Patrulaterul înscris

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 19 septembrie 2022; verificările necesită 9 modificări .

Un patrulater înscris este un patrulater ale cărui vârfuri se află pe același cerc . Acest cerc se numește circumscris . De obicei, se presupune că patrulaterul este convex , dar există și patrulatere înscrise cu auto-intersectare. Formulele și proprietățile prezentate mai jos sunt valabile numai pentru patrulaterele convexe.

Toate triunghiurile au cercuri circumscrise , dar nu toate patrulaterele. Un exemplu de patrulater care nu poate fi înscris într-un cerc este un romb (cu excepția cazului în care este un pătrat). Secțiunea „Proprietăți” de mai jos oferă condițiile necesare și suficiente pentru ca un cerc să fie circumscris în jurul unui patrulater.

Ocazii speciale

Orice pătrate , dreptunghiuri , trapeze isoscele sau antiparalelograme pot fi înscrise într-un cerc. Un deltoid poate fi înscris dacă și numai dacă are două unghiuri drepte. Un patrulater bicentric un patrulater ciclic care este și un patrulater circumscris , iar un patrulater bicentric extern este un patrulater ciclic care este și un patrulater circumscris extern .

Proprietăți

Primul criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Un patrulater convex nedegenerat este înscris dacă și numai dacă , când cele patru perpendiculare mediale trasate pe fiecare dintre laturi se intersectează într-un punct [1] .
Al doilea criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Un patrulater convex este înscris dacă și numai dacă suma unghiurilor opuse este de 180°, adică [2] . $\displaystyle ABCD$

A+C=B+D=\pi =180^{{\circ }}.

O altă variantă a primului criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Teorema a fost Propunerea 22 din cartea 3 din Elementele lui Euclid [3] . În mod echivalent, un patrulater convex este înscris dacă și numai dacă unghiul adiacent este egal cu unghiul interior opus.
Al treilea criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Un cerc poate fi circumscris unui patrulater dacă și numai dacă orice pereche de laturile sale opuse este antiparalelă .
Al patrulea criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Un alt criteriu pentru ca un patrulater convex să fie înscris necesită ca unghiul dintre o latură și o diagonală să fie egal cu unghiul dintre latura opusă și cealaltă diagonală [4] . De exemplu, $\displaystyle ABCD$

\angle ACB=\angle ADB.

Al cincilea criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Inegalitatea lui Ptolemeu afirmă că produsul lungimilor a două diagonale p și q ale unui patrulater este egal cu suma produselor laturilor opuse numai dacă patrulaterul este înscris: [5]

\displaystyle pq=ac+bd.

Al șaselea criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Un cerc poate fi circumscris în jurul unui patrulater dacă și numai dacă orice pereche a laturilor sale opuse este antiparalelă.Dacă două drepte, dintre care una conține segmentul AC , iar cealaltă segmentul BD , se intersectează într-un punct E , atunci patru puncte A , B , C , D se află pe cerc dacă și numai dacă [6]

AE\cdot EC=BE\cdot ED.

Punctul de intersecție E poate fi situat atât în interiorul cât și în afara cercului. În primul caz va fi patrulaterul înscris ABCD , iar în al doilea caz va fi patrulaterul înscris ABDC . Dacă intersecția se află în interior, egalitatea înseamnă că produsul segmentelor în care punctul E împarte o diagonală este egal cu produsul segmentelor celeilalte diagonale. Această afirmație este cunoscută sub numele de teorema acordurilor care se intersectează , deoarece diagonalele unui patrulater înscris sunt acordurile cercului circumscris.

Al șaptelea criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Un patrulater convex ABCD este înscris dacă și numai dacă [7]

$\tan {{\frac {A}{2}}}\tan {{\frac {C}{2}}}=\tan {{\frac {B}{2}}}\tan {{\frac { D}{2}}}=1.$

Al optulea criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Fie un patrulater convex în care - punctul de intersecție al diagonalelor, - punctul de intersecție al prelungirilor laturilor și , - punctul de intersecție al prelungirilor laturilor și . Și fie circumferința celor nouă puncte ale triunghiului . este un patrulater ciclic dacă și numai dacă punctul de intersecție al liniilor sale mediane se află pe cerc . [8] [9] [10] (vezi figura) $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle E$ $\displaystyle F$ $\displaystyle AD$ $\displaystyle BC$ $\displaystyle G$ $\displaystyle AB$ $\displaystyle CD$ $\displaystyle \omega$ $\displaystyle EFG$ $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle \omega$

Al nouălea criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Un cerc poate fi circumscris unui patrulater dacă și numai dacă orice pereche a laturilor sale opuse este antiparalelă Într-un patrulater convex , fie punctul de intersecție al diagonalelor, fie punctul de intersecție al prelungirilor laturilor și , și fie un cerc al cărui diametru este un segment care formează punctele Pascal și pe laturi și .(vezi fig.) $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle E$ $\displaystyle F$ $\displaystyle AD$ $\displaystyle BC$ $\displaystyle \omega$ $\displaystyle F$ $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$ $\displaystyle AB$ $\displaystyle CD$

(1) este un patrulater ciclic dacă și numai dacă punctele și sunt coliniare cu centrul cercului . [10] [11] (2) este un patrulater ciclic dacă și numai dacă punctele și sunt punctele mijlocii ale laturilor și . [10] [11] . $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$ $\displaystyle O$ $\displaystyle \omega$
$\displaystyle ABCD$ $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$ $\displaystyle AB$ $\displaystyle CD$

Observație . Al șaptelea și al optulea criteriu pentru includerea unui patrulater sunt foarte asemănătoare, iar desenele lor sunt foarte asemănătoare. Este posibil ca acesta să fie același criteriu pentru înscrierea unui patrulater, luat din surse primare diferite. În ambele figuri și sunt puncte Pascal. Există și alte puncte similare. Deși formal ambele criterii sună diferit. $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$
Al zecelea criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Condiția în care combinarea a două triunghiuri cu o latură egală dă un patrulater înscris într-un cerc [12] . Astfel încât două triunghiuri cu triple lungimii laturilor (a, b, f) și respectiv (c, d, f), atunci când sunt combinate de-a lungul unei laturi comune cu lungimea egală cu f, dau ca rezultat un patrulater înscris într-un cerc. cu o succesiune de laturi ( a , b , c , d ), condiția [13] :84

f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd))).

Observație . Ultima condiție oferă o expresie pentru diagonala f a unui patrulater înscris într-un cerc în termenii lungimii celor patru laturi ale sale ( a , b , c , d ). Această formulă urmează imediat atunci când se înmulțesc și se echivalează unele cu altele părțile din stânga și din dreapta ale formulelor care exprimă esența primei și a doua teoreme ale lui Ptolemeu .

Al unsprezecelea criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Un patrulater convex (vezi figura din dreapta) format din patru drepte Miquel date este înscris într-un cerc dacă și numai dacă punctul Miquel M al patrulaterului se află pe linia care leagă două dintre cele șase puncte de intersecție ale dreptelor (cele care nu sunt vârfuri ale patrulaterului). Adică, când M se află pe EF (vezi figura din dreapta).

Zona

Aria S a unui patrulater înscris cu laturile a , b , c , d este dată de formula Brahmagupta [14]

S={\sqrt {(pa)(pb)(buc)(pd)}}

unde p , semiperimetrul , este . Afirmația este o consecință a relației lui Bretschneider , deoarece unghiurile opuse însumează 180°. Dacă d \u003d 0, patrulaterul înscris devine un triunghi, iar egalitatea se transformă în formula lui Heron . $p={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$

Un patrulater înscris are aria maximă dintre toate patrulaterele cu aceeași succesiune de lungimi laturi. Aceasta este o altă consecință a relației Bretschneider. Afirmația poate fi demonstrată folosind analiza matematică [15] .

Patru lungimi inegale, fiecare dintre ele mai mică decât suma celorlalte trei, sunt laturile a trei patrulatere înscrise incongruente [16] , iar conform formulei lui Brahmagupta, toate aceste triunghiuri au aceeași arie. În special, pentru laturile a , b , c și d , latura a poate fi opusă oricărei laturi b , c sau d . Oricare două dintre aceste trei patruunghiuri înscrise au o diagonală de aceeași lungime [17] .

Aria unui patrulater înscris cu laturile succesive a , b , c , d și unghiul B dintre laturile a și b poate fi exprimată prin formula [5]

S={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}

sau [18]

S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }

unde θ este orice unghi dintre diagonale. Dacă unghiul A nu este corect, aria poate fi exprimată prin formula [18]

S={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.

O altă formulă de zonă [19]

S=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }

unde R este raza cercului circumscris . Consecința directă va fi [20]

S\leq 2R^{2}

iar inegalitatea se transformă în egalitate dacă și numai dacă patrulaterul este pătrat.

Diagonale

Într-un patrulater înscris cu vârfurile A , B , C , D (în succesiunea indicată) și laturile a = AB , b = BC , c = CD și d = DA , lungimile diagonalelor p = AC și q = BD pot să fie exprimat în termeni de laturi [21] [22] [17]

p={\sqrt {{\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd))))

și

q={\sqrt {{\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc))))

care dă ecuaţia ptolemaică

pq=ac+bd.

Conform celei de-a doua teoreme a lui Ptolemeu [21] [22] ,

{\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}

cu aceeași notație ca înainte.

Pentru suma diagonalelor, avem inegalitatea [23]

p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.

O inegalitate devine o egalitate dacă și numai dacă diagonalele au aceeași lungime, ceea ce poate fi arătat folosind inegalitatea dintre media aritmetică și media geometrică .

Mai mult [24] ,

(p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.

În orice patrulater convex, două diagonale împart patrulaterul în patru triunghiuri. Într-un patrulater înscris, perechile opuse ale acestor patru triunghiuri sunt similare .

Dacă M și N sunt punctele medii ale diagonalelor AC și BD , atunci [25]

{\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|

unde E și F sunt punctele de intersecție ale laturilor opuse.

Dacă ABCD este un patrulater înscris și AC intersectează BD într-un punct P , atunci [26]

{\frac {AP}{CP}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.

Formule de unghi

Pentru un patrulater înscris cu laturile a , b , c , d , semiperimetrul p și unghiul A între laturile a și d , funcțiile trigonometrice ale unghiului A sunt [27]

\cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc))),

\sin A={\frac {2{\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd))}}{(ad+bc)))),

\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(pa)(pd)}{(pb)(pc)))}.

Pentru unghiul θ dintre diagonale, [18]

\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pd)}{(pa)(pc)))}.

Dacă extensiile laturilor opuse a și c se intersectează la un unghi , atunci $\phi$

\cos {\frac {\phi {2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pd)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc )}}}

unde p este semiperimetrul [28]

Formula lui Parameshvara

Pentru un patrulater înscris cu laturile a , b , c , d (în succesiunea indicată) și semiperimetrul p , raza cercului circumscris este dată de formula [22] [29]

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(pa)(pb)(pc)(pd) )}}}.

Formula a fost dezvoltată de matematicianul indian Vatasseri Paramesvara în secolul al XV-lea.

Folosind formula lui Brahmagupta , formula lui Parameswara poate fi convertită în

4SR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)))

unde S este aria patrulaterului înscris.

Anticentrul și coliniaritatea

Patru segmente de dreaptă perpendiculare pe o latură a patrulaterului înscris și care trec prin mijlocul laturii opuse se intersectează într-un punct [30] [31] . Acest punct de intersecție se numește anticentru . Anticentrul este simetric cu centrul cercului circumscris în raport cu „centrul vârfului” . Astfel, într-un patrulater înscris, centrul cercului circumscris, „centroidul vârfului” și anticentrul se află pe aceeași linie dreaptă [31] .

Dacă diagonalele unui patrulater înscris se intersectează în punctul P , iar punctele medii ale diagonalelor sunt V și W , atunci anticentrul patrulaterului este ortocentrul triunghiului VWP , iar centroidul vârfului se află în mijlocul segmentului care leagă punctele medii ale diagonalelor [31] .

Într-un patrulater înscris , „centroidul ariei” G a , „centroidul vârfurilor” G v și intersecția P a diagonalelor se află pe aceeași dreaptă. Distanțele dintre aceste puncte satisfac egalitatea [32]

PG_{a}={\tfrac {4}{3}}PG_{v}.

Alte proprietăți

Teorema lui Monge asupra ortocentrului unui patrulater înscris. În ortocentrul H al acestui patrulater se intersectează 4 segmente de linie dreaptă (4 antimedatrize ) desenate din mijlocul a 4 laturi ale unui patrulater înscris perpendicular pe laturile opuse . [33] , [34]

Teorema patrulaterului inscriptionat japonez . În patrulaterul înscris ABCD , centrele cercurilor triunghiurilor ABC , BCD , CDA și DAB sunt vârfurile dreptunghiului . Aceasta este una dintre teoremele cunoscute sub numele de teorema japoneză . Ortocentrii acelorași patru triunghiuri sunt vârfurile unui patrulater egal cu ABCD . Centroizii acestor patru triunghiuri sunt vârfurile altui patrulater înscris [4] .

Corolarul teoremei unghiului înscris . Într-un patrulater înscris ABCD cu centrul O , fie P punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD . Atunci unghiul APB este media aritmetică a unghiurilor AOB și COD . Aceasta este o consecință directă a teoremei unghiului înscris și a teoremei unghiului exterior al triunghiului .

Teorema privind perpendicularitatea bisectoarelor interne ale unghiurilor la vârfurile E și F, formate la intersecțiile a două perechi de laturi opuse ale unui patrulater înscris . Dacă laturile opuse ale patrulaterului înscris sunt extinse până la intersecția în punctele E și F , atunci bisectoarele interioare ale unghiurilor în E și F sunt perpendiculare [16] .

Teoremă pe 4 proiecții a 4 vârfuri ale unui patrulater înscris . Fie un patrulater înscris, fie baza perpendicularei coborâte de la vârf la diagonală ; punctele sunt definite în mod similar . Apoi punctele se află pe același cerc. [35] $ABCD$ $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$

Teorema patrulaterului numărului . Nu există patrulatere înscrise cu arie rațională și laturi raționale inegale care formează o progresie aritmetică sau geometrică [36] .

Teorema patrulaterului numărului . Dacă un patrulater înscris are lungimi de laturi care formează o progresie aritmetică , atunci patrulaterul este și circumscris extern .

Patraunghiuri ale lui Brahmagupta

Patrulaterul Brahmagupta [37] este un patrulater înscris cu lungimi întregi laturi, lungimi întregi diagonale și zonă întreagă. Toate patrulaturile Brahmagupta cu laturile a, b, c, d , diagonalele e, f , aria S și raza R ale cercului circumscris pot fi obținute eliminând numitorul din următoarele expresii (cu parametrii raționali t , u și v ):

a=[t(u+v)+(1-uv)][u+vt(1-uv)]

b=(1+u^{2})(vt)(1+tv)

c=t(1+u^{2})(1+v^{2})

d=(1+v^{2})(ut)(1+tu)

e=u(1+t^{2})(1+v^{2})

f=v(1+t^{2})(1+u^{2})

S=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2} )]

4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).

Proprietățile patrulaterelor înscrise ortodiagonale

Aria și raza cercului circumscris

Fie că pentru un patrulater înscris, care este și ortodiagonal (adică, având diagonale perpendiculare), intersecția diagonalelor împarte o diagonală în segmente de lungime p 1 și p 2 și împarte cealaltă în segmente de lungime q 1 și q 2 . Apoi [38] (prima egalitate este Propunerea 11 din Lemele lui Arhimede )

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^ {2}=b^{2}+d^{2}

unde D este diametrul cercului circumscris . Egalitatea este valabilă datorită faptului că diagonalele sunt coarde perpendiculare ale cercului . Aceasta implică faptul că raza cercului circumscris R satisface egalitatea

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2 }}}

sau, prin laturile patrulaterului

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+ d^{2}}}.

De asemenea, rezultă din aceasta că

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Astfel, conform formulei lui Euler , raza poate fi exprimată în termeni de diagonalele p și q și distanța x dintre punctele medii ale diagonalelor.

R={\sqrt {{\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}}.

Formula pentru aria K a unui patrulater ortodiagonal înscris poate fi obținută direct în ceea ce privește laturile combinând teorema lui Ptolemeu (vezi mai sus) și formula pentru aria unui patrulater ortodiagonal. Drept urmare, obținem

S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Alte proprietăți

Într-un patrulater ortodiagonal înscris, anticentrul coincide cu punctul de intersecție al diagonalelor [39] .

Teorema lui Brahmagupta afirmă că într-un patrulater înscris, care este și ortodiagonal, o perpendiculară de pe fiecare parte prin punctul de intersecție al diagonalelor bisectează latura opusă [39] .

Dacă patrulaterul înscris este, de asemenea, ortodiagonal, distanța de la centrul cercului circumscris de fiecare parte este jumătate din lungimea laturii opuse [39] .

Într-un patrulater ortodiagonal înscris, distanța dintre punctele medii ale diagonalelor este egală cu distanța dintre centrul cercului circumscris și punctul de intersecție al diagonalelor [39] .

Vezi și

Note

↑ Usiskin, 2008 , p. 63–65, Capitolul 10. Patrulatere ciclice.
↑ Usiskin, 2008 , p. 63–65.
↑ Joyce, 1997 , p. Cartea 3, Propunerea 22.
↑ 1 2 Andreescu, Enescu, 2004 , p. 2.3 Cvadri ciclici.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , p. 25.
↑ Bradley, 2007 , p. 179.
↑ Hajja, 2008 , p. 103–6.
↑ Fraivert, David. Puncte noi care aparțin cercului de nouă puncte // The Mathematical Gazette : jurnal. - 2019. - iulie ( vol. 103 , nr. 557 ). - P. 222-232 . - doi : 10.1017/mag.2019.53 .
↑ Fraivert, David. Noi aplicații ale metodei numerelor complexe în geometria patrulaterelor ciclice (engleză) // International Journal of Geometry : journal. - 2018. - Vol. 7 , nr. 1 . - P. 5-16 .
↑ 1 2 3 Fraivert, David; Sigler, Avi & Stupel, Moshe (2020), Proprietăți necesare și suficiente pentru un patrulater ciclic , International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , < https://doi.org/10.1080/0020739X.2019.1683772 > Arhivat 10 iunie 2020 la mașina Wayback
↑ 1 2 Freivert, D. M. (2019), A New Topic in Euclidean Geometry on the Plane: Theory of "Pascal Points" Formed by a Circle on the Sides of a Quadrilateral , Matematic Education: State of the Art and Perspectives: Proceedings of Conferința științifică internațională , < http ://libr.msu.by/handle/123456789/9675 > Arhivat 10 noiembrie 2019 la Wayback Machine
↑ Vezi subsecțiunea „Diagonale” a articolului „ Patrulaterul înscris ”
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. co., 2007
↑ Durell și Robson 2003 , p. 24.
↑ Petru, 2003 , p. 315–6.
↑ 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967 , p. 57, 60.
↑ 12 Johnson , 2007 , p. 84.
↑ 1 2 3 Durell și Robson, 2003 , p. 26.
↑ Prasolov, 2006 , p. 86, Problema 4.44.
↑ Alsina, Nelsen, 2009 , p. 64.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , p. 25,.
↑ 1 2 3 Alsina, Nelsen, 2007 , p. 147–9.
↑ Crux, 2007 , p. 123, #2975.
↑ Crux, 2007 , p. 64, #1639.
↑ ABCD este un patrulater ciclic. Fie M , N punctele medii ale diagonalelor AC , respectiv BD ... . Arta rezolvării problemelor (2010). (nedefinit)
↑ A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles , [1] Arhivat la 28 mai 2019 la Wayback Machine , accesat la 18 martie 2014.
↑ Siddons, Hughes, 1929 , p. 202.
↑ Durell și Robson 2003 , p. 31.
↑ Hoehn, 2000 , p. 69–70.
↑ Altshiller-Court, 2007 , p. 131.
↑ 1 2 3 Honsberger, 1995 , p. 35–39, 4.2 Patrulatere ciclice.
↑ Bradley, 2011 .
↑ Puncte și linii remarcabile de patrulatere// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf
↑ Teorema lui Monge// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264
↑ În jurul problemei lui Arhimede. Arhivat pe 29 aprilie 2016 la Wayback Machine 7, fig. 11, corolar, p. 5
↑ Buchholz, MacDougall, 1999 , p. 263–9.
↑ Sastry, 2002 , p. 167–173.
↑ Posamentier, Salkind, 1970 , p. 104–5.
↑ 1 2 3 4 Altshiller-Court, 2007 , p. 131.137-8.

Literatură

Claudi Alsina, Roger Nelsen. Când Mai puțin este Mai mult: Vizualizarea inegalităților de bază, Capitolul 4.3 Patralatere ciclice, tangențiale și bicentrice. - Mathematical Association of America, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9 .
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Pe diagonalele unui patrulater ciclic // Forum Geometricorum. - 2007. - T. 7 .
Nathan Altshiller-Court. Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. — al 2-lea. - Courier Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2 . (org. 1952)
=Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Comori ale Olimpiadei de Matematică. - Springer, 2004. - ISBN 978-0-8176-4305-8 .
Christopher Bradley. Trei centroizi create de un patrulater ciclic. — 2011.
Christopher J. Bradley. Algebra geometriei: coordonate carteziene, ariale și proiective. - Highperception, 2007. - ISBN 1906338000 .
RH Buchholz, JA MacDougall. Patralatere de stârc cu laturile în progresie aritmetică sau geometrică // Buletinul Societății de Matematică Australiană. - 1999. - T. 59 , nr. 2 . - doi : 10.1017/S0004972700032883 .
Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometrie Revizuită. 3.2 Patraunghiuri ciclice; formula lui Brahmagupta. - Mathematical Association of America, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2 . Tradus de G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Noi întâlniri cu geometria. 3.2 Patraunghiuri înscrise; teorema lui Brahmagupta. - Moscova: „Nauka”, 1978. - (Biblioteca Cercului Matematic).
Crux Mathematicorum. Inegalități propuse în Crux Mathematicorum . — 2007.
D. Fraivert. Teoria unui patrulater inscriptibil și a unui cerc care formează punctele Pascal // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 42 . — P. 81–107. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121742 .
C.V. Durell, A. Robson. trigonometrie avansată. - Courier Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8 . (orig. 1930)
Mowaffaq Hajja. O condiție pentru ca un patrulater circumscriptibil să fie ciclic // Forum Geometricorum. - 2008. - T. 8 .
Larry Hoehn. Circumraza unui patrulater ciclic // Mathematical Gazette. - 2000. - T. 84 , nr. 499 martie . — .
Ross Honsberger. Episoade din geometria euclidiană din secolul al XIX-lea și al XX-lea. - Cambridge University Press, 1995. - V. 37. - (New Mathematical Library). - ISBN 978-0-88385-639-0 .
Roger A. Johnson. Geometrie Euclidiană Avansată. — Dover Publ, 2007. (orig. 1929)
Toma Petru. Maximizarea ariei unui patrulater // The College Mathematics Journal. - 2003. - T. 34 , nr. 4 septembrie . — .
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Probleme provocatoare în geometrie. — al 2-lea. - Courier Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1 . Capitolul: Rezolvari: 4-23 Demonstrați că suma pătratelor măsurilor segmentelor formate din două coarde perpendiculare este egală cu pătratul măsurii diametrului cercului dat.

, < http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf > Arhivat 21 septembrie 2018 la Wayback Machine Tradus din ediția rusă de V.V. Prasolov. Probleme de planimetrie. Tutorial. - a 5-a. - Moscova: MTSNMO OAO „Manuale de la Moscova”, 2006. - ISBN 5-94057-214-6 .
KRS Sastry. Brahmagupta patrulatere // Forum Geometricorum. - 2002. - T. 2 .
A.W. Siddons, R.T. Hughes. trigonometrie. — Cambridge University Press, 1929.
Zalman Usiskin, Jennifer Griffin, David Witonsky, Edwin Willmore. Clasificarea patrulaterelor: un studiu de definiție. - IAP, 2008. - (Cercetare în educaţia matematică). - ISBN 978-1-59311-695-8 .
D.E. Joyce. Elementele lui Euclid . - Universitatea Clark, 1997.
D. Fraivert. Patralatere cu puncte de pascal înscrise într-un patrulater ciclic // The Mathematical Gazette. - 2019. - T. 103 , nr. 557 .

Link- uri externe

Derivarea formulei pentru zona patrulaterului ciclic
Incentri în patrulater ciclic la tăierea nodului
Patru linii concurente într-un patrulater ciclic la tăierea nodului
Weisstein, Eric W. Patrulater ciclic (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Centrul lui Euler și maltitudinile patrulaterului ciclic la Dynamic Geometry Sketches , schiță interactivă de geometrie dinamică.

Poligoane

După numărul de laturi

Monogon
Bigon
Triunghi
Patrulater
Pentagon
Hexagon
Heptagon
Octogon
pentagon
Decagon
Hendecagon
Dodecagonul
Treisprezece
tetradecagon
Pentagon
Hexagon
Şaptesprezece
octogon
Nouăsprezece agon
Dodecagonul
Douăzeci și una de părți
Douăzeci și doi de unghi
Twentytrigon
Douăzeci și patru de unghi
Douăzeci de pentagon
Douăzeci de octogon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Patruzeci de pătrați
Patruzeci de bicagon
penticostal
penticostal
Hexagon
Șaizeci și patru
Heptagon
Octogon
Nonagon
[ en
Millagon
Zece-mii de gon
Suta de mii
Milliogon
infinit

Corect

convex	Triunghi Pătrat Pentagon Hexagon Heptagon Octogon pentagon tetradecagon Şaptesprezece 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stelat	Pentagramă Hexagrama Heptagramă Octagrama ( Steaua lui Lakshmi ) Eneagrama Decagram Endecagramă Dodecagramă

triunghiuri

Cadrilatere

Vezi si