Un exces colosal

Un număr colosal abundent ( CA din engleză  colosally abundant number ) este un număr natural care într - un anumit sens strict are mulți divizori : există astfel încât pentru toți :

unde este funcția sumei divizorilor [1] . Toate numerele redundante colosal sunt, de asemenea , numere superredundante , dar invers nu este adevărat.

Primele 15 numere redundante colosal [2] - 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 4324320, 624320, 624320 , 624320, 624320, 624320, 624320 , 62320, 55440, 55440, 720720 , 1441440

Istorie

Numerele în exces colosal au fost studiate pentru prima dată de Ramanujan , iar rezultatele sale urmau să fie incluse în lucrarea sa din 1915 despre numărul supercompozit [3] . Din păcate, editorul revistei la care Ramanujan și-a depus lucrarea, London Mathematical Society , se afla în dificultate financiară la acea vreme, iar Ramanujan a fost de acord să elimine unele aspecte ale lucrării pentru a reduce costurile de tipărire [4] . Concluziile sale au fost conduse în principal de ipoteza Riemann , iar cu această presupunere a găsit limite superioare și inferioare ale mărimii numerelor redundante colosal și a demonstrat că ceea ce va deveni cunoscut sub numele de inegalitatea lui Robin (vezi mai jos) este valabil pentru toate valorile suficient de mari ale n [5] .

Clasa de numere a fost revizuită într-o formă oarecum mai puternică într-o lucrare din 1944 de Leonidas Alaoglu și Pal Erdős , în care au încercat să extindă rezultatele lui Ramanujan [6] .

Proprietăți

Numerele redundante colosal sunt una dintre mai multe clase de numere întregi care încearcă să surprindă noțiunea de a avea mai mulți divizori. Pentru un întreg pozitiv n , funcția suma divizorilor σ( n ) dă suma tuturor acelor numere care împart n , inclusiv 1 și n însuși . Paul Bachmann a arătat că, în medie, σ( n ) este aproximativ π 2 n / 6 [7] . Teorema lui Grönwall , între timp, spune că ordinul maxim al lui σ( n ) este puțin mai mare, în special, există o succesiune crescătoare de numere întregi n astfel încât, pentru acele numere întregi, σ( n ) are aproximativ aceeași dimensiune cu e γ n log (log( n )), unde γ este constanta Euler-Mascheroni [7] . Prin urmare, numerele redundante colosal îmbrățișează noțiunea de a avea mai mulți divizori, solicitându-le să maximizeze, pentru unii , valoarea funcției

pentru toate valorile . Rezultatele lui Bachmann și Grönwall garantează că pentru oricare această funcție are un maxim și că, pe măsură ce ε tinde spre zero, aceste maxime vor crește. Astfel, există infinit de numere redundante colosal, deși sunt destul de rare, și doar 22 dintre ele sunt mai mici de 10 18 [8] .

Pentru fiecare ε, funcția de mai sus are un maxim, dar nu este evident, și de fapt nu este adevărat, că pentru fiecare ε această valoare maximă este unică. Alaoglu și Erdős au studiat câte valori diferite ale lui n pot da aceeași valoare maximă a funcției de mai sus pentru o anumită valoare a lui ε. Ei au arătat că pentru majoritatea valorilor lui ε, va exista un singur întreg n care maximizează funcția. Mai târziu, însă, Erdős și Jean-Louis Nicolas au arătat că pentru un anumit set de valori discrete ale lui ε, pot exista două sau patru valori diferite ale lui n care dau aceeași valoare maximă [9] .

În lucrarea lor din 1944, Alaoğlu și Erdős au sugerat că raportul a două numere consecutive redundante colosal a fost întotdeauna un număr prim . Ei au arătat că acest lucru decurge dintr-un caz particular al celor patru ipoteze exponențiale din teoria numerelor transcendentale , în special că pentru oricare două numere prime distincte p și q , numai numerele reale t pentru care ambele p t și qt sunt numere raționale sunt numere întregi pozitive . . Folosind rezultatul corespunzător pentru trei numere prime - un caz special al teoremei șase exponențiale , pe care K. L. Siegel a demonstrat-o - au putut să arate că câtul a două numere consecutive redundante colosal este întotdeauna egal fie cu un număr prim, fie cu un număr semiprim , adică un număr format doar din doi factori primi . Coeficientul nu poate fi niciodată pătratul unui număr prim.

Conjectura lui Alaoglu și Erdős rămâne deschisă, deși a fost testată cel puțin până la 10 7 [10] Dacă este adevărată, aceasta ar însemna că există o succesiune de numere prime indistinse p 1 , p 2 , p 3 ,... astfel încât n - numărul colosal redundant avea forma:

Presupunând că presupunerea este corectă, această succesiune de numere prime începe cu 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 (secvența A073751 în OEIS ). Conjectura lui Alaoglu și Erdős ar însemna, de asemenea, că nicio valoare a lui ε nu dă patru numere întregi distincte n ca maxime ale funcției de mai sus.

Legătura cu ipoteza Riemann

În anii 1980, Guy Robin a arătat [11] că ipoteza Riemann este echivalentă cu a spune că următoarea inegalitate este adevărată pentru toți > 5040: (unde este constanta Euler-Mascheroni ):

Se știe că această inegalitate eșuează pentru 27 de numere (secvența A067698 în OEIS ):

Robin a arătat că, dacă ipoteza Riemann este adevărată, atunci = 5040 este ultimul număr întreg pentru care eșuează. Inegalitatea este acum cunoscută ca inegalitatea lui Robin după munca sa. Inegalitatea lui Robin, dacă nu este vreodată îndeplinită, este cunoscută că eșuează pentru numărul colosal de redundant „n”; astfel, ipoteza Riemann este efectiv echivalentă cu inegalitatea lui Robin, care este valabilă pentru fiecare număr în exces colosal n > 5040.

În 2001–2002 , Lagarias [8] a demonstrat o formă alternativă a afirmației lui Robin care nu necesită excepții, folosind un număr armonic în loc de un logaritm :

Sau, în afară de 8 excepții de la n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60:

Link -uri

1. ↑ K. Briggs, Excesul de numere și ipoteza Riemann , Experimental Mathematics 15:2 (2006), pp. 251–256, doi : 10.1080/10586458.2006.10128957 .
2. ↑ Secvența OEIS A004490 _
3. ^ S. Ramanujan , „ Supercomponent numbers ”, Proceedings of the London Mathematical Society 14 (1915), pp. 347–407, MR : 2280858 .
4. ↑ S. Ramanujan, Collected Papers , Chelsea , 1962.
5. ↑ S. Ramanujan, „Supercomponent numbers. Adnotat cu o prefață de J.-L. Nicolas și G. Robin”, Ramanujan's Journal 1 (1997), pp. 119–153.
6. ↑ Alaoglu, L. & Erdős, P. (1944), On supercomponent and similar numbers , Proceedings of the American Mathematical Society vol. 56: 448–469, doi : 10.2307/1990319 , < http://www.renyi.hu /~ p_erdos/1944-03.pdf > Arhivat 12 noiembrie 2017 la Wayback Machine . 
7. ↑ 1 2 G. Hardy , E. M. Wright, Introducere în teoria numerelor. Ediția a V-a , Ed. Universitatea Oxford , Oxford , 1979.
8. ↑ 1 2 J. C. Lagarias, O problemă elementară echivalentă cu ipoteza Riemann Arhivată la 10 octombrie 2014 la Wayback Machine , American Mathematical Monthly 109 (2002), pp. 534–543 .
9. ↑ P. Erdős, J.-L. Nicolas, „Distribution of overabundant numbers”, Buletinul Societății Franceze de Matematică 103 (1975), pp. 65–90.
10. ↑ N. J. A. Sloan , Numerele prime care, atunci când sunt înmulțite în ordine, dau o succesiune de numere redundante colosal Arhivate 16 aprilie 2021, la Wayback Machine , The Online Encyclopedia of Integer Sequences. Fundația OEIS.
11. ↑ G. Robin, „Large Values ​​​​of the Divisor Sum Function and the Riemann Hypothesis”, Journal of Pure and Applied Mathematics 63 (1984), pp. 187–213.

Link- uri externe

• Keith Briggs despre numerele în exces colosal și ipoteza Riemann
• Introducere în MathWorld
• Note despre ipoteza Riemann și numerele în exces
• Mai multe despre formula RH a lui Robin