Spirala lui Teodor

Spirala Teodoriană (numită și rădăcina pătrată a spiralei unghiulare , spirală Einstein sau spirală pitagoreică ) [1]  este o aproximare a spiralei arhimediene , constând din triunghiuri dreptunghice adiacente adiacente unul altuia. Este numit după Teodor din Cirene , un om de știință grec antic, cunoscut drept profesorul lui Platon , care a trăit în secolul al V-lea î.Hr. în Libia.

Constructii

Spirala începe cu un triunghi dreptunghic isoscel , fiecare catenă având lungimea unitară. Apoi se adaugă un alt triunghi dreptunghic, al cărui catet este ipotenuza triunghiului anterior (de lungime √2 ) iar celălalt catet este de lungime 1; lungimea ipotenuzei celui de-al doilea triunghi este √ 3 . Procesul se repetă apoi; Al n-lea triunghi din șir este un triunghi dreptunghic cu catetele √ n și 1 și cu ipotenuza √ n + 1 . De exemplu, al 16-lea triunghi are laturile de dimensiunea 4 (= √ 16 ), 1 și ipotenuza √ 17 .

Istoric și utilizare

Deși toate lucrările lui Teodor sunt pierdute, Platon l -a menționat pe Teodor în dialogul său Theaetetus , care povestește opera sa. În special, spune că Theodore a demonstrat că toate rădăcinile pătrate ale numerelor întregi nepătrate de la 3 la 17 sunt numere iraționale (Platon nu îi atribuie lui Teodor dovada că rădăcina pătrată a lui 2 este irațională , deoarece era bine cunoscută înainte de el) . Ulterior, Theaetetus din Atena a clasificat segmentele care produc pătrate raționale în două categorii: proporționale cu unitatea și iraționale [2] [3] .

Există diverse ipoteze despre modul în care Teodor a dovedit acest lucru și de ce s-a hotărât pe √17 . Una dintre ipoteze, deținută de matematicianul german Anderhub, este că a făcut-o cu ajutorul spiralei lui Theodore [4] . În această spirală, ipotenuza √ 17 aparține ultimului triunghi care nu se suprapune pe figura formată de spirală, ceea ce explică de ce Teodor a ajuns la √ 17 [5] . Totuși, aceasta nu este singura explicație posibilă pentru acest fapt [3] .

Continuarea spiralei

În 1958, Erich Teuffel a demonstrat că nu există două ipotenuze ale triunghiurilor care alcătuiesc helixul pe aceeași rază. De asemenea, dacă laturile unității de lungime sunt extinse la o linie dreaptă, ele nu vor trece niciodată prin niciunul dintre celelalte vârfuri ale spiralei [6] [7] .

Rata de creștere

Unghi

Dacă este unghiul celui de-al n -lea triunghi (sau segmentul spirală), atunci:

Astfel, incrementul unghiului după al n -lea triunghi este: [1]

Suma unghiurilor primelor "k" triunghiuri, se notează prin unghiul comun pentru triunghiul k . Crește proporțional cu rădăcina pătrată a lui k , fiind o funcție mărginită cu termen de corecție c 2 : [1]

Unde

Raza

Creșterea razei spiralei pentru un triunghi cu număr n este egală cu

Spirala arhimediană

Spirala teodoriană se apropie de spirala arhimediană . [1] . Deoarece distanța dintre două spire ale spiralei arhimedeene este egală cu constanta pi = 3,14 ..., atunci când numărul de spire ale spiralei lui Teodor tinde spre infinit, distanța dintre două spire succesive se apropie rapid de π. [8] Mai jos este un tabel care arată aproximarea rotilor spiralei la pi:

După cum se arată, după doar a cincea rotire a helixului, distanța, cu o precizie de 99,97%, este o aproximare exactă la π.

În plan complex

În planul complex , vârfurile helixului pot fi date prin următoarea relație simplă de recurență :

unde  este unitatea imaginară [9] .

