Covorul Apollonius

Covorul lui Apollonius , sau grila lui Apollonius - un fractal , construit pe trei cercuri tangente pe perechi. Reprezintă setul limită al tuturor secvențelor posibile de cercuri, fiecare dintre ele atinge trei deja construite. Numit după matematicianul grec Apollonius din Perga .

Clădire

Să începem cu trei cercuri, fiecare dintre ele tangent la celelalte două. Apoi, adăugăm cercuri la figura existentă în mod recursiv, fiecare dintre ele atinge aproximativ trei cercuri deja construite. În primul pas vom adăuga două, în al doilea șase și așa mai departe.

Continuând construcția, adăugăm 2 3 n cercuri noi la pasul a n- a.

Închiderea cercurilor construite se numește grila Apollonius .

Proprietăți

• Grila Apollonius are o dimensiune Hausdorff de aproximativ 1,3057 [1] .
• Grila Apollonius poate fi considerată ca uniunea a două submulțimi homeomorfe cu triunghiul Sierpinski , împărțind vârfuri.
• Subgrupul grupului de transformare Möbius , constând din acele transformări care iau grila Apollonius în sine, acționează tranzitiv asupra cercurilor grilei.
• Grila Apollonius poate fi definită ca mulțimea limită a grupului de transformări ale planului format prin inversiuni în patru cercuri tangente pe perechi.

Curbură

Curbura unui cerc este definită ca reciproca razei sale.

• Curbura negativă indică faptul că toate celelalte cercuri ating acest cerc din interior. Acesta este cercul de delimitare.
• Curbura zero dă o linie (cerc cu rază infinită).
• Curbura pozitivă indică faptul că toate celelalte cercuri sunt tangente la acest cerc din exterior. Acest cerc este în interiorul unui cerc cu curbură negativă.

În grila Apollonius, toate cercurile au curbură pozitivă, cu excepția unuia, cercul de delimitare.

Grile întregi ale lui Apollonius

Să presupunem că notează curburele a patru cercuri tangente pe perechi. Conform teoremei lui Descartes

Rezultă că, dacă patru cercuri tangente pe perechi au curburi întregi, atunci toate celelalte cercuri din grila lor Apollonius au curburi întregi. Există o infinitate de astfel de grile întregi . [2] Mai jos sunt câteva ochiuri întregi cu curburi circumferențiale marcate.

Variații și generalizări

Echivalentul 3D al grilei apolinice este împachetarea apollinei de sfere.

Note

1. ↑ Curtis T. McMullen. Hausdorff Dimension and Conformal Dynamics, III: Calcularea dimensiunii // American Journal of Mathematics. — Vol. 120. - P. 691-721. - doi : 10.1353/ajm.1998.0031 .
2. ↑ Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks și Catherine H. Yan; „Apollonian Circle Packings: Number Theory” , J. Number Theory, 100 (2003), 1–45.

Literatură

• A. A. Kirillov. Partea a II-a. Covorul lui Apollonius // A Tale of Two Fractals . - Ed. a II-a, corectată. - M . : Editura MTsNMO , 2010. - ( Școala de vară „Matematică modernă” ). - ISBN 978-5-94057-670-9 .