Integrală eliptică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 februarie 2022; verificările necesită 2 modificări .

Integrală eliptică - o funcție pe câmpul numerelor reale sau complexe , care poate fi reprezentată formal sub următoarea formă: $f$

f(x)=\int \limits _{c}^{x}\!R(t,\;P(t))\,dt

unde este o funcție rațională a două argumente, este rădăcina pătrată a unui polinom de gradul 3 sau 4 care nu are rădăcini multiple , este o constantă din câmpul în care este definită funcția. $R$ $P$ $c$

În general, integrala eliptică nu poate fi exprimată formal în funcții elementare . Excepție fac cazurile în care are rădăcini multiple sau când polinoamele din nu conțin grade impare . $P$ $R(x,\;y)$ $y$

Cu toate acestea, pentru fiecare integrală eliptică există formule de reducere a acesteia la suma funcțiilor elementare și de la una la trei integrale eliptice normale , numite integrale eliptice de primul, al doilea și al treilea fel).

Istorie

În calculul integral, integrala eliptică a apărut în legătură cu problema calculării lungimii arcului unei elipse și a fost investigată mai întâi de Giulio Fagnano și mai târziu de Leonhard Euler .

Notație

Integrale eliptice sunt adesea reprezentate în funcție de un număr de argumente diferite. Aceste argumente diferite sunt complet echivalente (dau aceleași integrale), dar pot apărea confuzii din cauza originilor lor diferite. În majoritatea lucrărilor, autorii aderă la numele canonic. Înainte de a defini integralele în sine, este necesar să introduceți nume pentru argumente:

$\alfa$ - unghi modular (uneori unghiul modular este indicat printr-o ligatură ); $o\!\varepsilon$
$k=\sin\alpha$ este modulul integralei eliptice ;
$m=k^2=\sin^2 \alpha$ - parametru .

Trebuie remarcat faptul că integralele Legendre eliptice normale, atât complete, cât și incomplete, sunt chiar funcții ale modulului (și unghiului modular ). Domeniul lor de definire $k$ $\alfa$ $-1\leq k\leq +1.$

Uneori, în principal în literatura științifică sovietică, parametrul integralei eliptice înseamnă caracteristica integralei Legendre eliptice normale de al treilea fel (de exemplu, Korn G., Korn T. „Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri”).

Rețineți că cantitățile prezentate mai sus sunt definite una în funcție de cealaltă; definiţia unuia dintre ele le determină pe celelalte două.

Integrala eliptică depinde și de un alt parametru, care, ca și precedentul, poate fi introdus în mai multe moduri:

$x=\sin \varphi =\operatorname {sn} u,$ unde este funcția eliptică Jacobi ; $\operatorname {sn}$
$\varphi =\arcsin x=\operatorname {am} u$ este amplitudinea ;

Definirea unuia dintre acești parametri determină restul. Astfel, ele pot fi folosite interschimbabil. Rețineți că depinde și de . Mai multe ecuații suplimentare se referă la alți parametri: $u$ $m$ $u$

\cos \varphi =\operatorname {cn} u

și

{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.

Aceasta din urmă este uneori numită amplitudine delta și este scrisă ca

\Delta (\varphi)=\operatorname {dn} u.

Uneori se face referire în literatură la un parametru suplimentar , un modul suplimentar sau un unghi modular suplimentar . Ele sunt introduse în felul următor:

$m_1\,=\,1 - m$ — parametru suplimentar ;
$k'=\sqrt{1-k^2}$ - modul suplimentar ;
${k'}^{2}=m_{1}$ este un unghi modular suplimentar .

Integrală eliptică normală de primul fel (incompletă)

Integrala Legendre eliptică normală de primul fel este definită ca $F$

F(\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^ {2}\theta }}}

sau, în formă Jacobi,

F(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dz}{\sqrt {(1-z^{2})(1-k^ {2}z^{2})}}}

Notația pentru integralele eliptice nu este universal acceptată. Este necesar să se facă distincția între astfel de separatori între o variabilă și un parametru, cum ar fi „\”, „|” și ",". Acolo unde o bară verticală este folosită ca separator , aceasta este urmată de parametrul integral, în timp ce bara oblică inversă este urmată de unghiul modular. În special, relația

F(\varphi,\;\sin \alpha )=F(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha )=F(\varphi \setminus \alpha )

Cazuri speciale

F(\varphi \setminus 0) = \varphi

;

F(i\varphi \setminus 0) = i\varphi

;

F(\varphi \setminus 90^{\circ })=\ln \left(\operatorname {sec} \varphi +\operatorname {tg} \varphi \right)=\ln \operatorname {tg} \left ({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)

;

F(i\varphi \setminus 90^{\circ })=i\,\operatorname {arctg} \left(\operatorname {sh} \varphi \right)

;

Integrală eliptică normală de al 2-lea fel (incompletă)

Integrala Legendre eliptică normală de al 2-lea fel E este definită ca

E(\varphi,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ ,d\theta

sau folosind substituție $x=\sin \varphi ,$

E(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {\sqrt {1-k^{2}z^{2)}}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz.

