Lemniscate Buta

Lemniscata lui Booth este o curbă algebrică plată de ordinul al patrulea , un caz special al curbei Perseus . Numit după James Booth .

(x^2 + y ^2)^2 - (2m^2 + c)x^2 + (2m^2 - c)y^2 = 0.

Specie

Forma curbei depinde de relația dintre parametri și . Dacă , atunci ecuația lemniscatei ia forma $m$ $c$ $c > 2m^2$

(x^2 + y^2)^2 = a^2x^2 + b^2y^2

, unde și

a^2 = 2m^2 + c

b^2 = c - 2m^2.

În acest caz, lemniscata lui Booth este linia elipsei în jurul centrului său și se numește eliptică . Ecuația sa în coordonate polare este

\rho ^{2}=a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi .

Dacă , atunci ecuația lemniscatei ia forma $c < 2m^2$

(x^2 + y^2)^2 = a^2x^2 - b^2y^2

, unde și

a^2 = 2m^2 + c

b^2 = 2m^2 - c.

În acest caz, lemniscata lui Booth este subradiul hiperbolei față de centrul acesteia și se numește hiperbolic . Ecuația sa în coordonate polare este

\rho ^{2}=a^{2}\cos ^{2}\phi -b^{2}\sin ^{2}\phi .

Sub lemniscata lui Booth degenerează în două cercuri $c = 2m^2$ $x^2 + y^2 \pm 2mx = 0.$
Sub lemniscata lui Booth, degenerează în lemniscata lui Bernoulli . $c=0$

Lemniscata lui Booth este o proiecție ortogonală pe planul xOy a liniei de intersecție a suprafeței paraboloidului cu suprafața conului . $x^2 + y^2 = cz$ $a^2x^2 + b^2y^2 = c^2z^2.$
Lemniscata lui Booth poate fi obținută prin inversarea unei curbe de ordinul doi centrată la origine. $a^2x^2 \pm b^2y^2 = k^4$

Folosind ecuația polară a unei lemniscate, puteți determina aria pe care o limitează. Pentru o lemniscata eliptica:

2\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}(a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2} \phi )d\phi ={\frac {\pi }{2}}(a^{2}+b^{2}).

Pentru o lemniscate hiperbolice:

\int \limits _{0}^{\operatorname {arctg} {\frac {a}{b)}}(a^{2}\cos ^{2}\phi -b^{2}\ sin ^{2}\phi )d\phi ={\frac {a^{2}-b^{2}}{2}}\operatorname {arctg} {\frac {a}{b}}+{\ frac {ab}{2}}.

A. A. Savelov. Curbe Perseus // Curbe plate: sistematică, proprietăți, aplicații / ed. A. P. Norden. - M .: Editura de stat de literatură fizică și matematică , 1960. - S. 144-146. — 294 p.
Enciclopedie matematică / sub. ed. I. M. Vinogradova . - "Enciclopedia Sovietică" , 1977. - T. 1. - S. 566.
Weisstein, Eric W. Hippopede (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Courbe de Booth (franceză)

Definiții

Transformat

Neplanare

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Apropiere

Alte

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius