Număr practic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 10 noiembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Un număr practic sau un număr panaritmic [1] este un întreg pozitiv n astfel încât toate numerele întregi pozitive mai mici pot fi reprezentate ca suma diferiților divizori ai lui n . De exemplu, 12 este un număr practic, deoarece toate numerele de la 1 la 11 pot fi reprezentate ca suma divizorilor 1, 2, 3, 4 și 6 ai acestui număr - în afară de divizorii înșiși, avem 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 și 11 = 6 + 3 + 2.

Secvența de numere practice (secvența A005153 în OEIS ) începe cu

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150....

Numerele practice au fost folosite de Fibonacci în cartea sa Liber Abaci (1202) în legătură cu problema reprezentării numerelor raționale ca fracții egiptene . Fibonacci nu a definit formal numerele practice, dar a dat un tabel de reprezentare a fracțiilor egiptene pentru fracțiile cu numitori practici [2] .

Numele „număr practic” a fost dat de Srinivasan [3] . El a observat că „împărțirea banilor, a greutății și a altor măsuri folosind numere precum 4, 12, 16, 20 și 28, care sunt de obicei atât de incomode încât merită să fie înlocuite cu puteri de 10”. El a redescoperit o serie de proprietăți teoretice ale unor astfel de numere și a fost primul care a încercat să clasifice aceste numere, în timp ce Stuart [4] și Sierpinski [5] au completat clasificarea. Definirea numerelor practice face posibilă determinarea dacă un număr este practic analizând factorizarea unui număr. Orice număr perfect par și orice putere a doi este un număr practic.

Se poate demonstra că numerele practice sunt asemănătoare numerelor prime în multe privințe [6] .

Descrierea numerelor practice

Descrierea inițială a lui Srinivasan [3] afirmă că un număr practic nu poate fi un număr insuficient , este un număr a cărui sumă a tuturor divizorilor (inclusiv 1 și numărul însuși) este mai mică decât dublul numărului, cu excepția unei deficiențe egale cu unu. Dacă pentru un număr practic scriem o mulțime ordonată de divizori , unde și , atunci afirmația lui Srinivasan poate fi exprimată prin inegalitatea $n$ ${d_{1},d_{2},...,d_{j))$ $d_{1}=1$ $d_{j}=n$

2n\leqslant 1+\sum _{i=1}^{j}d_{i)

Cu alte cuvinte, succesiunea ordonată a tuturor divizorilor unui număr practic trebuie să fie o subsecvență completă . ${d_{1}<d_{2}<...<d_{j)}$

Această definiție a fost extinsă și completată de Stuart [4] și Sierpinski [5] , care au arătat că determinarea dacă un număr este practic este determinată de factorizarea lui în factori primi . Un număr întreg pozitiv mai mare decât unul cu o factorizare (cu divizori primi crescători sortați ) este practic dacă și numai dacă fiecare dintre divizorii primi ai săi este suficient de mic pentru a avea o reprezentare ca o sumă de divizori mai mici. Pentru ca acest lucru să fie adevărat, primul număr prim trebuie să fie egal cu 2, iar pentru orice i de la 2 la k , pentru fiecare număr prim următor , inegalitatea trebuie să fie valabilă. $n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}$ $p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k)$ $p_{i}$ $p_{i}-1$ $p_{1}$ $p_{i}$

p_{i}\leqslant 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{i-1}^{ \alpha _{i-1)))=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{ p_{j}-1}},

unde înseamnă suma divizorilor numărului x . De exemplu, este practic deoarece inegalitatea este valabilă pentru fiecare divizor prim: și . $\sigma (x)$ $2\times 3^{2}\times 29\times 823=429606$ $3\leqslant \sigma (2)+1=4,29\leqslant \sigma (2\times 3^{2})+1=40$ $823\leqslant \sigma (2\times 3^{2}\times 29)+1=1171$

Condiția dată mai sus este necesară și suficientă. Într-o direcție, această condiție este necesară pentru a putea reprezenta n ca sumă de divizori , deoarece dacă inegalitatea ar fi încălcată, adăugarea tuturor divizorilor mai mici ar da o sumă prea mică pentru a obține . În cealaltă direcție, condiția este suficientă, care poate fi obținută prin inducție. Mai strict, dacă descompunerea numărului n satisface condiția de mai sus, atunci orice număr poate fi reprezentat ca suma divizorilor numărului n după următorii pași [4] [5] : $p_{i}-1$ $p_{i}-1$ $m\leqslant \sigma (n)$

Lasă , și lasă . $q=\min\{\lfloor m/p_{k}^{\alpha _{k))\rfloor ,\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k))\}$ $r=m-qp_{k}^{\sigma _{k)}$
Având în vedere că poate fi demonstrat prin inducție, ceea ce este practic, putem găsi o reprezentare a lui q ca sumă a divizorilor . $q\leqslant \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k))}$ $n/p_{k}^{\alpha _{k)}$ $n/p_{k}^{\alpha _{k)}$
Având în vedere că poate fi demonstrată prin inducție, ceea ce este practic, putem găsi o reprezentare a lui r ca sumă a divizorilor lui . $r\leqslant \sigma (n)-p_{k}^{\alpha _{k))\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k)))=\sigma (n/ p_{k})$ $n/p_{k)$ $n/p_{k)$
Reprezentarea divizorului lui r , împreună cu coeficientul pentru fiecare divizor al reprezentării divizorului lui q , formează împreună reprezentarea lui m ca sumă a divizorilor lui n . $p_{k}^{\alpha _{k)}$

Proprietăți

Singurul număr practic impar este 1, deoarece dacă n > 2 este un număr impar, atunci 2 nu poate fi exprimat ca sumă a diferiților divizori ai lui n . Srinivasan [3] a observat că alte numere practice decât 1 și 2 sunt divizibile cu 4 și/sau 6.
Produsul a două numere practice este și un număr practic [7] . O afirmație mai puternică, cel mai mic multiplu comun al oricăror două numere practice, este, de asemenea, un număr practic. În mod echivalent, mulțimea tuturor numerelor practice este închisă sub înmulțire.
Din descrierea numerelor făcută de Stewart și Sierpinski se poate observa că, în cazul în care n este un număr practic și d este unul dintre divizorii săi, n*d trebuie să fie și un număr practic.
În mulțimea tuturor numerelor practice, există o mulțime de numere practice prime. Un număr prim practic este fie un număr practic și fără pătrați , fie un număr practic, iar atunci când este împărțit la oricare dintre divizorii primi, al cărui exponent în descompunere este mai mare decât 1, încetează să fie practic. Secvența numerelor prime practice (secvența A267124 în OEIS ) începe cu

1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 308, 4, 308, 4, 3 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460...

Relația cu alte clase de numere

Câteva alte seturi de numere întregi demne de remarcat constau numai din numere practice:

Din proprietățile de mai sus, pentru un număr practic n și unul dintre divizorii săi d (adică d | n ), n*d trebuie să fie și un număr practic, deci orice putere de 3 ori 6 trebuie să fie și un număr practic. deoarece 6 este orice putere a lui 2.
Orice putere a doi este un număr practic [3] . O putere de doi satisface trivial descrierea numerelor practice în termeni de factorizare întregi — toate numerele prime din factorizarea numerelor, p 1 , sunt egale cu doi, ceea ce este necesar.
Orice număr perfect par este, de asemenea, un număr practic [3] . Din rezultatul lui Euler rezultă că un număr perfect par trebuie să fie de forma . Partea impară a acestei expansiuni este egală cu suma divizorilor părții pare, deci orice divizor prim impar al unui astfel de număr nu trebuie să fie mai mare decât suma divizorilor părții pare a numărului. Astfel, acest număr trebuie să satisfacă descrierea numerelor practice. $2^{n-1}(2^{n}-1)$
Orice primorial (produsul primelor i prime pentru un număr i ) este un număr practic [3] . Pentru primele două primari, doi și șase, acest lucru este clar. Fiecare primorial succesiv se formează prin înmulțirea primului p i cu un primorial mai mic, care este divizibil atât cu 2, cât și cu primul anterior . Conform postulatului lui Bertrand , astfel încât fiecare divizor prim precedent al primorialului este mai mic decât unul dintre divizorii primului precedent. Prin inducție, rezultă că orice primorial satisface descrierea numerelor practice. Deoarece primul este fără pătrat prin definiție, este, de asemenea, un număr prim practic. $p_{i-1}$ $p_{i}<2p_{i-1}$
Generalizând primariile, orice număr care este un produs al puterilor non-nule ale primelor k prime trebuie să fie practic. Această mulțime include numere Ramanujan supercompozite (numere cu un număr de divizori mai mare decât orice număr pozitiv mai mic), precum și factoriali [3] .

