Sponge Menger

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 5 decembrie 2020; verificările necesită 5 modificări .

Buretele Menger este un fractal geometric , unul dintre analogii tridimensionali ai covorului Sierpinski .

Clădire

Metoda iterativă

Un cub cu muchia 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Cubul central și toate cuburile acestei subdiviziuni adiacente acesteia de-a lungul fețelor bidimensionale sunt îndepărtate din cub. Se dovedește un set format din 20 de cuburi închise rămase de „primul rang”. Făcând același lucru cu fiecare dintre cuburile de primul rang, obținem un set format din 400 de cuburi de al doilea rang. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem o succesiune infinită $C_{0}$ $C_{0}$ $C_{1}$ $C_{2}$

C_{0}\supset C_{1}\supset \dots \supset C_{n}\supset \dots

intersecția ai cărui membri este buretele Menger.

Joc haos

Buretele Menger poate fi obținut și printr-un proces numit jocul haos [1] [2] , care este după cum urmează:

Sunt specificate 20 de puncte atractor: 8 vârfuri și 12 puncte de mijloc ale muchiilor cubului original.
Este stabilit un punct de plecare, care se află în interiorul cubului. $P_0$
O secvență de puncte este construită în următorul ciclu:
1. Un atractor este selectat aleatoriu dintre 20 posibile cu probabilitate egală. $A$
2. Se construiește un punct cu coordonate noi: , unde: — coordonatele punctului anterior ; sunt coordonatele atractorului selectat. $P_{i}$ $x_{i}={\frac {x_{i-1}+2x_{A}}{3));y_{i}={\frac {y_{i-1}+2y_{A}} {3));z_{i}={\frac {z_{i-1}+2z_{A}}{3}}$ $x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1}$ $P_{{i-1}}$ $x_{A}, y_{A},z_{A}$

Dacă executați ciclul de mai multe ori (cel puțin 100 de mii) și apoi aruncați primele zeci de puncte, atunci punctele rămase vor forma o figură apropiată de buretele Menger.

Proprietăți

Buretele Menger este format din 20 de părți identice, al căror coeficient de similitudine este de 1/3.
Proiecțiile ortogonale ale bureților Menger reprezintă covorul Sierpinski.
Buretele Menger are o dimensiune Hausdorff intermediară (adică nu întreagă ) , care este egală deoarece constă din 20 de părți egale, fiecare dintre ele similară cu întregul burete cu un factor de similitudine de 1/3. $\ln 20/\ln 3\aprox 2{,}73$
În plus, buretele Menger are dimensiunea topologică 1
- Buretele Menger este caracterizat topologic ca o mulțime compactă metrizabilă conectată local conectată unidimensional care nu are puncte de rupere local (adică pentru orice vecinătate conectată a oricărui punct , mulțimea este conectată) și nu are submulțimi deschise nevide. încorporabil în avion. $U$ $x \în M$ $U\setminus x$
Buretele Menger este o curbă universală Uryson , adică indiferent de curba Urysohn , există un subset în buretele Menger care este homeomorf . $C$ $C'$ $C$
Buretele Menger are volum zero, dar suprafață infinită a feței.
- Volumul este determinat de formula 20/27 pentru fiecare iterație: $\left({\frac {20}{27}}\right)^{n}$

Secțiunea buretelui Menger, delimitată de un cub cu latura 1 și centrul la origine, de un plan, conține hexagrame . $x+y+z=0$
Buretele Menger disipează bine undele de șoc. [3]

Vezi și

Teoria haosului
Sistem de funcții iterabile

Note

↑ Michael Barnsley , Louise Barnsley. Transformări fractale // Fractali ca art. Culegere de articole / Per. în engleză, franceză E. V. Nikolaeva. - Sankt Petersburg. : Sparta, 2015. - S. 35. - 224 p. — ISBN 9785040137008 .
↑ Dariusz Buraczewski, Ewa Damek, Thomas Mikosch. Modele stocastice cu cozi ale legii puterii: ecuația X = AX + B . — Springer, 04.07.2016. — 325 p. - P. 7. - ISBN 9783319296791 .
↑ Dana M. Dattelbaum, Axinte Ionita, Brian M. Patterson, Brittany A. Branch, Lindsey Kuettner. Disiparea undelor de șoc prin structuri poroase dominate de interfețe // AIP Advances. — 2020-07-01. - T. 10 , nr. 7 . - S. 075016 . - doi : 10.1063/5.0015179 . Arhivat din original pe 12 martie 2022.

Link -uri

fractali
Caracteristici	dimensiune fractală dimensiunea Hausdorff Dimensiunea Lebesgue recursiunea autoasemănarea
Cei mai simpli fractali	Fern Barnsley Setul Cantor curba dragonului curba Koch Sponge Menger covor Sierpinski Triunghiul Sierpinski Curba de umplere a spațiului
atractor ciudat	Multifractal
Sistemul L	Curba de umplere a spațiului
Fractali de bifurcație	Julia a stabilit Fractal Lyapunov Set Mandelbrot bazinele lui Newton
Fractali aleatorii	Mișcarea browniană arbore brunian suprafata fractala Teoria percolarii
oameni	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandru Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
subiecte asemănătoare	Cât de lungă este coasta Marii Britanii? » Paradoxul litoralului

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius