Matematică și Arte Plastice

Matematica și arta sunt conectate în diferite moduri. Matematica în sine poate fi considerată o formă de artă, deoarece în ea se găsește o frumusețe aparte . Urme ale gândirii matematice apar în muzică, dans, pictură, arhitectură, sculptură și arta țesăturii. Acest articol este dedicat conexiunii dintre matematică și artele plastice.

Matematica și arta au o lungă istorie de relație. Pictorii au recurs la concepte matematice din secolul al IV-lea î.Hr. e. Sculptorul grec antic Polikleitos cel Bătrân , probabil, a creat compoziția „Canon” și un model sculptural (conservat în replici aproximative) a figurii ideale a unui atlet. S-a sugerat în mod repetat că artiștii și arhitecții antici au folosit secțiunea de aur , dar nu există dovezi serioase pentru acest lucru. Matematicianul italian Luca Pacioli , o figură importantă în Renașterea italiană , a scris tratatul Proporția divină ( latina:  De Divina Proportione ) ilustrat cu gravuri în lemn după desenele lui Leonardo da Vinci . Un alt pictor italian , Piero della Francesca , a dezvoltat ideile lui Euclid despre perspectivă scriind un tratat Despre perspectiva în pictură ( italiană:  De Prospectiva Pingendi ). Gravorul Albrecht Dürer , în faimoasa sa gravură „ Melancolie ”, a dat multe referințe simbolice ascunse la geometrie și matematică. Graficianul din secolul XX M. C. Escher , consultat de matematicianul Harold Coxeter , a folosit pe scară largă imagini de parchet și geometrie hiperbolică . Artiștii mișcării „ De Stijl ”, conduși de Theo van Doesburg și Piet Mondrian , au folosit în mod explicit motivele geometrice. Matematica a influențat diferite forme de tricotat , broderie , țesut și țesut covoare . Arta islamică este caracterizată de simetrii găsite în zidăria persană și marocană , paravane de piatră perforată Mughal și bolți comune de tip fagure .

Matematica a fost cea care a oferit artiștilor instrumente precum perspectiva liniară, analiza simetriilor și le-a oferit tot felul de obiecte geometrice, cum ar fi poliedre sau banda Möbius . Practica didactică l-a inspirat pe Magnus Wenninger să creeze poliedre stelate multicolore . Picturile lui Rene Magritte și gravurile lui Escher folosesc recursiunea și paradoxurile logice. Grafica fractală este disponibilă pentru formele de artă computerizată , în special pentru redarea setului Mandelbrot . Unele lucrări ilustrează automate celulare . Artistul David Hockney a venit cu ipoteza aprig contestată că colegii săi au folosit camera lucida încă din Renaștere pentru a ajuta la portretizarea cu acuratețe a scenelor. Arhitectul Philip Steadman susține că Jan Vermeer a folosit o cameră obscura .

Legătura dintre matematică și artă este exprimată în multe alte moduri. Obiectele de artă sunt supuse analizei algoritmice folosind spectroscopie de fluorescență cu raze X. S-a descoperit că batik -ul tradițional din toată Java are o dimensiune fractală de la 1 la 2. În cele din urmă, arta a dat naștere unor cercetări matematice. Filippo Brunelleschi a formulat teoria perspectivei în timp ce realiza desene de arhitectură, iar mai târziu Gérard Desargues a dezvoltat-o, punând bazele geometriei proiective . Ideea pitagoreică a unui Dumnezeu-geometru este în consonanță cu principiile geometriei sacre , care se reflectă și în artă. Un exemplu tipic este Marele arhitect de William Blake .

Origini: Grecia antică până la Renaștere

„Canonul” și „simetria” lui Polyclete

În istoria artei antice, este cunoscut termenul „figuri pătrate” (( greaca veche τετραγωνος ). Scriitorul roman antic Pliniu cel Bătrân (23-79 d.Hr.) a numit statuile de bronz ale sculptorului grec antic „pătrat care arată” ( lat . .  signa quadrata ) a școlii argive a lui Policlet cel Bătrân (c. 450-420 î.Hr.), în special celebrii Doryphorus și Diadumen ". În același timp, s-a referit la enciclopedul Mark Terentius Varro (116-27 î.Hr. ) , sugerând că cuvântul „pătrat” poate indica nu natura siluetei statuii, ci metoda de proporție , expusă în lucrarea teoretică a lui Poliklet „ Canon ” [2] . Tratatul, dacă a existat, nu a a supraviețuit, dar se crede că sculptorul a creat ca ilustrație același purtător de suliță, cunoscut mai târziu sub numele de Doryphoros [3] .Conform intenției autorului, „Canonul” urma să stabilească standardul proporțiilor anatomice ideale în reprezentarea lui. figura masculină.

Filosoful grec antic Platon (c. 427-347 î.Hr.) a menționat metoda geometrică de dublare a ariei unui pătrat prin construirea unui pătrat mai mare pe diagonala sa. Al doilea pătrat conține patru „jumătăți” din primul, prin urmare, aria sa este de două ori mai mare [4] . Această construcție simplă conține o regularitate importantă. Diagonala unui pătrat este o mărime irațională. Dacă luăm latura unui pătrat ca fiind 1, atunci diagonala lui este egală cu sau 1,414 ... Astfel, un sistem de măsuri bazat pe un pătrat și diagonala sa poartă dualitate, un principiu polifonic al relațiilor dintre numere întregi simple și numere iraționale.

Statuile atleților din imaginea lui Polykleitos arată într-adevăr „pătrat” (într-o traducere diferită, „proporții largi”). Când se analizează proporțiile lor, se dovedește că modulul figurii este latura pătratului, a cărui diagonală, la rândul său, servește ca latură a pătratului mai mare etc. Ca urmare, toate părțile liniei statuii sus proporţional în sistemul „măsurilor perechi”: relaţii raţionale şi iraţionale. Deci, înălțimea întregii figuri este împărțită în două, patru și opt părți (capul figurii este de 1/8 din înălțime). Cu toate acestea, în timpul mișcării plastice (atletul se sprijină pe un picior, al doilea picior este îndoit la genunchi și dat înapoi), apar relații iraționale. Dacă luăm ca unitate (latura unui pătrat mic) partea superioară a figurii (indiferent de mărimea sa reală) - capul și trunchiul până la creasta iliacă (pe care se află mușchii oblici) - ca unitate, atunci partea inferioară a figurii (breaua pelviană și piciorul de susținere) va fi egală cu 1,618 (latura pătratului mai mare). În consecință, întreaga înălțime a figurii este de 2.618. Aceste relații sunt legate prin modelul „ secțiunii de aur ”, descoperit de vechii egipteni și care este universal [5] .

Influența „Canonului” sa extins la sculptura Greciei Antice, Romei Antice și Renașterii. Niciuna dintre lucrările lui Polykleitos nu a supraviețuit până în prezent, replicile de marmură care au supraviețuit sunt aproximative și diferă semnificativ unele de altele. S-a pierdut și textul tratatului în sine, deși s-au păstrat citate și comentarii ale unor autori antici [3] . Unii savanți susțin că Poliklet, la rândul său, a fost influențat de învățăturile pitagoreenilor [6] . „Canon” operează cu conceptele de bază ale geometriei grecești antice: raport, proporție și simetrie. Sistemul „Canon” face posibilă descrierea figurii umane prin progresii geometrice continue [7] .

Perspectivă și proporție

În perioada antică, artiștii nu recurgeau la perspectiva liniară . Mărimea obiectelor a fost determinată nu de îndepărtarea lor, ci de importanța lor tematică. Unii pictori medievali au folosit perspectiva inversă pentru a atrage atenția asupra unor figuri deosebit de semnificative. În 1021, matematicianul islamic Ibn al-Khaytham a formulat teoria opticii , dar nu a aplicat-o obiectelor de artă [8] . Renașterea este asociată cu restaurarea tradițiilor culturale antice grecești și romane. S-au reînviat şi ideile despre aplicarea matematicii la studiul naturii şi al artei . Artiștii din Evul Mediu târziu și Renașterea au fost interesați de matematică din două motive. În primul rând, pictorii au vrut să știe cum să înfățișeze cu acuratețe obiecte tridimensionale pe o suprafață de pânză bidimensională. În al doilea rând, artiștii, ca unii filozofi, credeau în matematică ca adevărată esență a lumii fizice; arta plastică ca parte a acestui univers este supusă legilor geometriei [9] .

Începuturile perspectivei se văd la Giotto (1266-1337), care a pictat obiecte îndepărtate determinând algebric poziția liniilor în perspectivă. În 1415, arhitectul Filippo Brunelleschi , împreună cu prietenul său Leon Battista Alberti , au introdus metoda geometrică de creare a perspectivei la Florența. Folosind triunghiuri similare ale lui Euclid, au calculat înălțimea aparentă a obiectelor îndepărtate [10] [11] . S-au pierdut picturile cu perspectiva lui Brunelleschi însuși, dar Trinitatea lui Masaccio ne permite să vedem principiul în acțiune [8] [12] [13] . Pictorul italian Paolo Uccello (1397-1475) a fost captivat de noua tehnică. În „ Bătălia de la San Romano ” el a plasat sulițe rupte între liniile de perspectivă [14] [15] .

Lucrarea lui Piero della Francesca (c. 1415-1492) este un exemplu de tranziție a Renașterii italiene la o nouă ideologie. Fiind un matematician important și, în special, un geometru, a scris lucrări despre stereometrie și teoria perspectivei. Printre acestea se numără „ Despre perspectiva în pictură ” ( italiană:  De Prospectiva Pingendi ), „Tratat de conturi” ( italiană:  Trattato d'Abaco ) și „Despre poliedre regulate” ( italiană:  De corporibus regularibus ) [16] [17] [ 18] . Istoricul Giorgio Vasari , în „ Biografiile ” sale, îl numește pe Piero „cel mai mare geometru al timpului său și poate din toate timpurile” [19] . Interesul lui Piero pentru perspectivă se vede în lucrările sale Polipticul Sfântului Antonie [ 20] , Retabloul Sfântului Augustin și Flagelarea lui Isus Hristos . Explorările sale geometrice au influențat următoarele generații de matematicieni și artiști, printre care Luca Pacioli și Leonardo da Vinci . Se știe că Pierrot a studiat lucrările matematicienilor antici, inclusiv lui Arhimede [21] . Pierrot a fost instruit în aritmetică comercială la „ școala abacului ”; tratatele sale sunt concepute în acelaşi stil ca şi manualele „şcolii” [22] . Poate că Piero era familiarizat cu „ Cartea Abacului ” (1202) de Fibonacci . Perspectiva liniară a pătruns treptat în lumea artei. În tratatul „Despre pictură” ( italiană:  De pictura , 1435), Alberti scria: „razele de lumină merg de la punctele din imagine la ochi de-a lungul unei linii drepte, formând o piramidă , unde ochiul este vârful”. Un tablou pictat după principiul perspectivei liniare este o secțiune a acestei piramide [23] .

În Perspectiva în pictură, Piero își transformă observațiile empirice despre perspectivă în expresii și dovezi matematice. Urmându-l pe Euclid, el definește un punct drept „cel mai mic obiect perceptibil de ochi” ( italiană:  una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere ) [9] . Piero conduce cititorul la reprezentarea corpurilor tridimensionale pe două dimensiuni. -suprafața dimensională folosind raționamentul deductiv [24] .

