Număr

Numărul este unul dintre conceptele de bază ale matematicii [1] , folosit pentru caracteristicile cantitative , compararea, numerotarea obiectelor și a părților lor.

Caracterele scrise pentru numere sunt numere , precum și simboluri ale operațiilor matematice . După ce a apărut în societatea primitivă din nevoile numărării , conceptul de număr sa extins semnificativ odată cu dezvoltarea științei .

Seturi de numere de bază

Numere naturale () - numere obținute prin numărare naturală:Uneori , zero este inclus și în mulțimea numerelor naturale , adicănumerele naturale sunt închise la adunare și înmulțire (dar nu și la scădere sau împărțire ). Adunarea și înmulțirea numerelor naturale sunt comutative și asociative , în timp ce înmulțirea numerelor naturale este distributivă în ceea ce privește adunarea și scăderea. $\mathbb {N}$ $\mathbb {N} =\stanga\{1,2,3,...\dreapta\}.$ $\mathbb {N} =\stanga\{0,1,2,3,...\dreapta\}.$

Numerele întregi () — numere obținute prin combinarea numerelor naturale cu mulțimea numerelor opuse numerelor naturale și zero, notate cuOrice număr întreg poate fi reprezentat ca diferența a două numere naturale. Numerele întregi sunt închise la adunare, scădere și înmulțire (dar nu și împărțire); în algebra generală , o astfel de structură algebrică se numește inel . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} =\stanga\{...-2,-1,0,1,2,...\dreapta\}.$

Numerele raționale () sunt numere care pot fi reprezentate ca o fracție m / n ( n ≠ 0) , unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Numerele raționale sunt deja închise în ceea ce privește toate cele patru operații aritmetice: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea (cu excepția împărțirii cu zero ); în algebra generală, o astfel de structură algebrică se numește câmp . Pentru a desemna numerele raționale, se folosește un semn(din engleză quotient ). $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Numerele reale (reale) () sunt numere care reprezintă o extensie a mulțimii numerelor raționale, închise în raport cu unele (importante pentru analiza matematică ) operații de trecere la limită. Mulțimea numerelor reale se notează cu. Poate fi privită ca o completare a câmpului numerelor raționalecu ajutorul normei , care este valoarea absolută obișnuită. Pe lângă numerele raționale,include un set de numere iraționale care nu pot fi reprezentate ca raport de numere întregi. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {I}$

Numerele complexe () sunt numere care sunt o extensie a mulțimii numerelor reale. Ele pot fi scrise ca, unde i este așa-numitul. Unitate imaginară pentru care este valabilă egalitateaNumerele complexe sunt folosite în rezolvarea problemelor din inginerie electrică , hidrodinamică , cartografie , mecanică cuantică , teoria oscilației , teoria haosului , teoria elasticității și multe altele. Numerele complexe sunt împărțite în algebrice și transcendentale . Mai mult, fiecare număr transcendental real este irațional, iar fiecare număr rațional este un număr algebric real. Clasele de numere mai generale (dar încă numărabile ) decât cele algebrice sunt perioadele , numerele calculabile și aritmetice (unde fiecare clasă ulterioară este mai largă decât cea anterioară). $\mathbb {C}$ $z=x+iy$ $i^{2}=-1.$

Pentru seturile de numere enumerate, următoarea expresie este valabilă: $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .$

Generalizări ale numerelor

Cuaternionii sunt un tip de numere hipercomplexe . Setul de cuaternioni este notat cu. Cuaternionii, spre deosebire de numerele complexe, nu sunt comutativi în ceea ce privește înmulțirea. ${\mathbb {H}}$

La rândul lor , octonionii , care sunt o extensie a cuaternionilor, își pierd deja proprietatea de asociativitate . ${\mathbb {O}}$

Spre deosebire de octonii, sedenionii nu au proprietatea de alternativitate , dar păstrează proprietatea de asociativitate a puterii . $\mathbb{S}$

Pentru aceste seturi de numere generalizate, următoarea expresie este adevărată: $\mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} .$

numerele p-adice pot fi considerate ca elemente ale câmpului, care este completarea câmpului numerelor raționalecu ajutorul așa-numitelor. Evaluarea p-adică , similară modului în care câmpul numerelor reale este definit ca completarea sa folosind valoarea absolută obișnuită. $\Q_p$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$

Adelele sunt definite ca șiruri infinite {a ∞ ,a 2 ,a 3 ,…a p …} , unde a ∞ este orice număr real și a p este p-adic și toate a p , cu excepția poate unui număr finit dintre ele, sunt întregi p-adic. Adelele sunt adăugate și înmulțite component cu component și formează un inel . Câmpul numerelor raționale este încorporat în acest inel în modul obișnuit r→{r, r,…r,…} . Elementele inversabile ale acestui inel formează un grup și se numesc idealuri .

O generalizare practic importantă a sistemului numeric este aritmetica de intervale .

Ierarhia numerelor

Mai jos este o ierarhie a numerelor, pentru mulțimile cărora expresia este adevărată , cu exemple: ${\mathbb {N}}\subset {\mathbb {Z}}\subset {\mathbb {Q}}\subset {\mathbb {R}}\subset {\mathbb {C}}\subset {\mathbb {H ))\subset {\mathbb {O}}\subset {\mathbb {S}}$

1,\;2,\;\ldots

numere întregi

-1,\;0,\;1,\;\ldots

Numere întregi

-1,\;1,\;{\frac {1}{2)),\;0{,}12,\;{\frac {2}{3)),\;\ldots

Numere rationale

-1,\;1,\;0{,}12,\;{\frac {1}{2)),\;\pi ,\;{\sqrt {2)),\;\ldots

Numere reale

-1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;3i+2,\;e^{i\pi /3},\;\ ldots

Numere complexe

1,\;i,\;j,\;k,\;2i+\pi j-{\frac {1}{2}}k,\;\dots

Cuaternioane

1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2-5l+{\frac {\pi }{3}}m,\; \dots

Octonii

1,\;e_{1},\;e_{2},\;\dots ,\;e_{15},\;7e_{2}+{\frac {2}{5}}e_{7}- {\frac {1}{3}}e_{15},\;\dots

sedenioane

Această ierarhie nu este completă, deoarece poate fi extinsă de câte ori se dorește (vezi procedura Cayley-Dixon ).

Reprezentarea numerelor în memoria computerului

Consultați Codul direct , Complementul a doi (reprezentarea numărului) , Numărul în virgulă mobilă pentru detalii

Pentru a reprezenta un număr natural în memoria computerului , acesta este de obicei convertit în sistemul numeric binar . Pentru a reprezenta numere negative, se folosește adesea codul de complement al celor două , care se obține prin adăugarea unuia la reprezentarea inversată a modulului unui număr negativ dat în sistemul numeric binar.

Reprezentarea numerelor în memoria computerului are limitări asociate cu cantitatea limitată de memorie alocată pentru numere. Chiar și numerele naturale sunt o idealizare matematică, gama numerelor naturale este infinită. Limitările fizice sunt impuse cantității de memorie a computerului. În acest sens, într-un calculator, nu avem de-a face cu numere în sens matematic, ci cu unele reprezentări, sau aproximări ale acestora. Pentru a reprezenta numere, este alocat un anumit număr de celule de memorie (de obicei binare, biți - din cifra BINary). Dacă, ca urmare a operației, numărul rezultat ar trebui să ia mai multe cifre decât este alocat computerului, rezultatul calculului devine incorect - are loc așa-numita depășire aritmetică . Numerele reale sunt de obicei reprezentate ca numere în virgulă mobilă . În același timp, doar unele dintre numerele reale pot fi reprezentate în memoria computerului printr-o valoare exactă, în timp ce restul numerelor sunt reprezentate prin valori aproximative. În cel mai comun format, un număr în virgulă mobilă este reprezentat ca o secvență de biți, dintre care unii codifică mantisa numărului, cealaltă parte este exponentul și un alt bit este folosit pentru a indica semnul numărului.

Istoria dezvoltării conceptului

Conceptul de număr a apărut în antichitate din nevoile practice ale oamenilor și a devenit mai complicat în procesul dezvoltării umane. Domeniul activității umane s-a extins și, în consecință, a crescut nevoia de descriere cantitativă și de cercetare. La început, conceptul de număr a fost determinat de nevoile de numărare și măsurare care au apărut în activitatea practică a unei persoane, care ulterior au devenit din ce în ce mai complicate. Mai târziu, numărul devine conceptul de bază al matematicii , iar nevoile acestei științe determină dezvoltarea ulterioară a acestui concept.

Timpurile preistorice

Oamenii au știut să numere obiecte chiar și în cele mai vechi timpuri, atunci a apărut conceptul de număr natural. În primele etape de dezvoltare, conceptul de număr abstract a lipsit. În acele zile, o persoană putea estima numărul de obiecte omogene numite într-un singur cuvânt, de exemplu, „trei oameni”, „trei axe”. În același timp, diferite cuvinte „unu”, „doi”, „trei” au fost folosite pentru conceptele „o persoană”, „doi oameni”, „trei oameni” și „un topor”, „două axe”, „trei topoare”. Acest lucru este demonstrat de analiza limbilor popoarelor primitive. Astfel de serii numerice numite erau foarte scurte și se terminau cu un concept neindividualizat de „mulți”. Cuvinte diferite pentru un număr mare de obiecte de diferite feluri există chiar și acum, cum ar fi „mulțime”, „turmă”, „grămadă”. Numărarea primitivă a obiectelor a constat în „compararea obiectelor unui anumit set dat cu obiectele unui anumit set specific, jucând, parcă, rolul unui standard” [2] , care pentru majoritatea popoarelor erau degete („numărarea pe degete”). Acest lucru este confirmat de analiza lingvistică a numelor primelor numere. În această etapă, conceptul de număr devine independent de calitatea obiectelor care sunt numărate.

Apariția scrisului

Capacitatea de a reproduce numere a crescut semnificativ odată cu apariția scrisului . La început, numerele au fost indicate prin linii pe materialul folosit pentru înregistrare, de exemplu, papirus , tăblițe de lut, ulterior au început să fie folosite semne speciale pentru unele numere („ cifrele romane ” care au supraviețuit până în zilele noastre ) și semne pentru mari. numere. Acestea din urmă sunt evidențiate de simbolurile sau semnele cuneiforme babiloniene pentru scrierea numerelor în sistemul numeric chirilic . Când a apărut un sistem de numere poziționale în India , care vă permite să scrieți orice număr natural folosind zece cifre ( cifre ), aceasta a fost o mare realizare umană.

Conștientizarea infinitității seriei naturale a fost următorul pas important în dezvoltarea conceptului de număr natural. Există referiri la acest lucru în lucrările lui Euclid și Arhimede și în alte monumente ale matematicii antice din secolul al III-lea î.Hr. e. În Elemente , Euclid stabilește continuitatea infinită a unei serii de numere prime . Aici Euclid definește numărul ca „un set compus din unități” [3] . Arhimede în cartea „ Psammit ” descrie principiile de notare a numerelor arbitrar mari.

Apariția aritmeticii

În timp, încep să se aplice operații asupra numerelor, mai întâi adunarea și scăderea , apoi înmulțirea și împărțirea . Ca urmare a unei lungi dezvoltări, s-a dezvoltat o idee despre natura abstractă a acestor acțiuni, despre independența rezultatului cantitativ al acțiunii față de obiectele luate în considerare, despre faptul că, de exemplu, două obiecte și șapte obiecte fac până la nouă obiecte, indiferent de natura acestor obiecte. Când au început să dezvolte reguli de acțiune, să le studieze proprietățile și să creeze metode de rezolvare a problemelor, atunci a început să se dezvolte aritmetica - știința numerelor. Necesitatea studierii proprietăților numerelor ca atare se manifestă în chiar procesul de dezvoltare a aritmeticii, modelele complexe și relațiile lor datorită prezenței acțiunilor devin clare, clasele de numere pare și impare, numere prime și compuse etc. on se disting. Apoi apare o ramură a matematicii, care se numește acum teoria numerelor . Când s-a observat că numerele naturale pot caracteriza nu numai numărul de obiecte, ci pot caracteriza și ordinea obiectelor dispuse pe rând, apare conceptul de număr ordinal. Problema fundamentarii conceptului de număr natural, atât de familiar și simplu, nu a mai fost pusă în știință de mult timp. Abia la mijlocul secolului al XIX-lea , sub influența dezvoltării analizei matematice și a metodei axiomatice în matematică, a fost nevoie să se justifice conceptul de număr natural cantitativ. Introducerea numerelor fracționale a fost cauzată de necesitatea de a face măsurători și a fost din punct de vedere istoric prima extindere a conceptului de număr.

Introducerea numerelor negative

În Evul Mediu , au fost introduse numere negative , cu care a devenit mai ușor să contabilizați datoria sau pierderea. Necesitatea introducerii numerelor negative a fost asociată cu dezvoltarea algebrei ca știință care oferă metode generale de rezolvare a problemelor aritmetice, indiferent de conținutul lor specific și de datele numerice inițiale. Necesitatea introducerii unui număr negativ în algebră apare deja atunci când rezolvăm probleme care se reduc la ecuații liniare cu o necunoscută. Numerele negative au fost folosite sistematic în rezolvarea problemelor încă din secolele VI - XI în India și au fost interpretate aproape în același mod în care se face în prezent.

După ce Descartes a dezvoltat geometria analitică , care a făcut posibil să se considere rădăcinile ecuației ca fiind coordonatele punctelor de intersecție ale unei anumite curbe cu axa absciselor, ceea ce a șters în cele din urmă diferența fundamentală dintre rădăcinile pozitive și negative ale ecuației, numerele negative au intrat în sfârșit în uz în știința europeană.

Introducere în numerele reale

Chiar și în Grecia antică s-a făcut o descoperire fundamentală importantă în geometrie: nu toate segmentele definite cu precizie sunt comensurabile, cu alte cuvinte, nu fiecare segment poate avea un număr rațional, de exemplu, latura unui pătrat și diagonala acestuia . În „Elementele” lui Euclid a fost conturată teoria relațiilor segmentelor, ținând cont de posibilitatea incomensurabilității acestora. În Grecia antică, ei știau să compare astfel de rapoarte ca mărime, să efectueze operații aritmetice asupra lor în formă geometrică. Deși grecii s-au ocupat de astfel de relații precum numerele, ei nu și-au dat seama că raportul dintre lungimile segmentelor incomensurabile poate fi considerat ca un număr. Acest lucru a fost făcut în timpul nașterii matematicii moderne în secolul al XVII-lea , când s-au dezvoltat metode pentru studierea proceselor continue și metode pentru calcule aproximative. I. Newton în „Aritmetica generală” definește conceptul de număr real: „Prin număr înțelegem nu atât o mulțime de unități, ci un raport abstract dintre o cantitate și o altă cantitate de același fel, pe care o luăm ca unitate. ." Mai târziu, în anii 1870, conceptul de număr real a fost rafinat pe baza analizei conceptului de continuitate de către R. Dedekind , G. Cantor și K. Weierstrass .

Introducere în numerele complexe

Odată cu dezvoltarea algebrei, a apărut necesitatea introducerii numerelor complexe, deși neîncrederea în tiparele de utilizare a acestora a persistat mult timp și s-a reflectat în termenul „imaginar” care a supraviețuit până în zilele noastre. Deja printre matematicienii italieni ai secolului al XVI-lea ( G. Cardano , R. Bombelli ), în legătură cu descoperirea soluției algebrice a ecuațiilor de gradul al treilea și al patrulea, a apărut ideea unui număr complex. Cert este că chiar și soluția unei ecuații pătratice , în cazul în care ecuația nu are rădăcini reale, duce la acțiunea de a extrage rădăcina pătrată dintr-un număr negativ. Se părea că problema care duce la rezolvarea unei astfel de ecuații pătratice nu avea nicio soluție. Odată cu descoperirea soluției algebrice a ecuațiilor de gradul al treilea, s-a constatat că în cazul în care toate cele trei rădăcini ale ecuației sunt reale, în cursul calculului se dovedește a fi necesară efectuarea acțiunii de extragere a ecuației. rădăcina pătrată a numerelor negative.

După stabilirea la sfârșitul secolului al XVIII-lea a interpretării geometrice a numerelor complexe sub formă de puncte pe plan și stabilirea beneficiilor indubitabile ale introducerii numerelor complexe în teoria ecuațiilor algebrice, mai ales după celebrele lucrări ale lui L. Euler și K. Gauss , numerele complexe au fost recunoscute de matematicieni și au început să joace un rol esențial nu numai în algebră, ci și în analiza matematică. Semnificația numerelor complexe a crescut mai ales în secolul al XIX-lea în legătură cu dezvoltarea teoriei funcțiilor unei variabile complexe [2] .

Numărul în filozofie

Înțelegerea filozofică a numărului a fost stabilită de pitagoreici. Aristotel mărturisește că pitagoreicii considerau că numerele sunt „cauza și începutul” lucrurilor, iar relațiile numerelor ca fiind baza tuturor relațiilor din lume. Numerele dau ordine lumii și o fac un cosmos. Această atitudine faţă de număr a fost adoptată de Platon , iar mai târziu de neoplatonişti . Platon, folosind numere, distinge între ființa adevărată (ceea ce există și este concepută în sine) și ființa neautentică (ceea ce există numai datorită altuia și este cunoscută numai în relație). Poziția de mijloc dintre ele este ocupată de un număr. Ea dă măsură și certitudine lucrurilor și le implică în ființă. Datorită numărului lucrurile pot fi numărate și de aceea pot fi gândite, și nu doar simțite. Neoplatoniștii, în special Iamblichus și Proclus, veneau atât de mult numerele încât nici măcar nu le considerau că există - ordinea lumii provine dintr-un număr, deși nu direct. Numerele sunt super-esențiale, sunt deasupra Minții și sunt inaccesibile cunoașterii. Neoplatoniștii disting între numerele divine (o emanație directă a Unului) și numerele matematice (formate din unități). Acestea din urmă sunt replici imperfecte ale primei. Aristotel, dimpotrivă, oferă o serie întreagă de argumente care arată că afirmația despre existența independentă a numerelor duce la absurdități. Aritmetica evidențiază un singur aspect în aceste lucruri cu adevărat existente și le consideră din punctul de vedere al cantității lor. Numerele și proprietățile lor sunt rezultatul unei astfel de analize. Kant credea că un fenomen este cunoscut atunci când este construit în conformitate cu concepte a priori - condițiile formale ale experienței. Numărul este una dintre aceste condiții. Numărul specifică un principiu specific sau o schemă de proiectare. Orice obiect este numărabil și măsurabil deoarece este construit după schema numărului (sau mărimii). Prin urmare, orice fenomen poate fi considerat de matematică. Mintea percepe natura ca fiind subordonată legilor numerice tocmai pentru că ea însăși o construiește în conformitate cu legile numerice. Astfel se explică posibilitatea utilizării matematicii în studiul naturii. Definițiile matematice dezvoltate în secolul al XIX-lea au fost revizuite serios la începutul secolului al XX-lea . Acest lucru a fost cauzat nu atât de probleme matematice, cât de filozofice. Definițiile date de Peano, Dedekind sau Cantor, care sunt folosite și astăzi în matematică, trebuiau justificate prin principii fundamentale înrădăcinate în însăși natura cunoașterii. Există trei astfel de abordări filozofice și matematice: logicism, intuiționism și formalism. Baza filozofică a logicismului a fost dezvoltată de Russell. El credea că adevărul axiomelor matematice nu este evident. Adevărul este dezvăluit prin reducerea la cele mai simple fapte. Russell a considerat reflectarea unor astfel de fapte ca fiind axiomele logicii, pe care le-a bazat pe definiția numărului. Cel mai important concept pentru el este conceptul de clasă. Numărul natural η este clasa tuturor claselor care conțin η elemente. O fracție nu mai este o clasă, ci o relație de clase. Intuiționistul Brouwer avea punctul de vedere opus: el considera logica ca fiind doar o abstracție din matematică, considera seria naturală a numerelor drept intuiția de bază care stă la baza oricărei activități mentale. Hilbert, principalul reprezentant al școlii formale, a văzut justificarea matematicii în construirea unei baze axiomatice consistente în cadrul căreia orice concept matematic putea fi fundamentat formal. În teoria axiomatică a numerelor reale dezvoltată de el, ideea unui număr este lipsită de orice adâncime și se reduce doar la un simbol grafic, care este substituit după anumite reguli în formulele teoriei [3] .

Vezi și

Note

↑ Număr // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 5.
↑ 1 2 Number (Math.) - articol din Marea Enciclopedie Sovietică .
↑ 1 2 Number - Philosophical Encyclopedia

Literatură

Matvievskaya G.P. Predarea numerelor în Orientul Apropiat și Mijlociu medieval. - Tașkent: FAN, 1967. - 344 p. În ciuda titlului, cartea urmărește istoria conceptului de număr încă din cele mai vechi timpuri.
Menninger K. Istoria numerelor. Numere, simboluri, cuvinte. - M. : CJSC Tsentrpoligraf , 2011. - 543 p. — ISBN 9785952449787 .
Pontryagin L. S. Generalizări ale numerelor . — M .: Nauka, 1986. — 120 p. - ( Biblioteca „Quantum” ).
Ifrah G. Istoria universală a numerelor. - John Wiley & Sons, 2000. - 635 p. — ISBN 0471393401 . (Engleză)

Link -uri

În întreaga lume: care este cel mai mare număr?
Gramota.ru: Istoria originii cuvintelor „număr” și „număr”, un articol din revista „Știință și viață”
Kirillov A. A. Ce este un număr? . - M. , 1993.

Dicționare și enciclopedii

Rusă mare
Brockhaus și Efron
evreii Brockhaus și Efron
Italiană
in jurul lumii
Micul Brockhaus și Efron
Britannica (online)
Treccani
Universalis
Universalis

În cataloagele bibliografice
BNE : XX4678887 BNF : 119326327 GND : 4067271-2 J9U : 987007538634905171 LCCN : sh85093206 NDL : 00571509 NKC : ph202644

Sisteme numerice
Seturi numărabile	numere naturale ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ numere întregi ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rațional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebric ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Numerele reale și extensiile lor	Real ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaternioni ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniuni Dual Hipercomplex Superreale Hipermaterial ireal
Instrumente de extensie numerică	Procedura Cayley-Dixon Teorema Frobenius Teorema Hurwitz
Alte sisteme numerice	numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale numere de interval
Vezi si	numere duble Numere irationale numerele transcendentale fascicul numeric Biquaternion

Numere cu nume proprii

Constante matematice

Algebric

Transcendental ,
probabil transcendental

Grade de o mie

numere vechi rusești

Alte puteri de zece

Puterile de doisprezece

Altele întregi

Alte numere

unitate imaginară