Curbă continuă

Problema modului de interpolare a punctelor discrete ale spiralei Theodore a unei curbe netede a fost propusă și rezolvată în ( Davis 2001 , pp. 37–38) prin analogie cu formula lui Euler pentru funcția gamma ca aproximare pentru factorial , Philip Davis a găsit funcția

care a fost studiat ulterior de elevul său Geoffrey Lieder [10] și Arie Iserles (anexă la ( Davis 2001 )). O caracterizare axiomatică a acestei funcţii este dată în ( Gronau 2004 ) ca singura funcţie care satisface ecuaţia funcţională

cu condiția inițială și este monoton atât în ​​argument cât și modulo . Condiții alternative și relaxare sunt, de asemenea, explorate acolo. O dovadă alternativă este dată în ( Heuvers, Moak & Boursaw 2000 ). O continuare analitică a funcției Davis continue pentru spirala Theodoriană care se extinde în direcția opusă față de origine este dată în ( Waldvogel 2009 ).

În figură, nodurile spiralei originale (discrete) lui Theodore sunt marcate cu cercuri verzi mici. Cercurile albastre sunt cele care au fost adăugate în timpul continuării la ramura negativă (în funcție de valoarea parametrului, este și raza polară). Sunt numerotate doar nodurile cu o valoare întreagă a razei polare.Cercul punctat portocaliu este cercul de curbură al spiralei la origine .

Vezi și

• Spiral Farm

Note

1. ↑ 1 2 3 4 Hahn, Harry K., The Ordered Distribution of Natural Numbers on the Square Root Spiral, arΧiv : 0712.2184 .  
2. ↑ Plato & Dyde, Samuel Walters (1899), The Theaetetus of Platon , J. Maclehose, p. 86–87. , < https://books.google.com/books?id=wt29k-Jz8pIC&printsec=titlepage >  
3. ↑ 1 2 Van der Waerden. Trezirea Științei. Matematica Egiptului Antic, Babilonului și Greciei . - M. : Nauka, 1959. - S. 199. - 456 p. Arhivat pe 27 martie 2009 la Wayback Machine
4. ↑ Spirala lui Theodorus și sumele valorilor Zeta la semi-întregi  //  The American Mathematical Monthly. - 2012. - Vol. 119 , iss. 9 . — P. 779 . doi : 10.4169 / amer.math.monthly.119.09.779 . Arhivat din original pe 27 aprilie 2019.
5. ↑ Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of √ −1 , Princeton University Press, p. 33, ISBN 0-691-02795-1 , < https://books.google.com/books?id=WvcfqBgZDWQC&printsec=frontcover >  
6. ↑ Long, Kate O lecție despre spirala rădăcină . Consultat la 30 aprilie 2008. Arhivat din original pe 4 aprilie 2013.  (nedefinit)
7. ↑ Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. Semestrul. 6 (1958), pp. 148-152.
8. ↑ Hahn, Harry K. (2008), Distribuția numerelor naturale divizibile cu 2, 3, 5, 7, 11, 13 și 17 pe Spirala rădăcinii pătrate, arΧiv : 0801.4422 .  
9. ↑ Gronau, 2004 .
10. ↑ Leader, JJ The Generalized Theodorus Iteration (disertație), 1990, Brown University

Literatură

• Davis, PJ (2001), Spirals from Theodorus to Chaos , A.K. Peters/CRC Press 
• Gronau, Detlef (martie 2004), The Spiral of Theodorus , The American Mathematical Monthly (Asociația de matematică din America) . - T. 111 (3): 230–237 , DOI 10.2307/4145130 
• Heuvers, J.; Moak, DS & Boursaw, B (2000), Ecuația funcțională a spiralei rădăcinii pătrate, în T.M. Rassias, Functional Equations and Inequalities , p. 111–117 
• Waldvogel, Jörg (2009), Continuarea analitică a spiralei lui Theodorus , < http://www.math.ethz.ch/~waldvoge/Papers/theopaper.pdf >