Artistul contemporan David Hockney susține că din anii 1420 colegii săi au folosit camera lucida , ceea ce a dus la o creștere dramatică a acurateței și realismului picturilor. El crede că Ingres , van Eyck și Caravaggio [25] au folosit și ele acest dispozitiv . Opinia experților cu privire la această problemă este împărțită [26] [27] . Arhitectul Philip Steadman a exprimat o altă ipoteză controversată [28] despre utilizarea de către Vermeer a unei camere obscure [29] .

În 1509, Luca (c. 1447-1517) a publicat un tratat „Despre proporția divină”, dedicat aspectelor matematice și artistice ale proporției , inclusiv chipului uman. Leonardo da Vinci (1452–1519), care a studiat cu Pacioli în anii 1490, și-a ilustrat textul cu gravuri în lemn de poliedre regulate. Imaginile wireframe ale poliedrelor realizate de da Vinci sunt primele ilustrații de această natură care au ajuns până la noi [30] . El a fost unul dintre primii care a descris poliedre (inclusiv rombicuboctaedrul ) construite pe fețele altor figuri - așa a demonstrat Leonardo perspectiva. Tratatul în sine este dedicat descrierii perspectivei în lucrările lui Piero della Francesca, Melozzo da Forli și Marco Palmezzano [31] . Da Vinci a studiat „Suma” lui Pacioli copiend tabele cu proporții [32] . Atât „ Gioconda ” cât și „ Cina cea de Taină ” sunt construite pe principiul perspectivei liniare cu un punct de fugă , care conferă imaginii o adâncime vizibilă [33] . Cina cea de Taină folosește proporțiile 12:6:4:3 - sunt prezente și în Școala din Atena de Rafael . Pitagora, înfățișat pe ea, ține un tabel de proporții ideale, căruia pitagoreicii i-au atașat un sens sacru [34] [35] . Omul Vitruvian Leonardo reflectă ideile arhitectului roman Vitruvius ; două figuri masculine suprapuse sunt înscrise atât într-un cerc, cât și într-un pătrat [36] .

Deja în secolul al XV-lea, pictorii care erau interesați de distorsiunile vizuale foloseau perspectiva curbilinie . „ Portretul lui Arnolfinis ” (1343) al lui Jan van Eyck are o oglindă convexă care reflectă figurile eroilor [37] . „Autoportret într-o oglindă convexă” (c. 1523-1524) Parmigianino înfățișează chipul aproape nedistorsionat al artistului și un fundal puternic curbat și o mână situată pe margine [38] .

Obiectele tridimensionale pot fi descrise destul de convingător fără a recurge la perspectivă. Proiecțiile oblice , inclusiv perspectiva cavaler (folosită de pictorii francezi de luptă în secolul al XVIII-lea pentru a picta fortificații), sunt observate în mod continuu și omniprezent printre artiștii chinezi din secolele I-II până în secolele al XVIII-lea. Această tradiție a venit la chinezi din India și acolo din Roma Antică. Proiecția oblică este văzută în arta japoneză, cum ar fi în picturile ukiyo-e ale lui Torii Kiyonaga [39] .

Raportul de aur

Raportul de aur , aproximativ egal cu 1,618, era cunoscut chiar de Euclid [40] . Mulți contemporani susțin [41] [42] [43] [44] că a fost folosit în arta și arhitectura Egiptului Antic, Greciei Antice, dar nu există dovezi de încredere pentru aceasta [45] . Apariția acestei presupuneri se poate datora confuziei dintre raportul de aur și „media de aur”, pe care grecii o numeau „absența excesului în oricare dintre direcții” [45] . Piramidologii încă din secolul al XIX-lea vorbesc despre utilizarea raportului de aur în proiectarea piramidelor, argumentând poziția lor cu argumente matematice dubioase [45] [46] [47] . Cel mai probabil, piramidele au fost construite fie pe baza unui triunghi cu laturile 3-4-5 (unghi de înclinare - 53 ° 8 '), care este menționat în papirusul Ahmes , fie pe baza unui triunghi cu cosinus π / 4 (unghi de înclinare - 51 ° 50 ') [48] . Fațada și podeaua Partenonului , construită în secolul al V-lea î.Hr. e. în Atena , presupus proiectat pe baza raportului de aur [49] [50] [51] . Această afirmație este infirmată și de măsurători reale [45] . Se crede că raportul de aur a fost folosit și în proiectarea Marii Moschei din Kairouan din Tunisia [52] . Totuși, această valoare nu se regăsește în designul original al moscheii [53] . Istoricul de arhitectură Frederic Makody Lund a declarat în 1919 că Catedrala Chartres (secolul al XII-lea), Lane (1157-1205) și Catedrala Notre-Dame din Paris (1160) au fost proiectate în conformitate cu principiul raportului de aur [54] . Unii cercetători susțin că înainte de publicarea lucrării lui Pacioli în 1509, secțiunea nu era cunoscută nici de artiști, nici de arhitecți [55] . De exemplu, înălțimea și lățimea fațadei Notre-Dame de la Lane au un raport de 8/5 sau 1,6, dar nu 1,618. Această proporție este unul dintre rapoartele Fibonacci care este greu de distins de raportul de aur deoarece converg către 1,618 [56] . Raportul de Aur este observat printre adepții lui Pacioli, inclusiv Gioconda lui Leonardo [57] .

Simetrii plane

Simetriile plane au fost observate de câteva mii de ani în țesutul covoarelor, pavaj, țesut și crearea de obiecte cu zăbrele [58] [59] [60] [61] .

Multe covoare tradiționale, fie că sunt shaggy sau kilim (țesute plat) sunt împărțite într-un medalion central și o secțiune de chenar. Ambele părți pot conține elemente simetrice, în timp ce simetria covoarelor lucrate manual este adesea încălcată de detaliile autorului, modelul și variațiile de culoare [58] . Motivele kilim-urilor anatoliene sunt adesea simetrice în sine. Modelul general implică prezența dungilor, inclusiv a celor cu motive intermitente, și asemănări de forme hexagonale. Partea centrală poate fi caracterizată prin grupul de tapet pmm, în timp ce cadrul poate fi caracterizat prin grupurile de bordura pm11, pmm2 sau pma2. Kilim-urile din Turcia și Asia Centrală, de regulă, au cel puțin trei granițe, descrise de grupuri diferite. Producătorii de covoare urmăreau cu siguranță simetria, deși nu erau familiarizați cu matematica acesteia [58] . Matematicianul și teoreticianul arhitectural Nikos Salingaros consideră că efectul estetic al covoarelor este dat de tehnici matematice speciale, apropiate de teoriile arhitectului Christopher Alexander . Ca exemplu, el citează covoare Konian din secolul al XVII-lea cu două medalioane. Aceste tehnici presupun construirea de perechi opuse de obiecte; contrast de culoare; diferențierea geometrică a zonelor folosind figuri complementare sau coordonarea colțurilor ascuțite; introducerea unor figuri complexe (începând cu noduri individuale); construcția de figuri simetrice mici și mari; reproducerea cifrelor la scară mai mare (raportul fiecărui nou nivel față de cel anterior este de 2,7). Salingaros susține că orice covor de succes îndeplinește cel puțin nouă din zece condiții. Mai mult, el consideră posibilă îmbrăcarea indicatorilor dați sub forma unei metrici estetice [62] .

Grilele indiene jali iscusite , create din marmură, împodobesc palate și morminte [59] . Grilele chinezești, întotdeauna înzestrate cu un fel de simetrie - adesea oglindă , dublă oglindă sau rotativă  - sunt reprezentate în 14 din cele 17 grupuri de tapet. Unele au un medalion central, altele au o margine aparținând unui grup de margini [63] . Multe grile chinezesti au fost analizate matematic de Daniel S. Dai. El a putut stabili că centrul acestei arte este provincia Sichuan [64] .

Simetriile sunt comune în artele textile, cum ar fi matlasarea [60] , tricotarea [65] , croșetat [66] , broderia [67] [68] , cusătura în cruce și țesut [69] . Este de remarcat faptul că simetria pe țesătură poate fi pur decorativă sau poate simboliza statutul proprietarului [70] . Simetria de rotație apare la obiectele circulare. Multe cupole sunt decorate cu modele simetrice în interior și în exterior, cum ar fi Moscheea Sheikh Lutfulla (1619) din Isfahan [71] . Simetriile reflexive și de rotație sunt caracteristice elementelor brodate și din dantelă ale fețelor de masă și covorașelor de masă, create cu ajutorul unor bobine sau tehnică de frivol . Aceste obiecte sunt de asemenea supuse studiului matematic [72] .

Arta islamică prezintă simetrii în multe forme, în special mozaicul girih persan . Este creat din cinci forme de țiglă: un decagon obișnuit, un pentagon obișnuit, un decagon alungit, un romb și o figură asemănătoare cu un papion . Toate laturile acestor cifre sunt egale, toate unghiurile lor sunt multipli de 36° (π/5 radiani ), ceea ce dă simetrii de cinci și de zece ori. Placa este decorată cu un ornament care se împletește (girih propriu-zis), care este de obicei mai vizibil decât marginile plăcii. În 2007, fizicienii Peter Lu și Paul Steinhardt au remarcat asemănarea girih-ului cu plăcile Penrose cvasi -cristaline [73] . Placile zellige reglate geometric sunt un element caracteristic arhitecturii marocane [61] . Saods sau muqarnas de tip fagure sunt tridimensionale, dar au fost proiectate - prin desenarea celulelor geometrice - în două dimensiuni [74] .

Poliedre

Poliedrele regulate  sunt unul dintre cele mai comune subiecte în arta occidentală. Micul dodecaedru stelat , de exemplu, se găsește în mozaicurile de marmură ale Bazilicii Sf. Marcu din Veneția ; paternitatea i se atribuie lui Paolo Uccello [14] . Poliedrele regulate ale lui Da Vinci sunt ilustrate de Luca Pacioli Despre proporția divină [14] . Rombicuboctaedrul de sticlă se găsește în portretul lui Pacioli (1495) de Jacopo de Barbari [14] . Un poliedru trunchiat și multe alte obiecte legate de matematică sunt prezente în gravura lui Durer „ Melancholia ” [14] . Cina cea de Taină de Salvador Dali îl înfățișează pe Hristos și discipolii săi în interiorul unui dodecaedru uriaș .

Albrecht Dürer (1471–1528), gravor și artist grafic al Renașterii germane, a contribuit la teorie prin publicarea cărții „Ghid de măsurare” ( germană:  Underweysung der Messung ) în 1525. Lucrarea este dedicată perspectivei liniare, geometriei în arhitectură, poliedrelor regulate și poligoanelor. Probabil că Dürer s-a inspirat din lucrările lui Pacioli și Piero della Francesca în timpul călătoriilor sale în Italia [75] . Mostrele de perspectivă din „Ghidul de măsurare” nu sunt pe deplin dezvoltate și inexacte, dar Dürer a iluminat pe deplin poliedrele. În acest text este menționată pentru prima dată dezvoltarea unui poliedru , adică desfășurarea unui poliedru (de exemplu, de hârtie) într-o figură plată care poate fi imprimată [76] . O altă lucrare influentă a lui Dürer este Four Books on Human Proportions (în germană:  Vier Bücher von Menschlicher Proportion , 1528) [77] .

Celebra gravură a lui Dürer „Melancholia” înfățișează un gânditor trist așezat la un trapezoedru triunghiular trunchiat și un pătrat magic [1] . Aceste două obiecte și gravura în ansamblu sunt de cel mai mare interes pentru cercetătorii moderni în toată opera lui Dürer [1] [78] [79] . Peter-Klaus Schuster a publicat o carte în două volume despre Melancolie [80] , în timp ce Erwin Panofsky discută lucrarea în monografia sa [1] [81] . „ Corpul hipercubic ” de Salvador Dali conține o desfășurare tridimensională a unui hipercub  - un poliedru regulat cu patru dimensiuni [82] .

Dimensiuni fractale

Pictura batik tradițională indoneziană folosește ceara ca rezervă. Motivele ei pot corespunde elementelor lumii înconjurătoare (de exemplu, plantele) sau pot fi abstracte, chiar haotice. Rezerva poate să nu fie aplicată cu acuratețe, crăparea (crăparea) cerii sporește efectul aleatoriei. Pictura are o dimensiune fractală de la 1 la 2, în funcție de regiunea de origine. De exemplu, batik din Cirebon are o dimensiune de 1,1, dimensiunea batik din Yogyakarta și Surakarta ( Java central ) - de la 1,2 la 1,5; Lasem (Java de Nord) și Tasikmalai (Java de Vest) au dimensiuni de la 1,5 la 1,7 [83] .

Lucrarea artistului contemporan Jackson Pollock în tehnica dripping -ului se remarcă și prin dimensiunea sa fractală: tabloul „Numărul 14” ( ing.  Numărul 14 , 1948) are o dimensiune de 1,45. Lucrările sale ulterioare sunt caracterizate de o dimensiune mai înaltă, ceea ce indică un studiu mai bun al tiparelor. Una dintre ultimele picturi ale lui Pollock ,  Blue Poles , are 1,72 și a durat șase luni pentru a fi finalizată .

Relații complexe

Astronomul Galileo Galilei a scris în tratatul său „ Maestrul de analiză ” că universul este scris în limbajul matematicii și că simbolurile acestui limbaj sunt triunghiuri, cercuri și alte figuri geometrice [85] . Potrivit lui Galileo, artiștii care vor să cunoască natura trebuie în primul rând să înțeleagă matematica. Matematicienii, pe de altă parte, au încercat să analizeze arta plastică prin prisma geometriei și a raționalității (în sensul matematic al cuvântului). Matematicianul Felipe Kuker a sugerat că această știință, și în special geometria, servesc ca un set de reguli pentru „creația artistică condusă de reguli” ( ing.  „creație artistică condusă de reguli” ), deși nu este singura [86] . Câteva exemple deosebit de remarcabile ale acestei relații complexe sunt descrise mai jos [87] .

Matematica ca artă

Matematicianul Jerry P. King scrie despre matematică ca artă, argumentând că cheile ei sunt frumusețea și eleganța, nu formalismul plictisitor. King crede că frumusețea este cea care motivează cercetătorii din acest domeniu [88] . El citează eseul „ Apologia unui matematician ” (1940) al unui alt matematician G. H. Hardy , unde își mărturisește dragostea pentru două teoreme antice: demonstrația infinitității primelor lui Euclid și demonstrarea iraționalității rădăcinii pătrate a lui doi. King îl evaluează pe acesta din urmă după criteriile lui Hardy de frumusețe în matematică : seriozitate, profunzime, generalitate, surpriză, inevitabilitate și economie (cursivele lui King) și concluzionează că dovada este „atrăgătoare din punct de vedere estetic” [89] . Matematicianul maghiar Pal Erdős vorbește și despre frumusețea matematicii, a cărei dimensiune nu poate fi exprimată în cuvinte: „De ce sunt numerele frumoase? Ar fi echivalent să ne întrebăm de ce Simfonia a IX- a a lui Beethoven este frumoasă . Dacă nu îl vezi, nimeni nu ți-l poate explica. „Știu” că cifrele sunt frumoase.” [90] [91]

Instrumente matematice ale artei

În contextul artelor vizuale, matematica oferă creatorului multe instrumente, cum ar fi perspectiva liniară, descrisă de Brook Taylor și Johann Lambert , sau geometria descriptivă , observată deja în Albrecht Dürer și Gaspard Monge , și utilizată acum pentru modelarea software a tridimensionale. obiecte [92] . Încă din Evul Mediu (Pacioli) și Renaștere (da Vinci și Dürer), artiștii au folosit realizările matematicii în scopuri creative [93] [94] . Cu excepția rudimentelor de perspectivă în arhitectura greacă antică, utilizarea sa pe scară largă a început în secolul al XIII-lea, printre pionieri a fost și Giotto . Regula punctului de fugă a fost formulată de Brunelleschi în 1413 [8] . Descoperirea sa i-a inspirat nu numai pe Da Vinci și Dürer, ci și pe Isaac Newton , care a studiat spectrul optic , pe Goethe , care a scris cartea „ Despre teoria culorii ”, și apoi noile generații de artiști, printre care s-au numărat Philip Otto Runge , William . Turner [95] , Prerafaeliți și Wassily Kandinsky [96] [97] . Artiștii explorează și simetriile prezente în compoziție [98] . Instrumentele matematice pot fi folosite de oamenii de știință în artă sau de către meșteri înșiși, ca în cazul artistului grafic M.C. Escher (cu contribuția lui Harold Coxeter ) sau al arhitectului Frank Gehry . Acesta din urmă susține că sistemele de proiectare asistată de calculator i- au oferit modalități complet noi de a se exprima [99] .

Artistul Richard Wright consideră că modelele vizuale ale obiectelor matematice servesc fie la simularea unui anumit fenomen, fie sunt obiecte de artă pe computer . Wright ilustrează poziţia sa cu o imagine a ansamblului Mandelbrot , generată de un automat celular şi redare computer ; referindu-se la testul Turing , el discută dacă produsele algoritmilor pot fi considerate artă [100] . Aceeași abordare se observă și la Sasho Kalaidzewski, care ia în considerare obiectele matematice vizualizate: parchet, fractali, figuri de geometrie hiperbolică [101] .

Unul dintre pionierii artei pe computer a fost Desmond Paul Henry, care a creat „Drawing Machine 1”. Un mecanism de calcul analogic bazat pe computerul bombsight a fost prezentat publicului în 1962 [102] [103] . Mașina ar putea crea modele complexe, abstracte, asimetrice, curbilinii, dar repetitive [102] [104] . Hamid Naderi Yeganeh creează figuri de pești, păsări și alte obiecte din lumea reală folosind familii de curbe [105] [106] [107] . Artiștii contemporani, inclusiv Mikael H. Christensen, lucrează în genul artei algoritmice, creând scripturi pentru software. Un sistem condus de artist aplică operații matematice unui set dat de date [108] [109] .

De la matematică la artă

Se știe că cartea „Știință și ipoteză” (1902) a matematicianului și fizicianului Henri Poincaré a fost citită de mulți cubiști , printre care Pablo Picasso și Jean Metzinger [111] [112] . Poincare a văzut în geometria euclidiană nu un adevăr obiectiv, ci doar una dintre multele configurații geometrice posibile. Posibila existență a unei a patra dimensiuni i- a inspirat pe artiști să conteste perspectiva clasică a Renașterii și au apelat la geometriile non-euclidiene [113] [114] [115] . Una dintre premisele cubismului a fost ideea unei expresii matematice a intrigii în culoare și formă. Istoria abstracționismului începe cu cubismul [116] . În 1910, Metzinger scria: „[Picasso] creează o perspectivă liberă, mobilă, din care acel matematician ingenios Maurice Princet a derivat o întreagă geometrie” [117] . În memoriile sale, Metzinger a amintit:

„Maurice Princet ne-a vizitat adesea; ... a înțeles matematica ca un artist, ca un estet a făcut apel la continuumuri n -dimensionale. Îi plăcea să insufle artiștilor interesul pentru noi viziuni ale spațiului , care au fost descoperite de Schlegel și alții. În asta a excelat.” [118]

Modelarea formelor matematice în scopuri de cercetare sau de predare duce inevitabil la forme bizare sau frumoase. Au fost influențați de dadaiștii Man Ray [119] , Marcel Duchamp [120] și Max Ernst [121] [122] și Hiroshi Sugimoto [123] .

Man Ray a fotografiat modele de figuri geometrice la Institutul din Paris. Poincare. Una dintre cele mai cunoscute lucrări ale acelui ciclu este Obiectul matematic ( franceză:  Objet mathematique , 1934). Artistul indică faptul că „Obiectul” sunt suprafețe Enneper cu curbură negativă constantă , derivate dintr-o pseudosferă . Fundamentul matematic era extrem de important pentru el; matematica i-a permis să infirme caracterul „abstract” al „Obiectului”. Man Ray a susținut că figura capturată este la fel de reală ca pisoarul pe care Duchamp l-a transformat într-un obiect de artă. Cu toate acestea, el a recunoscut: „[Formula de suprafață a lui Enneper] nu înseamnă nimic pentru mine, dar formele în sine erau la fel de variate și autentice ca cele găsite în natură”. A folosit fotografii de la Institutul Poincaré în lucrări bazate pe piesele lui Shakespeare , de exemplu, când a creat Antony și Cleopatra (1934) [124] . Columnistul Jonathan Keats, scriind în ForbesLife , susține că Man Ray a fotografiat „paraboloizi eliptici și puncte conice în același mod senzual în care a descris-o Kiki de Montparnasse ” [125] și că „a regândit cu inteligență calculele reci ale matematicienilor pentru a dezvălui topologia. de dorință” [126] [127] . Sculptorii secolului al XX-lea, printre care Henry Moore , Barbara Hepworth și Nahum Gabo , și-au găsit inspirație în modelele matematice [128] . Despre creația sa Stringed Mother and Child ( 1938 ), Moore a spus :  „Fără îndoială, sursa figurilor mele cu coarde a fost Muzeul Științei ; ... Am fost fascinat de modelele matematice pe care le-am văzut acolo; ... Am fost entuziasmat nu de studiul științific al acestor modele, dar capacitatea de a vedea prin șiruri așa cum o pasăre se uită dintr-o cușcă și capacitatea de a vedea o formă în alta.” [129] [130]

Artiștii Theo van Doesburg și Piet Mondrian au fondat mișcarea „ De Stijl ”, care urma să „creeze un vocabular vizual al formelor geometrice elementare, înțeles de toată lumea și aplicabil oricărei discipline” [132] [133] [134] . Multe dintre lucrările lor arată ca un plan căptușit cu dreptunghiuri și triunghiuri, uneori cercuri. Membrii „De Stijl” au pictat tablouri, au creat mobilier și interioare și s-au ocupat de arhitectură [133] . Când mișcarea s-a prăbușit, van Doesburg a organizat grupul de avangardă Art Concret ( franceză:  Art concret , „artă concretă”). Despre propria sa „Compoziție aritmetică” (1929-1930), van Doesburg a scris: „o structură care poate fi controlată, o anumită suprafață fără elemente aleatorii sau capricii personale” [135] , în timp ce „nu lipsită de spirit, nu lipsită de universal și nu ... gol, pentru că totul corespunde ritmului interior” [136] . Critica Gladys Fabre vede în „Compoziție” două progresii: creșterea pătratelor negre și schimbarea fundalului [137] .

Matematica parchetelor , poliedrelor, formelor spațiului și auto-reproducției i-au oferit graficianului M. K. Escher (1898-1972) o sursă de parcele pentru toată viața [138] [139] . Folosind ca exemplu mozaicurile Alhambra , Escher a arătat că arta poate fi creată folosind figuri simple. Pornind avionul, el a folosit poligoane neregulate, reflexii, simetrie privitoare și translație paralelă . Creând contradicții între proiecția în perspectivă și proprietățile spațiului tridimensional, el a descris construcții imposibile în lumea reală, dar estetice. Litografia „ Descending and Ascending ” (1960) ne arată o scară imposibilă , a cărei descoperire este asociată cu numele lui Lionel (tatăl) și Roger (fiul) Penrose [140] [141] [142] .

Teselațiile create de Escher sunt destul de numeroase, iar unele dintre idei s-au născut în conversațiile cu matematicianul Harold Coxeter despre geometria hiperbolică [143] . Cel mai mult, Escher a fost interesat de cinci poliedre: tetraedre, cuburi, octaedre, dodecaedre și icosaedre. Cifrele au apărut în mod repetat în opera sa, dar ele se remarcă mai ales în „Ordinea și haosul” (1950) și „Patru poliedre regulate” (1961) [144] . Aceste formațiuni stelate se odihnesc în interiorul unei alte figuri, ceea ce distorsionează și mai mult unghiul de vizualizare și percepția poliedrelor [145] .

Complexitatea vizuală a parchetelor și poliedrelor a stat la baza multor opere de artă. Stuart Coffin creează puzzle-uri poliedrice din păduri rare, George W. Hart studiază și sculptează poliedre, iar Magnus Wenninger creează modele de formațiuni stelare [146] .

Perspectivele distorsionate ale anamorfozei sunt cunoscute în pictură încă din secolul al XVI-lea. În 1553, Hans Holbein Jr. a pictat „ Ambasadori ”, punând în prim plan un craniu puternic distorsionat. Ulterior, tehnicile anamorfice s-au adăugat la arsenalul lui Escher și alte grafice [147] .

Ploturile topologice sunt vizibile în arta contemporană . Sculptorul John Robinson (1935-2007) este cunoscut pentru lucrările sale Gordian Knot and Bands of Friendship ,  ilustrații ale teoriei nodurilor în bronz lustruit [9] . Unele dintre celelalte sculpturi ale lui Robinson se ocupă de topologia tori . „Creația” ( ing. Geneza ) este construită pe principiul inelelor borromee : trei cercuri nu sunt legate în perechi, dar pot fi decuplate doar prin distrugerea întregii structuri [148] . Helaman Ferguson sculptează suprafețe și alte obiecte topologice [149] . Lucrarea sa The Eightfold Way se bazează pe grupul liniar special proiectiv PSL(2, 7) , un grup finit cu 168 de elemente [150] [151] . Sculptorul Bathsheba Grossman este, de asemenea, cunoscut pentru întruchiparea structurilor matematice [152] [153] .    

Obiecte precum varietatea Lorentz și planul hiperbolic sunt recreate de maeștrii artei țesăturii, inclusiv croșetat [154] [155] [156] . În 1949, țesătoarea Ada Dietz a publicat monografia Algebraic Expressions in Handwoven  Textiles , unde a propus noi scheme de țesut bazate pe extinderea polinoamelor multidimensionale [157] . Folosind regula 90 pentru un automat celular , matematicianul Jeffrey C. P. Miller a creat tapiserii ilustrând copaci și modele abstracte de triunghiuri [158] ; automatele celulare sunt, de asemenea, folosite pentru a crea direct artă vizuală digitală [159] . Math Knitters [  160] [ 161] Pat Ashforth și Steve Plummer tricotează modele pentru hexaflexagon și alte figuri pentru studenți. Este de remarcat faptul că nu au reușit să lege buretele lui Menger - acesta era din plastic [162] [163] . Proiectul mathghans al lui Ashforth și Plummer [ 164 ] a contribuit la încorporarea teoriei tricotării în programele de învățământ de matematică și tehnologie din Marea Britanie [165] [166] .  


Ilustrarea matematicii

Modelarea este departe de a fi singura modalitate de a ilustra concepte matematice. Tripticul Stefaneschi (1320) de Giotto conține o recursivitate . Panoul central al aversului (stânga jos) ne arată însuși cardinalul Stefaneschi; îngenuncheat, oferă cadou un mic exemplar al Tripticului [167] . Picturile metafizice de Giorgio de Chirico , inclusiv The Great Metaphysical Interior (1917) tratează temele nivelurilor de reprezentare în artă; de Chirico pictează tablouri în imagini [168] .

Arta poate surprinde paradoxurile logice. Suprarealistul René Magritte și-a creat picturile ca glume semiotice , punând la îndoială relația dintre suprafețe. Tabloul „ Condițiile existenței umane ” (1933) înfățișează un șevalet cu pânză; peisajul susține priveliștea de la fereastră ale cărei rame sunt indicate de perdele. Escher a construit intriga Galeriei de imagini (1956) în același mod: o vedere distorsionată a orașului, o galerie situată în oraș, pictura în sine ca expoziție. Recursiunea continuă la infinit [169] . Magritte a distorsionat realitatea și în alte moduri. Mental Arithmetic (1931) înfățișează o așezare în care casele stau una lângă alta cu bile și cuboizi, de parcă jucăriile pentru copii ar fi crescut la proporții gigantice [170] . Un jurnalist pentru The Guardian a comentat că „planul înfiorător al unui oraș de jucărie” [171] a devenit o profeție, vestind uzurparea „vechilor forme convenabile” [172] de către moderniști . În același timp, Magritte se joacă cu tendința umană de a căuta tipare în natură [173] .

Ultimul tablou al lui Salvador Dali , Coada rândunicii (1983), încheie o serie de lucrări inspirate din teoria catastrofei a lui René Thomas [174] . Pictorul și sculptorul spaniol Pablo Palazuelo (1916-2007) a dezvoltat un stil pe care l-a numit „geometria vieții și a întregii naturi”. Operele de artă ale lui Palazuelo sunt seturi de figuri simple atent structurate și colorate. Ca mijloc de auto-exprimare, el folosește transformări geometrice [9] .


Artiștii nu iau întotdeauna geometria la propriu. În 1979, a fost publicată cartea Gödel , Escher, Bach de Douglas Hofstadter , unde reflectă asupra tiparelor gândirii umane, inclusiv a conexiunii artei cu matematica:

„Diferența dintre desenele lui Escher și geometria non-euclidiană este că în cea din urmă este posibil să găsim interpretări semnificative pentru concepte nedefinite în așa fel încât sistemul să devină inteligibil, în timp ce în prima rezultatul final este inconsecvent cu concepția noastră despre lume, indiferent cât de mult ne gândim la imagine”. [175]

Hofstadter se referă la paradoxul „Galeriei de imagini” a lui Escher, caracterizându-l ca o „buclă ciudată sau ierarhie complicată” [176] a nivelurilor de realitate. Artistul însuși nu este reprezentat în această buclă; nici existența sa și nici faptul că este autorul nu sunt paradoxuri [177] . Vidul din centrul imaginii a atras atenția matematicienilor Bart de Smit și Hendrik Lenstra. Ele sugerează prezența efectului Droste : imaginea se auto-reproduce într-o formă rotită și comprimată. Dacă efectul Droste este într-adevăr prezent, recursiunea este chiar mai complicată decât a concluzionat Hofstadter [178] [179] .

Analiza istoriei artei

Analiza algoritmică a operelor de artă, de exemplu, fluorescența cu raze X , face posibilă detectarea straturilor pictate ulterior de autor, restabilirea aspectului original al imaginilor crăpate sau întunecate, distingerea copiilor de original și distingerea mâinii maestrului de elevului [180] [181] .

Tehnica de „picurare” a lui Jackson Pollock [182] se remarcă prin dimensiunea sa fractală [183] ​​​​. Posibil haosul controlat al lui Pollock [184] a fost influențat de Max Ernst. Rotind o găleată de vopsea cu fundul perforat peste pânză, Ernst a creat figurile Lissajous [185] . Informaticianul Neil Dodgson a încercat să afle dacă pânzele în dungi ale lui Bridget Riley ar putea fi caracterizate matematic . O analiză a distanțelor dintre benzi „a dat un rezultat cert”, în unele cazuri a fost confirmată ipoteza entropiei globale , dar nu a existat o autocorelație , deoarece Riley a variat tiparele. Entropia locală a funcționat mai bine, ceea ce era în concordanță cu tezele criticului Robert Koudelka despre opera artistului [186] .

În 1933, matematicianul american George D. Birkhoff a prezentat publicului lucrarea „Măsura estetică” – o teorie cantitativă a calității estetice a picturii. Birkhoff a exclus întrebările de conotație din considerare, concentrându-se pe proprietățile geometrice („elementele de ordine”) ale imaginii ca poligon. Valoarea aditivă ia valori de la -3 la 7 și combină cinci caracteristici:

A doua metrică reflectă numărul de linii care conțin cel puțin o latură a poligonului. Birkhoff definește măsura esteticii unui obiect ca un raport . Atitudinea poate fi interpretată ca un echilibru între plăcerea pe care o oferă contemplarea unui obiect și complexitatea construcției. Teoria lui Birkhoff a fost criticată din diverse puncte de vedere, reproșându-i intenția de a descrie frumusețea printr-o formulă. Matematicianul a susținut că nu avea o astfel de intenție [187] .

Hrană pentru cercetare

Sunt cazuri când arta a servit drept stimul pentru dezvoltarea matematicii. După ce a formulat teoria perspectivei în arhitectură și pictură, Brunelleschi a deschis o serie întreagă de studii, care au inclus lucrările lui Brooke Taylor și Johann Lambert asupra fundamentelor matematice ale perspectivei [188] . Pe această bază Gerard Desargues și Jean-Victor Poncelet au ridicat teoria geometriei proiective [189] .

Metodele matematice i-au permis lui Tomoko Fuse să dezvolte arta japoneză a origami . Folosind module , ea asamblează din bucăți de hârtie congruente - de exemplu, pătrate - poliedre și parchete [190] . În 1893, T. Sundara Rao a publicat Exerciții geometrice în plierea hârtiei, unde a dat dovezi vizuale ale diferitelor rezultate geometrice [191] . Cele mai importante descoperiri din domeniul matematicii origami includ teorema lui Maekawa [192] , teorema lui Kawasaki [193] și regulile lui Fujita [194] .

De la iluzie la arta optică

Iluziile optice , inclusiv spirala Fraser, demonstrează limitările percepției umane asupra imaginilor vizuale. Istoricul de artă Ernst Gombrich a numit efectele pe care le-au creat „trucuri de neînțeles” [196] . Dungile albe și negre, care la prima vedere formează o spirală , sunt de fapt cercuri concentrice . La mijlocul secolului al XX-lea a apărut un stil de artă optică care exploata iluziile pentru a da dinamică picturilor, pentru a crea efectul de pâlpâire sau vibrație. Reprezentanți celebri ai regiei, în virtutea unei cunoscute analogii cunoscute și sub numele de „op art”, sunt Bridget Riley, Spyros Choremis [197] , Victor Vasarely [198] .

Geometrie sacră

Ideea unui Dumnezeu-geometru și natura sacră a geometriei tuturor lucrurilor sunt cunoscute încă din Grecia antică și pot fi urmărite în cultura vest-europeană. Plutarh subliniază că astfel de opinii au fost susținute de Platon : „Dumnezeu geometrizează neîncetat” ( Convivialium disputationum , liber 8,2). Părerile lui Platon sunt înrădăcinate în conceptul pitagoreic de armonie muzicală, unde notele sunt distanțate în proporții ideale dictate de lungimile coardelor lirei. Prin analogie cu muzica, poliedrele obișnuite („solidele platonice”) stabilesc proporțiile lumii înconjurătoare și, ca urmare, comploturi în artă [199] [200] . O ilustrație medievală faimoasă a lui Dumnezeu creând universul cu o busolă se referă la versetul biblic : „Când El pregătea cerurile, eu eram acolo. Când El a tras un cerc peste faţa prăpastiei” ( Cartea Proverbelor lui Solomon , 8:27) [201] . În 1596, matematicianul și astronomul Johannes Kepler a prezentat un model al sistemului solar  - un set de solide platonice imbricate, reprezentând dimensiunile relative ale orbitelor planetare [201] . Tabloul „ Marele arhitect ” de William Blake , precum și monotipul său „Newton”, în care marele om de știință este înfățișat ca un geometru gol, demonstrează contrastul dintre lumea spirituală perfectă din punct de vedere matematic și cea fizică imperfectă [202] . În același mod, se poate interpreta „ Trupul hipercubic” al lui Dali , în care Hristos este crucificat pe o desfășurare tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni . Potrivit artistului, ochiul divin poate măsura mai mult decât cel uman [82] . Dali și-a imaginat ultima masă a lui Hristos cu discipolii ca având loc în interiorul unui dodecaedru gigantic [203] ,

Vezi și

Note

  1. ↑ 1 2 3 4 Ziegler, Günter M. Poliedrul lui Dürer: 5 teorii care explică cubul nebun al lui Melencolia . The Guardian (3 decembrie 2014). Consultat la 27 octombrie 2015. Arhivat din original la 11 noiembrie 2020.
  2. ↑ Pliniu cel Bătrân. Științele naturii. Despre art. - M .: Ladomir, 1994. S. 65 (XXXIV, 55-56)
  3. ↑ 1 2 McCague, Hugh. Pitagorei și sculptori: Canonul lui Polykleitos  //  Rosicrucian Digest: journal. - 2009. - Vol. 1 . — P. 23 .
  4. ↑ Platon. Menon // Platon. Sobr. op. în 4 volume - V.1. - M .: Gândirea, 1990. - S. 594-595 (85 a-s)
  5. ↑ Vlasov V. G. . Teoria modelării în artele plastice. Manual pentru licee. - Sankt Petersburg: Editura din Sankt Petersburg. un-ta, 2017. - C.121-122
  6. ↑ Raven, JE Polyclitus și Pitagorismul // Classical Quarterly. - 1951. - V. 1 , Nr. 3-4 . - S. 147 - . - doi : 10.1017/s0009838800004122 .
  7. ↑ Tobin, Richard. Canonul lui Polykleitos  // Jurnalul American de  Arheologie : jurnal. - 1975. - Octombrie ( vol. 79 , nr. 4 ). - P. 307-321 . - doi : 10.2307/503064 .
  8. ↑ 1 2 3 O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Matematică și artă-perspectivă . Universitatea din St Andrews (ianuarie 2003). Preluat la 1 septembrie 2015. Arhivat din original la 24 martie 2019.
  9. ↑ 1 2 3 4 The Visual Mind II / Emmer, Michelle. - MIT Press , 2005. - ISBN 978-0-262-05048-7 .
  10. ↑ Vasari, Giorgio . Viețile celor mai excelenți pictori, sculptori și arhitecți . - Torrentino, 1550. - C. Capitolul despre Brunelleschi.
  11. ↑ Alberti, Leon Battista; Spencer, John R. Despre pictură . - Yale University Press , 1956.
  12. ↑ Field, JV Invenția infinitului: matematică și artă în  Renaștere . - Oxford University Press , 1997. - ISBN 978-0-19-852394-9 .
  13. ↑ Witcombe, Christopher LCE Resurse pentru istoria artei . Data accesului: 5 septembrie 2015. Arhivat din original pe 4 martie 2016.
  14. ↑ 1 2 3 4 5 Hart, George W. Polyhedra in Art . Preluat la 24 iunie 2015. Arhivat din original la 21 aprilie 2019.
  15. ↑ Cunningham, Lawrence; Reich, Ioan; Fichner Rathus, Lois. Cultura și valorile: un studiu al  științelor umaniste occidentale . — Cengage Learning, 2014. - P. 375. - ISBN 978-1-285-44932-6 . . — „care ilustrează fascinația lui Uccello pentru perspectivă. Combatanții în turnee se angajează pe un câmp de luptă presărat cu lănci sparte care au căzut într-un model aproape de rețea și sunt îndreptați către un punct de fuga undeva în depărtare”.
  16. ↑ della Francesca, Piero. De Prospectiva Pingendi / G. Nicco Fasola. - Florența, 1942.
  17. ↑ della Francesca, Piero. Trattato d'Abaco / G. Arrighi. — Pisa, 1970.
  18. ↑ della Francesca, Piero. L'opera "De corporibus regularibus" di Pietro Franceschi detto della Francesca usurpata da Fra Luca Pacioli  (italiană) / G. Mancini. — 1916.
  19. ↑ Vasari, G. Le Opere, volumul 2 / G. Milanesi. - 1878. - S. 490.
  20. ↑ Zuffi, Stefano. Piero della Francesca . - L'Unità - Mondadori Arte, 1991. - P.  53 .
  21. ↑ Heath, TL Cele treisprezece cărți ale elementelor lui Euclid. - Cambridge University Press , 1908. - S. 97.
  22. ↑ Grendler, P. What Piero Learned in School: Fifteenth-Century Vernacular Education  / M.A. Lavin. Piero della Francesca și moștenirea sa. – University Press of New England, 1995. - P. 161-176.
  23. ↑ Alberti, Leon Battista; Grayson, Cecil (trad.). Despre pictură / Kemp, Martin. - Penguin Classics , 1991.
  24. ↑ Peterson, Mark. Geometria lui Piero della Francesca (link indisponibil) . — „În Cartea I, după câteva construcții elementare pentru a introduce ideea că dimensiunea aparentă a unui obiect fiind de fapt unghiul său subtins la ochi, și referindu-se la Elementele lui Euclid Cărțile I și VI și la Optica lui Euclid, el se întoarce, în Propunerea 13 , la reprezentarea unui pătrat întins pe pământ în fața privitorului. Ce ar trebui să deseneze de fapt artistul? După aceasta, obiectele sunt construite în pătrat (placuri, de exemplu, pentru a reprezenta o pardoseală cu gresie), iar obiectele corespunzătoare sunt construite în perspectivă; în Cartea a II-a se ridică prisme peste aceste obiecte plane, pentru a reprezenta case, coloane etc.; dar baza metodei este pătratul inițial, din care urmează totul.” Preluat la 2 iunie 2017. Arhivat din original la 1 iulie 2016. 
  25. ↑ Hockney, David. Cunoștințe secrete: redescoperirea tehnicilor pierdute ale vechilor maeștri  (engleză) . — Thames și Hudson, 2006. - ISBN 978-0-500-28638-8 .
  26. ↑ Van Riper, Bomba „Lucida” a lui Frank Hockney la stabilirea de artă . The Washington Post. Extras 4 septembrie 2015. Arhivat din original pe 11 septembrie 2015.
  27. ↑ Marr, Andrew Ce nu a văzut ochiul . The Guardian (7 octombrie 2001). Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 25 septembrie 2015.
  28. ↑ Janson, Jonathan Un interviu cu Philip Steadman . Essential Vermeer (25 aprilie 2003). Consultat la 5 septembrie 2015. Arhivat din original pe 6 septembrie 2015.
  29. ↑ Steadman, Philip. Camera lui Vermeer: ​​Descoperirea adevărului din spatele capodoperelor  (engleză) . - Oxford, 2002. - ISBN 978-0-19-280302-3 .
  30. ↑ Hart, George. Poliedrele lui Luca Pacioli . Consultat la 13 august 2009. Arhivat din original la 18 octombrie 2018.
  31. ↑ Morris, Renașterea lui Roderick Conway Palmezzano: Din umbră, pictor iese . New York Times (27 ianuarie 2006). Preluat la 22 iulie 2015. Arhivat din original la 18 aprilie 2021.
  32. ↑ Calter, Paul. Geometrie și Artă Unitatea 1 (link indisponibil) . Colegiul Dartmouth . Preluat la 13 august 2009. Arhivat din original la 21 august 2009. 
  33. ↑ Brizio, Anna Maria. Leonardo Artistul . — McGraw-Hill Education , 1980.
  34. ↑ Ladwein, Michael. Leonardo Da Vinci, Cina cea de Taină: O dramă cosmică și un act de mântuire  (engleză) . - Temple Lodge Publishing, 2006. - P. 61-62. - ISBN 978-1-902636-75-7 .
  35. ↑ Turner, Richard A. Inventing Leonardo. — Alfred A. Knopf, 1992.
  36. ↑ Wolchover, Natalie A copiat Leonardo da Vinci faimosul său „Omul de Vitruvian”? . NBC News (31 ianuarie 2012). Consultat la 27 octombrie 2015. Arhivat din original la 28 ianuarie 2016.
  37. ↑ Criminisi, A.; Kempz, M.; Kang, SB Reflecții ale realității în Jan van Eyck și Robert Campin  //  Metode istorice: jurnal. - 2004. - Vol. 37 , nr. 3 . - P. 109-121 . - doi : 10.3200/hmts.37.3.109-122 .
  38. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engleză) . - Cambridge University Press , 2013. - P. 299-300, 306-307. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  39. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engleză) . - Cambridge University Press , 2013. - P.  269 -278. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  40. ↑ Joyce, Elementele lui David E. Euclid, Cartea a II-a, Propunerea 11 . Universitatea Clark (1996). Preluat la 24 septembrie 2015. Arhivat din original la 30 septembrie 2015.
  41. ↑ Seghers, MJ; Longacre, JJ; Destefano, GA  Proporția de aur și frumusețea  // Chirurgie plastică și reconstructivă : jurnal. - 1964. - Vol. 34 , nr. 4 . - P. 382-386 . - doi : 10.1097/00006534-196410000-00007 .
  42. ↑ Mainzer, Klaus. Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science  (Engleză) . - Walter de Gruyter , 1996. - P. 118.
  43. ↑ Proprietăți matematice în teatre și amfiteatre antice (link în jos) . Consultat la 29 ianuarie 2014. Arhivat din original la 15 iulie 2017. 
  44. ↑ Arhitectură: Elipse? . The-Colosseum.net. Data accesului: 29 ianuarie 2014. Arhivat din original pe 11 decembrie 2013.
  45. ↑ 1 2 3 4 Markowsky, George. Concepții greșite despre raportul de aur  //  The College Mathematics Journal :revistă. - 1992. - ianuarie ( vol. 23 , nr. 1 ). - P. 2-19 . - doi : 10.2307/2686193 . Arhivat din original pe 8 aprilie 2008.
  46. ↑ Taseos, Socrates G. Înapoi în timp 3104 î.Hr. până la Marea  Piramidă . — SOC Publishers, 1990.
  47. ↑ Raportul dintre înălțimea oblică și jumătate din lungimea bazei este 1,619, care este mai puțin de 1% diferit de raportul de aur (1,618). Utilizarea triunghiului Kepler este implicită (unghiul de înclinare este de 51°49').
  48. ↑ Gazale, Midhat. Gnomon: De la faraoni la fractali. - Princeton University Press , 1999. - ISBN 978-0-691-00514-0 .
  49. ↑ Huntley, H. E. The Divine Proportion. — Dover, 1970.
  50. ↑ Hemenway, Priya. Proporția divină : Phi în artă, natură și știință  . - Sterling, 2005. - P.  96 .
  51. ↑ Usvat, Liliana Matematica Partenonului . Revista de matematică. Consultat la 24 iunie 2015. Arhivat din original la 14 septembrie 2015.
  52. ↑ Boussora, Kenza; Mazouz, Said. Utilizarea secțiunii de aur în Marea Moschee din Kairouan  //  Nexus Network Journal : jurnal. — Vol. 6 , nr. 1 . - P. 7-16 . - doi : 10.1007/s00004-004-0002-y . Arhivat din original pe 4 octombrie 2008. . — „Tehnica geometrică de construcție a secțiunii de aur pare să fi determinat deciziile majore ale organizării spațiale. Secțiunea de aur apare în mod repetat în unele părți ale măsurătorilor clădirii. Se regăsește în proporția de ansamblu a planului și în dimensionarea spațiului de rugăciune, a curții și a minaretului. Existența secțiunii de aur în unele părți ale moscheii Kairouan indică faptul că elementele proiectate și generate cu acest principiu ar fi putut fi realizate în aceeași perioadă.” Copie arhivată (link indisponibil) . Consultat la 4 iunie 2017. Arhivat din original la 4 octombrie 2008. 
  53. ↑ Brinkworth, Peter; Scott, Paul. The Place of Mathematics // Profesor australian de matematică. - 2001. - T. 57 , nr 3 . - S. 2 .
  54. ↑ Chanfon Olmos, Carlos. Curso sobre Proportion. Procedimientos reguladores en construcción  (spaniola) . — Convenio de intercambio Unam–Uady. Mexic - Merica, 1991.
  55. ↑ Livio, Mario . Raportul de aur: Povestea lui Phi, cel mai uimitor  număr din lume . — Cărțile Broadway, 2002.
  56. ↑ Smith, Norman AF Cathedral Studies: Engineering or History  // Transactions of the Newcomen Society. - 2001. - T. 73 . - S. 95-137 . - doi : 10.1179/tns.2001.005 . Arhivat din original pe 11 decembrie 2015. Copie arhivată (link indisponibil) . Preluat la 4 iunie 2017. Arhivat din original la 11 decembrie 2015. 
  57. ↑ McVeigh, Karen De ce proporția de aur mulțumește ochiul: un academic din SUA spune că cunoaște secretul de artă . The Guardian (28 decembrie 2009). Data accesului: 27 octombrie 2015. Arhivat din original la 19 octombrie 2015.
  58. ↑ 1 2 3 Cucker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engleză) . - Cambridge University Press , 2013. - P.  89 -102. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  59. ↑ 12 Lerner , Martin. Flacăra și lotusul : artă indiană și din Asia de Sud-Est din colecțiile Kronos  (engleză) . — Catalogul expoziției. — Muzeul Metropolitan de Artă, 1984.
  60. ↑ 1 2 Ellison, Elaine; Venters, Diana. Cuverturi matematice: nu este necesară cusut. — Curriculum cheie, 1999.
  61. ↑ 1 2 Castera, Jean Marc; Peuriot, Francois. arabescuri. Artă decorativă în Maroc. - Realizarea Creației de Artă, 1999. - ISBN 978-2-86770-124-5 .
  62. ↑ Salingaros, Nikos. „Viața” unui covor: o aplicare a regulilor lui Alexandru  (engleză)  // A 8-a Conferință Internațională despre Covoare Orientale : jurnal. - Philadelphia, 1996. - Noiembrie. Retipărit în Oriental Carpet and Textile Studies V / Eiland, M.; Pinner, M.. - Danville, CA: Conference on Oriental Carpets, 1998.
  63. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engleză) . - Cambridge University Press , 2013. - P.  103-106 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  64. ↑ Dye, Daniel S. Chinese Lattice Designs . - Dover, 1974. - S.  30 -39.
  65. ↑ belcastro, sarah-marie. Aventuri în tricotarea matematică   // Om de știință american :revistă. - 2013. - Vol. 101 , nr. 2 . — P. 124 . doi : 10.1511 / 2013.101.124 .
  66. ↑ Taimina, Daina. Croșetat aventuri cu avioane hiperbolice  . — A. K. Peters, 2009. - ISBN 1-56881-452-6 .
  67. ↑ Snook, Barbara. Broderie Florentină . Scribner, a doua ediție 1967.
  68. ↑ Williams, Elsa S. Bargello: Lucrare Florentine Canvas . Van Nostrand Reinhold, 1967.
  69. ↑ Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. Satins and Twills: An Introduction to the Geometry of Fabrics  // Revista de matematică  : revista  . - 1980. - Mai ( vol. 53 , nr. 3 ). - P. 139-161 . - doi : 10.2307/2690105 . — .
  70. ↑ 1 2 Gamwell, Lynn. Matematică și artă: o istorie culturală. - Princeton University Press , 2015. - P. 423. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  71. ↑ Baker, Patricia L.; Smith, Hilary. Iranul . — 3. — Ghiduri de călătorie Bradt, 2009. - P. 107. - ISBN 1-84162-289-3 .
  72. ↑ Irvine, Veronica; Ruskey, Frank. Dezvoltarea unui model matematic pentru dantelă cu șuruburi  //  Journal of Mathematics and the Arts : jurnal. - 2014. - Vol. 8 , nr. 3-4 . - P. 95-110 . - doi : 10.1080/17513472.2014.982938 . - arXiv : 1406.1532 .
  73. ↑ Lu, Peter J.; Steinhardt, Paul J. Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture  // Science  :  journal. - 2007. - Vol. 315 , nr. 5815 . - P. 1106-1110 . - doi : 10.1126/science.1135491 . - . — PMID 17322056 .
  74. ↑ van den Hoeven, Saskia, van der Veen, Maartje. Muqarnas-Matematica în artele islamice . Preluat la 6 mai 2018. Arhivat din original pe 6 mai 2019.
  75. ↑ Panofsky, E. Viața și arta lui Albrecht Durer. — Princeton, 1955.
  76. ↑ Hart, Poliedrele lui George W. Dürer . Preluat la 13 august 2009. Arhivat din original la 19 august 2009.
  77. ↑ Dürer, Albrecht. Hierinn sind begriffen vier Bucher von menschlicher Proporție  (germană) . - Nurenberg: Archive.org, 1528.
  78. ↑ Schreiber, P. O nouă ipoteză asupra poliedrului enigmatic al lui Durer în gravura sa pe cupru „Melencolia I”  //  Historia Mathematica : jurnal. - 1999. - Vol. 26 . - P. 369-377 . - doi : 10.1006/hmat.1999.2245 .
  79. ↑ Dodgson, Campbell. Albrecht Durer. - Londra: Medici Society, 1926. - S. 94.
  80. ↑ Schuster, Peter-Klaus. Melencolia I: Dürers Denkbild. Berlin: Gebr. Mann Verlag, 1991, p. 17-83.
  81. ↑ Panofsky, Erwin ; Klibansky, Raymond; Saxl, Fritz . Saturn și melancolie . — Cărți de bază , 1964.
  82. ↑ 1 2 Răstignire (Corpus Hypercubus) . Muzeul Metropolitan de Artă. Data accesului: 5 septembrie 2015. Arhivat din original pe 23 octombrie 2015.
  83. ↑ Lukman, Muhammad; Hariadi, Yun; Destiarmand, Achmad Haldani. Batik Fractal: Artă tradițională la complexitatea modernă  (engleză)  // Proceeding Generative Art X, Milano, Italia : jurnal. — 2007.
  84. ↑ Fractalii lui Pollock  (noiembrie 2001). Arhivat din original pe 7 octombrie 2016. Preluat la 26 septembrie 2016.
  85. ↑ Galilei, Galileo . Asatorul. - 1623. , după cum este tradus în Drake, StillmanDescoperiri și opinii ale lui Galileo. - Doubleday, 1957. - S. 237-238. — ISBN 0-385-09239-3 .
  86. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engleză) . - Cambridge University Press , 2013. - P.  381 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  87. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engleză) . - Cambridge University Press , 2013. - P.  10 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  88. ↑ King, Jerry P. Arta matematicii. - Fawcett Columbine, 1992. - S. 8-9. - ISBN 0-449-90835-6 .
  89. ↑ King, Jerry P. Arta matematicii. - Fawcett Columbine, 1992. - S. 135-139. - ISBN 0-449-90835-6 .
  90. ↑ Devlin, Keith. Matematicienii au creiere diferite? // Genea matematică : Cum a evoluat gândirea matematică și de ce numerele sunt ca bârfa  . - Cărți de bază , 2000. - P. 140. - ISBN 978-0-465-01619-8 .
  91. ↑ engleză.  "De ce sunt numerele frumoase? Este ca și cum ai întreba de ce este frumoasă Simfonia a IX-a a lui Beethoven . Dacă nu vezi de ce, cineva nu îți poate spune. Știu că numerele sunt frumoase."
  92. ↑ Malkevitch, Joseph Mathematics and Art. 2. Instrumente matematice pentru artiști . Societatea Americană de Matematică. Consultat la 1 septembrie 2015. Arhivat din original pe 14 septembrie 2015.
  93. ↑ Malkevitch, Joseph Mathematics and Art . Societatea Americană de Matematică. Consultat la 1 septembrie 2015. Arhivat din original pe 29 august 2015.
  94. ↑ Matematică și artă: binele, răul și frumosul . Asociația de matematică din America. Consultat la 2 septembrie 2015. Arhivat din original pe 9 septembrie 2015.
  95. ↑ Cohen, Louise Cum să învârți roata de culori, de Turner, Malevich și alții . Galeria Tate (1 iulie 2014). Extras 4 septembrie 2015. Arhivat din original pe 11 septembrie 2015.
  96. ↑ Kemp, Martin. Știința artei : Teme optice în arta occidentală de la Brunelleschi la Seurat  . - Yale University Press , 1992. - ISBN 978-968-867-185-6 .
  97. ↑ Gage, John. Culoare și cultură : practică și semnificație de la antichitate la abstracție  . - University of California Press , 1999. - P. 207. - ISBN 978-0-520-22225-0 .
  98. ↑ Malkevitch, Joseph Mathematics and Art. 3.Simetrie . Societatea Americană de Matematică. Consultat la 1 septembrie 2015. Arhivat din original pe 14 septembrie 2015.
  99. ↑ Malkevitch, Joseph Mathematics and Art. 4. Artiști matematicieni și artiști matematicieni . Societatea Americană de Matematică. Consultat la 1 septembrie 2015. Arhivat din original pe 15 septembrie 2015.
  100. ↑ Wright, Richard. Câteva probleme în dezvoltarea artei pe computer ca formă de artă  matematică //  Leonardo : jurnal. - 1988. - Vol. 1 , nr. Electronic Art, număr suplimentar . - P. 103-110 . - doi : 10.2307/1557919 . — .
  101. ↑ Kalajdzievski, Sasho. Matematică și artă: o introducere în matematica vizuală  (engleză) . - Chapman and Hall , 2008. - ISBN 978-1-58488-913-7 .
  102. ↑ 1 2 Beddard, Honor Artă computerizată la V&A . Muzeul Victoria și Albert. Preluat la 22 septembrie 2015. Arhivat din original la 25 septembrie 2015.
  103. ↑ Computer Does Drawings: Mii de linii în fiecare (17 septembrie 1962). în Beddard, 2015.
  104. ↑ O'Hanrahan, Elaine. Mașini de desenat: Mașina a produs desene ale lui Dr. D.P. Henry în legătură cu evoluțiile conceptuale și tehnologice în arta generată de mașini (Marea Britanie 1960–1968). MPhil inedit. Teză  (engleză) . — Universitatea John Moores, Liverpool, 2005. în Beddard, 2015.
  105. ↑ Bellos, Alex . Captura zilei: matematicianul plasează ciudat, pește complex , The Guardian (24 februarie 2015). Arhivat din original la 30 noiembrie 2016. Preluat la 25 septembrie 2015.
  106. ^ „A Bird in Flight (2016),” de Hamid Naderi Yeganeh . Societatea Americană de Matematică (23 martie 2016). Preluat la 6 aprilie 2017. Arhivat din original la 29 martie 2017.
  107. ↑ Chung, Stephy . Următorul da Vinci? Geniul matematicii folosind formule pentru a crea opere de artă fantastice , CNN  (18 septembrie 2015). Arhivat din original pe 2 februarie 2017. Preluat la 7 iunie 2017.
  108. ↑ Levin, Golan Generative Artists . CMUEMS (2013). Consultat la 27 octombrie 2015. Arhivat din original la 21 septembrie 2015. Aceasta include un link către Hvidtfeldts Syntopia Arhivat 31 octombrie 2015 la Wayback Machine .
  109. ↑ Verostko, Roman Algoriştii . Consultat la 27 octombrie 2015. Arhivat din original la 4 septembrie 2016.
  110. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engleză) . - Cambridge University Press , 2013. - P.  315-317 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  111. ↑ Miller, Arthur I. Einstein, Picasso : Space, Time, and the Beauty That Causes Havoc  . - New York: Basic Books, 2001. - P.  171 . - ISBN 0-465-01860-2 .
  112. ^ Miller, Arthur I. Insights of Genius : Imagery and Creativity in Science and Art  . - Springer, 2012. - ISBN 1-4612-2388-1 .
  113. ↑ Henderson, Linda D. The Fourth Dimension and Non-Euclidian geometry in Modern Art  . — Princeton University Press , 1983.
  114. ↑ Antliff, Mark; Leighten, Patricia Dee. Cubism și cultură . — Thames & Hudson, 2001.  (link inaccesibil)
  115. ↑ Everdell, William R. Primii moderni: profiluri în originile gândirii secolului al XX-lea  . - University of Chicago Press , 1997. - P.  312 . - ISBN 0-226-22480-5 .
  116. ↑ Green, Christopher. Cubism și dușmanii săi, mișcări moderne și reacție în arta franceză, 1916-1928  (engleză) . - Yale University Press , 1987. - P. 13-47.
  117. ↑ Metzinger, JeanNote sur la peinture // Pan. - S. 60 . în Miller. Einstein, Picasso . - Cărți de bază , 2001. - S.  167 .
  118. ↑ Metzinger, JeanLe cubisme etait né. - Éditions Présence, 1972. - S. 43-44. în Ferry, Luc Homo Aestheticus: Invenția gustului în epoca democratică  (engleză) . - University of Chicago Press , 1993. - P.  215 . — ISBN 0-226-24459-8 .
  119. ↑ Man Ray–Human Equations O călătorie de la matematică la Shakespeare. 7 februarie – 10 mai 2015 . Colecția Phillips. Consultat la 5 septembrie 2015. Arhivat din original pe 6 septembrie 2015.
  120. ↑ Adcock, Craig. Erotismul lui Duchamp: o analiză matematică  // Iowa Research Online. - 1987. - T. 16 , nr 1 . - S. 149-167 .
  121. ↑ Elder, R. Bruce. DADA, suprarealismul și  efectul cinematografic . — Wilfrid Laurier University Press, 2013. - P. 602. - ISBN 978-1-55458-641-7 .
  122. ↑ Tubbs, Robert. Matematica în literatura și arta secolului al XX-lea: conținut, formă,  sens . — JHU Press, 2014. - P. 118. - ISBN 978-1-4214-1402-7 .
  123. ↑ Hiroshi Sugimoto Forme conceptuale și modele matematice 7 februarie – 10 mai 2015 . Colecția Phillips. Consultat la 5 septembrie 2015. Arhivat din original pe 6 septembrie 2015.
  124. ↑ Tubbs, Robert. Matematica în literatura și arta secolului XX  . - Johns Hopkins, 2014. - P. 8-10. — ISBN 978-1-4214-1380-8 .
  125. ↑ engleză.  „paraboloizii eliptici și punctele conice în aceeași lumină senzuală ca pozele sale cu Kiki de Montparnasse”
  126. ↑ engleză.  „reproșează în mod ingenios calculele cool ale matematicii pentru a dezvălui topologia dorinței”
  127. ↑ Keats, Jonathon Vezi cum Man Ray a făcut erotici paraboloizi eliptici la această expoziție de fotografie din colecția Phillips . Forbes (13 februarie 2015). Consultat la 10 septembrie 2015. Arhivat din original pe 23 septembrie 2015.
  128. ↑ Gamwell, Lynn. Matematică și artă: o istorie culturală. - Princeton University Press , 2015. - S. 311-312. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  129. ↑ Henry Moore: Text on His Sculpture / Hedgecoe, John. — Henry Spencer Moore. - Simon și Schuster , 1968. - P. 105.
  130. ↑ engleză.  „Fără îndoială, sursa figurilor mele cu șiruri a fost Muzeul de Știință... Am fost fascinat de modelele matematice pe care le-am văzut acolo... Nu a fost studiul științific al acestor modele, ci capacitatea de a privi prin șiruri ca la o pasăre. cușcă și să văd o formă în alta care m-a entuziasmat.”
  131. ↑ Jouffret, Esprit. Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions et introduction à la géométrie à n dimensions  (franceză) . — Paris: Gauthier-Villars, 1903.
  132. ↑ engleză.  „stabiliți un vocabular vizual alcătuit [ sic ] din forme geometrice elementare inteligibile de toți și adaptabile oricărei discipline”
  133. ↑ 12 De Stijl . Glosarul Tate . Tate. Consultat la 11 septembrie 2015. Arhivat din original la 11 februarie 2017.
  134. ↑ Curl, James Stevens. Un dicționar de arhitectură și arhitectură peisagistică  . - Al doilea. - Oxford University Press , 2006. - ISBN 0-19-860678-8 .
  135. ↑ engleză.  „o structură care poate fi controlată, o suprafață definită fără elemente întâmplătoare sau capricii individuale”
  136. ↑ engleză.  „nu lipsit de spirit, nu lipsește universalul și nu... gol, deoarece există tot ce se potrivește ritmului intern”
  137. ↑ Tubbs, Robert. Matematica în literatura și arta secolului al XX-lea: conținut, formă,  sens . — JHU Press, 2014. - P. 44-47. - ISBN 978-1-4214-1402-7 .
  138. ↑ Tur: MC Escher - Viață și muncă (link indisponibil) . NGA. Preluat la 13 august 2009. Arhivat din original la 3 august 2009. 
  139. ↑ M.C. Escher . Mathacademy.com (1 noiembrie 2007). Consultat la 13 august 2009. Arhivat din original la 11 octombrie 2007.
  140. ↑ Penrose, L.S.; Penrose, R. Obiecte imposibile: un tip special de iluzie vizuală  (engleză)  // British Journal of Psychology : jurnal. - 1958. - Vol. 49 . - P. 31-33 . - doi : 10.1111/j.2044-8295.1958.tb00634.x . — PMID 13536303 .
  141. ↑ Kirousis, Lefteris M.; Papadimitriou, Christos H.Complexitatea recunoașterii scenelor poliedrice // Cel de-al 26-lea Simpozion anual privind fundamentele informaticii(FOCS 1985). - 1985. - S. 175-185 . - doi : 10.1109/sfcs.1985.59 .
  142. ↑ Cooper, Martin. Interpretarea desenului liniilor . - Springer-Verlag , 2008. - S.  217 -230. - ISBN 978-1-84800-229-6 . - doi : 10.1007/978-1-84800-229-6_9 .
  143. ↑ Roberts, Siobhan. „Coxetering” cu MC Escher. - Regele spațiului infinit: Donald Coxeter, omul care a salvat geometria. - Walker, 2006. - S. Capitolul 11.
  144. ↑ Escher, MC Lumea lui MC Escher. — Random House , 1988.
  145. ↑ Escher, M.C.; Vermeulen, M.W.; Ford, K. Escher despre Escher: Explorarea infinitului. — HN Abrams, 1989.
  146. ↑ Malkevitch, Joseph Mathematics and Art. 5. Poliedre, gresie și disecții . Societatea Americană de Matematică. Consultat la 1 septembrie 2015. Arhivat din original pe 14 septembrie 2015.
  147. ↑ Marcolli, Matilde . Noțiunea de spațiu în matematică prin prisma artei moderne  (engleză) . - Cărți de secol, 2016. - P. 23-26.
  148. ↑ John Robinson . Fundația Bradshaw (2007). Consultat la 13 august 2009. Arhivat din original la 3 mai 2010.
  149. ↑ Site-ul web Helaman Ferguson . Helasculpt.com. Consultat la 13 august 2009. Arhivat din original la 11 aprilie 2009.
  150. ↑ Thurston, William P. The Eightfold Way: A Mathematical Sculpture de Helaman Ferguson  / Levy, Silvio. - Volumul 35: The Eightfold Way: Frumusețea curbei quartice a lui Klein. - Publicaţiile MSRI, 1999. - P. 1-7.
  151. ↑ Recenzie de carte MAA despre „The Eightfold Way: The Beauty of Quartic Curve” a lui Klein . Maa.org (14 noiembrie 1993). Preluat la 13 august 2009. Arhivat din original la 21 decembrie 2009.
  152. ↑ Ghidul de cadouri de vacanță Math Geek . Scientific American (23 noiembrie 2014). Consultat la 7 iunie 2015. Arhivat din original pe 17 iunie 2015.
  153. ↑ Hanna, Raven Gallery: Bathsheba Grossman . Revista Simetrie. Consultat la 7 iunie 2015. Arhivat din original la 26 aprilie 2015.
  154. ↑ Osinga, Hinke Croșetând varietatea Lorenz . Universitatea din Auckland (2005). Consultat la 12 octombrie 2015. Arhivat din original la 10 aprilie 2015.
  155. ↑ Henderson, David; Taimina, Daina Croșetarea planului hiperbolic  //  The Mathematical Intelligencer . - 2001. - Vol. 23 , nr. 2 . - P. 17-28 . - doi : 10.1007/BF03026623 . .
  156. ↑ Osinga, Hinke M; Krauskopf, Bernd. Croșetarea varietatii Lorenz  //  The Mathematical Intelligencer . - 2004. - Vol. 26 , nr. 4 . - P. 25-37 . - doi : 10.1007/BF02985416 .
  157. ↑ Dietz, Ada K. (1949), Algebraic Expressions in Handwoven Textiles , Louisville, Kentucky: The Little Loomhouse , < http://www2.cs.arizona.edu/patterns/weaving/monographies/dak_alge.pdf > Copie arhivată din 22 februarie 2016 la Wayback Machine 
  158. ↑ Miller, JCPPăduri periodice de arbori picători  (engleză)  // Philosophical Transactions of the Royal Society of London  : journal. - 1970. - Vol. 266 , nr. 1172 . - P. 63-111 . doi :/ rsta.1970.0003 . — .
  159. ↑ Designing Beauty: The Art of Cellular Automata / A. Adamatzky, GJ Martínez (Eds.). - Springer International Publishing, 2016. - (Emergence, Complexity and Computation; v. 20). - ISBN 978-3-319-27270-2 , 978-3-319-27269-6.
  160. ↑ Din engleză.  matematicieni  – „matematicieni” și engleză.  tricot  - tricot.
  161. ↑ Pat Ashforth și Steve Plummer - Matematicieni . Gânduri Lânoase . Consultat la 4 octombrie 2015. Arhivat din original la 15 septembrie 2015.
  162. ↑ Ward, Mark Knitting reinventat: Mathematics, feminism and metal . BBC (20 august 2012). Consultat la 23 septembrie 2015. Arhivat din original la 23 septembrie 2015.
  163. ↑ Ashforth, Pat; Plummer, Steve Menger Sponge . Gânduri lânoase: în căutarea unei matematici mestenice . Consultat la 23 septembrie 2015. Arhivat din original la 17 aprilie 2021.
  164. ↑ Din engleză.  matematică  - „matematică” și engleză.  Atghans  - „eșarfă tricotată”, „voal”.
  165. ↑ Ashforth, Pat; Plummer, Steve Afghans for Schools . Gânduri lânoase: Mathghans . Consultat la 23 septembrie 2015. Arhivat din original la 18 septembrie 2015.
  166. ↑ Mathghans cu o diferență . - Simply Knitting Magazine, 2008. - 1 iulie. Arhivat din original pe 25 septembrie 2015.
  167. ↑ Giotto di Bondone și asistenți: tripticul Stefaneschi . Vaticanul. Consultat la 16 septembrie 2015. Arhivat din original la 30 noiembrie 2016.
  168. ↑ Gamwell, Lynn. Matematică și artă: o istorie culturală. - Princeton University Press , 2015. - S. 337-338. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  169. ↑ Cooper, Jonathan Art and Mathematics (5 septembrie 2007). Consultat la 5 septembrie 2015. Arhivat din original pe 25 septembrie 2015.
  170. ↑ Hofstadter, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid  (germană) . - Pinguin, 1980. - S. 627. - ISBN 978-0-14-028920-6 .
  171. ↑ engleză.  „imagine ciudată din orașul jucăriilor” .
  172. ↑ engleză.  „forme tradiționale confortabile” .
  173. ↑ Hall, James René Magritte: The Pleasure Principle - expoziție . The Guardian (10 iunie 2011). Preluat la 5 septembrie 2015. Arhivat din original la 23 august 2015.
  174. ↑ Regele, Elliot. Dali / Ades, Dawn. - Milano: Bompiani Arte, 2004. - S. 418-421.
  175. ↑ „Diferența dintre un desen Escher și geometria non-euclidiană este că în cea din urmă, pot fi găsite interpretări inteligibile pentru termenii nedefiniti, rezultând un sistem total inteligibil, în timp ce pentru prima, rezultatul final nu este conciliabil cu concepția cuiva. din lume, indiferent cât de mult te uiți la poze.”
  176. ↑ engleză.  „buclă ciudată sau ierarhie încurcată”
  177. ↑ Hofstadter, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid  (germană) . - Pinguin, 1980. - S. 98-99, 690-717. - ISBN 978-0-394-74502-2 .
  178. ↑ de Smit, B. The Mathematical Structure of Escher's Print Gallery  // Notices of the American Mathematical Society  : journal  . - 2003. - Vol. 50 , nr. 4 . - P. 446-451 .
  179. ↑ Lenstra, Hendrik; De Smit, Bart Aplicarea matematicii la Escher's Print Gallery (link indisponibil) . Universitatea Leiden. Consultat la 10 noiembrie 2015. Arhivat din original la 14 ianuarie 2018. 
  180. ↑ Stanek, Becca Van Gogh și algoritmul: cum poate matematica să salveze arta . Revista Time (16 iunie 2014). Consultat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original pe 28 septembrie 2015.
  181. ↑ Sipics, Michelle The Van Gogh Project: Art Meets Mathematics in Ongoing International Study (link indisponibil) . Societatea de Matematică Industrială și Aplicată (18 mai 2009). Consultat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original pe 7 septembrie 2015. 
  182. ↑ Emmerling, Leonhard. Jackson Pollock, 1912-1956 . - 2003. - P. 63. - ISBN 3-8228-2132-2 .
  183. ↑ Taylor, Richard P.; Micolich, Adam P.; Jonas, David. Analiza fractală a picturilor în picurare ale lui Pollock  (engleză)  // Nature  : journal. - 1999. - iunie ( vol. 399 ). - P. 422 . - doi : 10.1038/20833 . Arhivat din original pe 16 august 2015. Copie arhivată (link indisponibil) . Preluat la 9 iunie 2017. Arhivat din original la 16 august 2015. 
  184. ↑ Taylor, Richard; Micolich, Adam P.; Jonas, David. Expresionismul fractal: poate fi folosită știința pentru a ne îmbunătăți înțelegerea artei?  (engleză)  // Physics World  : revistă. - 1999. - octombrie ( vol. 12 ). - P. 25-28 . - doi : 10.1088/2058-7058/12/10/21 . Arhivat din original pe 5 august 2012. . — „Pollock a murit în 1956, înainte ca haosul și fractalii să fie descoperite. Prin urmare, este foarte puțin probabil ca Pollock să fi înțeles în mod conștient fractalii pe care îi picta. Cu toate acestea, introducerea lui de fractali a fost deliberată. De exemplu, culoarea stratului de ancorare a fost aleasă pentru a produce cel mai puternic contrast față de fundalul pânzei și acest strat ocupă, de asemenea, mai mult spațiu pe pânză decât celelalte straturi, ceea ce sugerează că Pollock a dorit ca acest strat de ancorare extrem de fractal să domine vizual pictura. În plus, după ce picturile au fost finalizate, el a andocat pânza pentru a elimina regiunile din apropierea marginii pânzei în care densitatea modelului era mai puțin uniformă”. Copie arhivată (link indisponibil) . Preluat la 9 iunie 2017. Arhivat din original la 5 august 2012. 
  185. ↑ King, M. De la Max Ernst la Ernst Mach: epistemologie în artă și știință. (2002). Data accesului: 17 septembrie 2015. Arhivat din original pe 4 mai 2016.
  186. ↑ Dodgson, N.A. Caracterizarea matematică a picturilor în dungi ale lui Bridget Riley  //  Journal of Mathematics and the Arts : jurnal. - 2012. - Vol. 5 . - P. 1-21 . doi : 10.1080 / 17513472.2012.679468 . . „De-a lungul [dei] începutului anilor 1980, modelele lui Riley s-au mutat de la mai regulate la mai aleatorii (așa cum se caracterizează prin entropia globală), fără a-și pierde structura ritmică (așa cum este caracterizată de entropia locală). Aceasta reflectă descrierea lui Kudielka despre dezvoltarea ei artistică.”.
  187. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engleză) . - Cambridge University Press , 2013. - P.  116-120 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  188. ↑ Treibergs, Andrews Geometria desenului în perspectivă pe computer . Universitatea din Utah (24 iulie 2001). Consultat la 5 septembrie 2015. Arhivat din original pe 10 martie 2010.
  189. ↑ Gamwell, Lynn. Matematică și artă: o istorie culturală. - Princeton University Press , 2015. - p. xviii. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  190. ↑ Malkevitch, Joseph Mathematics and Art. 6. Origami . Societatea Americană de Matematică. Consultat la 1 septembrie 2015. Arhivat din original pe 14 septembrie 2015.
  191. ↑ T. Sundara Rao. Exerciții geometrice în plierea hârtiei . - Addison, 1893.
  192. ↑ Justin, J. Mathematics of Origami, partea 9 // British Origami. - 1986. - Iunie. - S. 28-30 . .
  193. ↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger. Dovezi fermecătoare: o călătorie în matematica elegantă  . - Asociația de matematică din America , 2010. - Vol. 42. - P. 57. - (Expoziţii de matematică Dolciani). - ISBN 978-0-88385-348-1 .
  194. ↑ Alperin, Roger C.; Lang, Robert J. One-, Two-, and Multi-fold Origami Axioms  // 4OSME. — A. K. Peters, 2009.
  195. ↑ The World of Geometric Toys Arhivat la 22 iulie 2020 la Wayback Machine , Origami Spring Arhivat la 19 iunie 2017 la Wayback Machine , august 2007.
  196. ↑ engleză.  „truc derutant” .
  197. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engleză) . - Cambridge University Press , 2013. - P.  163-166 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  198. ↑ Gamwell, Lynn. Matematică și artă: o istorie culturală. - Princeton University Press , 2015. - S. 406-410. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  199. ↑ Ghyka, Matila. Geometria artei și a vieții. - Dover, 2003. - S. ix-xi. - ISBN 978-0-486-23542-4 .
  200. ↑ Lawlor, Robert. Geometrie sacră: filozofie și practică. — Thames & Hudson, 1982. - ISBN 978-0-500-81030-9 .
  201. ↑ 1 2 Calter, Paul Celestial Themes in Art & Architecture (link nu este disponibil) . Colegiul Dartmouth (1998). Consultat la 5 septembrie 2015. Arhivat din original pe 23 iunie 2015. 
  202. ↑ Gândul unui gând - Edgar Allan Poe . MathPages. Consultat la 5 septembrie 2015. Arhivat din original la 18 aprilie 2021.
  203. ↑ Livio, Mario Raportul de aur și estetica . Consultat la 26 iunie 2015. Arhivat din original pe 17 iunie 2015.

Literatură

Link -uri

  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii