regulile de subdiviziune pot fi generalizate la alte dimensiuni [5] . De exemplu, subdiviziunea baricentrică este aplicabilă în toate dimensiunile. Subdiviziunea binară poate fi generalizată și la alte dimensiuni (unde hipercuburile sunt împărțite de hiperplanuri mediane), ca în demonstrația lemei Heine-Borel .

Definiție strictă

Regula finală de subdiviziune constă în următoarele [1] . $R$

1. Un complex CW bidimensional finit , numit complex de subdiviziune , cu o structură celulară fixă, astfel încât este uniunea de 2 celule închise. Presupunem că pentru fiecare 2-celulă închisă a complexului există o structură CW pe 2-disc închis astfel încât să aibă cel puțin două vârfuri, vârfurile și muchiile sunt conținute în , iar maparea caracteristică a hărții la este limitată la un homeomorfism la fiecare celulă deschisă. $S_{R)$ $S_{R)$ ${\tilde {s))$ $S_{R)$ $s$ $s$ $s$ $\partial s$ $\psi _{s}:s\rightarrow S_{R}$ ${\tilde {s))$

2. Un complex CW bidimensional finit , care este o subdiviziune a lui . $R(S_{R})$ $S_{R)$

3. Maparea continuă a celulelor , numită cartografiere subdiviziunii , a cărei restricție la fiecare celulă deschisă este un homeomorfism. $\phi _{R}:R(S_{R})\rightarrow S_{R)$

Fiecare complex CW din definiția de mai sus (cu mapare caracteristică ) se numește tip de țiglă . $s$ $\psi _{s)$

$R$ -complexul pentru regula subdiviziunii este un complex CW bidimensional , care este uniunea de 2 celule închise, împreună cu o mapare continuă a celulelor , a cărei restricție la fiecare celulă deschisă este un homeomorfism. Ne putem subdiviza într-un complex solicitând ca maparea generată să fie limitată la un homeomorfism la fiecare celulă mărginită. din nou -complex cu cartografierea . Repetând procesul, obținem o succesiune de complexe subdivizate cu mapări . $R$ $X$ $f:X\rightarrow S_{R}$ $X$ $R(X)$ $f:R(X)\rightarrow R(S_{R})$ $R(X)$ $R$ $\phi _{R}\circ f:R(X)\rightarrow S_{R)$ $R$ $R^{n}(X)$ $\phi _{R}^{n}\circ f:R^{n}(X)\rightarrow S_{R)$

Subdiviziunea binară este un exemplu: [6]

Un complex de subdiviziune poate fi creat prin lipirea marginilor opuse ale unui pătrat, ceea ce transformă complexul de subdiviziune într-un torus . Afișajul subdiviziunii este un afișaj dublu torus, înfășurând meridianul în jurul său de două ori, și același lucru pentru latitudine. Adică este o copertă cvadruplă . Planul placat cu pătrate este complexul de subdiviziune pentru această regulă de subdiviziune cu maparea structurală dată de maparea standard de acoperire. În subdiviziune, fiecare pătrat din plan este subdivizat în pătrate de dimensiunea unui sfert. $S_{R)$ $\phi$ $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow R(S_{R})$

Proprietăți de cvasi-izometrie

Regulile de subdiviziune pot fi folosite pentru a studia proprietățile de cvasiizometrie ale anumitor suprafețe [7] . Având în vedere o regulă de subdiviziune și un complex de subdiviziune , putem construi un grafic numit grafic istoric care înregistrează acțiunile regulii de subdiviziune. Graficul constă din graficele duale ale fiecărei etape , împreună cu marginile care leagă fiecare țiglă cu subdiviziunile sale în . $R$ $X$ $R^{n}(X)$ $R^{n}(X)$ $R^{n+1}(X)$

Proprietățile de cvasiizometrie ale graficelor istorice pot fi studiate folosind reguli de subdiviziune. De exemplu, graficul de istorie este o cvasiizometrie a unui spațiu hiperbolic exact atunci când regulile de subdiviziune sunt conforme , așa cum este descris în teorema de mapare combinatorie a lui Riemann [7] .

Aplicații

Mozaicul Girih din arhitectura islamică este o placă auto-similară care poate fi modelată prin reguli de subdiviziune finită [8] . În 2007 , Peter Lu la Universitatea Harvard și profesorul Paul Steinhardt de la Universitatea Princeton au publicat un articol în revista Science în care presupune că aceste plăci au proprietăți compatibile cu plăci fractale cvasi -cristaline auto-similare , cum ar fi plăcile Penrose placarea a fost propusă în 1974) , dar mozaicurile girih au fost folosite cu cinci secole mai devreme [9] [10] .

Suprafețele subdivizate în grafica computerizată folosesc reguli de subdiviziune pentru a rafina o suprafață la orice nivel dat de precizie. Pe aceste subdiviziuni de suprafață (cum ar fi suprafața Catmull-Clark subdivizată ) o plasă poligonală (folosită pentru animația 3D în filme)este preluată și rafinată într-o plasă cu un număr mare de poligoane prin adăugarea și deplasarea punctelor în funcție de diferite recursive. formule [11] . Deși multe puncte sunt deplasate în acest proces, fiecare plasă nouă este combinatoric o subdiviziune a rețelei vechi (însemnând că pentru orice margine și vârf al rețelei vechi, puteți specifica o margine și un vârf al rețelei noi, plus câteva muchii suplimentare. și vârfuri).

Regulile de subdiviziune au fost folosite de Cannon, Floyd și Parry (2000) pentru a studia structurile organismelor biologice în creștere [6] . Cannon, Floyd și Parry au dezvoltat un model de creștere matematică care demonstrează că unele sisteme, definite prin reguli simple de subdiviziune finită, au ca rezultat obiecte (în cazul lor, un trunchi de copac) ale căror forme de volum mare fluctuează mult în timp, deși reglementările locale reglementează subdiviziunile rămân aceleași [6] . Cannon, Floyd și Parry și-au aplicat, de asemenea, modelul la analiza creșterii țesuturilor la șobolani [6] . Ei au sugerat că natura „curbată negativ” (sau non-euclidiană) a structurilor de creștere microscopice ale organismelor biologice este unul dintre motivele cheie pentru care organismele la scară mare nu arată ca cristale sau poliedre, dar, de fapt, în multe cazurile seamănă cu fractali auto-similari [ 6] . În special, ei au sugerat că o astfel de structură locală „curbată negativ” se manifestă în natura foarte pliată și extrem de conectată a țesuturilor creierului și plămânilor [6] .

Ipoteza lui Cannon

Cannon , Floyd și Parry au fost primii care au studiat regulile de subdiviziune finită în încercarea de a demonstra următoarea presupunere:

Conjectura lui Cannon : Orice grup hiperbolic Gromov cu 2-sfere la infinit acționează geometric asupra unui 3-spațiu hiperbolic [7] .

Aici acțiunea geometrică este o acțiune compactă, complet discontinuă a izometriilor. Conjectura a fost parțial rezolvată de Grigory Perelman în demonstrația sa [12] [13] [14] a conjecturei lui Thurston , care afirmă (în special) că orice grup hiperbolic Gromov care este un grup de 3-varietate trebuie să acționeze geometric într-un hiperbolic. 3-spațiu. Cu toate acestea, rămâne să arătăm că grupul hiperbolic Gromov cu 2-sfere la infinit este un grup de 3-varietate.

Cannon și Swenson au arătat [15] că un grup hiperbolic cu 2 sfere la infinit are o regulă de subdiviziune asociată. Dacă această regulă de subdiviziune este conformă într-un anumit sens, grupul va fi un grup de 3-variete cu geometria unui 3-spațiu hiperbolic [7] .

Teorema de cartografiere combinatorie a lui Riemann

Regulile de subdiviziune dau secvența de plăci a unei suprafețe, iar plăcile dau ideea distanței, lungimii și suprafeței (presupunând că fiecare plăci are lungimea și zona 1). În limită, distanța care rezultă din aceste plăci poate, într-un sens, să convergă către o structură analitică la suprafață. Teorema de cartografiere combinatorică a lui Riemann oferă o condiție necesară și suficientă pentru ca acest lucru să se întâmple [7] .

Este necesară o anumită pregătire pentru a formula teorema. Plasarea inelului dă doi invarianți, și , numite module de aproximare . Ele sunt similare cu modulul clasic al unui inel [16] . Acestea sunt determinate folosind funcții de greutate . Funcția de greutate atribuie fiecărei plăci de plăci un număr nenegativ numit greutate . Pentru orice cale din cale , puteți specifica lungimea ca sumă a greutăților tuturor plăcilor din cale. Definim înălțimea unei căi în ca infimumul lungimii tuturor căilor posibile care leagă granița interioară cu limita exterioară. Circumferința unui cerc în este infimul lungimii tuturor căilor posibile care formează un ciclu în inel (adică nu homotopic la zero în R). Aria inelului în este definită ca suma pătratelor tuturor greutăților în . Acum să definim $T$ $R$ $M_{sup}(R,T)$ $m_{inf}(R,T)$ $\rho$ $T$ $R$ $H(\rho )$ $R$ $\rho$ $R$ $C(\rho )$ $R$ $\rho$ $A(\rho )$ $R$ $\rho$ $R$

M_{sup}(R,T)=\sup {\frac {H(\rho )^{2}}{A(\rho )))

m_{inf}(R,T)=\inf {\frac {A(\rho )}{C(\rho )^{2)))

Rețineți că aceste cantități sunt invariante la scalarea metrică.

O secvență de plăci este conformă ( ) dacă valoarea celulei tinde spre 0 și: $T_{1},T_{2},...$ $K$

Pentru toate inelele, modulele de aproximare și pentru toate cele suficient de mari se află în același interval al formei $R$ $M_{sup}(R,T_{i})$ $m_{inf}(R,T_{i})$ $i$ $[r,Kr]$
Având în vedere un punct de pe suprafață, o vecinătate a punctului și un număr întreg , atunci există un inel în separarea x de complement , astfel încât modulele de aproximare ale inelului sunt mai mari decât numărul de la unele [7] . $X$ $N$ $X$ $eu$ $R$ $N\setminus \{x\}$ $N$ $i$ $R$ $eu$

Enunțul teoremei

Dacă o succesiune de plăci de pe o suprafață este conformă ( ) în sensul descris mai sus, atunci există o structură conformă pe suprafață și o constantă care depinde numai de care sunt modulele clasice și modulele aproximative (pentru suficient de mari ) de orice inel dat sunt -comparabile, ceea ce înseamnă că se află în același interval [7] . $T_{1},T_{2},...$ $K$ $K'$ $K$ $T_{i}$ $i$ $K'$ $[r,K'r]$

Consecințele

Din teorema de cartografiere combinatorie a lui Riemann rezultă că un grup acționează geometric dacă și numai dacă grupul este hiperbolic Gromov, are o sferă la infinit, iar regulile de subdiviziune naturală asupra sferei dau o succesiune de tiling-uri care sunt conforme în sensul descris mai sus. . Astfel, conjectura lui Cannon va fi adevărată dacă toate aceste reguli de subdiviziune sunt conforme [15] . $G$ $\mathbb {H} ^{3}$

Note

↑ 1 2 3 Cannon, Floyd, Parry, 2001 , p. 153-196.
↑ Cannon, Floyd, Parry, 2007 , p. 128-136.
↑ Cannon, Floyd, Parry, 2010 , p. 113-140.
↑ Rushton, 2010 , p. 1-13.
↑ Rushton, 2012 , p. 23–34.
↑ 1 2 3 4 5 6 Cannon, Floyd, Parry, 2000 , p. 65-82.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Cannon, 1994 , p. 155-234.
↑ Lu, 2007 , p. 1106–1110.
↑ Lu, Steinhardt, 2007 , p. 1106–1110.
↑ Cifre suplimentare Arhivat 26 martie 2009.
↑ Zorin, 2006 .
↑ Perelman, Grisha (11 noiembrie 2002), Formula de entropie pentru fluxul Ricci și aplicațiile sale geometrice, arΧiv : math.DG/0211159 [math.DG].
↑ Perelman, Grisha (10 martie 2003), Ricci flow with surgery on three-manifolds, arΧiv : math.DG/0303109 [math.DG].
↑ Perelman, Grisha (17 iulie 2003), Timp de extincție finit pentru soluțiile fluxului Ricci pe anumite-variete, arΧiv : math.DG/0307245 [math.DG].
↑ 1 2 Cannon, Swenson, 1998 , p. 809-849.
↑ Modulul unui inel este reciproca lungimii extreme a unei familii de curbe închise dintr-un inel $r_{1}\leq |z|\leq r_{2)$

Literatură

B. Rushton. O regulă de subdiviziune finită pentru torul n-dimensional // Geometriae Dedicata. - 2012. - T. 167 . — S. 23–34 . - doi : 10.1007/s10711-012-9802-5 .
Peter J Lu. Placuri decagonale și cvasi-cristaline în arhitectura islamică medievală // Știință. - 2007. - T. 315 . - S. 1106-1110 . - doi : 10.1126/science.1135491 . - . — PMID 17322056 .
Peter J. Lu, Paul J. Steinhardt. Placuri decagonale și cvasi-cristaline în arhitectura islamică medievală // Știință . - 2007. - T. 315 , nr. 5815 . - S. 1106-1110 . - doi : 10.1126/science.1135491 . - . — PMID 17322056 .
JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Reguli de subdiviziune finită // Geometrie și dinamică conformă. - 2001. - T. 5 .
JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Construirea regulilor de subdiviziune din hărți raționale // Conformal Geometry and Dynamics. - 2007. - T. 11 .
JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Hărți Lattès și reguli de subdiviziune // Geometrie și dinamică conformă. - 2010. - T. 14 .
JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Formarea modelelor în biologie, viziune și dinamică. - World Scientific, 2000. - ISBN 981-02-3792-8 , 978-981-02-3792-9 ..
B. Rushton. Construirea regulilor de subdiviziune din legături alternative // Conform. Geom.. - 2010. - Numărul. 14 .
James W. Cannon. Teorema combinatorie de cartografiere Riemann // Acta Mathematica . - 1994. - T. 173 , nr. 2 .
JW Cannon, EL Swenson. Recunoașterea grupurilor discrete cu curbură constantă în dimensiunea 3 // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică. - 1998. - T. 350 , nr. 2 .
D. Zorin. Subdiviziuni pe ochiuri arbitrare: algoritmi și teorie. - Institute of Mathematical Sciences (Singapore), 2006. - (Lecture Notes Series).

Link -uri

Pagina de cercetare a lui Bill Floyd . Această pagină conține majoritatea lucrărilor de cercetare ale lui Cannon, Floyd și Parry despre regulile de subdiviziune, precum și o galerie de reguli de subdiviziune.

fractali
Caracteristici	dimensiune fractală dimensiunea Hausdorff Dimensiunea Lebesgue recursiunea autoasemănarea
Cei mai simpli fractali	Fern Barnsley Setul Cantor curba dragonului curba Koch Sponge Menger covor Sierpinski triunghiul Sierpinski Curba de umplere a spațiului
atractor ciudat	Multifractal
Sistemul L	Curba de umplere a spațiului
Fractali de bifurcație	Julia a stabilit Fractal Lyapunov Set Mandelbrot bazinele lui Newton
Fractali aleatorii	Mișcarea browniană arbore brunian suprafata fractala Teoria percolarii
oameni	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandru Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
subiecte asemănătoare	Cât de lungă este coasta Marii Britanii? » Paradoxul litoralului

Ramuri ale matematicii

Portalul „Știință”

Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii

Teoria numerelor ( aritmetică )

Algebră
Algebră elementară	Soluția ecuației
Algebră liniară	Calcul vectorial matrici Calcul tensor Algebră multiliniară
Algebră generală	Algebră comutativă Teoria reprezentarii Algebră diferențială Algebră omologică Algebră universală Teoria categoriilor

Analiză
Analiza clasică	Calcul diferenţial Calcul integral
Teoria funcției	Analiza armonică Analiza cuaterniilor Analiză complexă teoria măsurării Teoria funcțiilor unei variabile reale analiza functionala Calculul variațiilor
Ecuații diferențiale și integrale	Sisteme dinamice și teoria ergodică Ecuatii diferentiale comun în derivate parţiale Ecuații integrale
Analiza Vectorială Analiza globală Teoria catastrofei Analiză personalizată Analiză infinitezimală netedă

Geometrie și topologie
Geometrie	Geometrie algebrică Geometrie analitică Geometrie euclidiană Geometrie non-euclidiană Planimetrie Stereometrie
Topologie	Topologie generală Topologie algebrică Geometrie și topologie diferențială

Matematică discretă
Combinatorică teoria grafurilor

Matematică aplicată
Fizică matematică Chimie matematică biologie matematică Statistici matematice Modelare matematică Teoria algoritmilor Metode numerice economie matematică matematica financiara Teoria probabilității Cercetare operațională Teoria jocului

Portalul „Matematică”
Categoria „Matematică”