Numerele practice și fracțiile egiptene

Dacă n este practic, atunci orice număr rațional de forma m / n cu m < n poate fi reprezentat ca o sumă , unde toți d i sunt divizori distincti ai lui n . Fiecare termen din această sumă este redus la o fracție de unu , astfel încât o astfel de sumă oferă reprezentarea numărului m / n ca o fracție egipteană . De exemplu, $\sum {\tfrac {d_{i}}{n}}$

{\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.

Fibonacci, în cartea sa din 1202 Liber Abaci [2] , oferă câteva metode pentru găsirea reprezentării unui număr rațional ca o fracție egipteană. Dintre acestea, prima metodă este de a verifica dacă numărul este deja o fracțiune de unu, iar a doua metodă este de a reprezenta numărătorul ca sumă a divizorilor numitorului, așa cum este descris mai sus. Această metodă garantează succesul numai atunci când numitorul este un număr practic. Fibonacci a oferit tabele cu astfel de reprezentări pentru fracții având numerele practice 6, 8, 12, 20, 24, 60 și 100 ca numitori.

Vause [8] a arătat că orice număr x / y poate fi reprezentat ca o fracție egipteană cu termeni. Demonstrarea folosește căutarea unei secvențe de numere practice n i cu proprietatea că orice număr mai mic decât n i poate fi scris ca sumă a diferiților divizori ai lui n i . Atunci i se alege astfel încât u este divizibil cu y , dând coeficientul q și restul r . Din această alegere rezultă că . După ce am extins numărătorii din partea dreaptă a formulei în suma divizorilor numărului n i , obținem reprezentarea numărului sub forma unei fracții egiptene. Tenenbaum și Yokota [9] au folosit o tehnică similară, folosind o succesiune diferită de numere practice, pentru a arăta că orice număr x / y are o reprezentare a fracțiunii egiptene unde cel mai mare numitor este . $\scriptstyle O({\sqrt {\log y))}$ $\scriptstyle O({\sqrt {\log n_{i-1))})$ $n_{i-1}<y\leqslant n_{i)$ $xn_{i)$ $\scriptstyle {\frac {x}{y}}={\frac {q}{n_{i}}}+{\frac {r}{yn_{i}}}$ $\scriptstyle O({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y))}$

Conform conjecturii din septembrie 2015 a lui Chih-Wei Sun [10] , orice număr rațional pozitiv are o reprezentare a fracțiunii egiptene, în care orice numitor este un număr practic. Există o dovadă a conjecturei în blogul lui David Eppstein [11] .

Analogia numărului prim

Un motiv pentru interesul pentru numerele practice este că multe dintre proprietățile lor sunt similare cu cele ale numerelor prime . Mai mult, teoreme similare cu conjectura Goldbach și conjectura gemenă sunt cunoscute pentru numerele practice - orice număr par pozitiv este suma a două numere practice și există infinit de triplete de numere practice [12] . Giuseppe Melfi a mai arătat că există o infinitate de numere Fibonacci practice (secvența A124105 în OEIS ). O întrebare similară despre existența unui număr infinit de numere prime Fibonacci rămâne deschisă. Houseman și Shapiro [13] au arătat că există întotdeauna un număr practic în interval pentru orice real pozitiv x , care este analogul conjecturii lui Legendre pentru numere prime. $x-2,x,x+2$ $[x^{2},(x+1)^{2}]$

Fie p ( x ) să numere numărul de numere practice care nu depășesc x . Margenstern [14] a presupus că p ( x ) este asimptotic egal cu cx /log x pentru o constantă c , care seamănă cu formula din teorema numerelor prime și întărește o afirmație anterioară a lui Erdős și Loxton [15] conform căreia numerele practice au densitate zero . în mulţimea numerelor întregi. Sayes [16] a demonstrat că pentru constante adecvate c 1 și c 2

c_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\log x)),

În cele din urmă, Weingartner [17] a demonstrat conjectura Margenstern arătând că

p(x)={\frac {cx}{\log x}}\left(1+O\!\left({\frac {\log \log x}{\log x}}\right) \dreapta),

pentru si unele constante . $x\geqslant 3$ $c>0$

Note

↑ Margenstern ( Margenstern 1991 ), citând pe Robinson ( Robinson 1979 ) și Heyworth ( Heyworth 1980 ), folosește denumirea de „numere panaritmice”.
↑ 12 Sigler , 2002 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Srinivasan, 1948 .
↑ 1 2 3 Stewart, 1954 .
↑ 1 2 3 Sierpiński, 1955 .
↑ Hausman, Shapiro (1984 ); Margenstern (1991 ); Melfi (1996 ) Saias (1997 ).
↑ Margenstern (1991) .
↑ Vose, 1985 .
↑ Tenenbaum, Yokota, 1990 .
↑ A Conjecture on Unit Fractions Involving Primes (link nu este disponibil) . Consultat la 30 mai 2018. Arhivat din original la 19 octombrie 2018. (nedefinit)
↑ 0xDE: fracții egiptene cu numitori practici . Preluat la 30 mai 2018. Arhivat din original la 2 ianuarie 2019. (nedefinit)
↑ Melfi, 1996 .
↑ Hausman, Shapiro, 1984 .
↑ Margenstern, 1991 .
↑ Erdős, Loxton, 1979 .
↑ Saias, 1997 .
↑ Weingartner, 2015 .

Literatură

Paul Erdős , Loxton JH Câteva probleme in partitio numerorum // Journal of the Australian Mathematical Society (Seria A). - 1979. - T. 27 , nr. 03 . — S. 319–331 . - doi : 10.1017/S144678870001243X .
Heyworth MR Mai multe despre numerele panaritmice // Matematică din Noua Zeelandă. Mag.. - 1980. - T. 17 , nr. 1 . — S. 24–28 . . După cum este citat în Margenstern ( 1991 ).
Miriam Hausman, Harold N. Shapiro. Despre numere practice // Comunicări despre matematică pură și aplicată . - 1984. - T. 37 , nr. 5 . — S. 705–713 . - doi : 10.1002/cpa.3160370507 .
Maurice Margenstern. Résultats et conjectures sur les nombres pratiques // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. - 1984. - Vol. 299 , nr. 18 . — S. 895–898 . După cum este citat în Margenstern ( 1991 ).
Maurice Margenstern. Les nombres pratiques: theorie, observations et conjectures // Journal of Number Theory . - 1991. - T. 37 , nr. 1 . — S. 1–36 . - doi : 10.1016/S0022-314X(05)80022-8 .
Giuseppe Melfi. Pe două presupuneri despre numere practice // Journal of Number Theory. - 1996. - T. 56 , nr. 1 . — S. 205–210 . - doi : 10.1006/jnth.1996.0012 .
Dragoslav S. Mitrinovic, József Sandor, Borislav Crstici. III.50 Numerele practice // Manual de teorie a numerelor, Volumul 1. - Kluwer Academic Publishers, 1996. - Vol. 351. - P. 118–119. - (Matematica și aplicațiile sale). - ISBN 978-0-7923-3823-9 .
Robinson DF Fracții egiptene prin teoria numerelor grecești // Matematică din Noua Zeelandă. Mag.. - 1979. - T. 16 , nr. 2 . — p. 47–52 . . După cum este citat în Margenstern ( 1991 ) și Mitrinovic Mitrinović , Sándor & Crstici (1996 ).
Entiers à diviseurs denses, I // Journal of Number Theory. - 1997. - T. 62 , nr. 1 . — S. 163–191 . - doi : 10.1006/jnth.1997.2057 .
Liber Abaci al lui Fibonacci / Laurence E. Sigler (traducere). - Springer-Verlag, 2002. - S. 119-121 . — ISBN 0-387-95419-8 .
Waclaw Sierpinski . Sur une propriété des nombres naturels // Annali di Matematica Pura ed Applicata. - 1955. - T. 39 , nr. 1 . — S. 69–74 . - doi : 10.1007/BF02410762 .
Srinivasan AK Numere practice // Știința curentă . - 1948. - T. 17 . — S. 179–180 .
Stewart BM Sume ale divizorilor distincti // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1954. - V. 76 , nr. 4 . — S. 779–785 . - doi : 10.2307/2372651 . — .
Tenenbaum G., Yokota H. Lungimea și numitorii fracțiilor egiptene // Journal of Number Theory. - 1990. - T. 35 , nr. 2 . — S. 150–156 . - doi : 10.1016/0022-314X(90)90109-5 .
Vose M. Fracții egiptene // Buletinul Societății de Matematică din Londra . - 1985. - T. 17 , nr. 1 . - S. 21 . - doi : 10.1112/blms/17.1.21 .
Weingartner A. Numerele practice și distribuția divizorilor // The Quarterly Journal of Mathematics. - 2015. - T. 66 , nr. 2 . — S. 743–758 . - doi : 10.1093/qmath/hav006 . - arXiv : 1405,2585 .

