Curbă de lățime constantă

O curbă de lățime constantă este o curbă convexă  plată , lungimea proiecției ortogonale ( diametrul Feret ) la orice linie dreaptă este egală cu .

Cu alte cuvinte, o curbă de lățime constantă este o curbă convexă plată, distanța dintre oricare două linii de referință paralele a cărei este constantă și egală  cu lățimea curbei.

Definiții înrudite

• O figură de lățime constantă este o figură a cărei limită este o curbă de lățime constantă.

Exemple

Figurile de lățime constantă, în special, sunt cercul și poligoanele Reuleaux (un caz special al acestora din urmă este triunghiul Reuleaux ). Poligoanele Reuleaux sunt formate din fragmente de cercuri și nu sunt curbe netede. De asemenea, este posibil să se construiască o curbă netedă de lățime constantă din fragmente conjugate de cercuri (figura din dreapta), dar o creștere suplimentară a netezimii curbei de-a lungul acestei căi este imposibilă.

Vizualizare funcțională

Spre deosebire de cele mai simple exemple date mai sus, curbele de lățime constantă pot să nu coincidă cu un cerc pe niciun segment finit și să fie arbitrar netede peste tot. În general, o figură de lățime constantă cu funcție de sprijin este dată de ecuații parametrice [1]

in conditii:

1. 
2. curba rezultată este convexă.

Conform trigonometriei elementare , prima condiție este îndeplinită de seria Fourier de următoarea formă:

Dacă coeficienții seriei scad suficient de repede, atunci curba rezultată va fi convexă (fără auto-intersecții).

În special, funcția suport generează o curbă de lățime constantă, pentru care se găsește o reprezentare implicită sub forma unei ecuații pentru un polinom de gradul 8 [3]

Această curbă într-o vecinătate a oricărui punct este o funcție analitică fie a lui x , fie a lui y și nu coincide cu un cerc din nicio vecinătate.

Proprietăți

• O curbă de lățime constantă are o lungime ( teorema lui Barbier ).
• Centrele cercurilor înscrise și circumscrise ale unei curbe de lățime constantă coincid, iar suma razelor lor este egală cu lățimea curbei.
• O figură de lățime constantă se poate roti într-un pătrat cu latura , atingând fiecare dintre laturi tot timpul.
• Dintre toate figurile cu o lățime constantă dată, triunghiul Reuleaux are cea mai mică zonă, iar cercul cea mai mare.
• Orice figură plată de diametru poate fi acoperită de o figură de lățime constantă .

Aplicații

• Burghiul , realizat pe baza triunghiului Reuleaux , permite [4] să foreze găuri aproape pătrate (cu o inexactitate de aproximativ 2% din suprafața pătrată).
• Unele monede au forma unui poligon regulat de lățime constantă. Astfel, pe heptagon sunt construite monede cu valori nominale de 20 [5] și 50 de bănuți ( Marea Britanie ) ; 50 de fili ( EAU ); 1 dolar ( Barbados ); unele monede din Botswana [6] cu valori nominale de 5 și 25 thebe , 1 și 2 pula . Forma de 11 gon cu lățime constantă se găsește în monedele de 1 USD canadiene (cunoscute sub numele de „ loonies ”).
• Motorul Wankel folosește [5] ca piston un triunghi Reuleaux care se rotește în interiorul camerei, ceea ce vă permite să obțineți imediat o mișcare de rotație.
• Mecanismele tip clapetă sunt în majoritatea cazurilor construite pe baza unei came plane cu profil triunghi Reuleaux. Cele mai cunoscute exemple sunt proiectoarele de film „Luch” și „Ucraina” [5] .

Variații și generalizări

• Figurile de lățime constantă pot fi definite ca figuri convexe capabile să se rotească într-un pătrat în timp ce ating simultan toate laturile acestuia. Se pot lua în considerare și figurile care se pot roti atingând toate laturile unui -gon, de exemplu, un -gon obișnuit. Astfel de figuri se numesc rotori [7] .
  • De exemplu, un digon format prin intersecția a două cercuri identice cu un unghi la vârf egal cu , este rotorul unui triunghi echilateral. Cu un burghiu de această formă, în principiu, ar fi posibil să găuriți găuri triunghiulare fără colțuri netezite.
  • Au fost luate în considerare cifrele care se rotesc în interiorul unor cifre mai generale. [opt]

• Formele cu lățime constantă au omoloage multidimensionale, vezi Corpul cu lățime constantă .

Note

1. ↑ Guggenheimer H. W. Geometrie diferențială. — New York: Dover, 1977.
2. ↑ Coeficientul cu numărul k = 1 poate fi resetat, deoarece acest termen este responsabil doar de poziția figurii pe plan.
3. ↑ Rabinowitz S. A Polynomial Curve of Constant Width  //  Missouri Journal of Mathematical Sciences. - 1997. - Vol. 9 . - P. 23-27 . Arhivat din original pe 17 iunie 2009. Copie arhivată (link indisponibil) . Preluat la 1 martie 2018. Arhivat din original la 17 iunie 2009. (nedefinit) 
4. ↑ „ Drilling Square Holes Arhivat 25 mai 2012 la Wayback Machine ” / Mathematical Etudes
5. ↑ 1 2 3 " Round Reuleaux Triangle Arhivat 28 decembrie 2009 la Wayback Machine " / Mathematical Etudes
6. ↑ Unele dintre ele au ieșit din circulație în 2019.
7. ↑ Helmut Groemer, Aplicații geometrice ale seriei Fourier și armonici sferice
8. ↑ L. A. Lyusternik . Problemă geometrică  // Uspekhi Mat . - 1946. - T. 1 , Nr. 3-4 (13-14) . - S. 194-195 .

Literatură

• Yaglom IM , Boltyansky VG Cifre convexe . - M. - L. : GTTI, 1951. - 343 p. - (Biblioteca cercului matematic, numărul 4).