Matematica financiara

Matematica financiară este o ramură a matematicii aplicate care se ocupă de problemele matematice legate de calculele financiare . În matematica financiară, orice instrument financiar este considerat din punctul de vedere al unor fluxuri de numerar (eventual aleatorii) generate de acest instrument .

Direcții principale:

matematică clasică financiară sau creditară (efectuarea calculelor de dobândă; probleme legate de diferite instrumente de datorie: cambii , certificate de depozit , obligațiuni ; analiza fluxului de plăți utilizată în domeniul bancar, creditare , investire );
matematică financiară stocastică , inclusiv calculul prețului de non-arbitraj (sau „corect”) al instrumentelor financiare ;
efectuarea de calcule actuariale (constituind baza matematică a asigurării);
calcule econometrice legate de prognozarea comportamentului pieţelor financiare .

Sarcina matematicii financiare clasice se reduce la compararea fluxurilor de numerar din diverse instrumente financiare pe baza criteriilor pentru valoarea în timp a banilor (ținând cont de factorul de actualizare ), evaluarea eficacității investițiilor în anumite instrumente financiare (inclusiv evaluarea eficienței proiecte de investiții ), elaborarea criteriilor de selectare a instrumentelor. În matematica financiară clasică, determinismul ratelor dobânzilor și al fluxurilor de plăți este asumat implicit.

Matematica financiară stocastică se ocupă de plăți și rate probabilistice. Sarcina principală este de a obține o evaluare adecvată a instrumentelor, ținând cont de natura probabilistică a condițiilor de piață și de fluxul plăților din instrumente. În mod formal, aceasta include optimizarea unui portofoliu de instrumente în cadrul analizei varianței medii. De asemenea, metodele de evaluare a riscurilor financiare se bazează pe modele de matematică financiară stocastică . Totodată, în matematica financiară stocastică devine necesară determinarea criteriilor de evaluare a riscurilor, inclusiv pentru o evaluare adecvată a instrumentelor financiare.

Istorie

Vremuri antice

Unul dintre cele mai timpurii exemple de inginerie financiară este scrierile filosofului grec antic Thales din Milet (624-547 î.Hr.). Conform cărții lui Aristotel , Thales, folosind exemplul de utilizare a presei de măsline, a arătat cum matematica poate influența îmbogățirea, în timp ce modelul său nu era altceva decât o opțiune de cumpărare , dând dreptul de a cumpăra produsul specificat la un anumit moment în timp . 1] .

Evul Mediu

În 1202, Fibonacci a scris prima carte care conține elemente de matematică financiară, Cartea Abacului . În acesta, el a calculat valoarea actuală a fluxurilor de numerar alternative pe lângă dezvoltarea unei metode generale de exprimare a investițiilor și a rezolvat o gamă largă de probleme ale ratei dobânzii.

În 1565, matematicianul italian Girolamo Cardano a publicat un tratat Despre jocurile de noroc care a stabilit o teorie elementară a jocurilor de noroc .

Timp nou

În 1654, matematicienii francezi Blaise Pascal și Pierre Fermat au pus bazele teoriei probabilității. Sarcina lor a fost să decidă dacă să parieze pe faptul că 24 de aruncări de zaruri ar arunca două 6-uri. Într-o serie de scrisori schimbate între Pascal și Fermat, ei au rezolvat această problemă și problema punctelor (cunoscută și ca problema „joc incomplet”), care este în esență aceeași cu problema prețului opțiunii de apel pentru modelul Cox-Ross-Rubinstein. .

În 1900, matematicianul francez Louis Bachelier și-a susținut teza despre „Teoria speculației ”, care a fost ulterior recunoscută ca dovadă a nașterii matematicii financiare moderne. Bachelier este considerat primul care a introdus mișcarea browniană în matematică și a aplicat traiectoriile acesteia pentru a modela dinamica prețurilor acțiunilor și a calcula prețurile opțiunilor [2] .

Timpurile moderne

Printre formulele și teoriile utilizate în prezent în matematica financiară, un loc important îl ocupă lucrările lui Kiyoshi Ito , Harry Markowitz , Fisher Black , Myron Scholes , Robert Merton [3] .

Concepte de bază, abordări și metode ale matematicii financiare

Acumularea dobânzii și actualizarea fluxurilor de numerar

Acumularea dobânzilor

Procedurile de calcul ale matematicii financiare se bazează pe principiile calculării dobânzii la fondurile investite. Dobânda simplă nu implică reinvestirea dobânzii primite. Prin urmare, valoarea totală a FV obținută în timpul t prin investirea cantității de PV este determinată liniar . $FV_{t}=PV(1+it)$

Cu toate acestea, cel mai adesea matematica financiară se ocupă de dobânda compusă , atunci când se ia în considerare reinvestirea (capitalizarea) dobânzii primite. În acest caz, formula pentru valoarea viitoare ia forma exponențială:

FV_{t}=PV(1+i)^{t}=PVe^{{rt}}~,~~r=\ln(1+i)

unde r este o rată continuă sau logaritmică. Ultima înregistrare a dobânzii compuse este convenabilă pentru scopuri analitice.

În practica financiară, se obișnuiește să se stabilească rate anuale ale dobânzii, în timp ce acumularea și capitalizarea pot avea loc mai des decât o dată pe an. Dacă dobânda este capitalizată de m ori pe an, atunci devine formula valorii viitoare

$FV_{t}=PV(1+i/m)^{{mt}}=PV(1+i_{e})^{t}$

unde este rata dobânzii anuale efective . $i_{e}=(1+i/m)^{m}-1$

La rata efectivă, puteți compara diferite opțiuni de investiții cu rate nominale și perioade de capitalizare a dobânzii diferite. Când avem acumulare continuă și formula ia forma . Această formulă este echivalentă cu formula de mai sus pentru dobânda compusă la rata r egală cu rata logaritmică. $m\rightarrow\infty$ $FV_{t}=PVe^{{rt}}$

Valoarea viitoare și prezentă

Ipoteza de bază în matematica financiară este că este posibil în economie să se investească orice sumă într-un instrument (alternativ) (în mod implicit, un depozit bancar) la o rată compusă i . Pe baza principiilor acumulării dobânzii compuse la această rată i , fiecărei sume de bani (valoare) la un moment dat i se atribuie valoarea viitoare la momentul t ( ), iar fiecărei sume i se atribuie valoarea curentă (prezentată, actualizată). (PV) : $FV_{t}$ $FV_{t}$

$FV_{t}=PV(1+i)^{t}~,~~PV={\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}=FV_{t}(1+ i)^{{-t}}$

Procesul de aducere a valorii viitoare la valoarea actuală se numește reducere . Rata (randamentul) unei investiții alternative i este rata de actualizare .

Mai general, suma la timp poate fi mapată la suma la timp : $t_{1}$ $t_{2}$

$S_{{t_{2}}}=S_{{t_{1}}}(1+i)^{{t_{2}-t_{1}}}$

Mai mult, această formulă este valabilă atât în cazul, cât și în cazul . Sumele aferente sau reduse la același moment în timp sunt comparabile. Pe baza acestui fapt, apare conceptul de valoare a timpului (valoare) a banilor , a cărui esență constă în valoarea diferită a acelorași sume în momente diferite de timp. Reducerea acestor sume (reducere la un moment dat) la aceeași rată vă permite să comparați sumele pentru momente diferite de timp (fluxuri de numerar diferite) între ele. $t_{2}>t_{1}$ $t_{2}<t_{1}$

Dacă este dat fluxul de numerar , atunci valoarea viitoare la momentul investiției acestui flux de numerar (la momentele relevante din timp) va fi suma valorilor viitoare ale componentelor individuale ale fluxului (se presupune că fluxul de numerar este generat de un anumit instrument financiar sau proiect de investiții sau afacere în ansamblu și, în același timp, există posibilitatea de a investi într-un instrument alternativ cu un venit fix egal cu rata de actualizare): $CF=(CF_{{t_{1}}},...,CF_{{t_{k}}},...,CF_{{t_{n}}})$ $t>t_{n}$

$FV_{t}=\sum _{{k=1}}^{n}{CF_{{t_{k}}}}(1+i)^{{t-t_{k}}}$

Această sumă poate fi asociată cu suma la momentul curent în conformitate cu regula generală de actualizare: $FV_{t}$

$PV=FV_{t}/(1+i)^{t}=\sum _{{k=1}}^{n}{CF_{{t_{k}}}}(1+i)^{{ t-t_{k}}}/(1+i)^{t}=\sum _{{k=1}}^{n}{\frac {CF_{{t_{k}}}}{(1 +i)^{{t_{k}}}}}}$

În cazul limitativ, ar trebui să se ia în considerare un flux de numerar continuu cu o densitate , atunci valoarea actuală a fluxului de numerar continuu va fi egală cu următoarea integrală: $CF(t)$

$PV=\int _{0}^{{\infty }}CF(t)e^{{-rt}}dt$

Astfel, fiecare flux de numerar este asociat cu valoarea sa curentă (prezentată, actualizată) la rata de actualizare .

Pentru anuitățile bazate pe formula de progresie geometrică, obținem următoarea formulă a valorii prezente . Pentru o anuitate perpetuă (adică la ) obținem o expresie simplă . În cazul unui flux de numerar infinit cu o rată de creștere constantă, obținem formula Gordon $PV_{i}=a{\frac {1-(1+i)^{{-t}}}{i}}$ $t\rightarrow\infty$ $PV=a/i$ $PV={\frac {CF_{1}}{ig}}$

Returnare efectivă (intrinsecă)

Dacă un instrument financiar are o anumită evaluare, de exemplu, un preț de piață, un preț de cumpărare etc., atunci cunoscând fluxul de numerar din instrument, este posibil să se evalueze randamentul efectiv (intern) al acestuia ca o rată de actualizare la care valoarea actuală va fi egal cu prețul real al instrumentului, atunci este soluția ecuației în raport cu rata . Acest indicator poate fi numit diferit în funcție de sarcina și instrumentele luate în considerare. De exemplu, pentru obligațiuni este randamentul la scadență (YTM), pentru proiectele de investiții este rata internă de rentabilitate (IRR). $P=PV(i)$ $i$

Durata fluxului de numerar

Valoarea actuală este o funcție neliniară a ratei de actualizare. În consecință, întregul flux de numerar este caracterizat printr-un program de valoare actualizată la o rată de actualizare. Sensibilitatea (elasticitatea) valorii prezente la modificările ratei dobânzii (derivata logaritmică de 1 + i) este egală cu durata fluxului de numerar - termenul mediu ponderat al fluxului de numerar (ponderile sunt ponderea fluxului de numerar). valorile actuale ale componentelor individuale ale fluxului în valoarea actuală a întregului flux).

$D=-{\frac {\partial \ln PV}{\partial \ln(1+i)}}={\frac {\sum _{{k=1}}^{n}{\frac {CF_{ {t_{k}}}t_{k}}{(1+i)^{{t_{k}}}}}}{\sum _{{k=1}}^{n}{\frac {CF_ {{t_{k}}}}{(1+i)^{{t_{k}}}}}}}=\overline {T}$

Ca o primă aproximare, termenul mediu ponderat al fluxului de numerar fără actualizare (adică cu o rată de actualizare zero) poate fi utilizat ca durată. Durata poate fi utilizată pentru o evaluare simplificată a modificării valorii juste a unui instrument financiar cu o mică modificare a ratei de actualizare. De asemenea, durata poate fi interpretată diferit - aceasta este aproximativ perioada pentru care puteți obține suma totală a fluxului de numerar, dacă investiți sub rata de actualizare o sumă egală cu valoarea curentă a acestui flux de numerar. În cazul special al unei obligațiuni cu cupon zero, durata coincide cu termenul unei astfel de obligațiuni. În cazul unei rente perpetue, durata este (1+i)/i

Pentru a rafina evaluarea impactului unei modificări a ratei dobânzii, uneori, împreună cu durata, este utilizată și o corecție de ordinul doi - convexitatea . Ea este egală . Ca o primă aproximare, o putem considera egală cu . $\overline {T^{2}}+\overline {T}$ $D^{2}+D$

Teoria portofoliului

Optimizarea portofoliului este de obicei luată în considerare în cadrul analizei varianței medii . Pentru prima dată această abordare a formării portofoliilor a fost propusă de Harry Markowitz (mai târziu câștigător al Premiului Nobel). În cadrul acestei abordări, randamentele instrumentelor sunt presupuse a fi variabile aleatorii cu un anumit nivel mediu (aşteptare matematică), volatilitate (dispersie) şi covarianţe între randamentele instrumentelor. Dispersia randamentelor este o măsură a riscului investiției într-un anumit instrument sau portofoliu. Deși abordarea este aplicabilă formal pentru orice distribuție a randamentelor, rezultatele pot fi mai bune pentru o distribuție normală, datorită faptului că așteptările matematice și matricea de covarianță caracterizează complet distribuția normală.

Formulările și soluțiile problemei diferă în funcție de anumite ipoteze, în special, posibilitatea unor acțiuni negative ale instrumentelor în portofoliu (așa-numitele „vânzări în lipsă”), prezența unui activ fără risc cu dispersie și corelație zero. cu alte active etc. Problema poate fi formulată ca minimizarea variației unui portofoliu sub rentabilitatea medie necesară și alte constrângeri, sau maximizarea rentabilității pentru un anumit nivel de risc (varianță). Sunt posibile și alte formulări, care implică maximizarea sau minimizarea funcțiilor obiective complexe care țin cont atât de profitabilitate, cât și de risc.

Pe baza teoriei portofoliului Markowitz, a fost dezvoltată ulterior teoria modernă a prețului activelor financiare, CAPM (Capital Assets Pricing Model).

Modele stocastice

Modele stocastice în timp discret

Modelul de bază al dinamicii prețurilor instrumentelor financiare este un model al mișcării browniene geometrice , conform căruia randamentele (continue, logaritmice) ale instrumentelor sunt supuse unui proces de mers aleatoriu :

$r_{t}=\ln p_{t}-\ln p_{{t-1}}=\ln {{\frac {p_{t}}{p_{{t-1}}}}}=\varepsilon _{t}$

unde este zgomotul alb $\varepsilon _{t}$

Acest model satisface ipoteza pietei eficiente . În cadrul acestei ipoteze, se presupune că este imposibil să se prezică randamentele pentru perioadele viitoare pe baza oricărei informații, inclusiv a informațiilor despre randamentele trecute.

Modelele ARIMA presupun capacitatea de a prezice randamente pe baza randamentelor anterioare.

Modelele GARCH sunt concepute pentru a modela volatilitatea condiționată a randamentelor. Aceste modele explică „cozile grase” ale distribuției randamentelor, precum și gruparea volatilității, care se observă în practică. Unele modele iau în considerare și posibilitatea asimetriei în nivelul de volatilitate atunci când piața scade și crește.

Există, de asemenea, alte abordări ale modelării volatilității - Modele Stochastice de Volatilitate .

Modele stocastice în timp continuu

Modele bazate pe mișcarea browniană

dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}

unde este mișcarea browniană standard ( procesul Wiener ) $W_{t}$

Modele de difuzie a evoluţiei ratelor dobânzilor
Modele de prețuri opționale
modele fractale

Note

↑ Aristotel, Politică, Cartea I, trad. B. Jowett în The Complete Works of Aristotel: the Revised Oxford Translation, ed. Jonathan Barnes, Seria Bollingen LXXI:2 (Princeton, NJ: Princeton University Press, Fourth Printing, 1991), p. 1998, 1259a9-19.
↑ Steven R. Dunbar. Modelare matematică în finanțe cu procese stocastice. Arhivat pe 27 ianuarie 2018 la Wayback Machine - 2011.
↑ Erdinc Akyildirim, Halil Mete Soner. O scurtă istorie a matematicii în finanțe. Arhivat 31 octombrie 2020 la Wayback Machine - Borsa İstanbul Review, Nr. 14, 2014, p. 57-63.

Literatură

Matematică financiară și actuarială / M. V. Zhitlukhin // Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.
Malykhin V. I. Matematică financiară: Proc. indemnizație pentru universități. - M. : UNITI-DANA, 2003. - 237 p. — ISBN 5-238-00559-8 .
Hull John C. Opțiuni, futures și alte derivate = Opțiuni, futures și alte derivate. —M.: Williams, 2013. — 1072 p. -ISBN 978-5-8459-1815-4.
Shiryaev A. N. Fundamentele matematicii financiare stocastice. - M . : FAZIS, 1998. - T. 1. Fapte. Modele. — 512 p. — ISBN 5-7036-0043-X .
Shiryaev A. N. Fundamentele matematicii financiare stocastice. - M. : FAZIS, 1998. - T. 2. Teorie. — 512 p. — ISBN 5-7036-0043-8 .
Björk T. Teoria arbitrajului în timp continuu. - M. : MTSNMO, 2010. - 560 p. — ISBN 978-5-94057-589-4 .
Folmer G., Shid A. Introduction to stochastic finance. timp discret. - M. : MTSNMO, 2008. - 496 p. — ISBN 978-5-94057-346-3 .
Melnikov A.V., Popova N.V., Skornyakova V.S. Metode matematice de analiză financiară. - M. : ANKIL, 2006. - 440 p. — ISBN 5-86476-236-9 .
Martin W. Baxter, Andrew JO Rennie. calculator financiar. Introducere în stabilirea prețurilor derivate. Cambridge University Press , Cambridge 2001. ISBN 0-521-55289-3
Hans Peter Deutsch. Derivate und Interne Modelle . Schäffer-Poeschel Verlag, Stuttgart 2004. ISBN 3-7910-2211-3
Michael Günther, Ansgar Jungel. Finanzderivate mit MATLAB . Mathematische Modellierung und numerische Simulation . Vieweg, Wiesbaden 2003. ISBN 3-528-03204-9
Jurgen Kremer. Einführung in die diskrete Finanzmathematik . Springer, Berlin 2005. ISBN 3-540-25394-7
Volker Oppitz , Volker Nollau . Taschenbuch Wirtschaftlichkeitsrechnung. Carl Hanser Verlag, München 2003. ISBN 3-446-22463-7
Volker Oppitz. Gabler Lexikon Wirtschaftlichkeitsberechnung. Gabler, Wiesbaden 1995. ISBN 3-409-19951-9
Paul Wilmott . Paul Wilmott despre Finanțe Cantitative . John Wiley, Chichester 2000. ISBN 0-471-87438-8

Ramuri ale matematicii

Portalul „Știință”

Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii

Teoria numerelor ( aritmetică )

Algebră
Algebră elementară	Soluția ecuației
Algebră liniară	Calcul vectorial matrici Calcul tensor Algebră multiliniară
Algebră generală	Algebră comutativă Teoria reprezentării Algebră diferențială Algebră omologică Algebră universală Teoria categoriilor

Analiză
Analiza clasică	Calcul diferenţial Calcul integral
Teoria funcției	Analiza armonică Analiza cuaterniilor Analiză complexă teoria măsurării Teoria funcțiilor unei variabile reale analiza functionala Calculul variațiilor
Ecuații diferențiale și integrale	Sisteme dinamice și teoria ergodică Ecuatii diferentiale comun în derivate parţiale Ecuații integrale
Analiza Vectorială Analiza globală Teoria catastrofei Analiză personalizată Analiză infinitezimală netedă

Geometrie și topologie
Geometrie	Geometrie algebrică Geometrie analitică Geometrie euclidiană Geometrie non-euclidiană Planimetrie Stereometrie
Topologie	Topologie generală Topologie algebrică Geometrie și topologie diferențială

Matematică discretă
Combinatorică teoria grafurilor

Matematică aplicată
Fizică matematică Chimie matematică biologie matematică Statistici matematice Modelare matematică Teoria algoritmilor Metode numerice economie matematică matematica financiara Teoria probabilității Cercetare operațională Teoria jocului

Portalul „Matematică”
Categoria „Matematică”

stiinta economica
Teoria economică Economie politică Economie aplicată
Metodologie	Modele economice Sisteme economice economie matematică Econometrie Economia experimentală Computational Economics Microfundamente ale macroeconomiei
Microeconomie	buget stabilit Salariu curba de indiferență Alegerea intertemporale Incertitudine Aversiunii față de risc Rata de rentabilitate bunuri publice Utilitate Așteptat Limitare Teoria consumului Profit La sută Echilibru General Distributie Raționalizarea Raritatea resurselor Chirie Piaţă Cerere și ofertă Preț Structura pieței Competiție monopol Perfect Monopol cu două fețe Monopson Oligopol Oligopsoniul Deficitul de mărfuri Fiasco pe piață Teoria firmei Preț externalia Elasticitate efectul de venit efect de substitutie efect de scară Eficiența Pareto Cheltuieli Alternativă Implicit Nerambursabile Public Limită Mediu Tranzacțional Analiza cost-beneficiu surplus Alegere socială
Macroeconomie	Şomaj Valută Bani Cerere Propoziție Emisia Politica bani-credit Deflaţie Inflația Hiperinflația cruce keynesiană curba Phillips O criză Marea Depresiune Model AD-AS Model IS-LM Duritate nominală „ Teoria generală ” de Keynes așteptări Adaptiv Raţional Paritatea puterii de cumpărare Sold de plată Rata dobânzii Recesiune teoria cresterii Economisire Sistemul de Conturi Nationale Cererea agregată Stagflația politica fiscala Banca centrala Teoria ciclului Contracție Cerere efectivă DSGE NAIRU Modele Măsurarea venitului și producției naționale Investiții Nivelul prețului Soc de aprovizionare Socul cererii
economie matematică	Cercetare operațională Econometrie Teoria deciziei Teoria jocului Proiectarea mecanismului Modelul de intrare-ieșire matematica financiara
Economie aplicată	Bunăstare Geografie economică Orase Demografie economică teoria banilor Cunoştinţe educaţie Sănătate Istoria economică Internațional și mondial alegere publică Mediu inconjurator economie ecologică Organizarea industriei Politică economică Dezvoltare Regional Religiile Familiile socioeconomic sociologie economică Muncă sector public planificarea economică Analiza economică a dreptului Resurse naturale Agricultura (engleză) Statistici economice financiar
Școli ( istorie ) de gândire economică	Gândirea economică a Orientului Antic Gândirea economică a Antichității austriac Bloomington budist Harvard Georgiaismul instituţionalism istoric Cateder-socialism keynesianismul Neo- keynesianism ( sinteză neoclasic-keynesiană ) Post-keynesianismul Teoria circulației monetare Nou clasic constituţional malthusianism Manchester marginalism marxist neo- marxist Mainstream economic Mercantilism teoria sistemelor lumii Monetarismul neoclasic Lausanne neortodox Nou instituțional Nou clasic Teoria reală a ciclului de afaceri comportamental Economia pe partea ofertei Salamanca Stockholm Fiziocrația Chartalism Teoria monetară modernă Chicago evolutiv Ecologic Gândirea economică a Evului Mediu Anarhist Mutualismul non-echilibru Socialist Termoeconomie Feminist
Vezi si	Mezoeconomie Clasificarea literaturii economice JEL Cele mai importante publicații din domeniul economiei