Cazuri speciale

E(\varphi ,0)=\varphi

;

E(i\varphi ,0)=i\varphi

;

E(\varphi ,1)=\sin \varphi

;

E(i\varphi ,1)=i\,\operatorname {sh} \varphi

Integrală eliptică normală de al 3-lea fel (incompletă)

Integrala Legendre eliptică normală de al treilea fel este definită ca $\Pi$

\Pi (c;\;\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\theta }{(1+c\sin ^{ 2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta ))))

\Pi (c;\;x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dx}{(1+cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2})}}}}

Numărul se numește caracteristică și poate lua orice valoare, indiferent de celelalte argumente. Proprietățile unei integrale eliptice de al treilea fel depind în esență de mărimea caracteristicii. Rețineți că valoarea integralei tinde spre infinit pentru orice . $c$ $\Pi (-1;\;\pi /2\mid m)$ $m$

Caz hiperbolic

(0 < c < m )

Să introducem notație suplimentară:

\varepsilon =\operatorname {arcsin} \,{\sqrt {\frac {n}{\sin ^{2}\alpha }}},\qquad 0\leqslant \varepsilon \leqslant {\frac {\pi {2}}

;

\beta = \frac{\pi\,F(\varepsilon \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}

;

q=q(\alpha )

;

\nu = \frac{\pi\,F(\varphi \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}

;

\delta _{1}={\sqrt {\frac {c}{(1-c)(\sin ^{2}\alpha -c)}))

;

K(\alpha )

este integrala Legendre eliptică normală completă de primul fel .

Apoi putem scrie integrala în termenii funcțiilor theta Jacobi :

\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=\delta _{1}\left(-{\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {\vartheta _{ 4}(\nu +\beta )}{\vartheta _{4}(\nu -\beta )}}+\nu \,{\frac {\vartheta _{1}'(\beta )}{\vartheta _{1}(\beta )}}\right),

Unde

\frac{1}{2}\,\ln\frac{\vartheta_4(\nu+\beta)}{\vartheta_4(\nu-\beta)} = 2 \sum_{s=1}^{\infty} \ frac{q^s}{s(1-q^{2s})}\sin{2s\nu}\,\sin\,{2s\beta}

și

{\frac {\vartheta _{1}'(\beta )}{\vartheta _{1}(\beta )))=\operatorname {ctg} \,\beta +4\sum _{s= 1}^{\infty }{\frac {q^{2s}}{1-2q^{2s}\cos {2\beta }+q^{4s}}}\sin {2\beta }.

( c > 1)

Prin substituire, acest caz se reduce la precedentul, întrucât $C = \frac{\sin^2\alpha}{c}$ $0<C<\sin ^{2}\alpha .$

Introducem o cantitate suplimentara

p_{1}={\sqrt {(c-1)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha {c}}\right))).

Apoi:

\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=-\Pi (C;\;\varphi \setminus \alpha )+F(\varphi \setminus \alpha )+{\frac {1} {2p_{1))}\ln \left({\frac {\Delta (\varphi )+p_{1}\operatorname {tg} \,\varphi }{\Delta (\varphi )-p_{1}\ operatorname {tg} \,\varphi }}\right).

Caz circular

( m < c < 1)

Să introducem notație suplimentară:

\varepsilon =\operatorname {arcsin} \,{\sqrt {\frac {1-n}{\cos ^{2}\alpha }}},\qquad 0\leqslant \varepsilon \leqslant {\frac { \pi }{2}};

\beta ={\frac {\pi \,F(\varepsilon \setminus 90^{\circ }-\alpha )}{2\,K(\alpha )));

q=q(\alpha );

\nu ={\frac {\pi \,F(\varphi \setminus \alpha )}{2\,K(\alpha )));

\delta _{2}={\sqrt {\frac {c}{(1-c)(c-\sin ^{2}\alpha )))}.