Link -uri

Tabele de numere practice Arhivate la 26 decembrie 2017 la Wayback Machine compilate de Giuseppe Melfi.
Număr practic (engleză) pe site-ul PlanetMath .
Weisstein, Eric W. Practical Number (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

Clase de numere naturale

Puteri și
numere aferente

Numerele de forma
a × 2 b ± 1

Alte numere
polinomiale

Numere
definite recursiv

Seturi de numere
cu
proprietăți specifice

Exprimat
în termeni de sume

Non-ipotenuză
Practic
Principalul semisimplu
Ulama
Wolsenholm

Obținut
cu o sită

numere norocoase

Coduri înrudite
_

Mirtens

numere ondulate

2-dimensională

centrat _	triunghiular pătrat pentagonal hexagonal heptagonală octogonală neunghiulară decagonală stelat
decentrat _	triunghiular pătrat triunghiular pătrat hexagonal octogonală

3 dimensionale

centrat _	tetraedric cub octaedric dodecaedral icosaedric
decentrat _	tetraedric octaedric dodecaedral icosaedric Steaua-octaedrică
piramidal _	pătrat pentagonal hexagonal heptagonală

4-dimensională

centrat _	pentachoric triunghiular într-un pătrat
decentrat _	pentatop

Pseudosimple

Carmichael
Catalana
eliptic
Euler
Euler-Jacobi
Fermă
Frobenius
Luca
Somera - Luca
puternic pseudosimplu

numere combinatorii

Funcții aritmetice

σ( n )	redundant aproape perfect aritmetic colosal de redundant Descartes numere hemiperfecte numere extrem de redundante numere cu componente înalte numere hiperperfecte numere multiperfecte comise practic redundant primitiv usor redundante numerele tau numere maiestuoase numere supraabundente numere supercompozite numere superperfecte
Ω( n )	aproape simplu semisimplu
φ( n )	foarte covalent înalt cu răbdare perfect totient uşor toţios
s( n )	prietenos logodit insuficient semi-perfect

Euclid
numere de avere

Prin divizori

Alți
divizori primi sau
legați
de divizibilitate

Matematică distractivă

Sisteme numerice	număr automorf ciclic Osiris Dudeni cifre egale extravagant Factorion Friedman multumit Nivena Kita Lichrel suma cu cifra lipsă Armstrong palindromic pandigitală parazitar dăunătoare magic primitiv repdigits reunește autogenerat autodescriptivă Smarandsha - Wellena strict non-palindromic schimbatoare deplasare trimorf ondulat vampiri

secvența Aronson
numere de clătite

Numerele după caracteristicile de divizibilitate
Informatii generale	Factorizarea numerelor întregi Divizibilitate divizor unitar Funcția divizor număr prim Teorema fundamentală a aritmeticii Număr aritmetic
Forme de factorizare	număr prim Numar compus Semiprim număr dreptunghiular Numărul sfenic Număr fără pătrat Multiplu complet Gradul perfect numărul lui Ahile număr neted Număr obișnuit număr grosier număr neobișnuit
Cu divizori limitați	număr perfect Cifre ușor insuficiente Numere ușor redundante Număr multiperfect Numerele hemiperfecte număr hiperperfect număr super perfect prim unitar număr semiperfect număr pararitmic numărul Erdős-Nicolas
Numerele cu mulți divizori	Numere în exces Numerele în exces primitive Numere extrem de redundante Numere super redundante Numere extrem de redundante număr supercompus Un număr foarte supercompus număr ciudat
Legat de secvențele alicote	număr sacru numere amicale numere publice Numere aproape prietenoase
Alte	Nu sunt suficiente numere numere de prieteni numere sublimate Numerele de minereu număr umil Cifre egale număr extravagant