Atunci integrala eliptică este egală cu:

\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=\delta _{2}(\lambda -4\mu \nu),

Unde

\lambda = \operatorname{arctg}\,(\operatorname{th}\,\beta\,\operatorname{tg}\,\nu) + 2 \sum_{s=1}^{\infty} \frac{( -1)^{s-1}}{s}\frac{q^{2s}}{1-q^{2s}}\sin{2s\nu}\,\operatorname{sh}\,{2s\ beta}

și

\mu ={\dfrac {\sum \limits _{s=1}^{\infty }sq^{s^{2}}\,\operatorname {sh} \,{2s\beta }}{ 1+\sum \limits _{s=1}^{\infty }q^{s^{2}}\,\operatorname {ch} \,{2s\beta }}}

( c < 0)

Prin substituire, acest caz se reduce la precedentul, întrucât $C = \frac{\sin^2\alpha - c}{1-c}$ $\sin ^{2}\alpha \ <C<1.$

Să introducem o cantitate suplimentară

p_{2}={\sqrt {\frac {-c\,(\sin ^{2}\alpha -c)}{1-c)}}.

Apoi:

{\sqrt {(1-c)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha {c))\right)})\,\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )={\sqrt {(1-C)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{C}}\right)))\,\Pi (C;\ ;\varphi \setminus \alpha )\,+\,{\frac {\sin ^{2}\alpha \,F(\varphi \setminus \alpha )}{p_{2))}\,+\,\ operatorname {arctg} \,\left({\frac {p_{2}}{2}}{\frac {\sin {2\varphi }}{\Delta (\varphi )))\right)

Integrala Legendre eliptică normală completă de primul fel

Dacă amplitudinea integralei Legendre eliptice normale de primul fel este egală cu , se numește integrală Legendre eliptică normală completă de primul fel: $\varphi$ $\pi/2$

K(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2} \varphi }}}=F(\pi /2,\;k)

K(k) = \int \limits_{0}^{1}\!\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2 x^2))).

Integrala eliptică completă de primul fel poate fi reprezentată ca o serie de puteri :

K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n} n!^{2}}}\dreapta)^{2}k^{2n},

care este echivalent cu expresia

K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+ \left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\ldots +\left({\frac {(2n-1)!!} {(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\ldots \right),

unde denotă factorialul dublu . $n!!$

Integrala eliptică completă de primul fel poate fi scrisă în termenii funcției hipergeometrice după cum urmează:

K(k)={\frac {\pi }{2)}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2)),\;{\frac {1} }{2}};\;1;\;k^{2}\dreapta).

Cazuri speciale

K(0)={\frac {\pi }{2)).

K(1)=\infty .

K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2 }}{4{\sqrt {\pi }}}}.

K\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {2^{-{\frac {7}{} 3))}3^{\frac {1}{4}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}.

K\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {2^{-{\frac {7}{ 3))}3^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}.

\operatorname {sn} \,K=\sin {\frac {\pi }{2)}=1.

\operatorname {cn} \,K=\cos {\frac {\pi }{2}}=0.

\operatorname {dn} \,K={\sqrt {1-k^{2)}}=k'.

Derivată a integralei eliptice complete de primul fel

{\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k))={\frac {E(k)}{k(1-k^{2)}))} - {\frac {K(k)}{k)),

unde este integrala Legendre eliptică normală completă de al doilea fel, definită în secțiunea următoare. $E(k)$

Ecuație diferențială

Integrala eliptică completă de primul fel este o soluție a ecuației diferențiale

{\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=kK(k ).

A doua soluție a acestei ecuații este $K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right).$

Integrala Legendre eliptică normală completă de al 2-lea fel

Dacă amplitudinea integralei Legendre eliptice normale de al 2-lea fel este egală cu , se numește integrala Legendre eliptică normală completă de al 2-lea fel: $\varphi$ $\pi/2$

E(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d\ varphi =E(\pi /2,\;k)

E(k) = \int \limits_{0}^{1}\,\frac{\sqrt{1-k^2 x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Integrala eliptică completă de al 2-lea fel poate fi reprezentată ca o serie de puteri :

E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n} n!^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}),

care este echivalent cu expresia

E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^ {2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}- \ldots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}- \ldots\dreapta).

Integrala eliptică completă de al 2-lea fel poate fi scrisă în termenii funcției hipergeometrice după cum urmează:

E(k)={\frac {\pi }{2)}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2)),\;-{\frac { 1}{2}};\;1;\;k^{2}\dreapta).

Cazuri speciale

E\left(0\right)={\frac {\pi }{2)).

E\left(1\right)=1.

E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)=\pi ^{\frac {3}{2}}\Gamma \left({\frac {1}{} 4}}\right)^{-2}+{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{8{\sqrt {\pi }}} }.

E\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{ -{\frac {3}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac { 10}{3}}}3^{-{\frac {1}{4}}}{\frac {{\sqrt {3}}+1}{\pi }}\Gamma \left({\frac { 1}{3}}\dreapta)^{3}.

E\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{ -{\frac {1}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac { 10}{3}}}3^{\frac {1}{4}}{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\pi }}\Gamma \left({\frac {1}{ 3}}\dreapta)^{3}.

Derivată a integralei eliptice complete de al 2-lea fel

{\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k))={\frac {E(k)-K(k)}{k)).

Ecuație diferențială

Integrala eliptică completă de al 2-lea fel este o soluție a ecuației diferențiale

\left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE (k).

A doua soluție a acestei ecuații este funcția $E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right).$

Integrala Legendre eliptică normală completă de al treilea fel

Similar integralelor eliptice complete de primul și al doilea fel, putem introduce integrala eliptică completă de al treilea fel:

\Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;\pi /2,\;k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{(1+c\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi ))))

\Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;1,\;k)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {dx}{(1 +cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2}))))).

Caz hiperbolic

(0 < c < m)

\Pi(c \setminus \alpha) = K(\alpha) + \delta_1K(\alpha)\Zeta(\varepsilon \setminus \alpha)

unde este funcția zeta Jacobi . $\Zeta(\varepsilon \setminus \alpha)$

(c > 1)

\Pi (c\setminus \alpha)=K(\alpha)-\Pi (C\setminus \alpha).

Caz circular

(m < c < 1)

\Pi (c\setminus \alpha )=K(\alpha )+{\frac {1}{2}}\pi \delta _{2}\left(1-\Lambda _{0}(\ varepsilon \setminus \alpha )\right),

unde este funcția lambda Heyman . $\Lambda_0(\varepsilon \setminus \alpha)$

(c < 0)

\Pi (c\setminus \alpha )=-{\frac {c\cos ^{2}\alpha \,\Pi (C\setminus \alpha )}{(1-c)(\sin ^{ 2}\alpha -n)))+{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\sin ^{2}\alpha -c}}K(\alpha ).

Derivate parțiale

{\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (c,k)}{\partial c))&={\frac {1}{2\left(k^{2}-c\ dreapta)(c-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{c}}\left(k^{2}-c\right)K(k)+{\frac {1 }{c}}\left(c^{2}-k^{2}\right)\Pi (c,k)\right).\\[10px]{\frac {\partial \Pi (c,k) )}{\partial k}}&={\frac {k}{ck^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi ( c,k)\dreapta).\end{aliniat}}

Integrale eliptice suplimentare (incomplete)

funcția Jacobi zeta

Z(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi \setminus \alpha )-{\frac {E(\alpha )F(\varphi \setminus \alpha )}{K(\alpha ))} ;

Funcția lambda a lui Heyman

\Lambda _{0}(\varphi \setminus \alpha )={\frac {F(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )}{K'(\alpha )))+{ \frac {2}{\pi }}K(\alpha )\,Z(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )

\Lambda _{0}(\varphi \setminus \alpha )={\frac {2}{\pi }}\left(K(\alpha)\,E(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )-\left(K(\alpha )-E(\alpha )\right)\,F(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )\right).

Vezi și

Literatură

Bobylev D.K. Integrale și funcții eliptice // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.

Link -uri

Milne-Thomson L. Integrale eliptice // Manual de funcții speciale cu formule, grafice și tabele / Ed. M. Abramowitz și I. Steegan; pe. din engleza. ed. V. A. Ditkin și L. N. Karamzina. - M . : Nauka, 1979. - S. 401-441. — 832 p. — 50.000 de exemplare.
Korn G., Korn T. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri. — M.: Nauka, 1977.
Bateman G. Erdeyi A. Funcții transcendentale superioare . - Vol. 3 (cap. 13).
Akhiezer NI Elemente ale teoriei funcţiilor eliptice. (Cap. 3, 7).
Funcții eliptice (downlink) , Proceduri pentru Matlab .

Dicționare și enciclopedii	Mare norvegian Rusă mare Brockhaus și Efron Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4152029-4

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius