Teoria câmpului cuantic

Teoria câmpului cuantic (QFT) - o ramură a fizicii care studiază comportamentul sistemelor cuantice cu un număr infinit de grade de libertate - câmpuri cuantice ; este baza teoretică pentru descrierea microparticulelor, interacțiunile și transformările acestora. Fizica de înaltă energie , fizica particulelor elementare se bazează pe limbajul QFT , aparatul său matematic este folosit în fizica materiei condensate . Teoria cuantică a câmpului sub forma Modelului Standard (cu adăugarea maselor de neutrini ) este în prezent singura teorie confirmată experimental capabilă să descrie și să prezică rezultatele experimentelor la energii înalte realizabile în acceleratoarele moderne .

Aparatul matematic al QFT se bazează pe produsul direct al spațiilor de stări Hilbert (spațiul Fock ) ale câmpului cuantic și al operatorilor care acționează în acesta . Spre deosebire de mecanica cuantică , unde proprietățile funcției de undă a „ microparticulelor ” sunt studiate ca un fel de obiecte indestructibile; în QFT, principalele obiecte de studiu sunt câmpurile cuantice și excitațiile lor elementare, iar rolul principal este jucat de aparatul secundar de cuantizare cu operatori de creare și anihilare a particulelor care acționează în spațiul de stări Fock . Un analog al funcției de undă mecanică cuantică în QFT este un operator de câmp capabil să acționeze asupra vectorului de vid al spațiului Fock (vezi vid ) și să genereze excitații cu o singură particule ale câmpului cuantic. Observabilele fizice corespund aici și operatorilor alcătuiți din operatori de câmp .

Teoria cuantică a câmpului a apărut din munca mai multor generații de fizicieni teoreticieni de-a lungul cea mai mare parte a secolului al XX-lea. Dezvoltarea sa a început în anii 1920 cu descrierea interacțiunilor dintre lumină și electroni , ceea ce a dus la apariția primei teorii cuantice a câmpului - electrodinamica cuantică . Curând, a fost descoperit primul obstacol teoretic serios în calea construirii unei teorii mai riguroase, asociat cu apariția și conservarea diferitelor infinitități în calculul serii de perturbații. Această problemă a găsit o soluție abia în anii 1950 după inventarea procedurii de renormalizare . Al doilea obstacol major a fost imposibilitatea aparentă a QFT de a descrie interacțiunile slabe și puternice , într-o asemenea măsură încât unii teoreticieni au cerut abandonarea abordării teoriei câmpului [1] [2] . Dezvoltarea teoriei gauge în anii 1970 a condus la renașterea teoriei câmpurilor cuantice sub forma modelului standard al particulelor elementare .

Istorie

Ecuația de bază a mecanicii cuantice - ecuația Schrödinger - este relativistic non-invariantă, ceea ce este evident din intrarea asimetrică a coordonatelor de timp și spațiu în ecuație [3] . Ecuația Schrödinger non-relatistă corespunde relației clasice dintre energia cinetică și impulsul unei particule . Relația relativistă dintre energie și impuls are forma [4] . Presupunând că operatorul de impuls în cazul relativist este același cu cel din regiunea non-relativista și folosind această formulă pentru a construi Hamiltonianul relativist prin analogie [5] , în 1926 a fost propusă o ecuație relativistic invariantă pentru un liber (fără spin sau cu spin zero). ) particulă ( ecuația Klein-Gordon-Fock ). Cu toate acestea, problema cu această ecuație este că este dificil de interpretat aici funcția de undă ca o amplitudine de probabilitate deoarece densitatea de probabilitate nu va fi o valoare definită pozitivă în tot spațiul, care este asociată cu derivata a doua în raport cu timpul [6] ] [7] . $E=p^2/2m$ $E^2=p^2c^2+m^2c^4$

O abordare ușor diferită a fost implementată în 1928 de către Dirac , care a încercat să obțină o ecuație diferențială de ordinul întâi, în care era asigurată egalitatea coordonatelor de timp și a coordonatelor spațiale [6] . Deoarece operatorul moment este proporțional cu derivata întâi în raport cu coordonatele, Hamiltonianul Dirac trebuie să fie liniar în operatorul moment [8] . Ținând cont de aceeași relație relativistă dintre energie și impuls, se impun restricții asupra pătratului acestui operator. În consecință, „coeficienții” liniari trebuie să îndeplinească și o anumită restricție, și anume, pătratele lor trebuie să fie egale cu unu și trebuie să fie reciproc anticomutative . Astfel, cu siguranță nu pot fi coeficienți numerici. Totuși, ele pot fi matrici, cu cel puțin 4 dimensiuni, iar „funcția de undă” poate fi un obiect cu patru componente, numit bispinor . Ca rezultat, a fost obținută ecuația Dirac , în care participă matrice 4-Dirac și o „funcție de undă” cu patru componente. Formal, ecuația lui Dirac este scrisă într-o formă similară cu ecuația Schrödinger cu Hamiltonianul Dirac [8] . Totuși, această ecuație, ca și ecuația Klein-Gordon, are soluții cu energii negative [9] . Această împrejurare a fost motivul pentru prezicerea existenței antiparticulelor , care a fost ulterior confirmată experimental (descoperirea pozitronului ) [10] . Prezența antiparticulelor este o consecință a relației relativiste dintre energie și impuls [9] .

Astfel, trecerea la ecuații relativistic invariante duce la funcții de undă non-standard și interpretări cu mai multe particule. În același timp, spre sfârșitul anilor 1920, a fost dezvoltat un formalism pentru descrierea cuantică a sistemelor cu mai multe particule (inclusiv sistemele cu un număr variabil de particule) bazat pe operatorii de creare și anihilare a particulelor. Teoria cuantică a câmpurilor se dovedește, de asemenea, să se bazeze pe acești operatori (exprimați în termenii lor).

Ecuațiile relativiste Klein-Gordon și Dirac sunt considerate în teoria cuantică a câmpului ca ecuații pentru funcțiile de câmp operator. În consecință, este introdus în considerare un „nou” spațiu Hilbert de stări ale unui sistem de câmpuri cuantice, asupra cărora acţionează operatorii de câmp de mai sus. Prin urmare, uneori procedura de cuantizare a câmpului se numește „a doua cuantizare” [11] [12] .

Fundamente teoretice

Teoria cuantică a câmpurilor se bazează pe teoria clasică a câmpurilor , mecanica cuantică și relativitatea specială [13] [14] . Următoarea este o scurtă prezentare a acestor teorii precursoare.

Cea mai veche teorie clasică de succes a câmpului s-a bazat pe legea gravitației universale a lui Newton , în ciuda absenței complete a conceptului de câmpuri în tratatul său din 1687 Philosophi Naturalis Principia Mathematica [15] . Gravitația, așa cum este descrisă de Newton, este „ acțiune la distanță ”, iar efectul său asupra obiectelor îndepărtate este instantaneu, indiferent de distanță. Totuși, în corespondență cu Richard Bentley, Newton a afirmat că „este de neconceput ca materia grosieră neînsuflețită, fără mijlocirea a altceva care nu este material, să acționeze asupra altei materie și să o influențeze fără contact reciproc” [16] . Abia în secolul al XVIII-lea, fizicienii teoreticieni au descoperit o descriere convenabilă a gravitației bazată pe câmp – o valoare numerică ( vector ) atribuită fiecărui punct din spațiu, indicând efectul gravitației asupra oricărei particule de testare în acel punct. Totuși, aceasta a fost considerată doar un truc matematic [15] .

Conceptul de câmpuri a căpătat o descriere mai formală odată cu dezvoltarea electromagnetismului în secolul al XIX-lea. Michael Faraday a inventat termenul englezesc „câmp” în 1845. El a prezentat câmpurile ca proprietăți ale spațiului (chiar dacă este lipsit de materie) care au efecte fizice. Faraday s-a opus „acțiunii la distanță” și a presupus că interacțiunile dintre obiecte au loc prin „linii de forță” care umple spațiul. Această descriere a câmpurilor a supraviețuit până astăzi [16] [17] [18] .

Teoria electromagnetismului clasic a luat forma finală în 1864 sub forma ecuațiilor lui Maxwell , care descriau relația dintre câmpul electric , câmpul magnetic , curentul electric și sarcina electrică . Ecuațiile lui Maxwell au implicat existența undelor electromagnetice , un fenomen în care câmpurile electrice și magnetice se propagă dintr-un punct din spațiu în altul cu o viteză finită, care s-a dovedit a fi viteza luminii . Astfel, acțiunea la distanță a fost în cele din urmă infirmată [19] [20] .

În ciuda succesului enorm al electromagnetismului clasic, acesta nu a putut explica nici liniile discrete din spectrele atomice , nici distribuția radiației corpului negru la diferite lungimi de undă [21] . Studiul lui Max Planck asupra radiațiilor corpului negru a marcat începutul mecanicii cuantice. El a văzut atomii, care absorb și emit radiații electromagnetice , ca minuscule oscilatoare a căror energie poate lua doar o serie de valori discrete, nu continue. Astăzi sunt cunoscuți ca oscilatoare armonice cuantice . Acest proces de limitare a energiei la valori discrete se numește cuantizare [22] . Pe baza acestei idei, Albert Einstein a propus o explicație pentru efectul fotoelectric în 1905 , în care lumina este alcătuită din pachete individuale de energie numite fotoni (quanta de lumină). Aceasta a însemnat că radiația electromagnetică, descrisă ca unde într-un câmp electromagnetic clasic, există și sub formă de particule [23] [24] .

În același an în care a fost publicată lucrarea despre efectul fotoelectric, Einstein a publicat teoria sa specială a relativității, care se suprapune cu teoria electromagnetismului a lui Maxwell. Noile reguli, numite transformarea Lorentz , au descris schimbarea coordonatelor temporale și spațiale ale evenimentelor pe măsură ce viteza observatorului se schimba, iar distincția dintre timp și spațiu a fost estompată. El a sugerat că toate legile fizice ar trebui să fie aceleași pentru observatorii care se mișcă la viteze diferite, adică că legile fizice sunt invariante sub transformările Lorentz [20] .

În 1913, Niels Bohr a prezentat un model de structură atomică în care electronii din interiorul atomilor pot prelua doar o serie de energii discrete, mai degrabă decât continue [24] . Acesta este un alt exemplu de cuantizare. Modelul Bohr a explicat cu succes natura discretă a liniilor spectrale ale atomilor. În 1924, Louis de Broglie a prezentat ipoteza dualității undă-particulă , conform căreia particulele microscopice prezintă atât proprietăți de undă, cât și de particule în diferite circumstanțe [23] . Combinând aceste diverse idei, între 1925 și 1926 a fost formulată o nouă teorie științifică, mecanica cuantică , la care au contribuit semnificativ Max Planck , Louis de Broglie , Werner Heisenberg , Max Born , Erwin Schrödinger , Paul Dirac și Wolfgang Pauli [25] .

Au mai rămas două dificultăți. Din punct de vedere experimental, ecuația Schrödinger , care stă la baza mecanicii cuantice, ar putea explica emisia stimulată a atomilor, atunci când un electron emite un nou foton sub influența unui câmp electromagnetic extern, dar nu ar putea explica emisia spontană . , în care energia electronului scade spontan și un foton este emis chiar și fără acțiunea unui câmp electromagnetic extern. Teoretic, ecuația Schrödinger nu ar putea descrie fotonii și este incompatibilă cu principiile relativității speciale - ea consideră timpul ca un număr obișnuit, în timp ce reprezintă simultan coordonatele spațiale cu operatori liniari [26] [27] .

Electrodinamică cuantică

Teoria câmpului cuantic a început cu studiul interacțiunilor electromagnetice, deoarece câmpul electromagnetic era singurul câmp clasic cunoscut în anii 1920 [28] .

Datorită lucrărilor lui Born, Heisenberg și Pascual Jordan , în 1925-1926 a fost dezvoltată o teorie cuantică, care descrie câmpul electromagnetic liber (care nu interacționează cu materia), folosind cuantizarea canonică și considerând câmpul electromagnetic ca un set de oscilatoare armonice cuantice. . Dacă interacțiunile nu sunt luate în considerare, o astfel de teorie nu este încă capabilă să facă predicții cantitative despre lumea reală [29] .

În lucrarea sa fundamentală din 1927, Teoria cuantică a emisiei și absorbției radiațiilor , Dirac a inventat termenul de electrodinamică cuantică (QED), o teorie care adaugă condițiilor care descriu un câmp electromagnetic liber un termen suplimentar de interacțiune între densitatea curentului electric și electromagnetic . potențial vectorial [30] . Folosind teoria perturbației de ordinul întâi , el a explicat cu succes fenomenul de emisie spontană . Conform principiului incertitudinii , oscilatorii armonici cuantici nu pot rămâne staționari, dar au un minim de energie diferit de zero și trebuie să oscileze întotdeauna, chiar și în starea cea mai scăzută de energie (starea fundamentală ). Prin urmare, chiar și într-un vid perfect , rămâne un câmp electromagnetic oscilant cu energie zero . Aceste fluctuații cuantice ale câmpurilor electromagnetice în vid sunt cele care „stimulează” emisia spontană de electroni în atomi. Teoria lui Dirac [31] s-a dovedit a fi extrem de reușită în a explica atât emisia, cât și absorbția radiațiilor de către atomi. Aplicând teoria perturbației de ordinul doi, el a reușit să țină seama de împrăștierea fotonilor și a explicat alte efecte cuantice, cum ar fi fluorescența rezonantă , împrăștierea Compton non-relativistă . Cu toate acestea, aplicarea teoriei perturbațiilor de ordin superior a intrat în infinitate computaționale [30] .

În 1927, Friedrich Hund (când a calculat starea fundamentală a unui potențial dublu puț) [32] și, independent de el, Leonid Mandelstam și Mihail Leontovici [33] au dezvăluit pentru prima dată „ efectul de tunel ”. În 1928, Georgy Gamov (care știa despre descoperirile lui Mandelstam și Leontovici [34] ) și oamenii de știință americani Ronald Gurney și Edward Condon , în timp ce dezvoltau teoria dezintegrarii alfa , au obținut primele formule pentru efectul de tunel [35] [36] . Aplicând ideea pătrunderii mecanice cuantice a funcției de undă a unei particule alfa prin bariera Coulomb ( efect de tunel ), Gamow a reușit să arate că chiar și particulele cu energie nu foarte mare pot zbura din nucleu cu o anumită probabilitate [35]. ] .

În 1928, Dirac a scris o ecuație de undă care descrie electroni relativiști - ecuația Dirac . A avut consecințe importante: spinul unui electron este 1/2; factorul g al electronului este 2. Aceasta a condus la formula Sommerfeld corectă pentru structura fină a atomului de hidrogen ; iar ecuația Dirac poate fi utilizată pentru a deriva formula Klein-Nisina care descrie împrăștierea relativistică Compton. Deși rezultatele au fost în concordanță cu teoria, teoria a presupus și existența unor stări de energie negativă care ar putea face atomii instabili, deoarece aceștia, în acest caz, ar putea întotdeauna să se descompună în stări de energie inferioară cu radiații [37] .

La acea vreme, opinia predominantă era că lumea era alcătuită din două ingrediente foarte diferite: particule materiale (cum ar fi electronii) și câmpuri cuantice (cum ar fi fotonii). Particulele materiale au fost considerate a fi eterne, iar starea lor fizică a fost descrisă de probabilitățile de a găsi fiecare particulă în orice regiune dată a spațiului sau interval de viteze. Pe de altă parte, se credea că fotonii sunt pur și simplu stări excitate ale câmpului electromagnetic cuantificat subiacent și ar putea fi creați sau distruși în mod liber. Între 1928 și 1930, Jordan, Eugene Wigner , Heisenberg, Pauli și Enrico Fermi au descoperit că particulele materiale pot fi văzute și ca stări excitate ale câmpurilor cuantice. La fel cum fotonii sunt stări excitate ale unui câmp electromagnetic cuantificat, fiecare tip de particulă are propriul său câmp cuantic: un câmp de electroni, un câmp de protoni și așa mai departe. Cu suficientă energie, acum ar fi posibil să se creeze particule materiale. Pe baza acestei idei, Fermi a propus o explicație pentru dezintegrarea beta în 1932 , cunoscută sub numele de interacțiunea Fermi . Nucleele atomilor nu conțin electroni în sine , dar în procesul de dezintegrare, un electron este creat din câmpul electronic înconjurător, similar unui foton născut din câmpul electromagnetic înconjurător în timpul dezintegrarii radiative a unui atom excitat [38] .

În 1930, D. D. Ivanenko și V. A. Ambartsumyan au prezentat ipoteza nașterii particulelor masive și elementare în procesul interacțiunii lor (inclusiv nașterea unui electron în timpul dezintegrarii β ), care a exclus teoria producției lor spontane care a prevalat. înainte și a format baza teoriei cuantice a câmpului și a teoriei particulelor elementare [39] [40] . În același timp, Dirac și alții au realizat că stările de energie negativă care apar din soluțiile ecuației lui Dirac ar putea fi interpretate ca particule cu aceeași masă cu electronii, dar cu sarcină electrică opusă. Acest lucru nu numai că a asigurat stabilitatea atomilor, dar a devenit și prima predicție a existenței antimateriei . Într-adevăr, pozitronii au fost descoperiți în 1932 de Carl David Anderson în raze cosmice [38] . Având suficientă energie, de exemplu prin absorbția unui foton, se poate crea o pereche electron-pozitron, proces numit producție de pereche ; procesul invers, anihilarea, poate avea loc și cu emisia unui foton. Acest lucru a arătat că numărul de particule nu rămâne neapărat fix în timpul interacțiunii. Cu toate acestea, din punct de vedere istoric, pozitronii au fost considerați mai întâi ca „găuri” într-o mare infinită de electroni, și nu ca particule de un tip nou, iar această teorie a fost numită teoria găurii lui Dirac [41] . QFT include în mod natural antiparticule în formalismul său [42] .

Infinități și renormalizare

Robert Oppenheimer a arătat în 1934 că calculele perturbative în ordine superioare ale QED conduc întotdeauna la valori infinite, de exemplu pentru partea de energie proprie electronului și energia de vid zero pentru câmpurile de electroni și fotoni [43] . Aceasta a însemnat că metodele de calcul existente nu au putut gestiona în mod corespunzător interacțiunile care implică fotoni cu momente extrem de mari [44] . Problema a găsit o soluție 20 de ani mai târziu, când a fost dezvoltată o abordare sistematică pentru a elimina astfel de infinitate.

Între 1934 și 1938, Ernst Stückelberg a publicat o serie de lucrări care prezintă o formulare relativistic invariantă a QFT. În 1947, Stückelberg a dezvoltat, de asemenea, independent o procedură completă de renormalizare pentru a elimina divergențele. Aceste realizări nu au fost înțelese și recunoscute de comunitatea teoretică [45] .

În fața acestor infinitități, John Archibald Wheeler și Heisenberg au propus în 1937 și respectiv 1943 să înlocuiască problematica QFT cu așa-numita teorie a matricei S . Deoarece detaliile specifice ale interacțiunilor microscopice nu sunt disponibile pentru observație, o teorie ar trebui să încerce doar să descrie relația dintre un număr mic de observabile ( de exemplu , energia unui atom) într-o interacțiune, mai degrabă decât să se preocupe de detaliile microscopice. a interacțiunii. În 1945, Richard Feynman și Wheeler au sugerat cu îndrăzneală că QFT ar trebui abandonat complet și au propus acțiunea la distanță ca mecanism pentru interacțiunea particulelor [46] [47] .

În 1947, Willis Lamb și Robert Rutherford au măsurat diferența mică a nivelurilor de energie ale celor 2 S 1/2 și 2 P 1/2 atomi de hidrogen, numită și schimbarea Lamb . Neglijând contribuția fotonilor a căror energie depășește masa electronului, Hans Bethe a estimat cu succes valoarea numerică a acestei diferențe [45] [48] . Ulterior, Norman Kroll , Lamb, James French , și Victor Weiskopf au folosit o metodă diferită de derivare, în care infinititățile se anulează reciproc și se obține o valoare finită. Cu toate acestea, metoda folosită a fost greoaie și nesigură și nu a putut fi generalizată la alte calcule [49] [50] .

Descoperirea a venit în cele din urmă în jurul anului 1950, când Julian Schwinger , Richard Feynman , Freeman Dyson și Shinichiro Tomonaga au dezvoltat o metodă mai acceptabilă pentru eliminarea infiniturilor. Ideea sa principală este de a înlocui valorile calculate ale masei și sarcinii electronului, oricât de infinite ar fi acestea, cu valorile lor experimentale finale. Această procedură de calcul sistematică este cunoscută sub numele de renormalizare și poate fi aplicată la o ordine arbitrară în teoria perturbațiilor [51] . După cum a spus Tomonaga în prelegerea sa Nobel [52] :

Deoarece aceste părți ale masei și sarcinii modificate [devin infinite] datorită contribuțiilor câmpului, ele nu pot fi calculate prin teorie. Cu toate acestea, masa și sarcina observate în experimente nu sunt masa și sarcina originală, ci masa și sarcina modificate de contribuțiile câmpului și sunt finite. Pe de altă parte, masa și sarcina care apar în teorie sunt... valori modificate de contribuțiile câmpului. Întrucât acesta este cazul, și în special, deoarece teoria nu poate calcula masa și sarcina modificate, putem adopta procedura de înlocuire fenomenologică a valorilor lor experimentale... Această procedură se numește renormalizare de masă și sarcină... După calcule lungi și minuțioase, mai puțin pricepute decât ale lui Schwinger, am obținut un rezultat... care este în concordanță cu americanii.

Text original (engleză)[ arataascunde] Deoarece acele părți ale masei și sarcinii modificate datorate reacțiilor câmpului [devin infinite], este imposibil să le calculăm prin teorie. Cu toate acestea, masa și sarcina observate în experimente nu sunt masa și sarcina inițiale, ci masa și sarcina așa cum sunt modificate de reacțiile de câmp și sunt finite. Pe de altă parte, masa și sarcina care apar în teorie sunt... valorile modificate de reacțiile câmpului. Deoarece este așa, și mai ales că teoria nu este în măsură să calculeze masa și sarcina modificate, putem adopta procedura de înlocuire fenomenologică a valorilor experimentale cu ele... Această procedură se numește renormalizarea masei și sarcinii... După mult timp , calcule laborioase, mai puțin pricepute decât ale lui Schwinger, am obținut un rezultat... care a fost în acord cu [americanii].

Folosind proceduri de renormalizare, au fost efectuate în final calcule pentru a explica momentul magnetic anormal al electronului (abaterea factorului g electronului de la 2) și polarizarea în vid . Aceste rezultate au coincis în mare măsură cu măsurătorile experimentale, care au marcat sfârșitul „războiului pe infinit” [49] .

În același timp, Feynman a introdus formularea teoriei cuantice în termeni de integrale de cale și diagrame Feynman [53] . Acestea din urmă sunt utilizate pentru calcule vizuale în teoria perturbațiilor. Fiecare diagramă poate fi interpretată ca traseele particulelor și interacțiunile lor, iar fiecărui vârf și linie i se atribuie o expresie matematică , iar produsul acestor expresii dă amplitudinea de împrăștiere a procesului reprezentat de diagramă [54] .

Odată cu inventarea procedurii de renormalizare și a tehnicii diagramei Feynman, QFT a primit o bază teoretică completă [53] .

Nerenormalizare

Având în vedere succesul enorm al QED, mulți teoreticieni au crezut timp de câțiva ani după 1949 că QFT va fi în curând capabil să ofere o perspectivă asupra tuturor fenomenelor microscopice, nu doar a interacțiunilor dintre fotoni, electroni și pozitroni. Contrar acestui optimism, QFT a intrat într-o altă perioadă de depresie care a durat aproape două decenii [55] .

Primul obstacol a fost aplicabilitatea limitată a procedurii de renormalizare. În calculele perturbative în QED, toate mărimile infinite pot fi eliminate prin redefinirea unui număr mic (finit) de mărimi fizice (și anume, masa și sarcina electronului). Dyson a demonstrat în 1949 că acest lucru a fost posibil doar pentru o clasă mică de teorii numite „teorii renormalizabile” din care QED este un exemplu. Cu toate acestea, majoritatea teoriilor, inclusiv teoria interacțiunii slabe a lui Fermi , sunt „nerenormalizabile”. Orice calcul perturbativ în aceste teorii dincolo de primul ordin ar duce la infinitate care nu ar putea fi evitate prin redefinirea numărului finit de parametri fizici ai teoriei [55] .

A doua problemă serioasă apare din aplicabilitatea limitată a metodei diagramei Feynman, care se bazează pe expansiunea în serie în teoria perturbațiilor. Pentru ca seria să convergă și pentru ca aproximările bune să existe doar în aproximarea de ordin inferior, constanta de cuplare în care are loc expansiunea trebuie să fie un număr suficient de mic. Constanta de cuplare în QED este constanta de structură fină α ≈ 1/137 , care este suficient de mică pentru a lua în considerare doar cele mai simple diagrame Feynman de ordin inferioară în calcule realiste. În contrast, constanta puternică de cuplare a interacțiunii este aproximativ egală cu unitatea, ceea ce face ca diagramele Feynman complexe de ordin superior să fie la fel de importante ca și cele simple. Astfel, nu a fost posibil să se obțină predicții cantitative fiabile în probleme cu interacțiune puternică folosind metode QFT perturbative [56] .

Pe măsură ce au apărut aceste dificultăți, mulți teoreticieni au început să se îndepărteze de QFT. Unii s-au concentrat pe principiile simetriei și pe legile de conservare , alții au luat vechea teorie a matricei S Wheeler și Heisenberg. QFT a fost folosit din punct de vedere euristic ca principiu ghid, dar nu ca bază pentru calculele cantitative [56] .

Schwinger, totuși, a mers pe cealaltă direcție. Timp de mai bine de un deceniu, el și studenții săi au fost aproape singurii oameni de știință care au avansat constant teoria câmpului, dar în 1966 a găsit o cale de a ocoli problema infinitului cu o nouă metodă pe care a numit- o teoria sursei , care era o teorie fenomenologică și nu folosea câmpul. operatori [57] [58] . Dezvoltarea fizicii pionilor, în care noul punct de vedere a fost aplicat cu cel mai mare succes, l-a convins de avantajele enorme ale simplității matematice și ale clarității conceptuale pe care le oferă utilizarea lui [59] . Nu există discrepanțe și renormalizări în teoria surselor. Poate fi considerat un instrument de calcul al teoriei câmpurilor, dar este mai general [60] . Folosind teoria surselor, Schwinger a reușit să calculeze momentul magnetic anormal al electronului în 1947, dar de această dată fără „distrageri” despre cantități infinite [61] . Schwinger a aplicat, de asemenea, teoria surselor la teoria sa QFT a gravitației și a reușit să reproducă toate cele patru rezultate clasice ale lui Einstein: deplasarea gravitațională spre roșu [62] , devierea și încetinirea luminii prin gravitație [63] și precesia periheliului lui Mercur [64] ] . Neglijarea teoriei sursei de către comunitatea fizicii a fost o mare dezamăgire pentru Schwinger [59] :

Neînțelegerea acestor fapte de către alții a fost deprimantă, dar de înțeles.

Text original (engleză)[ arataascunde] Lipsa de apreciere a acestor fapte de către alții a fost deprimantă, dar de înțeles.

Model standard

În 1954, Yang Zhenning și Robert Mills au generalizat simetria locală a QED, conducând la teorii gauge non-abeliene (cunoscute și sub numele de teorii Yang-Mills) bazate pe grupuri de simetrie locale mai complexe [65] . În QED, particulele încărcate (electric) interacționează prin schimbul de fotoni, în timp ce în teoria gauge non-Abelian, particulele care poartă un nou tip de „ încărcare ” interacționează prin schimbul de bosoni gauge fără masă . Spre deosebire de fotoni, acești bosoni gauge înșiși poartă o sarcină [66] [67] .

Sheldon Glashow a dezvoltat o teorie a gabaritului non-Abelian care a unificat forțele electromagnetice și cele slabe în 1960. În 1964, Abdus Salam și John Clive Ward au ajuns la aceeași teorie într-un mod diferit. Cu toate acestea, această teorie nu a fost renormalizabilă [68] .

Peter Higgs , Robert Braut , François Englert , Gerald Guralnik , Carl Hagen și Tom Kibble în celebrele lor Physical Review Letters au sugerat că simetria gauge în teoriile Yang-Mills este întreruptă de un mecanism numit ruperea spontană a simetriei , datorită căruia bosonii gauge pot dobândi masă [69] .

Combinând teoria anterioară a lui Glashow, Salam și Ward cu ideea ruperii spontane a simetriei, Steven Weinberg a creat o teorie în 1967 care descrie interacțiunile electroslabe dintre toți leptonii și efectele bosonului Higgs . Teoria sa a fost inițial ignorată [68] [65] până când interesul pentru ea a fost reînviat în 1971 de către Gerard t'Hooft , care a dovedit renormalizarea teoriilor non-abeliene de gabarit. Teoria electroslabă a lui Weinberg și Salam a fost generalizată pentru a include quarcii în 1970 de către Glashow, John Iliopoulos și Luciano Maiani , marcând finalizarea acesteia [68] .

Harald Fritsch , Murray Gell-Mann și Heinrich Leutweiler au descoperit în 1971 că unele fenomene asociate cu forța puternică ar putea fi explicate și în termenii unei teorii gauge non-Abelian. Așa a apărut cromodinamica cuantică (QCD). În 1973, David Gross , Frank Wilczek și Hugh David Politzer au arătat că teoriile gauge non-abeliene sunt „ libere asimptotic ” atunci când, sub renormalizare, constanta de cuplare puternică scade odată cu creșterea energiei de interacțiune. Descoperiri similare au fost făcute de mai multe ori în trecut, dar au trecut neobservate [70] . Astfel, cel puțin la energii mari, constanta de cuplare în QCD devine suficient de mică pentru a garanta o extindere a seriei de perturbații, ceea ce duce la posibilitatea obținerii de estimări cantitative pentru interacțiunea puternică [66] .

Aceste descoperiri teoretice au condus la o renaștere a QFT. Teoria completă, inclusiv teoria interacțiunii electroslăbice și a cromodinamicii, se numește astăzi Modelul Standard al particulelor elementare [71] . Modelul standard descrie cu succes toate interacțiunile fundamentale, cu excepția gravitației , iar numeroasele sale predicții au primit o confirmare experimentală remarcabilă în următoarele decenii [72] . Existența bosonului Higgs , care este esențial pentru mecanismul de rupere spontană a simetriei, a fost în cele din urmă confirmată în 2012 prin experimente la CERN , însumând verificarea completă a tuturor componentelor Modelului Standard [73] .

Alte evoluții

În anii 1970, metodele non-perturbative au apărut în teoriile non-abeliene ale gabaritului. Monopolul 't Hooft-Polyakov a fost descoperit teoretic de 't Hooft şi Polyakov , tuburile de curgere Holger Beck Nielsen şi Paul Olesen şi instantoni de Polyakov et al. Studiul acestor obiecte nu este disponibil cu ajutorul teoriei perturbațiilor [74] .

În același timp a apărut și supersimetria . Primul QFT supersimetric în patru dimensiuni a fost construit de Yuri Golfand și Evgeny Likhtman în 1970, dar rezultatul lor nu a trezit un interes larg datorită Cortinei de Fier . Supersimetria s-a răspândit în comunitatea teoretică abia după lucrările lui Julius Wess și Bruno Zumino în 1973 [75] .

Dintre cele patru interacțiuni fundamentale, gravitația rămâne singura care nu are o descriere consecventă în cadrul QFT. Diverse încercări de a crea o teorie a gravitației cuantice au condus la dezvoltarea teoriei corzilor [76] , care ea însăși aparține tipului de QFT bidimensional cu simetrie conformă [77] . Joel Sherk și John Schwartz au propus pentru prima dată în 1974 că teoria corzilor ar putea fi o teorie cuantică a gravitației [78] .

Fizica materiei condensate

Deși teoria cuantică a câmpului a apărut ca urmare a studiului interacțiunilor dintre particulele elementare, adică este folosită pentru distanțe mult mai mici decât cele atomice, ea a fost aplicată cu succes altor sisteme fizice, în special sistemelor cu mai multe particule în materie condensată . fizica . Din punct de vedere istoric, mecanismul ruperii spontane a simetriei Higgs a fost rezultatul aplicării de către Yoichiro Nambu a teoriei supraconductoarelor la particulele elementare, în timp ce conceptul de renormalizare a apărut din studiile tranzițiilor de fază de ordinul doi în materie [79] .

La scurt timp după introducerea fotonilor, Einstein a efectuat procedura de cuantificare a vibrațiilor dintr-un cristal, ceea ce a dus la apariția primei cvasiparticule într-un solid, fononul . Lev Landau a susținut că excitațiile cu energie scăzută în multe sisteme de materie condensată pot fi descrise în termeni de interacțiuni între un set de cvasiparticule. Metoda schematică a lui Feynman a QFT a fost în mod natural bine potrivită pentru analiza diferitelor fenomene în sisteme de materie condensată [80] . Teoria gauge este folosită pentru a descrie cuantizarea fluxului magnetic în supraconductori, rezistivitatea în efectul Hall cuantic și relația dintre frecvență și tensiune în efectul Josephson non-staționar pentru curent alternativ [80] .

Formalismul clasic al teoriei câmpurilor

Formalismul lagrangian

Câmpul clasic este o funcție a coordonatelor spațiale și temporale [81] . Exemplele includ câmpul gravitațional g ( x , t ) în gravitația newtoniană , câmpul electric E ( x , t ) și câmpul magnetic B ( x , t ) în electrodinamica clasică . Câmpul clasic poate fi gândit ca o valoare numerică atribuită fiecărui punct din spațiu care se modifică în timp. Prin urmare, are infinit de grade de libertate [K 1] [81] .

În mecanica lagrangiană, funcția Lagrange L este o funcție a timpului și a variabilelor dinamice ale sistemului și este scrisă ca o sumă peste toate punctele materiale ale sistemului [82] . În cazul unui sistem continuu, precum câmpul, conceptul central al teoriei [83] , suma este înlocuită cu o integrală spațială a densității funcției Lagrange, densitatea lagrangiană . $\mathcal{L}$

L(t)=L(x^{0})=\int {\mathcal {L}}(x^{0},\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} \ ,,

unde componentele spațiale ale vectorului cu 4 coordonate sunt îngroșate, iar componenta zero este timpul. Prin urmare, în teoria câmpului, lagrangianul este de obicei numit densitate lagrangiană [84] [85] . Acțiunea prin definiție este integrala de timp a Lagrangianului [82] $S$

S=\int dtL(t)=\int dx^{0}d^{3}\mathbf {x} {\mathcal {L}}(x^{0},\mathbf {x} )= \int d^{4}x{\mathcal {L}}(x)\,,

adică acțiunea în teoria câmpului este o integrală cu patru dimensiuni a densității lagrangiane în spațiu-timp cu patru dimensiuni [82] .

Câmpul este descris printr-o funcție de câmp (acționează ca o variabilă dinamică), care poate fi un scalar real sau complex (pseudoscalar), vector, spinor sau altă funcție. În teoria câmpului, se presupune că Lagrangianul depinde numai de variabile dinamice - de funcția de câmp și derivatele sale, adică nu există o dependență explicită de coordonate (o dependență explicită de coordonate încalcă invarianța relativistă). Localitatea teoriei necesită ca Lagrangianul să conţină un număr finit de derivate şi să nu conţină, de exemplu, dependenţe integrale . Mai mult, pentru a obține ecuații diferențiale de cel mult ordinul doi (pentru a se conforma mecanicii clasice), se presupune că Lagrangianul depinde doar de funcția de câmp și de derivatele sale prima [86] $\psi(x)$

{\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}(\psi (x),\partial _{\nu }{\psi }(x))\,.

Principiul celei mai mici acțiuni (principiul lui Hamilton) înseamnă că schimbarea reală a stării sistemului are loc în așa fel încât acțiunea să fie staționară (variația acțiunii este zero). Acest principiu permite obținerea ecuațiilor de câmp ale mișcării - ecuațiile Euler-Lagrange [K 2] [84] [86] :

{\frac {\partial }{\partial x^{\nu ))}\left({\frac {\partial {\mathcal {L)}}{\partial (\partial _{\nu }\ psi )))\right)={\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial \psi ))\,.

Deoarece proprietățile fizice ale sistemului sunt determinate de acțiunea în care Lagrangianul este un integrand, atunci unui Lagrangian dat îi corespunde o singură acțiune, dar nu invers. Și anume, Lagrangienii care diferă unul de celălalt prin divergența totală a 4-urilor a unor 4-vectori sunt echivalente fizic [86] . ${\mathcal {L}}'(x)={\mathcal {L}}(x)+\partial _{{\nu }}f^{{\nu }}(x)$

Sistemul de câmp Lagrangian

Lagrangianul unui sistem de câmpuri (libere) care nu interacționează este pur și simplu suma lagrangianilor câmpurilor individuale. Ecuațiile de mișcare pentru un sistem de câmpuri libere sunt un set de ecuații de mișcare pentru câmpuri individuale. Interacțiunea câmpurilor este luată în considerare în Lagrangian prin adăugarea de termeni neliniari suplimentari. Astfel, Lagrangianul total al sistemului de câmpuri care interacționează este suma Lagrangianului liber și a interacțiunii Lagrangianului [87] : ${\mathcal {L}}_{0}$ ${\mathcal {L_{I))}$

{\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L_{I}}}\,.

Introducerea interacțiunii lagrangiane duce la neomogenitatea și neliniaritatea ecuațiilor de mișcare. Interacțiunile lagrangiene sunt de obicei funcții polinomiale ale câmpurilor participante (de gradul cel puțin trei) înmulțite cu o constantă numerică - așa-numita constantă de cuplare . Interacțiunea Lagrangiană poate fi proporțională cu a treia sau a patra putere a funcției de câmp în sine, produsul diferitelor funcții de câmp [88] .

Formalismul hamiltonian

De la formalismul lagrangian se poate trece la cel hamiltonian prin analogie cu mecanica lagrangiană și hamiltoniană. Funcția câmp aici acționează ca o coordonată generalizată (canonică) . În consecință, este, de asemenea, necesar să se determine densitatea de impuls generalizată (canonică) conjugată la această coordonată conform formulei standard [89] [90] [85] : $\psi (t,\mathbf {x} )$

\pi (t,\mathbf {x} )={\frac ({\partial }{\mathcal {L)}(\psi ,\partial _{\nu }{\psi })}{{\ parțial }{\dot {\psi }}(t,\mathbf {x} )}}\,.

Atunci densitatea câmpului hamiltonian este prin definiție [89]

{\mathcal {H}}=\pi {\dot {\psi }}-{\mathcal {L}}\,.

Ecuațiile de mișcare din abordarea hamiltoniană au forma [91] :

{\dot {\psi }}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \pi }}, {\dot {\pi }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \psi }}\,.

Dinamica oricăror mărimi din cadrul formalismului hamiltonian respectă următoarea ecuație: $F(\psi ,\pi )$

{\dot {F}}=\{F,{\mathcal {H}}\}\,,

unde parantezele denotă paranteza Poisson [91] . În acest caz, următoarele sunt valabile pentru funcții și pentru ele însele [90] [92] : $\psi$ $\pi$

\{\psi (\mathbf {x},t),\pi (\mathbf {y},t)\}=1,\{\psi (\mathbf {x},t),\psi ( \mathbf {y} ,t)\}=\{\pi (\mathbf {x} ,t),\pi (\mathbf {y} ,t)\}=0\,.

Relațiile care implică paranteze Poisson sunt de obicei baza pentru cuantificarea câmpului, când funcțiile de câmp sunt înlocuite cu operatorii corespunzători, iar parantezele Poisson sunt înlocuite cu un comutator de operatori [93] .

Simetrii în teoria câmpului cuantic

Definiție și tipuri de simetrii

Simetriile în teoria cuantică a câmpurilor sunt transformări ale coordonatelor și (sau) funcțiilor de câmp, în raport cu care ecuațiile de mișcare sunt invariante și, prin urmare, acțiunea este invariabilă. Transformările în sine formează un grup [94] . Simetriile sunt numite globale dacă transformările corespunzătoare nu depind de 4-coordonate [95] . Altfel se vorbește de simetrii locale [96] [97] . Simetriile pot fi discrete sau continue [98] . În acest din urmă caz, grupul de transformări este continuu ( topologic ), adică topologia este dată în grup, față de care operațiile de grup sunt continue [99] . În teoria cuantică a câmpurilor, totuși, se folosește de obicei o clasă mai restrânsă de grupuri - grupuri Lie , în care este introdusă nu numai topologia, ci și structura unei varietăți diferențiabile. Elementele unor astfel de grupuri pot fi reprezentate ca funcții diferențiabile (holomorfe sau analitice) ale unui număr finit de parametri. Grupurile de transformare sunt de obicei considerate într-o anumită reprezentare - elementele grupurilor corespund funcțiilor operator (matrice) ale parametrilor [100] .

Simetrii discrete. Teorema CPT

Cele mai importante sunt următoarele tipuri de transformare [101] :

C - conjugarea sarcinii - înlocuirea funcțiilor de câmp cu cele conjugate.
P - paritate - schimbarea semnelor componentelor spațiale spre opus.
T - inversarea timpului - schimbarea semnului componentei timp.

S-a demonstrat că -simetria are loc în teoria câmpului cuantic local , adică invarianța față de aplicarea simultană a acestor trei transformări [102] . $CPT$

Simetrii continue. Teorema lui Noether

Conform teoremei lui Noether, invarianța acțiunii funcționale față de grupul -parametric de transformări conduce la invarianți de câmp dinamic, adică la legi de conservare. Și anume, lăsați transformarea coordonatelor să fie efectuată folosind funcțiile , iar funcția de câmp - folosind funcția , unde este setul de parametri. Să notăm valoarea derivatei funcției în raport cu al- lea parametru la valoarea zero a parametrilor și prin valorile derivatelor funcțiilor în raport cu al- lea parametru la valoarea zero a parametrilor . Aceste mărimi sunt în esență generatoare ale grupurilor corespunzătoare de transformări [103] . $s$ $s$ $F^{{\mu }}(x,\omega )$ $U(x,\omega )$ ${\omega}$ $s$ $Regatul Unit}$ $U$ $k$ $f_{k}^{{\mu }}$ $F^{{\mu }}(x,\omega )$ $k$

Apoi curenții Noether definiți ca [104]

J_{k}^{{\mu }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{{\mu }}\psi )))(\partial _{{ \nu }}\psi f_{k}^{{\nu }}-u_{k})-f_{k}^{{\mu }}{\mathcal {L}}

au proprietatea . Mărimile conservate în timp („sarcini noetheriene”) sunt integrale spațiale peste componenta zero a curenților [105] $\partial _{{\mu }}J_{k}^{{\mu }}=0$

C_{k}=\int J_{k}^{0}d^{3}x\,.

Simetria fundamentală inerentă tuturor teoriilor de câmp cuantice este invarianța relativistă — invarianța față de grupul neomogen Lorentz (grupul Poincaré ), adică în raport cu translațiile spațiu-timp și rotațiile Lorentz [106] . O altă simetrie globală pentru câmpuri complexe este simetria globală gauge - simetria față de un grup cu un singur parametru - grupul înmulțirilor cu . Este legat de cerința ca mărimile fizice lagrangiene și observabile să fie reale, ceea ce duce la dependența de câmpuri complexe numai prin forme pătratice, care sunt produse ale funcțiilor conjugate reciproc complexe și ale derivatelor lor. Prin urmare, înmulțirea cu un factor de fază unitar nu duce la nicio modificare [107] . $U(1)$ $e^{{i\alpha}}$ $e^{{i\alpha}}$

Tabelul de mai jos prezintă expresii generale pentru curenții și sarcinile noetheriene pentru principalele simetrii globale și legile de conservare corespunzătoare.

Simetrie	Curenții de nu	Taxele Noether și legile de conservare
Traduceri spațio-temporale [108] [109]	Tensor energie-impuls: . În special , Hamiltonianul (densitatea) câmpului. $T_{\nu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L)}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )))\partial _{\nu }\psi -{\delta }_{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}$ ${\mathcal {H}}=T_{0}^{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{0}\psi )))\ parțial _{0}\psi -{\mathcal {L}}$	Legea conservării 4-momentului: în special energia (Hamiltonian) $P^{\nu }=\int T^{0\nu }d^{3}x$ $H=P^{{0}}$
Rotații Lorentz [110] [111]	Tensorul de impuls (total) , unde este tensorul de impuls orbital , este tensorul de impuls de spin (spin), unde sunt parametrii de transformare ai funcțiilor câmpului sub rotațiile Lorentz. Pentru câmpuri scalare $M^{{\tau (\rho \sigma )}}=M_{0}^{{\tau (\rho \sigma )))+S^{{\tau (\rho \sigma )))$ $M_{0}^{{\tau (\rho \sigma )}}=x^{{\sigma }}T^({\rho \tau }}-x^{{\rho }}T^{{\ sigma\tau}}$ $S^{{\tau (\rho \sigma )}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{{\tau }}\psi _{i}) }}A_{i}^{{j(\rho \sigma )}}\psi _{j}$ $A_{i}^{{j(\rho \sigma )}}$ $S^{{\tau (\rho \sigma )}}=0$	Legea conservării momentului total - integrala spațială a $M^{{\rho \sigma }}=M_{0}^{{\rho \sigma }}+S^{{\rho \sigma }}$ $M^{{0(\rho \sigma )}}$
Simetria ecartamentului global [112] $U(1)$	4-vector al curentului încărcat: . Pentru câmpurile reale, acestea sunt egale cu zero. $J^{\mu}=i\left({\frac {\partial {\mathcal {L)}}{\partial (\partial _{\mu }\psi ^{))))\ psi ^{}-{\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial (\partial _{\mu }\psi )))\psi \right)$	Legea conservării sarcinii ( sarcină electrică , sarcină barionică , ciudățenie , farmec etc.): [113] . Pentru câmpurile reale este egal cu zero. $Q=\int J^{0}d^{3}\mathbf {x}$

Principalele caracteristici ale câmpurilor de bază

Tabelul de mai jos prezintă descrierea și principalele caracteristici ale celor mai simple câmpuri care sunt de bază în construcția teoriilor reale ale câmpurilor cuantice - câmpuri scalare, vectoriale și spinoare.

Caracteristică	Câmp scalar[114]	câmp vectorial[115]	câmp spinor[116]
Funcția de câmp	$\phi (x)=\phi _{1}(x)+i\phi _{2}(x)$ este în general o funcție complexă. este o funcție conjugată complexă. Dacă (adică ), atunci avem un câmp scalar real (redenumindu-l simplu ca ) $\phi ^{}(x)$ $\phi ^{}(x)=\phi (x)$ $\phi _{2}(x)=0$ $\phi _{1}(x)$ $\phi(x)$	$A^{{\mu }}(x)$ este o funcție vectorială (4-vector), în cazul general cu componente complexe (câmp vectorial încărcat). Câmpul vectorial real (neutru) se obține din condiția de egalitate (câmpul complex este apoi egalat cu cel real împărțit la ) $A_{{\mu }}^{*}=A_{{\mu }}$ ${\sqrt {2}}$	$\psi(x)$ — coloană cu funcție cu patru componente (bispinor), — rând cu funcție cu patru componente conjugate Dirac, — Matrice Dirac ${\bar {\psi }}=\psi ^{*}\gamma ^{0}$ $\gamma ^{{\mu ))$
Natura particulelor descrise	O particulă cu spin 0. Pentru un câmp real este neutră, pentru unul complex este încărcată.	Particule cu spin 1 (proiecții ), încărcate sau neutre $0,\pm1$	Particule încărcate cu spin 1/2 ( ) $\pm 1/2$
lagrangiană $({\mathcal {L}})$	$\partial _{{\mu }}\phi ^{}\partial ^{{\mu }}\phi -m^{2}\phi ^{}\phi ={\mathcal {L}}(\ phi _{1})+{\mathcal {L}}(\phi _{2})$ , unde este Lagrangianul pentru câmpul real ${\mathcal {L)}(\phi )=\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{2)$ $\phi$	$-{\frac {1}{2}}F_{{\mu \nu }}^{}F^({\mu \nu }}+m^{2}A_{{\mu }}^{ }A^{{\mu ))$ , Unde $F_{{\mu \nu }}=\partial _{{\mu }}A_{{\nu }}-\partial _{{\nu }}A_{{\mu }}$ Pentru un domeniu real $-{\frac {1}{4}}F_({\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}+{\frac {1}{2}}m^{2}A_{{\ mu }}A^{{\mu }}$	${\bar {\psi }}(i\gamma ^{{\mu }}\partial _({\mu }}-m)\psi$
Ecuațiile de mișcare Euler-Lagrange	$(\partial _{\mu}\partial ^{\mu}-m^{2})\phi =0$ ( ecuația Klein-Gordon este valabilă și pentru funcția conjugată)	$-(\partial _{{\nu }}\partial ^{{\nu }}+m^{2})A^{{\mu }}+\partial ^{{\mu }}\partial _{{ \nu }}A^{{\nu }}=0$ ( ecuația lui Proca ) Diferențierea cu respect duce (dacă ) la $x^{{\mu ))$ $m\neq 0$ $\partial _{\nu }A^{\nu }=0\,.$ Cu această condiție (Lorentz) $(\partial _{{\nu }}\partial ^{{\nu }}+m^{2})A^{{\mu }}=0$	$(i\gamma ^{{\mu }}\partial _{{\mu }}-m)\psi =0$ este ecuația lui Dirac
Tensorul energiei-impuls Hamiltonian 4-impulsului $(T^{\mu \nu })\,,$ $({\mathcal {H}}=T^{00})\,,$ $(P^{{\nu )))$	$\partial ^{\mu }\phi ^{}\partial ^{\nu }\phi +\partial ^{\nu }\phi ^{}\partial ^{\mu }\phi -g ^{\mu \nu }{\mathcal {L}}$ , unde pentru un domeniu real — ${\mathcal {H}}=\pi ^{}\pi +\nabla \phi ^{}\nabla \phi +m^{2}\phi ^{*}\phi \,,$ $\pi ={\dot {\phi }}\,,$ ${\mathcal {H}}=\pi ^{2}+(\nabla \phi )^{2}+m^{2}\phi ^{2}$	$F_{}^{{\mu \sigma }}\partial ^{{\nu }}A_{{\sigma }}+\partial ^{{\nu }}A_{{\sigma }}^{} F^{{\mu \sigma }}-g^{{\mu \nu }}{\mathcal {L}}$	${\frac {1}{2}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial ^{\nu }\psi -\partial ^{\nu }{\bar { \psi }}\gamma ^{\mu }\psi )\,,$ ${\mathcal {H}}={\frac {i}{2}}(\psi ^{}{\dot {\psi }}-{\dot {\psi }}^{}\psi )$
4-curent vector și încărcare $(J^{{\mu )))$ $(Q)$	$J^{\mu }=i(\phi ^{}\partial ^{\mu }\phi -(\partial ^{\mu }\phi ^{})\phi )$ , pentru un câmp real sunt egale cu zero [117] $Q=\int d^{3}{\mathbf {x}}(\phi ^{}{\dot {\phi }}-\phi {\dot {\phi }}^{})$	$i(A_{{\nu }}^{}F^{{\mu \nu }}-F_{}^{{\mu \nu }}A_{{\nu }})$	$J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,,$ $Q=\int d^{3}{\mathbf {x}}(\psi ^{*}\psi )$
Tensorul de rotire $(S^{{\tau (\mu \nu ))))$	0	$A_{}^{{\mu }}F^{{\nu \tau }}-F_{}^{{\mu \tau }}A^{{\nu }}+F_{}^{ {\nu \tau }}A^{{\mu }}-A_{}^{{\nu }}F^{{\mu \tau }}$	${\frac {1}{4}}{\bar {\psi }}(\gamma ^{\tau }\sigma ^{\mu \nu }+\sigma ^{\mu \nu }\gamma ^{\tau })\psi \,,$ Unde $\sigma ^{{\mu \nu }}={\frac {1}{2i}}[\gamma ^{{\mu }},\gamma ^{{\nu }}]$

Simetrii locale și câmpuri de gabarit

Transformările locale pot fi definite ca înmulțirea unei funcții de câmp cu o funcție în funcție de 4 coordonate. De exemplu, transformările locale ale unui grup sunt o transformare de fază care depinde de un anumit punct spațiu-timp, adică înmulțirea cu . După cum sa menționat mai sus, toate câmpurile complexe sunt simetrice în raport cu transformările globale analoge [118] . Cu toate acestea, ele nu sunt adesea invariante în cadrul transformărilor locale. În special, câmpurile scalare și spinoare descrise mai sus nu sunt invariante în cadrul transformărilor locale de gabarit. Motivul pentru aceasta este neinvarianța sub o astfel de transformare a derivatei obișnuite. Dacă introducem un câmp suplimentar și înlocuim derivata din Lagrangian cu așa-numita derivată gauge-covariantă $U(1)$ $e^{{i\alpha(x)}}$ $A_{{\mu }}$

D_{\mu }=\partial _{\mu }-ieA_{\mu},

atunci Lagrangianul rezultat va fi invariant sub transformări locale de gauge [119] . Cu toate acestea, Lagrangianul obținut în acest fel va conține în esență interacțiunea a două câmpuri - originalul și ecartamentul . Ca regulă generală, în acest caz este necesar să se introducă în lagrangianul general un termen responsabil pentru lagrangianul câmpului liber. Acest Lagrangian trebuie, de asemenea, să fie invariant de gabarit și este ales ca Lagrangian al unui câmp vectorial liber fără masă . Ca rezultat, de exemplu, pentru câmpul spinor obținem Lagrangianul electrodinamicii cuantice (QED) [120] : $A_{{\mu }}$ $-{\frac {1}{4}}F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}$

{\mathcal {L}}_{QED}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{ 4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi +e {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },

adică acest Lagrangian include Lagrangianul câmpului spinor liber Dirac, câmpul gauge (electromagnetic) și Lagrangianul interacțiunii acestor câmpuri. Dacă următoarea transformare a câmpului este efectuată la fiecare punct spațiu-timp x (transformare locală), atunci Lagrangianul QED rămâne neschimbat sau invariant:

\psi (x)\to e^{i\alpha (x)}\psi (x),\quad A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+ie^{ -1}e^{-i\alpha (x)}\partial _{\mu }e^{i\alpha (x)},

unde α ( x ) este orice funcție a coordonatelor spațiu-timp. Dacă Lagrangianul unei teorii (sau, mai precis, acțiunea ) este invariant sub o transformare locală, atunci această transformare se numește simetria gauge a teoriei [121] . Simetriile gauge formează un grup în fiecare punct din spațiu-timp. În cazul QED, aplicarea succesivă a două transformări diferite de simetrie locală este o altă transformare de simetrie . Pentru orice α ( x ) , este un element al grupului U(1) , deci QED se spune că are simetrie gauge U(1) [122] . Câmpurile de fotoni A μ pot fi denumite bosonul U(1) - gauge . $e^{{i\alpha(x)}}$ $e^{i\alpha '(x))$ $e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ $e^{{i\alpha(x)}}$

În mod similar, se poate scrie Lagrangianul invariant de gauge al unui câmp scalar complex, Lagrangianul unui QED scalar [123]

{\mathcal {L}}_{SQED}=(D_{\mu }\phi )^{*}D^{\mu }\phi -{\frac {1}{4}}F_{\ mu \nu }F^{\mu \nu }\,.

Astfel, cerința invarianței locale de gabarit a Lagrangianului în raport cu transformarea de fază (grup ) duce la apariția unui câmp gauge, în acest caz, un câmp electromagnetic, cu care interacționează câmpul „principal”. $U(1)$

U(1) este un grup abelian . QFT poate fi construit pentru grupuri non-Abeliene , care sunt numite teorii non-Abeliene gauge [124] . Cromodinamica cuantică este o teorie gauge non-abeliană cu grupa de simetrie SU(3) . Descrie câmpurile Dirac ψ i , i = 1,2,3 , care reprezintă câmpuri de quarci și câmpuri vectoriale A a,μ , a = 1,...,8 , câmpuri de gluoni , care sunt bosoni de gauge SU(3) [125 ] . Lagrangianul QCD are forma [126] [127] :

{\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}^{i}\gamma ^{\mu }(D_{\mu })^{ij}\psi ^{j}-{ \frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\mu \nu }-m{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{i} ,

unde D μ este derivata covariantă gauge :

D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}t^{a},

unde g este constanta de cuplare, t a sunt cei opt generatori ai grupului SU(3) în reprezentarea fundamentală ( matrice 3×3 ),

F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf ^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},

f abc sunt constante de structură SU(3) . Peste indicii repetați i , j , are loc o însumare implicită conform notației lui Einstein. Acest Lagrangian este invariant sub transformarea:

\psi ^{i}(x)\to U^{ij}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu }^{a}(x)t^{a }\la U(x)\left[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial _{\mu }\right]U^{\dagger } (X)\,,

unde U ( x ) este un element al SU(3) în fiecare punct spațiu-timp x :

U(x)=e^{i\alpha (x)^{a}t^{a}}\,.

Această abordare poate fi generalizată în cazul altor grupuri de simetrie locală [120] . În cazul general, acest lucru duce la apariția așa-numitelor câmpuri de măsurare Yang-Mills . Derivata covariantă în acest caz are forma [127] :

D_{\mu }=I\partial _{\mu }-igT^{a}A_{\mu }^{a},

unde sunt generatoarele de transformare ale grupului corespunzător (în cazul lui U(1) a existat un generator egal cu unul). $T^a$

Discuția anterioară despre simetrii are loc în limbajul lagrangianului. Cu alte cuvinte, acestea sunt simetrii „clasice”. Odată cuantizate, unele teorii nu își vor mai prezenta simetria clasică, fenomen numit anomalie De exemplu, în formularea integralei de cale, în ciuda invarianței densității Lagrangianului , în cazul unei transformări locale a câmpurilor, măsura integralei de cale se poate modifica [128] . Pentru ca o teorie care descrie natura să fie consecventă, ea nu trebuie să conțină anomalii în simetria gabaritului. Modelul standard al particulelor elementare este o teorie gauge bazată pe grupul SU(3) × SU(2) × U(1) în care toate anomaliile se anulează exact [129] . ${\mathcal {L}}[\phi ,\partial _{\mu }\phi ]$ $\int {\mathcal {D}}\phi$

Fundamentul teoretic al relativității generale , principiul echivalenței , poate fi înțeles și ca o formă de simetrie gauge, transformând relativitatea generală într-o teorie gauge bazată pe grupul Lorentz [130] .

Teorema lui Noether afirmă că fiecare simetrie continuă, adică un parametru într-o transformare de simetrie care este mai degrabă continuă decât discretă, conduce la o lege de conservare corespunzătoare [131] [132] }. De exemplu, simetria U(1) QED înseamnă conservarea sarcinii [133] .

Transformările gauge nu leagă stările cuantice individuale. Mai degrabă, ele leagă două descrieri matematice echivalente ale aceleiași stări cuantice. De exemplu, câmpul unui foton A μ , fiind cu patru vectori , are patru grade aparente de libertate, dar starea reală a unui foton este descrisă de cele două grade de libertate ale sale, corespunzătoare polarizării . Cele două grade de libertate rămase sunt numite „redundante”, iar moduri diferite de a scrie A μ pot fi legate între ele printr-o transformare gauge și, de fapt, ele descriu aceeași stare a câmpului fotonic. În acest sens, invarianța gauge nu este o simetrie „reală”, ci o reflectare a „redundanței” descrierii matematice alese [134] .

Pentru a ține cont de redundanța ecartamentului în formularea integralei traseului, este necesar să se efectueze așa-numita procedură de fixare a ecartamentului Faddeev-Popov . În teoriile gauge non-abeliene, o astfel de procedură duce la apariția unor noi câmpuri numite „fantome”. Particulele corespunzătoare câmpurilor spiritelor se numesc particule de spirit, care nu pot fi detectate din exterior [135] . O generalizare mai riguroasă a procedurii Faddeev-Popov este dată de procedura de cuantizare BRST [136] .

Ruperea spontană a simetriei

Ruperea spontană a simetriei este un mecanism în care simetria lagrangianului sistemului pe care îl descrie este ruptă [137] .

Pentru a ilustra mecanismul, luăm în considerare un model sigma liniar care conține N câmpuri scalare reale (indicele i corespunde numărului câmpului ) descris de densitatea lagrangiană a formei [138] :

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi ^{i}\right)\left(\partial ^{\mu } \phi ^{i}\right)+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{i}\phi ^{i}-{\frac {\lambda }{4}} \left(\phi ^{i}\phi ^{i}\right)^{2}\,,

unde μ și λ sunt parametri reali. Teoria admite o simetrie globală O( N ) [138] :

\phi ^{i}\to R^{ij}\phi ^{j},\quad R\in \mathrm {O} (N)\,.

Starea cu cea mai mică energie (starea fundamentală sau starea de vid) a teoriei clasice este reprezentată de orice câmp omogen ϕ 0 care satisface condiția

\phi _{0}^{i}\phi _{0}^{i}={\frac {\mu ^{2)}{\lambda )).

Fără pierderea generalității, să fie starea fundamentală în direcția a N -a [138] :

\phi _{0}^{i}=\left(0,\cdots ,0,{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\right).

N câmpurile originale pot fi rescrise ca:

\phi ^{i}(x)=\left(\pi ^{1}(x),\cdots ,\pi ^{N-1}(x), {\frac {\mu }{\ sqrt {\lambda ))}+\sigma (x)\dreapta)\,

iar densitatea originală a Lagrangianului este scrisă ca

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\pi ^{k})(\partial ^{\mu }\pi ^{k} )+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\sigma )(\partial ^{\mu }\sigma )-{\frac {1}{2}}(2\mu ^ {2})\sigma ^{2}-{\sqrt {\lambda }}\mu \sigma ^{3}-{\sqrt {\lambda }}\mu \pi ^{k}\pi ^{k} \sigma -{\frac {\lambda }{2}}\pi ^{k}\pi ^{k}\sigma ^{2}-{\frac {\lambda }{4}}(\pi ^{k }\pi ^{k})^{2},

unde k = 1,..., N -1 k = 1,..., N -1 k = 1,..., N -1 . Originalul O( N ) nu mai apare și rămâne doar subgrupul O( N -1) . Simetria mare înainte de ruperea spontană a simetriei se numește „ascunsă” sau spartă spontan [139] .

Teorema Goldstone afirmă că, în ruperea spontană a simetriei, fiecare simetrie globală continuă întreruptă are ca rezultat un câmp fără masă numit bosonul Goldstone. În exemplul de mai sus, O( N ) are N ( N -1)/2 simetrii continue (egale cu dimensiunea algebrei sale Lie ), iar O( N -1) are ( N -1)( N -2)/ 2 . Numărul de simetrii rupte este diferența N -1 a acestor valori , care corespunde și la N -1 câmpuri fără masă π k [139] .

Pe de altă parte, atunci când simetria gauge (spre deosebire de cea globală) este spartă spontan, bosonul Goldstone rezultat este „mâncat” de bosonul gauge corespunzător, devenind un grad suplimentar de libertate pentru bosonul gauge [140] . Teorema de echivalență a bosonului Goldstone afirmă că la energie mare, amplitudinea de emisie sau absorbție a unui boson gauge masiv polarizat longitudinal devine egală cu amplitudinea de emisie sau absorbție a bosonului Goldstone care a fost consumat de bosonul gauge [141] .

În QFT al feromagnetismului , ruperea spontană a simetriei poate explica alinierea dipolilor magnetici la temperaturi scăzute [142] [143] . În modelul standard al particulelor elementare, bosonii W și Z , care altfel ar fi fără masă ca urmare a simetriei gauge, câștigă masă prin ruperea spontană a simetriei din cauza bosonului Higgs . Acest proces se numește mecanism Higgs [144] .

Reprezentarea impulsului

Pentru a rezolva ecuațiile de mișcare, se poate trece la așa-numita reprezentare a impulsului folosind transformata Fourier [145] :

\psi (x)={\frac {1}{(2\pi )^{2))}\int d^{4}pf(p)e^{ipx}\,,

ținând cont de proprietățile imaginii Fourier , în special, imaginea Fourier a derivatelor este egală cu . $f(p)$ $\partial _{{\mu }}\psi (x)$ $ip_{{\mu }}f(p)$

Găsirea unei soluții la ecuațiile de mișcare poate fi arătată prin exemplul ecuației Klein-Gordon [145] .

Rezolvarea ecuației și reprezentării impulsului câmpului Klein-Gordon

Trecând la reprezentarea momentului, ecuația Klein-Gordon pentru transformata Fourier a funcției de câmp va avea forma [145] :

(p^{2}-m^{2})f(p)=0\,.

Prin urmare, (un multiplicator pentru comoditate), unde este o funcție arbitrară definită pe suprafața masei sau, evidențiind componenta de timp (partea spațială a vectorului cu 4 momente este evidențiată cu caractere aldine, adică impulsul obișnuit). Atunci reprezentarea impulsului are forma [146] : $f(p)={\sqrt {2\pi }}\delta (p^{2}-m^{2}){\tilde {f}}(p)$ ${\sqrt {2\pi ))$ ${\tilde {f}}(p)$ $p$ $p^{2}-m^{2}=0$ $p_{0}=\pm {\sqrt {{\mathbf {p}}^{2}+m^{2}}}$

\phi (x)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2)}}\int d^{4}p\delta (p^{2}-m^{2 })e^{ipx}{\tilde {f}}(p)\,.

Prezența funcției delta sub semnul integral înseamnă că, în esență, integrarea se efectuează nu pe întreg spațiul de impuls 4-dimensional, ci numai pe două câmpuri ale hiperboloidului tridimensional definit de ecuația învelișului de masă. Cele două semne din fața rădăcinii pătrate determină două soluții independente, cu ajutorul cărora funcția de câmp este împărțită în două componente (fiecare separat este relativ invariantă) [146]

\phi (x)=\phi ^{+}(x)+\phi ^{-}(x)\,.

Atunci reprezentarea momentului a două soluții independente are forma [146]

\phi ^{\pm }(x)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2))}\int d^{4}p\delta (p^{2} -m^{2}){\tilde {f}}^{\pm }(p)e^{\pm ipx}\,.

Integrând pe componenta timp , se obține [147] $p_{0}$

\phi ^{\pm }(x)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {2p_{0}}}}e^{\pm ipx}a^{\pm }(\mathbf {p} )\,,

, Unde

a^{\pm }={\tilde {f}}^{\pm }/{\sqrt {2p_{0}}}\,.

Folosind reprezentarea impulsului funcțiilor câmpului, se pot obține și caracteristicile rămase ale câmpului în reprezentarea impulsului. Să arătăm acest lucru prin exemplul unui 4-impuls pentru același câmp scalar Klein-Gordon real [147] .

Derivarea reprezentării impulsului pentru câmpul Klein-Gordon cu 4 momente

Pentru a obține o reprezentare de impuls a caracteristicilor câmpului, trebuie să exprimați aceste caracteristici de câmp în termeni de funcții și apoi să folosiți reprezentările de impuls ale acestor din urmă funcții. De exemplu, câmpul Hamiltonian este [147] $\phi ^{\pm }(x)\,,$

H=\int d^{3}\mathbf {x} {\mathcal {H}}=1/2\int d^{3}\mathbf {x} [(\partial _{\nu }\ phi (x))^{2}+m^{2}\phi ^{2}(x)]\,.

Dacă înlocuim aici descompunerea funcției de câmp în doi termeni, atunci obținem între paranteze drepte diferiți produși perechi ai funcțiilor de câmp de frecvență pozitiv și negativ și derivatele lor. Cu toate acestea, se poate demonstra că produsele cu același semn contribuie efectiv cu zero. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați reprezentarea momentului și faptul că produsul a două integrale este o integrală dublă peste toate combinațiile posibile de argumente [148] :

\int d^{3}\mathbf {x} [(\partial _{\nu }\phi ^{\pm }(x))^{2}+m^{2}(\phi ^{ \pm }(x))^{2}]={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\iint {\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{ 3}\mathbf {p'} }{2{\sqrt {p_{0}p'_{0))))}a^{\pm }(\mathbf {p} )a^{\pm }(\ mathbf {p'} )e^{\pm i(p_{0}+p'_{0})x_{0}}(m^{2}-p_{\nu }p'_{\nu }) \int d^{3}\mathbf {x} e^{\mp i(\mathbf {p} +\mathbf {p'} )}\,.

Se știe că ultima integrală din această expresie este egală cu funcția delta , prin urmare, întreaga expresie poate fi diferită de zero numai dacă această funcție delta nu este egală cu zero, ceea ce este posibil numai cu condiția (de unde urmează și ). Dar în acest caz, expresia dintre paranteze este , care este zero. Prin urmare, întreaga expresie originală este, de asemenea, egală cu zero. Astfel, integrala originală pentru Hamiltonian trebuie exprimată numai în termeni de produse ale funcțiilor cu semne diferite. Aplicând o abordare similară, obținem că [148] $\delta ({\mathbf {p}}+{\mathbf {p'}})$ ${\mathbf {p'}}=-{\mathbf {p}}$ $p_{0}=p'_{0}$ $m^{2}-p_{{\nu }}p'_{{\nu }}=m^{2}-(p_{0}^{2}+{\mathbf {p}}_{n} {\mathbf {p'}}_{n})=m^{2}-p_{0}^{2}+{\mathbf {p}}^{2}$

\int d^{3}\mathbf {x} [\partial _{\nu }\phi ^{+}(x)\partial _{\nu }\phi ^{-}(x)+m ^{2}\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(x)]={\frac {1}{(2\pi )^{3))}\iint {\frac {d^ {3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {p'} }{2{\sqrt {p_{0}p'_{0))))}a^{+}(\mathbf {p } )a^{-}(\mathbf {p'} )e^{i(p_{0}-p'_{0})x_{0}}(m^{2}+p_{\nu }p '_{\nu })\int d^{3}\mathbf {x} e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p'} )}\,.

Într-un astfel de caz, ultima integrală oferă o funcție delta , prin urmare, trebuie să existe o egalitate pentru a oferi o contribuție diferită de zero la integrală. Apoi . De aici ajungem în sfârșit $\delta ({\mathbf {p}}-{\mathbf {p'}})$ ${\mathbf {p}}={\mathbf {p'}}$ $m^{2}+p_{{\nu }}p'_{{\nu }}=m^{2}+p_{0}^{2}+{\mathbf {p}}^{2}= 2p_{0}^{2}$

\int d^{3}\mathbf {x} [\partial _{\nu }\phi ^{+}(x)\partial _{\nu }\phi ^{-}(x)+m ^{2}\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(x)]={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}\ mathbf {p} p_{0}a^{+}(\mathbf {p} )a^{-}(\mathbf {p} )\,.

Similar cu Hamiltonianul, se poate obține o expresie similară pentru alte componente ale vectorului cu 4 momente. Ca rezultat, obținem expresia generală pentru 4-momentum:

P^{\mu }={\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {p} p^{\mu }(a^{+}(\mathbf {p} )a^{-}(\mathbf {p} )+a^{-}(\mathbf {p} )a^{+}(\mathbf {p} ))=\int d^{3}\mathbf { p} p^{\mu }a^{+}(\mathbf {p} )a(\mathbf {p} )\,.

Prima expresie se dovedeste a fi necesara in cuantizare, cand ordinea inmultirii joaca un rol datorita necomutativitatii operatorilor in cazul general.

Caracteristică	Câmp scalar[149]	câmp vectorial[150]	câmp spinor[151]
Reprezentarea impulsului unei funcții de câmp: în expresie $f({\mathbf {p}})$ ${\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {2p_{0}}} }f(\mathbf {p})\,.$ $A$ responsabil pentru particulă, pentru antiparticulă. $b$	$e^{-ipx}a(\mathbf {p} )+e^{ipx}b^{+}(\mathbf {p} )\,,$ pentru un domeniu real $b=a\,.$	$\sum _{{n=1}}^{3}e_{{\mu }}^{n}({\mathbf {p}})(e^{{-ipx}}a_{n}({\ mathbf {p)))+e^{{ipx}}b_{n}^{+}({\mathbf {p))))$	${\begin{aligned}\sum _{r=1}^{2}(e^{-ipx}a_{r}(\mathbf {p} )u_{r}(\mathbf {p} ) +\\e^{ipx}b_{r}^{+}(\mathbf {p} )v_{r}(\mathbf {p} ))\end{aliniat}}$
Densitatea particulelor cu impuls Numărul total de particule Câmp de 4 momente $n({\mathbf {p}})$ $\mathbf {p} \,.$ $N=\int d^{3}\mathbf {p} n(\mathbf {p} )\,.$ $P^{{\nu }}=\int d^{3}{\mathbf {p}}p^{{\nu }}n({\mathbf {p}})$	$(a^{+}({\mathbf {p}})a({\mathbf {p}})+b^{+}({\mathbf {p}})b({\mathbf {p}}) )$	$\sum _{{n=1}}^{3}(a_{n}^{+}({\mathbf {p}})a_{n}({\mathbf {p}})+b_{n} ^{+}({\mathbf {p)))b_{n}({\mathbf {p))))$	${\begin{aligned}\sum _{r=1}^{2}(a_{r}^{+}(\mathbf {p} )a_{r}(\mathbf {p} )-\ \b_{r}^{+}(\mathbf {p} )b_{r}(\mathbf {p} ))\end{aligned}}$
Încărca $(Q)$	$(a^{+}(\mathbf {p} )a(\mathbf {p} )-b^{+}(\mathbf {p} )b(\mathbf {p} ))\,,$ căci un câmp real este egal cu zero	$\sum _{n=1}^{3}(a_{n}^{+}(\mathbf {p} )a_{n}(\mathbf {p} )-b_{n}^{+ }(\mathbf {p} )b_{n}(\mathbf {p} ))$	${\begin{aligned}\sum _{r=1}^{2}(a_{r}^{+}(\mathbf {p} )a_{r}(\mathbf {p} )-\ \b_{r}^{+}(\mathbf {p} )b_{r}(\mathbf {p} ))\end{aligned}}$
Proiecția rotației pe direcția impulsului	0	$b_{1}^{+}a_{1}-b_{1}a_{1}^{+}+b_{2}a_{2}^{+}-b_{2}^{+} a_{2}\,,$ indicii 1 și 2 corespund particulelor cu proiecție de spin, iar al treilea indice corespunde particulelor cu proiecție de spin zero $\pm 1\,,$

Cuantificare câmp

Cuantizarea înseamnă trecerea de la câmpuri (funcții de câmp) la operatorii corespunzători (funcții cu valori operator) care acționează asupra vectorului de stare (amplitudine) Φ . Prin analogie cu mecanica cuantică obișnuită, vectorul de stare caracterizează complet starea fizică a unui sistem de câmpuri de undă cuantificate [152] [153] . Vectorul de stare este un vector într-un spațiu liniar, care se numește spațiu Fock [154] .

Principalul postulat al cuantizării câmpului de undă este că operatorii variabilelor dinamice sunt exprimați în termeni de operatori de câmp în același mod ca și exprimarea clasică a acestor mărimi în termeni de funcții de câmp (ținând cont de ordinea înmulțirii, deoarece înmulțirea operatori este în general necomutativ, spre deosebire de produsul funcțiilor obișnuite). Paranteza Poisson (vezi formalismul hamiltonian) este înlocuită cu comutatorul operatorilor corespunzători [155] . În special, formalismul hamiltonian clasic este transformat în formalismul cuantic după cum urmează:

[\psi ({\mathbf {x}},t),\psi ({\mathbf {x'}},t)]=[\pi ({\mathbf {x}},t),\pi ({ \mathbf {x'}},t)]=0

[\pi (\mathbf {x},t),\psi (\mathbf {x'},t)]=-i\delta ^{(3)}(\mathbf {xx'}).

Acestea sunt așa-numitele relații de comutație Bose-Einstein bazate pe comutatorul obișnuit - diferența dintre produsele „directe” și „inverse” ale operatorilor [156]

[A,B]=AB-BA.

Relațiile de comutație Fermi-Dirac se bazează pe anticomutatorul - suma produselor „directe” și „inverse” ale operatorilor [156] :

[A,B]_{+}=AB+BA.

Cuantele primelor câmpuri se supun statisticii Bose-Einstein și se numesc bosoni , iar cuantele din al doilea câmp se supun statisticii Fermi-Dirac și se numesc fermioni . Cuantizarea câmpurilor Bose-Einstein se dovedește a fi consecventă pentru particulele cu spin întreg, în timp ce pentru particulele cu spin semiîntreg, cuantizarea Fermi-Dirac se dovedește a fi consecventă. Astfel, fermionii sunt particule cu spin semiîntreg, în timp ce bosonii sunt particule cu număr întreg [156] .

Din relațiile de comutație pentru funcția de câmp (coordonată generalizată) și impulsul generalizat corespunzător, se pot obține relațiile de comutație pentru operatorii de creare și anihilare a fotonilor [157]

[a_{\mathbf {p} },a_{\mathbf {p'} }^{+}]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'}), [a_{\mathbf {p} },a_{\mathbf {p'} }]=[a_{\mathbf {p} }^{+},a_{\mathbf {p'} }^{+}]=0\,.

Câmp ca un set de oscilatoare armonice

Câmpul poate fi reprezentat ca un set infinit de oscilatoare armonice de câmp. Acest lucru poate fi demonstrat prin exemplul câmpului Klein-Gordon. Transformarea Fourier tridimensională (în trei coordonate spațiale) a funcției de câmp satisface următoarea ecuație (transformata Fourier a ecuației Klein-Gordon)

\partial _{t}^{2}\phi (\mathbf {p} ,t)+(\mathbf {p} ^{2}+m^{2})\phi (\mathbf {p} ,t)=0,

care este ecuația diferențială pentru un oscilator armonic cu frecvența fiecărui mod fix al expansiunii Fourier. Pentru fiecare astfel de oscilator armonic cuantic , așa cum este cunoscut din mecanica cuantică, stările staționare pot fi legate între ele prin operatori crescători și descrescători, după cum urmează [158] $\omega ={\sqrt {{\mathbf {p}}^{2}+m^{2}}}$ ${\mathbf {p}}$ $\phi _{n}$

{{\hat {a}}}^{+}{\phi }_{n}={{\sqrt {n+1}}}{\phi }_{{n+1}}

{\hat {a}}{\phi }_{n}={\sqrt {n}}{\phi }_{n-1},

iar Hamiltonianul este , unde . În consecință, energia oscilatorului este cuantificată , unde sunt numerele cuantice-valori proprii ale operatorului [159] . $H={\hbar\omega}{(\hat{n}+1/2)}$ ${\hat {n}}={a}^{+}a$ $E_n={\hbar}{\omega}(n+1/2)$ $n$ ${\hat {n}}={a}^{+}a$

Astfel, utilizarea unui operator crescător sau descrescător modifică numărul cuantic cu unu și duce la aceeași modificare a energiei oscilatorului ( echidistanța spectrului ), care poate fi interpretată ca nașterea unui nou cuantic sau distrugerea unui cuantum de câmp cu energie . Tocmai această interpretare permite operatorilor de mai sus să fie utilizați ca operatori de naștere și anihilare . Orice stare cu un indice poate fi reprezentată ca acțiunea operatorilor de naștere asupra stării „zero” [159] : $n$ ${\hbar} {\omega}$ $n$ $n$

{\phi }_{n}={\frac {({\hat {a}}^{+})^{n}}{\sqrt {n!)}}}\phi _{0}

În cazul oscilatorilor, Hamiltonianul sistemului este egal cu suma Hamiltonienilor oscilatorilor individuali. Pentru fiecare astfel de oscilator, se pot defini propriii operatori de creare . Prin urmare, o stare cuantică arbitrară a unui astfel de sistem poate fi descrisă folosind numere de ocupație, adică numărul de operatori de un anumit tip k care acționează asupra vidului: $N$ $\hat{a}^+_k, k=1,...,N$ $n_{k}$

\phi (n_{1},...,n_{N})=\prod _{(k)}{\frac {({\hat {a_{k)}}^{+})^ {n_{k))}{\sqrt {n_{k}!}}}\phi _{0}.

O astfel de reprezentare se numește reprezentare a numărului de umplere . Esența acestei reprezentări este aceea că, în loc să precizeze vectorul de stare în funcție de coordonate (reprezentare coordonată) sau în funcție de impulsuri (reprezentare impuls), starea sistemului este caracterizată de numărul stării excitate - ocupația numărul [160] .

Fock spațiu și reprezentare

În teoria câmpului cuantic, Hamiltonianul, exprimat inițial în funcție de și , este în cele din urmă exprimat și în termenii operatorilor corespunzători de creare și anihilare a cuantelor de câmp. Principiul principal este păstrat - orice operatori (inclusiv hamiltonianul) sunt exprimați prin acești operatori de creare și anihilare, precum și prin funcțiile corespunzătoare înainte de cuantizare. Singura diferență este că ordinea în care sunt scrierea operatorilor contează, deoarece operatorii, spre deosebire de funcțiile obișnuite, sunt în general necomutativi. $\psi$ $\pi$

Toți operatorii de creație și anihilare și combinațiile lor, operatorii câmpurilor înșiși și derivatele lor - toți operează în spațiul Fock cu dimensiuni infinite . În spațiul Fock, în primul rând, vidul (starea de vid) sau este determinat , prin analogie cu starea zero a unui oscilator cuantic. Vidul este definit ca [161] $\Phi _{0}$ $|0\gamă$

a(\mathbf {p} )|0\rangle =\langle 0|a^{+}(\mathbf {p} )=0,\langle 0|0\rangle =1\,.

Stările arbitrare sunt date ca excitații în vid de următoarea formă [154] :

|f\rangle =\int d^{3}\mathbf {p_{1}} d^{3}\mathbf {p_{2}} ...d^{3}\mathbf {p_{k }} f(\mathbf {p_{1}} ,\mathbf {p_{2}} ,...,\mathbf {p_{k}} )a^{+}(\mathbf {p_{1}} ) a^{+}(\mathbf {p_{2}} )...a^{+}(\mathbf {p_{k}} )|0\rangle .

Aceasta este reprezentarea Fock pentru starea k-particulei. Funcțiile f sunt funcțiile de undă uzuale mecanice cuantice. De obicei, se presupune că sunt integrabili în pătrat, astfel încât normele vectorilor de stare sunt finite. Totuși, au sens și stările cu normă infinită. De exemplu, starea are o normă infinită , dar această stare corespunde unei stări cu o singură particule cu un anumit impuls, iar dacă luăm în considerare densitatea spațială a unor astfel de particule, atunci se dovedește a fi finită [154] . $a^{+}(\mathbf {p} )|0\rangle$ $(\delta(0))$

Lucrări normale și cronologice. Teorema lui Wick

Din definiția vidului rezultă că media în vid a produsului oricărui număr de operatori de naștere și anihilare, în care toți operatorii de naștere sunt la stânga tuturor operatorilor de anihilare, este egală cu zero . Ordinea corespunzătoare în care se scriu operatorii de creare și distrugere se numește formă normală sau ordonare normală [162] . Pentru a sublinia că operatorii sunt ordonați în mod normal, produsele corespunzătoare sunt cuprinse între paranteze de două puncte, de exemplu, sau puteți indica sub semnul unui operator condiționat [163] . $\colon \phi (x)\phi (y)\colon$ ${\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}$

Forma normală este legată de forma normală prin comutatorul operatorilor și anume, forma „obișnuită” este egală cu forma normală plus (anti)comutatorul operatorilor corespunzători (ordonați „incorect”). De exemplu,

\phi (x)\phi (y)=\phi ^{+}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(y) )+\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{-}(x)\phi ^{-}(y).

În această notație, un singur termen nu este scris în formă normală; prin urmare, putem scrie

\phi (x)\phi (y)=(\phi ^{+}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{+}(x)\phi ^{-}( y)+\phi ^{+}(y)\phi ^{-}(x)+\phi ^{-}(x)\phi ^{-}(y))+(\phi ^{-}( x)\phi ^{+}(y)-\phi ^{+}(y)\phi ^{-}(x))={\mathcal {N))\{\phi (x)\phi (y )\}+[\phi ^{-}(x),\phi ^{+}(y)].

Astfel, așteptarea în vid a produsului original al operatorilor va fi determinată în esență doar de ultimul comutator [163] .

O lucrare cronologică este definită ca o lucrare ordonată după variabila timp (componenta zero a celor 4 coordonate):

Tf_{1}(x_{1})f_{2}(x_{2})...f_{n}(x_{n})=(-1)^{{\sigma }}f_{{i_{ 1}}}(x_{{i_{1}}})f_{{i_{2}}}(x_{{i_{2}}})...f_{{i_{n}}}(x_{ {în}}})

, Unde

x_{i_{1}}^{0}>x_{i_{1}}^{0}>...>x_{i_{n}}^{0},

unde este numărul de permutări ale câmpurilor fermionice între ele în cursul ordinării T (permutarea câmpurilor bosonice nu afectează semnul) [164] . ${\sigma}$

Luați în considerare cel mai simplu caz al produsului unei perechi de funcții de câmp în diferite puncte spațiu-timp . După cum sa menționat mai sus, acest produs al operatorilor poate fi exprimat în termeni de formă normală plus un comutator. Sub semnul ordonării cronologice, aici trebuie să faceți o modificare - în loc de comutator, trebuie să utilizați așa-numita convoluție egală cu comutatorul dacă și comutatorul dacă . Astfel, produsul cronologic al două funcții de câmp este egal cu produsul lor în formă normală plus convoluția [163] : $\phi (x)\phi (y)$ $\overline {\phi (x)\phi (y)}$ $[\phi ^{-}(x),\phi ^{+}(y)]$ $x^{0}>y^{0}$ $[\phi ^{-}(y),\phi ^{+}(x)]$ $y^{0}>x^{0}$

{\mathcal {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}={\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}+{\overline {\phi (x)\phi (y))).

Teorema lui Wick generalizează această reprezentare în cazul unui număr arbitrar de factori:

{\mathcal {T}}\{f_{1}f_{2}...f_{n})\}=\sum (-1)^{\sigma }{\overline {f_{i_{ 1}}f_{i_{2}}}}...{\overline {f_{i_{k-1}}f_{i_{k}}}}{\mathcal {N}}\{f_{i_{ k+1}}...f_{i_{n}}\},

unde suma este preluată peste toate convoluțiile posibile în perechi ale funcțiilor ( sunt numere pare de la 0 la ) [165] . $k$ $n$

Relații de comutație de bază

Să definim o expresie explicită pentru așteptarea în vid a produsului operatorilor de câmp ai câmpului scalar Klein–Gordon, ținând cont de cele de mai sus [166]

\langle 0|\phi (x)\phi (y)|0\rangle =\langle 0|[\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)]|0\rangle =[\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)]={\frac {1}{(2\pi )^{3))}\iint {\frac {d^{3 }\mathbf {p} d^{3}\mathbf {p'} }{2{\sqrt {p_{0}p'_{0))))}e^{-ip(xy)}[a( \mathbf {p} )a^{+}(\mathbf {p} )]=

={\frac {1}{(2\pi )^{3)}}\iint {\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {p'} } {2{\sqrt {p_{0}p'_{0}}}}}e^{-ip(xy)}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} )={\frac { 1}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{2p_{0}}}e^{-ip(xy)}.

Să notăm această funcție ca . Aceasta este amplitudinea propagării particulelor de la un punct la altul . Se poate arăta că această funcție este invariantă Lorentz. Comutatorul funcției de câmp este exprimat în termenii acestei funcție, după cum urmează: $D^{-}(xy)$ $y$ $X$

[\phi (x)\phi (y)]=D^{-}(xy)-D^{-}(yx)=D(xy)={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{2p_{0}}}(e^{-ip(xy)}-e^{-ip(yx) }).

Pentru orice interval asemănător spațiului , se poate alege un cadru de referință astfel încât să își schimbe semnul, iar din cauza invarianței Lorentz, aceasta înseamnă că comutatorul corespunzător este egal cu zero. Aceasta înseamnă că măsurătorile sunt posibile în puncte separate de un interval asemănător spațiului și nu se afectează reciproc. Adică, nicio dimensiune nu poate afecta o altă dimensiune în afara conului de lumină. Aceasta înseamnă respectarea principiului cauzalității în teoria câmpului cuantic. Pentru câmpurile complexe, principiul cauzalității necesită prezența unei perechi particule-antiparticule cu mase identice și „sarcini” opuse [167] . $(xy)^{2}<0$ $X y$

Comutatoarele operator de câmp cu operatori de naștere și deces sunt mai ușor de dedus. Prezentăm aceste relații de comutație fără derivație.

Pentru un câmp scalar $[a^{{\pm }}({\mathbf {p}}),\phi (x)]=\pm {\frac {e^{{\pm ipx}}}{(2\pi )^{ {3/2}}{\sqrt {2p_{0}}}}}$

Pentru câmpul spinor $[a_{r}({\mathbf {p}}),{\bar {\psi }}(x)]={\frac {e^{{ipx}}{\bar {u}}_{r} ({\mathbf {p}})}{(2\pi )^{{3/2}}{\sqrt {2p_{0}}}}}$

Pentru câmp electromagnetic $[a_{{\lambda }}({\mathbf {p}}),A_{{\mu }}(x)]=-{\frac {e^{{ipx}}e_{{\mu }}^ {{\lambda }}({\mathbf {p}})}{(2\pi )^{{3/2}}{\sqrt {2p_{0}}}}}$

Propagatori

Se consideră media în vid a produsului cronologic a doi operatori de câmp ai unui câmp scalar [168] :

D^{c}(xy)=i\langle 0|T\phi (x)\phi (y)|0\rangle =i(\theta (x_{0}-y_{0})D^ {-}(xy)+\theta (y_{0}-x_{0})D^{-}(yx))=

={\frac {i}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} {2p_{0}}}(\theta ( x_{0}-y_{0})e^{-ip(xy)}+\theta (y_{0}-x_{0})e^{-ip(yx)})\,.

Funcția este uniformă. Se poate verifica direct că această funcție este funcția lui Green pentru operatorul Klein-Gordon, adică [168] $D^{c}(x)$

(\partial ^{2}+m^{2})D^{c}(x)=\delta (x).

Prin urmare, transformata Fourier 4-dimensională a acestei funcții trebuie să fie proporțională cu . Cu toate acestea, din cauza incertitudinii în punctele de pe învelișul masei, reprezentarea momentului acestei funcții se scrie după cum urmează [168] : $(m^{2}-p^{2})^{{-1}}$ $m^{2}-p^{2}=0$

D^{c}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{-ipx}}{m ^{2}-p^{2}-i\epsilon }}\,,

unde este o valoare infinitezimală care definește ocolirile polilor la integrarea peste . $\epsilon$ $p_{0}=\pm {\sqrt {{\mathbf {p}}^{2}+m^{2}}}$ $p_{0}$

Propagatoare de câmp de bază (numai convoluțiile câmpurilor identice de sarcini opuse sunt diferite de zero) [169] :

Camp	Valoare	Formulă
Câmp scalar real sau complex [170]	$\langle 0\|T\phi (x)\phi ^{*}(y)\|0\rangle$	$-iD^{c}(xy)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{{-ip(xy))) }{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}$
Câmp de spinare [171]	$\langle 0\|T\psi (x){\bar {\psi }}(y)\|0\rangle$	$({\hat {\partial ))_{x}-im)D^{c}(xy)={\frac {i}{(2\pi )^{4))}\int {\frac {d ^{4}pe^{{-ip(xy)}}({\hat {p}}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}$
Câmp vectorial masiv	$\langle 0\|TU_{\mu }(x)U_{\nu }^{*}(y)\|0\rangle$	${\frac {-i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{{-ip(xy)))(g_{{\mu \nu } }-p_{{\mu }}p_{{\nu }}/m^{2})}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}$
Câmp vectorial (electromagnetic) fără masă real [171]	$\langle 0\|TA_{\mu }(x)A_{\nu }(y)\|0\rangle$	${\frac {-i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{{-ip(xy)))g_{{\mu \nu }} }{p^{2}+i\epsilon}}$

S-matrix

Să fie dată starea inițială a câmpurilor în trecutul „depărtat” și starea finală în viitorul „depărtat” . Se presupune că nu există nicio interacțiune în trecutul și viitorul „depărtat”, dar „se activează” într-o regiune spațială-timp finită. Operatorul care duce starea inițială la cea finală se numește operator de împrăștiere [172] [173] : $|în\rangle$ $|out\rangle$ $S$

|out\rangle =S|în\rangle .

În consecință, amplitudinea tranziției de la starea inițială la starea finală este [174] : ${\mathcal {M}}$

{\mathcal {M}}=\lange out|S|in\rangle .

Operatorul de împrăștiere poate fi exprimat în termeni de elemente de matrice într-o anumită bază. Matricea infinit-dimensională corespunzătoare se numește matrice de împrăștiere sau -matrice. Pătratele modulelor elementelor matricei determină probabilitățile de tranziție între vectorii de bază ai stărilor inițiale și finale [173] . $S$

Pe baza cerințelor generale de covarianță relativistă, cauzalitate, unitaritate, precum și principiul corespondenței, se poate arăta că matricea (operatorul) este exprimată în termenii interacțiunii lagrangiane după cum urmează (această formulă se obține uneori și folosind perturbație). teorie) [175] : $S$

S=Te^{i\int d^{4}x{\mathcal {L}}_{I}(\phi (x))}=\sum _{n}{\frac {i^{ n}}{n!}}T(\int d^{4}x{\mathcal {L}}_{I}(x))^{n}=\sum _{n}{\frac {i^ {n}}{n!}}\int T\prod _{j=1}^{n}d^{4}x_{j}{\mathcal {L}}_{I}(x_{j}) ,

$Te$ - exponent cronologic, -exponent, înțeles ca o descompunere în seria infinită de mai sus în -opere (lucrări cronologice) . $T$ $T$ $T\prod _{{j=1}}^{n}$

Fie starea inițială să aibă forma și starea finală . Atunci contribuția ordinului --lea al teoriei perturbației va fi egală cu valoarea așteptării de vid a următoarei forme (constanta de cuplare este derivată din interacțiunea Lagrangiană) [175] : $|in\rangle =a^{+}(\mathbf {p_{1}} )...a^{+}(\mathbf {p_{s}} )|0\rangle$ $|out\rangle =a^{+}(\mathbf {p'_{1}} )...a^{+}(\mathbf {p'_{r}} )|0\rangle$ $n$ $g$

{\frac {i^{n}g^{n}}{n!)}}\langle 0|a(\mathbf {p'_{1}} )...a(\mathbf {p ' _{r}} )\int T\prod _{j=1}^{n}d^{4}x_{j}{\mathcal {L}}_{I}(x_{j})a^ { +}(\mathbf {p_{1}} )...a^{+}(\mathbf {p_{s}} )|0\rangle .

Ținând cont de teorema Wick, valorile așteptărilor de vid de acest fel vor fi descompuse în termeni în care toate convoluțiile din acești termeni vor fi luate ca semn de așteptare a vidului, iar restul operatorilor de câmp în formă normală vor participa doar la (anti )comutatoare cu operatori de stare inițială și finală, generând contribuții standard de la astfel de comutatoare. O contribuție diferită de zero poate fi făcută numai de acei termeni în care numărul și tipul câmpurilor sub semnul produsului normal vor corespunde tipului și numărului total de particule în starea inițială și finală. Aceste contribuții nenule sunt scoase și din semnul valorii așteptării de vid (pentru că nici ei nu sunt operatori), iar acești termeni conțin factori cu plăci de vid fără operatori , ceea ce este egal cu unitatea prin definiție. În expresiile finite, așadar, nu au mai rămas operatori și plăci de vid, rămân doar convoluții și expresii pentru comutatoarele operatorilor de câmp cu operatori ai stărilor inițiale și finale. Convoluțiile sunt înlocuite de reprezentările lor de impuls - propagatoare, iar integrarea pe coordonatele spațiu-timp elimină toate exponențialele, înlocuindu-le cu funcții delta de sume de 4 momente. Integralele de impuls distrug, de asemenea, majoritatea acestor funcții delta. Care expresii finale sunt obținute pot fi formalizate folosind regulile și diagramele Feynman corespunzătoare. $\langle 0|0\rangle$

Exemplu

Reguli și diagrame Feynman

Integrale de cale

Formularea QFT în termeni de integrale de cale este legată de calculul direct al amplitudinii de împrăștiere a unui anumit proces de interacțiune, și nu de definirea operatorilor și a spațiilor de stare. Pentru a calcula amplitudinea probabilității pentru evoluția unui sistem de la o stare inițială la momentul t = 0 la o stare finală la t = T , timpul total T este împărțit în N intervale mici. Amplitudinea totală este produsul amplitudinii de evoluție în fiecare interval de timp, integrat pe toate stările intermediare. Fie H Hamiltonianul (adică generatorul evoluției în timp), atunci [176] $|\phi _{I}\rangle$ $|\phi _{F}\rangle$

\langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int d\phi _{1}\int d\phi _{2}\cdots \int d\phi _{N-1}\,\langle \phi _{F}|e^{-iHT/N}|\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle \phi _{2}| e^{-iHT/N}|\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|e^{-iHT/N}|\phi _{I}\rangle .

Trecând la limita N → ∞ , produsul indicat al integralelor devine integrală funcțională [177] :

\langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int {\mathcal {D))\phi (t)\,\exp \left\{ i\int _{0}^{T}dt\,L\right\},

unde L este un Lagrangian care conține ϕ și derivatele sale în raport cu coordonatele spațiale și temporale obținute din Hamiltonianul H folosind transformarea Legendre . Condițiile inițiale și finale pentru integrala de cale sunt, respectiv, [178]

\phi (0)=\phi _{I},\quad \phi (T)=\phi _{F}\,.

Cu alte cuvinte, amplitudinea totală este suma peste amplitudinea tuturor traiectoriilor posibile dintre stările inițiale și cele finale, unde amplitudinea drumului este dată de exponentul din integrand [178] .

Funcția de corelare în două puncte

În calcule, expresii ca

\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \quad {\text {sau)}\quad \langle \Omega |T\{\phi (x) \phi (y)\}|\Omega \rangle

într-o teorie liberă sau, respectiv, într-o teorie cu interacțiune. Aici, și sunt coordonate 4-vectori, este operatorul de ordonare temporală , care rearanjează operatorii în așa fel încât timpul componentelor și crește de la componentele din dreapta la stânga și este starea fundamentală ( starea de vid ) a teoriei care interacționează. , diferit de starea fundamentală liberă . Această expresie este amplitudinea probabilității propagării câmpului de la y la x și are mai multe nume, cum ar fi propagator în două puncte, funcție de corelare în două puncte , funcția lui Green în două puncte sau, pe scurt , funcția în două puncte [179] . $X$ $y$ $T$ $x^0$ $y^{0}$ $|\omega \rangle$ $|0\rangle$

Funcția liberă în două puncte, cunoscută și sub numele de propagator Feynman , se găsește pentru un câmp scalar real fie prin cuantizare canonică, fie prin integrale de cale [180] [181] :

\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \equiv D_{F}(xy)=\lim _{\epsilon \to 0}\int {\ frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon } }e^{-ip_{\mu }(x^{\mu }-y^{\mu })}\,.

Într-o teorie cu interacțiune, în care Lagrangianul sau Hamiltonianul conține termeni sau descrie interacțiuni, este mai dificil să se definească o funcție în două puncte. Cu toate acestea, folosind formularea cuantizării canonice sau formularea integrală a căii, aceasta poate fi exprimată în termenii unei serii infinite de perturbații ale unei funcții „libere” în două puncte. $L_{I}(t)$ $H_{I}(t)$

În ceea ce privește cuantizarea canonică, funcția de corelație în două puncte este scrisă ca [182] :

\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac { \left\langle 0\left|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt \,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }{\left\langle 0\left|T\left\{\exp \left[-i\int _{ -T}^{T}dt\,H_{I}(t)\dreapta]\dreapta\}\dreapta|0\dreapta\rangle }}\,,

unde ε este infinitezimal și ϕ I este un operator de câmp în cadrul unei teorii libere. Aici exponentul trebuie înțeles ca seria sa de putere . De exemplu, în teoria ϕ 4 , termenul de interacțiune al hamiltonianului este [183] și extinderea corelatorului în două puncte în devine [184] ${\textstyle H_{I}(t)=\int d^{3}x\,{\frac {\lambda {4!}}\phi _{I}(x)^{4}}$ $\lambda$

\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle ={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\ frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n} \langle 0|T\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}( z_{n})^{4}\}|0\rangle }{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4 !)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(z_{ 1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }}\,.

Această expansiune a perturbației exprimă funcția în două puncte care interacționează în termeni de mărimi , care sunt estimate într-o teorie „liberă”. $\langle 0|\cdots |0\rangle$

În formularea integralei de cale, funcția de corelație în două puncte este scrisă ca [185]

\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac { \int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\ mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\ matematic {L}}\right]}}\,,

unde este densitatea lagrangiană. Ca și în paragraful anterior, exponențialul poate fi extins într-o serie în λ , reducând funcția în două puncte care interacționează la cantități din teoria liberă. $\mathcal{L}$

Teorema lui Wick reduce suplimentar orice funcție de corelație în n puncte într-o teorie liberă la suma produselor funcțiilor de corelație în două puncte. De exemplu,

{\begin{aligned}\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\phi (x_{4})\} |0\rangle &=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{3}) \phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{3})\}|0\rangle \langle 0 |T\{\phi (x_{2})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{ 4})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{3})\}|0\rangle .\end{aligned}}\,.

Întrucât funcțiile de corelație care interacționează pot fi exprimate în termeni de funcții de corelație libere, pentru a calcula toate mărimile fizice într-o teorie de interacțiune (perturbativă) este necesar să se evalueze numai pe cea din urmă [186] [187] . Acest lucru face din propagatorul Feynman una dintre cele mai importante cantități din teoria câmpului cuantic.

Diagrama Feynman

Funcțiile de corelație din teoria interacțiunilor pot fi scrise ca o serie de perturbații. Fiecare termen din această serie este produsul propagatorilor Feynman pentru particule libere și poate fi reprezentat vizual printr -o diagramă Feynman . ϕ 4 -teoria este cea mai simplă teorie a interacțiunii și este adesea considerată în scopuri pedagogice. O astfel de neliniaritate poate apărea în fizica statistică și în teoria electroslabă standard. Lagrangianul acestei teorii este scris ca [188]

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{ 2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}\,,

unde λ este o constantă de cuplare adimensională , care este un parametru mic pe care se construiește seria teoriei perturbațiilor [179] . De exemplu, λ 1 în funcția de corelație în două puncte (funcția lui Green ) în teoria ϕ 4

{\frac {-i\lambda {4!}}\int d^{4}z\,\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\phi (z)\ phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle \,.

După aplicarea teoremei Wick, apar termeni de forma [189] :

12\cdot {\frac {-i\lambda {4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(xz)D_{F}(yz)D_{F}(zz) )\,,

unde este propagatorul Feynman. În schimb, același termen este obținut din diagrama Feynman $D_{F}(xy)$

Diagrama constă din [190]

vârfuri externe legate printr-o singură muchie și reprezentate prin puncte (notate aici cu și ). $X$ $y$
vârfuri interne legate prin patru muchii și reprezentate prin puncte (notate aici cu ). $z$
muchii care leagă vârfuri și sunt reprezentate prin linii.

Fiecare vârf corespunde unui factor de câmp în punctul spațiu-timp corespunzător, iar muchiile corespund propagatorilor dintre punctele spațiu-timp. Termenul din seria de perturbații corespunzător diagramei se obține prin scrierea unei expresii care decurge din regulile lui Feynman [190] : $\phi$

Pentru fiecare vârf intern se scrie coeficientul ; $z_{i}$ ${\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}$
Pentru fiecare muchie care leagă două vârfuri și , se scrie coeficientul ; $z_{i}$ $z_{j)$ $D_{F}(z_{i}-z_{j})$
Împărțiți la factorul de simetrie al diagramei.

Cu un factor de simetrie de , respectarea acestor reguli dă exact expresia de mai sus. Prin transformata Fourier a propagatorului, regulile lui Feynman pot fi reformulate din spațiul de coordonate în spațiul de impuls [190] . $2$

Pentru a calcula o funcție de corelare în n puncte până la ordinul k , enumerați toate diagramele Feynman valide cu n puncte exterioare și k sau mai puține vârfuri, apoi utilizați regulile lui Feynman pentru a obține o expresie pentru fiecare termen. Mai precis [191] ,

\langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle

este egală cu suma (a expresiilor corespunzătoare) a tuturor diagramelor conectate cu n puncte externe. (Diagramele conectate sunt acelea în care fiecare vârf este conectat la un punct exterior prin linii. Componentele care sunt complet deconectate de liniile externe sunt uneori numite „bule de vid”.) În ϕ 4 , fiecare vârf trebuie să aibă patru picioare [192] .

În aplicații reale, amplitudinea de împrăștiere a unei anumite interacțiuni sau rata de dezintegrare a particulelor poate fi calculată din matricea S , care se găsește folosind metoda diagramei Feynman [193] .

Diagramele Feynman lipsite de „bucle” sunt numite diagrame arborescente , care descriu procese de interacțiune de ordin inferior; diagramele care conțin n bucle sunt numite diagrame n -bucle, care descriu contribuții de ordin superior sau corecții radiative la interacțiune [194] . Liniile ale căror capete sunt vârfuri pot fi considerate ca propagare a particulelor virtuale [189] .

Renormalizare

Regulile lui Feynman pot fi folosite pentru a evalua direct diagramele arborescente. Cu toate acestea, calculul naiv al diagramelor bucle precum cea prezentată mai sus va duce la integrale de moment divergente, adică aproape toți termenii din expansiunea perturbativă sunt infiniti. Procedura de renormalizare este un proces sistematic de eliminare a unor astfel de infinitate [195] .

Parametrii [K 3] incluși în Lagrangian, cum ar fi masa m și constanta de cuplare λ , nu au nicio semnificație fizică - m , λ și intensitatea câmpului ϕ nu sunt cantități măsurate experimental și sunt denumiți aici ca masă goală, goală. constanta de cuplare și câmpul gol. Masa fizică și constanta de cuplare sunt măsurate într-un proces de interacțiune și de obicei diferă de cantitățile goale [196] . Atunci când se calculează mărimile fizice în acest proces, interacțiunile limitează regiunea de integrare a integralelor divergente peste momente la o valoare sub o anumită valoare de prag a impulsului Λ pentru a obține expresii pentru mărimile fizice și apoi se trece la limita Λ → ∞ . Acesta este un exemplu de regularizare , o clasă de metode pentru eliminarea singularităților în QFT, unde Λ este parametrul de regularizare [197] .

Abordarea ilustrată mai sus se numește teoria perturbației goale, deoarece în calcule sunt utilizate numai cantități goale, cum ar fi masa și constanta de cuplare. O altă abordare, numită teoria perturbației renormalizate, este utilizarea de la început a cantităților semnificative din punct de vedere fizic. În cazul teoriei ϕ 4 , intensitatea câmpului este mai întâi redefinită [197] :

\phi =Z^{1/2}\phi _{r}\,,

unde ϕ este un câmp gol, ϕ r este un câmp renormalizat și Z este o constantă care trebuie determinată. Densitatea lagrangianului are forma [198] :

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r} )-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!)}}\phi _ {r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _ {r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4!)} }\ phi _{r}^{4},

unde m r și λ r sunt masa renormalizată măsurată experimental și, respectiv, constanta de cuplare și

\delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}=m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\ lambda Z^{2}-\lambda _{r}

sunt constante de determinat. Primii trei termeni sunt ϕ 4 scrisi în termeni de mărimi renormalizate, în timp ce ultimii trei termeni sunt numiți „contratermeni”. Deoarece Lagrangianul conține acum mai mulți termeni, diagramele Feynman trebuie să includă elemente suplimentare, fiecare cu propriile reguli Feynman. Procedura este descrisă după cum urmează. În primul rând, se alege o metodă de regularizare (de exemplu, regularizarea limitelor sau regularizarea dimensională introdusă mai sus). Se calculează diagrame Feynman în care termenii divergenți vor depinde de parametrul de regularizare Λ . Atunci se determină δ Z , δ m şi δ λ astfel încât diagramele Feynman pentru contratermenii să anuleze exact termenii divergenţi din diagramele Feynman normale când se ia limita Λ → ∞ . În acest fel, se obțin valorile finale [199] .

Eliminarea tuturor infinitatelor pentru a obține rezultatul final este posibilă numai în teoriile renormalizabile, în timp ce în teoriile nerenormalizabile, infiniturile nu pot fi eliminate prin redefinirea unui număr mic de parametri. Modelul standard al particulelor elementare este QFT renormalizabil [200] , în timp ce gravitația cuantică nu este renormalizabilă [201] .

În electrodinamica cuantică, la calcularea corecțiilor la interacțiunea Coulomb, luând în considerare diagramele arborescente (fără bucle) și diagramele cu o singură buclă [202] , un potențial Coulomb modificat de forma

{\frac {e_{0}^{2}}{4\pi r}}\left(1-{\frac {e_{0}^{2}}{6\pi ^{2}} }\ln {\frac {\Lambda }{m}}\right)+{\text{terminale}}\,,

unde este sarcina goală, este distanța până la sarcină, este masa electronului, este parametrul responsabil pentru cutoff-ul ultraviolet, care limitează impulsul particulei la calcularea amplitudinii de împrăștiere. În ciuda faptului că matematic această expresie diverge, dar pentru ca această corecție să fie egală ca mărime cu termenul principal, este nevoie de o masă de ~ 10 250 g, care depășește masa Universului ca mărime [203] . O sarcină goală nu este observabilă de la sine, deoarece este înconjurată de particule virtuale încărcate și ele ecranează această sarcină [204] . În realitate, la distanțe mari, se observă o altă sarcină fizică , care poate fi calculată mai precis, ținând cont de diagramele multiloop [205] $e_{0}$ $r$ $m$ $\lambda$ $\lambda$ $e_{\text{fizic)}$

e_{\text{fizică}}^{2}\aprox {\frac {e_{0}^{2}}{1+{\frac {e_{0}^{2}}{6\pi ^{2))}\ln {\frac {\Lambda }{m))))\,.

Această expresie se dovedește a fi finită pentru orice valoare Dacă este rescrisă ca $\Lambda \,.$

e_{0}^{2}\aprox {\frac {e_{\text{fizică}}^{2}}{1-{\frac {e_{\text{fizică}}^{2}} {6\pi ^{2}}}\ln {\frac {\Lambda }{m))))\,,

atunci se poate observa că la o anumită valoare ( polul Landau ) sarcina goală devine infinită [203] . $\lambda$

Grup de renormalizare

Grupul de renormalizare, dezvoltat de Kenneth Wilson , este un instrument matematic folosit pentru a studia modificările parametrilor fizici (coeficienți în Lagrangian) atunci când un sistem este considerat la diferite scări [206] . Modul în care fiecare parametru variază în funcție de scară este descris de funcția sa β [207] . Funcțiile de corelație care stau la baza predicțiilor cantitative variază în funcție de scară în funcție de ecuația grupului de renormalizare [208] .

De exemplu, constanta de cuplare din QED, și anume sarcina elementară e , are următoarea funcție β :

\beta (e)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {de}{d\Lambda }}={\frac {e^{3}}{12\pi ^{ 2}}}+O(e^{5}),

unde Λ este scara de energie la care se măsoară e . Această ecuație diferențială înseamnă că sarcina elementară observată crește cu scara [209] . Constanta de cuplare renormalizată, care variază în funcție de scala de energie, se mai numește și constantă de cuplare de funcționare [210] .

Constanta de cuplare g în cromodinamica cuantică , o teorie gauge non-Abeliană bazată pe grupul de simetrie SU(3) , are următoarea funcție β :

\beta (g)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {dg}{d\Lambda }}={\frac {g^{3}}{16\pi ^{ 2}}}\left(-11+{\frac {2}{3}}N_{f}\right)+O(g^{5}),

unde N f este numărul de arome de quarci . În cazul în care N f ≤ 16 (pentru modelul standard N f = 6 ), constanta de cuplare g scade odată cu creșterea scalei de energie. Prin urmare, în timp ce forța puternică este puternică la energii joase, ea devine foarte slabă la energii mari, fenomen cunoscut sub numele de libertate asimptotică [211] .

Teorii conform câmpului (CFT) sunt QFT-uri speciale care permit simetria conformă . Ele sunt insensibile la schimbările de scară, deoarece toate constantele lor de cuplare au o funcție β extrem de mică . Cu toate acestea, invers nu este adevărat – dispariția tuturor funcțiilor β nu implică simetria conformă a teoriei [212] . Exemplele includ teoria corzilor [77] și N =4 teoria Yang-Mills supersimetrică [213] .

Conform viziunii lui Wilson, fiecare QFT este limitat în mod fundamental în energia Λ , adică teoria nu mai este valabilă la energii mai mari decât Λ , iar toate gradele de libertate peste scara Λ nu ar trebui luate în considerare. De exemplu, granița poate fi reciproca distanței atomice într-un mediu condensat, iar în fizica particulelor poate fi asociată cu „granularea” fundamentală a spațiului-timp cauzată de fluctuațiile cuantice ale gravitației. Amploarea graniței în teoriile interacțiunii particulelor se află cu mult dincolo de experimentele actuale. Chiar dacă teoria ar fi foarte complexă la această scară, atâta timp cât cuplările sale sunt suficient de slabe, ea trebuie descrisă la energii scăzute printr-o teorie a câmpului efectiv renormalizabil [214] . Diferența dintre teoriile renormalizabile și cele nerenormalizabile este că primele sunt insensibile la detaliile interacțiunilor la energii mari, în timp ce cele din urmă sunt independente de ele [53] . Conform acestui punct de vedere, teoriile nerenormalizabile ar trebui considerate teorii eficiente cu energie scăzută ale unor teorii mai fundamentale. Eșecul de a evita limitarea lui Λ din calcule într-o astfel de teorie indică pur și simplu că apar fenomene fizice noi la scări mai mari decât Λ , unde este nevoie de o nouă teorie [215] .

Teoria axiomatică a câmpului cuantic

Din cauza problemelor cu divergențele, a apărut necesitatea creării unui QFT riguros din punct de vedere matematic [216] . Această abordare se numește teoria cuantică axiomatică a câmpurilor, atunci când se bazează pe un set de axiome care generalizează un set de fapte experimentale, iar întreaga teorie ulterioară este construită într-un mod strict matematic. Printre axiome ar trebui să fie axioma invarianței relativiste, axioma localității sau cauzalității, axioma spectralitatei (asupra energiei pozitive a tuturor particulelor). Diferite abordări axiomatice diferă în alegerea mărimilor fizice inițiale. Abordarea propusă în 1955 de N. N. Bogolyubov a folosit matricea de împrăștiere ca obiect fizic principal. În abordarea lui AS Whiteman (1956) el a considerat un câmp cuantificat care interacționează ca un astfel de obiect. Cea mai generală abordare algebrică (R. Haag, X. Araki, D. Kastler) folosește mulțimea tuturor observabilelor posibile [217] .

Teoria câmpului cuantic nelocal

Teoria câmpului cuantic considerată este locală, adică valorile câmpului și coordonatele particulelor pot fi specificate exact și interacțiunea lor în acest punct poate fi descrisă. Acest lucru duce la divergențe la distanțe mici, care sunt ulterior eliminate în cadrul teoriei renormalizării. Dacă presupunem existența unei lungimi fundamentale care limitează cunoștințele noastre despre coordonate, atunci putem construi o teorie cuantică a câmpului non-local. Interacțiunile câmpurilor cuantice luate în considerare nu au loc într-un punct, ci într-o regiune a spațiului. Această ipoteză face posibilă evitarea divergențelor ultraviolete [218] .

Teoria câmpului cuantic în spațiu-timp curbat

Teoria câmpului cuantic în spațiu-timp curbat este o extensie a teoriei câmpului cuantic de la spațiu-timp Minkowski la un spațiu-timp general curbat. Această teorie consideră spațiu-timp ca un fundal clasic fix, oferind în același timp o descriere mecanică cuantică a materiei și energiei care se propagă prin acest spațiu-timp [219] . Predicția generală a acestei teorii este că particulele pot fi create de câmpuri gravitaționale dependente de timp (producția de perechi multi-gravitoni) [220] sau de câmpuri gravitaționale independente de timp care conțin orizonturi. Cel mai faimos exemplu al acestuia din urmă este fenomenul radiației Hawking, care este emisă de găurile negre [221] . Acesta din urmă poate fi înțeles ca o manifestare a efectului Unruh, atunci când un observator care accelerează observă radiația unui corp absolut negru [222] . Alte predicții ale câmpurilor cuantice din spațiile curbe includ, de exemplu, radiația emisă de o particulă care se mișcă de-a lungul unei geodezice [223] [224] . Acest lucru face posibilă luarea în considerare a unor efecte gravitaționale semnificative, deși nu este o teorie consistentă a gravitației cuantice. Teoria câmpului cuantic în spațiu-timp curbat este valabilă în regiunea în care curbura spațiu-timp este mică în comparație cu scările Planck [K 4] [225] .

Teoria câmpului cuantic topologic

Funcțiile de corelație și predicțiile fizice ale QFT depind de metrica spațiu-timp g μν . Pentru o clasă specială de QFT numită teorii topologice ale câmpului cuantic (TCFT), toate funcțiile de corelație sunt independente de modificările continue ale metricii spațiu-timp [226] . QFT-urile în spațiu-timp curbat se schimbă de obicei în funcție de geometria (structura locală) a spațiu-timpului, în timp ce QFT-urile sunt invariante în cadrul difeomorfismelor spațiu-timp , dar sensibile la topologia (structura globală) spațiu-timp. Aceasta înseamnă că toate rezultatele calculelor TCFT sunt invarianți topologici ai spațiu-timpului principal. Teoria Chern-Simons este un exemplu de TCFT și a fost folosită pentru a construi modele de gravitație cuantică [227] . Aplicațiile TCFT includ efectul Hall cuantic fracțional și calculatoarele cuantice topologice [228] . Traiectoria liniei mondiale pentru particulele cu o sarcină fracțională (cunoscută sub numele de anioni ) poate forma o configurație conexă în spațiu-timp [229] care leagă statisticile de brading ale oricăror persoane din fizică de invarianții constrângerii din matematică. Teoriile topologice ale câmpului cuantic (QFT) aplicabile cercetării de ultimă oră în chestiunile cuantice topologice includ teoriile gauge Chern-Simons-Witten în dimensiuni spațiu-timp 2 + 1, alte QFT-uri noi exotice în dimensiuni spațiu-timp 3 + 1 și mai departe [ 230 ] .

Alte teorii

Procedurile de cuantizare și renormalizare descrise în secțiunile anterioare sunt efectuate pentru teoria câmpului liber și teoria ϕ 4 [ (interacțiune cvadruplă) a unui câmp scalar real. Un proces similar poate fi realizat pentru alte tipuri de câmpuri, inclusiv câmpul scalar complex , câmpul vectorial și câmpul Dirac și pentru alte tipuri de termeni care interacționează, inclusiv interacțiunile electromagnetice și Yukawa .

De exemplu, electrodinamica cuantică conține câmpul Dirac ψ reprezentând câmpul de electroni și câmpul vectorial A μ reprezentând câmpul electromagnetic (câmp fotonic ). În ciuda numelui său, „câmpul” electromagnetic cuantic corespunde de fapt cu patru potențial electromagnetic clasic , și nu cu câmpurile electrice și magnetice clasice. Densitatea totală a QED Lagrangian este:

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4} }F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },

unde γ μ sunt matricele Dirac , , este puterea câmpului electromagnetic . Parametrii acestei teorii sunt masa electronului (gol) m și sarcina elementară (golă) e . Primul și al doilea termen din densitatea lagrangiană corespund câmpului liber Dirac și, respectiv, câmpului vectorial liber. Ultimul termen descrie interacțiunea dintre câmpurile de electroni și fotoni, care este considerată o perturbare în teorie fără interacțiune [231] . ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu )$

Supersimetrie

Toate simetriile cunoscute experimental din natură leagă bozonii cu bozoni, iar fermionii cu fermionii. Teoreticienii au emis ipoteza că există un tip de simetrie numit supersimetrie care leagă bozonii și fermionii [232] [233] .

Modelul Standard se supune simetriei Poincaré , ai cărei generatori sunt translațiile spațiu-timp P μ și transformările Lorentz J μν [234] . În plus față de acești generatori, supersimetria în spațiul dimensional (3 + 1) include generatoare suplimentare Q α , numite supraîncărcări , care ei înșiși se transformă ca fermioni Weyl [232] [235] . Grupul de simetrie generat de toți acești generatori este cunoscut sub numele de supergrup Poincaré . În general, pot exista mai mult de un set de generatoare de supersimetrie, Q α I , I = 1, ..., N Q α I , I = 1, ..., N Q α I , I = 1, .. ., N , care generează supersimetria corespunzătoare N = 1 N = 2 și așa mai departe [232] [236] . Supersimetria poate fi construită și în alte dimensiuni [237] , în primul rând în spațiul (1 + 1) pentru aplicarea sa în teoria superstringurilor [238] .

Lagrangianul unei teorii supersimetrice trebuie să fie invariant sub acțiunea supergrupului Poincaré [239] . Exemple de astfel de teorii includ: Minimal Supersymmetric Standard Model (MSSM), N = 4 Supersymmetric Yang-Mills theory [240] și teoria superstring. În teoria supersimetrică, fiecare fermion are un superpartener bosonic și invers [241] .

Dacă supersimetria se transformă în simetrie locală, atunci teoria gauge rezultată este o extensie a relativității generale numită supergravitație [242] .

Supersimetria este o soluție potențială la multe probleme moderne din fizică. De exemplu, problema ierarhiei modelului standard - de ce masa bosonului Higgs nu este corectată radiativ (când este renormalizată) la o scară foarte mare, cum ar fi scara mare de unificare sau scara Planck , poate fi rezolvată prin relaţionarea câmpul Higgs și superpartenerul său, higgsino . Corecțiile radiative datorate buclelor bosonului Higgs din diagramele Feynman sunt compensate de buclele Higgsino corespunzătoare. Supersimetria oferă, de asemenea, răspunsuri la marea unificare a tuturor constantelor de cuplare gauge în Modelul Standard, precum și la natura materiei întunecate [243] [244] .

Cu toate acestea, din 2021 [245] , nu au fost găsite dovezi experimentale pentru existența particulelor supersimetrice. Dacă supersimetria ar fi o adevărată simetrie a naturii, atunci ea trebuie ruptă, iar energia ruperii simetriei trebuie să fie mai mare decât energia realizabilă în experimentele moderne [246] [247] .

Alt spațiu-timp

Teoria lui ϕ 4 , QED, QCD, precum și întregul Model Standard presupune spațiul Minkowski (3 + 1)-dimensional (3 dimensiuni spațiale și 1 timp) ca fundal pe care sunt definite toate câmpurile cuantice. Cu toate acestea, QFT a priori nu impune restricții nici asupra numărului de dimensiuni, nici asupra geometriei spațiu-timp.

În fizica materiei condensate, QFT este folosit pentru a descrie gazele electronice (2 + 1)-dimensionale [248] . În fizica energiei înalte , teoria corzilor este un tip de QFT (1 + 1)-dimensional, [249] [77] , în timp ce teoria Kaluza-Klein folosește forța gravitațională în dimensiuni suplimentare pentru a obține o teorie gauge cu o dimensiune inferioară . 250] .

În spațiul Minkowski, metrica plată η μν este folosită pentru a crește și a scădea indicii spațiu-timp în Lagrangianul dat de următoarea regulă

A_{\mu }A^{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu},\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,

unde η μν este inversul lui η μν care satisface relația η μρ η ρν = δ μ ν . Pe de altă parte, pentru QFT în spațiu-timp curbat, este utilizată o metrică comună (cum ar fi metrica Schwarzschild , care descrie metrica găurii negre ):

A_{\mu }A^{\mu }=g_{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu},\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{ \mu }\phi =g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,

unde g μν este reciproca lui g μν . Pentru un câmp scalar real, densitatea Lagrangianului față de fundalul general spațiu-timp este

{\mathcal {L}}={\sqrt {|g|}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\phi \nabla _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right),

unde g = det( g μν ) , iar simbolul ∇ μ denotă derivata covariantă [251] . Lagrangianul QFT și, prin urmare, rezultatele calculelor și predicțiilor sale fizice depind de geometria spațiu-timp.

Metode perturbatoare și neperturbative

Folosind teoria perturbației , efectul general al termenului de interacțiune mică poate fi aproximat printr-o extindere în serie în ceea ce privește numărul de particule virtuale implicate în interacțiune. Fiecare termen din extensie poate fi înțeles ca unul dintre modurile posibile în care particulele (fizice) interacționează între ele prin particule virtuale, exprimate vizual folosind o diagramă Feynman . Forța electromagnetică dintre doi electroni în QED este reprezentată (în primul ordin al teoriei perturbației) prin propagarea unui foton virtual. În mod similar, bosonii W și Z poartă forța slabă, în timp ce gluonii poartă forța puternică. Interpretarea interacțiunii ca o sumă de stări intermediare, inclusiv schimbul de diferite particule virtuale, are sens numai în cadrul teoriei perturbațiilor. Dimpotrivă, metodele neperturbative din QFT tratează Lagrangianul care interacționează ca un întreg, fără nicio expansiune în serie. În loc de particule care poartă interacțiune, aceste metode au dat naștere la concepte precum monopolul 't Hooft-Polyakov peretele domeniului , tubul de și instantonul . Exemplele de QFT care sunt complet decidabile nonperturbativ includ modelele minimale ale teoriei câmpului conform [253] și modelul Thirring [254] .

Justificare matematică

În ciuda succesului copleșitor în fizica particulelor și în fizica materiei condensate, QFT în sine nu are o bază matematică formală. De exemplu, conform teoremei lui Haag , nu există o reprezentare de interacțiune bine definită pentru QFT, ceea ce înseamnă că teoria perturbației QFT, care stă la baza întregii metode de diagramă Feynman , este fundamental nedefinită [255] .

Cu toate acestea, teoria cuantică perturbativă a câmpului, care necesită doar calculul cantităților ca serii de puteri formale fără nicio cerință de convergență, poate fi supusă unui tratament matematic riguros. În special, monografia lui Kevin Costello Renormalization and Effective Field Theory [256] oferă o formulare riguroasă a renormalizării perturbative care combină abordările teoriei câmpului efectiv a lui Kadanoff , Wilson și Polchinsky , precum și abordarea lui Batalin-Vilkovisky la cuantizarea teoriilor gauge. Mai mult, metodelor integrale de cale perturbativă, de obicei înțelese ca metode de calcul formale inspirate de teoria integrării finite-dimensionale [257] , pot primi o interpretare matematică robustă bazată pe omologii lor finite-dimensionale [258] .

Începând cu anii 1950 [259] , fizicienii și matematicienii teoreticieni au încercat să formuleze QFT ca un set de axiome pentru a stabili matematic riguros existența unor modele specifice de QFT relativiste și a studia proprietățile acestora. Această linie de cercetare se numește teoria cuantică constructivă a câmpului , o subsecțiune a fizicii matematice [260] , care a condus la rezultate precum teorema CPT, teorema statisticii spin și teorema Goldstone [259] , precum și construcții riguroase din punct de vedere matematic ale multor QFT-uri cu interacțiune în două și trei dimensiuni ale spațiu-timpului, de exemplu, teorii bidimensionale ale câmpului scalar cu interacțiuni polinomiale arbitrare [261] , teorii tridimensionale ale câmpului scalar cu interacțiune de gradul al patrulea etc. pe [262] .

În comparație cu QFT convențional, teoria cuantică topologică a câmpului și teoria câmpului conformal sunt justificate corect matematic — ambele pot fi clasificate în termeni de reprezentări cobordism [263] .

Teoria câmpului cuantic algebric este o altă abordare a axiomatizării QFT, în care obiectele fundamentale sunt operatorii locali și relațiile algebrice dintre ei. Sistemele axiomatice care urmează această abordare includ axiomele Wightman și axiomele Haag-Kastler [260] . O modalitate de a construi teorii care să satisfacă axiomele lui Wightman este utilizarea axiomelor Osterwalder-Schröder , care oferă condiții necesare și suficiente pentru ca o teorie în timp real să fie dedusă dintr-o teorie în timp imaginar folosind continuarea analitică ( rotația lui Wick ) [ 260] .

Existența teoriei Yang-Mills și decalajul în spectrul de masă - una dintre problemele asociate cu Premiul Millennium , se referă la existența bine definită a teoriilor Yang-Mills , afirmate de axiomele de mai sus [264] .

Vezi și

Note

Comentarii

↑ De fapt, numărul gradelor sale de libertate este nenumărabil, deoarece dimensiunea spațiului vectorial al funcțiilor continue (diferențiabile, real-analitice) este nenumărabilă chiar și pe un spațiu euclidian finit. Pe de altă parte, subspații (din aceste spații funcționale) care sunt considerate în mod obișnuit, cum ar fi spațiile Hilbert (de exemplu, spațiul funcțiilor pătrat-integrabile cu valori reale) sau spațiile Banach separabile (de exemplu, spațiul funcțiilor continue cu valorile reale pe un interval compact, cu normă uniform convergentă) au dimensiune numărabilă în categoria spațiilor Banach (deși dimensiunea spațiului lor vectorial euclidian este nenumărabilă), deci sub aceste restricții numărul de grade de libertate (acum interpretat ca dimensiunea spațiului vectorial al unui subspațiu dens și nu dimensiunea spațiului vectorial al spațiului funcțional de interes în sine) este numărabilă.
↑ În cele ce urmează, este folosită înregistrarea tensorului (covariantă generală) a tuturor ecuațiilor adoptate în teoria cuantică a câmpurilor folosind regula lui Einstein . Se folosește semnătura spațiu-timp (1, -1 ,-1,-1), respectiv, intervalul este definit ca la coordonate și timp). Operatorul derivat (obișnuit) cu privire la coordonate este notat fie sau . Operatorul d'Alembert într-o astfel de notaţie va arăta astfel: . Derivata temporală este notă fie printr-un punct în partea de sus a funcției, fie ca $s^{2}=t^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=x_{{\mu }}x^{{ \mu }}=g_{{\mu \nu }}x^{{\mu }}x^{{\nu }}$ $\mu$ $\partial_{\mu}$ $\partial/\partial x^{\mu}$ $-\partial _{{\mu }}\partial ^{{\mu }}=-g^({\mu \nu }}\partial _{{\mu }}\partial _{{\nu }}$ ${\partial }_{0}$
↑ Se consideră teoria ϕ 4 .
↑ Teoria câmpului cuantic în spațiu-timp curbat, care ar putea fi văzută ca un pas intermediar către teoria gravitației cuantice, nu mai are o interpretare clară care implică particule.

Surse

↑ Zee, 2009 , p. 169.
↑ Zee, 2009 , p. 370.
↑ Gribov, V. D.; Mushtakova, S. P. Chimie cuantică. - M . : Gardariki, 1999. - S. 51. - 387 p. - ISBN 5-8297-0017-4 .
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 13.
↑ Sadovsky, 2003 , p. douăzeci.
↑ 1 2 Weinberg, vol. 1, 2015 , p. 22.
↑ Gribov, 2001 , p. 27-30.
↑ 1 2 Weinberg, vol. 1, 2015 , p. 23.
↑ 1 2 Weinberg, vol. 1, 2015 , p. 25.
↑ Weinberg, vol. 1, 2015 , p. 27.
↑ Bjorken și Drell, vol. 2, 1978 , p. 37.
↑ Kuhlmann, 2020 .
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. xi.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. unsprezece.
↑ 1 2 Weinberg, 1977 , p. optsprezece.
↑ 12 Hobson , 2013 , p. 212.
↑ Heilbron, 2003 , p. 301.
↑ Thomson, 1893 , p. 2.
↑ Hobson, 2013 , p. 213.
↑ 1 2 Weinberg, 1977 , p. 19.
↑ Weisskopf, 1981 , p. 70.
↑ Heisenberg, 2007 , Cap.2.
↑ 1 2 Weisskopf, 1981 , p. 69.
↑ 1 2 Weinberg, 1977 , p. douăzeci.
↑ Weinberg, 1977 , p. 21.
↑ Weisskopf, 1981 , p. 70-71.
↑ Weinberg, 1977 , p. 22.
↑ Shifman, 2012 , p. unu.
↑ Weinberg, vol. 1, 2015 , p. 30-34.
↑ 1 2 Weisskopf, 1981 , p. 71.
↑ Weinberg, vol. 1, 2015 , p. 34.
↑ Nimtz; haibel. Spațiu de timp zero (nedefinit) . - Wiley-VCH , 2008. - P. 1.
↑ Mandelstam, L.; Leontowitsch, M. (1928). Zur Theorie der Schrödingerschen Gleichung . Zeitschrift blana Physik . 47 (1-2): 131-136. Cod biblic : 1928ZPhy ...47..131M . DOI : 10.1007/BF01391061 . S2CID 125101370 .
↑ Feinberg, E. L. (2002). „Strămoșul (despre Leonid Isaakovich Mandelstam)”. Fizica-Uspekhi . 45 (1): 81-100. Cod biblic : 2002PhyU ...45...81F . DOI : 10.1070/PU2002v045n01ABEH001126 .
↑ 1 2 G. Gamov . Eseu despre dezvoltarea teoriei structurii nucleului atomic (I. Teoria dezintegrarii radioactive) // UFN 1930. V. 4.
↑ Gurney, RW; Condon, Mecanica cuantică a UE și dezintegrarea radioactivă // Natura . - 1928. - Vol. 122 , nr. 3073 . — P. 439 . - doi : 10.1038/122439a0 . — Cod .
↑ Weisskopf, 1981 , p. 71–72.
↑ 1 2 Weinberg, 1977 , p. 23.
↑ G. A. Sardanashvili. Dmitri Ivanenko este superstarul fizicii sovietice. Memorii nescrise . — Librokom. - 2010. - S. 13. (Rusă)
↑ Ambarzumian V., Iwanenko D. Les électrons inobservables et les rayons (franceză) // Compt. Rupe. Acad Sci. Paris. - 1930. - Vol. 190 . — P. 582 .
↑ Weisskopf, 1981 , p. 72.
↑ Weinberg, 1977 , p. 24.
↑ Weisskopf, 1981 , p. 76.
↑ Weinberg, 1977 , p. 25.
↑ 1 2 Weisskopf, 1981 , p. 78.
↑ Weinberg, 1977 , p. 26.
↑ Weinberg, vol. 1, 2015 , p. cincizeci.
↑ Weinberg, 1977 , p. 28.
↑ 1 2 Weisskopf, 1981 , p. 79.
↑ Weinberg, vol. 1, 2015 , p. 53.
↑ Weinberg, vol. 1, 2015 , p. 54.
↑ Tomonaga. Dezvoltarea Electrodinamicii Cuantice . Nobelprize.org . Preluat la 4 septembrie 2021. Arhivat din original la 21 aprilie 2021. (nedefinit)
↑ 1 2 3 Shifman, 2012 , p. 2.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 25.
↑ 1 2 Weinberg, 1977 , p. treizeci.
↑ 1 2 Weinberg, 1977 , p. 31.
↑ Schwinger, 2018 , p. 37.
↑ Schwinger, Julian (1966). „Particule și surse”. Fiz. Rev. _ 152 : 1219. DOI : 10.1103/PhysRev.152.1219 .
↑ 12 Schwinger , 2018 , p. xi.
↑ Proc din 1967 Int. Conferință despre particule și câmpuri / CR Hagen; Guralnik, G.; Mathur, VA. - NY : Interscience, 1967. - P. 128.
↑ Mehra și Milton. Climbing the Mountain: Biografia științifică a lui Julian Schwinger . - Oxford University Press, 2000. - P. 467 . — ISBN 0198527454 .
↑ Schwinger, 2018 , p. 82.
↑ Schwinger, 2018 , p. 83.
↑ Schwinger, 2018 , p. 83-84.
↑ 12't Hooft , 2015 , p. 5.
↑ 1 2 Weinberg, 1977 , p. 32.
↑ Yang, CN (1954-10-01). „Conservarea spinării izotopice și a invarianței izotopice a gabaritului”. Revizuirea fizică . 96 (1): 191-195. Cod biblic : 1954PhRv ...96..191Y . DOI : 10.1103/PhysRev.96.191 .
↑ 1 2 3 Coleman, Sidney (14/12/1979). „Premiul Nobel pentru fizică din 1979”. stiinta . 206 (4424): 1290-1292. Bibcode : 1979Sci...206.1290C . DOI : 10.1126/science.206.4424.1290 . PMID 17799637 .
↑ 't Hooft, 2015 , p. 5-6.
↑ 't Hooft, 2015 , p. unsprezece.
↑ Sutton, Christine Model standard . britannica.com . Enciclopaedia Britannica . Preluat la 14 august 2018. Arhivat din original la 18 mai 2021. (nedefinit)
↑ Shifman, 2012 , p. 3.
↑ Kibble, Tom WB (2014-12-12), The Standard Model of Particle Physics, arΧiv : 1412.4094 [physics.hist-ph].
↑ Shifman, 2012 , p. patru.
↑ Shifman, 2012 , p. 7.
↑ Shifman, 2012 , p. 6.
↑ 1 2 3 Polchinski, Iosif. teoria corzilor. - Cambridge University Press, 2005. - Vol. 1. - ISBN 978-0-521-67227-6 .
↑ Schwarz, John H. (2012-01-04), The Early History of String Theory and Supersymmetry, arΧiv : 1201.0981 [physics.hist-ph].
↑ Probleme comune în materia condensată și fizica energiei înalte . stiinta.energie.gov . Office of Science, Departamentul de Energie al SUA (2 februarie 2015). Preluat la 18 iulie 2018. Arhivat din original la 1 mai 2017. (nedefinit)
↑ 1 2 Wilczek, Frank (19.04.2016). „Fizica particulelor și materie condensată: saga continuă.” Physica Scripta . 2016 (T168): 014003. arXiv : 1604.05669 . Cod biblic : 2016PhST..168a4003W . DOI : 10.1088/0031-8949/T168/1/014003 .
↑ 12 Tong, 2015 , Capitolul 1 .
↑ 1 2 3 Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 23.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 16.
↑ 1 2 Peskin și Schroeder, 2001 , p. 33.
↑ 1 2 Poboiko, 2017 , p. 5.
↑ 1 2 3 Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 24.
↑ Teoria câmpului cuantic / 2056341 // Marele Dicționar Enciclopedic / Cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. I. - M .: Marea Enciclopedie Rusă , 1991. - ISBN 5-85270-160-2 .
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 95.
↑ 1 2 Peskin și Schroeder, 2001 , p. 34.
↑ 1 2 Bjorken și Drell, vol. 2, 1978 , p. 24.
↑ 1 2 Bjorken și Drell, vol. 2, 1978 , p. 13.
↑ Poboyko, 2017 , p. 6.
↑ Bjorken și Drell, vol. 2, 1978 , p. 25.
↑ Sundermeyer, 2014 , p. 2.
↑ Simetria spațiu-timp // Marea Enciclopedie Rusă [Resursă electronică]. — 2004.
↑ Sundermeyer, 2014 , p. 12.
↑ Simetria internă / M. V. Terentiev // Marea Enciclopedie Rusă [Resursă electronică]. — 2004.
↑ Sundermeyer, 2014 , p. unsprezece.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 321.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 325-326.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 96.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 97.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 25.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 26.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 27.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. optsprezece.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. treizeci.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 36.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 28.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 29-30.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 29.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 33.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 31.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 40-41.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 36-37.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 49-51.
↑ Sadovsky, 2003 , p. 27.
↑ Cheng și Li, 1987 , p. 265.
↑ Cheng și Li, 1987 , p. 266.
↑ 1 2 Cheng și Li, 1987 , p. 267.
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 482-483.
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 496.
↑ Sadovsky, 2003 , p. treizeci.
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 489.
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 547.
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 490-491.
↑ 1 2 Cheng și Li, 1987 , p. 271.
↑ Zee, 2009 , p. 283.
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 705-707.
↑ Veltman, MJG (1976). Methods in Field Theory, Proceedings of the Les Houches Summer School, Les Houches, Franța, 1975 .
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 17-18.
↑ Zee, 2009 , p. 85-86.
↑ Brading, Katherine A. (martie 2002). „Care simetrie? Noether, Weyl și conservarea sarcinii electrice”. Studii în Istoria și Filosofia Științei Partea B: Studii în Istoria și Filosofia Fizicii Moderne . 33 (1): 3-22. Cod biblic : 2002SHPMP..33 ....3B . DOI : 10.1016/S1355-2198(01)00033-8 .
↑ Zee, 2010 , p. 168 .
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 512-515.
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 517.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 337.
↑ 1 2 3 Peskin și Schroeder, 2001 , p. 339.
↑ 1 2 Peskin și Schroeder, 2001 , p. 340.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 657.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 698.
↑ Zee, 2009 , p. 232.
↑ Zee, 2009 , p. 312.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 658.
↑ 1 2 3 Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 36.
↑ 1 2 3 Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 37.
↑ 1 2 3 Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 38.
↑ 1 2 Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 39.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 41-42.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 47-49.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 77-79.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 57.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 65.
↑ 1 2 3 Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 70.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 62-63.
↑ 1 2 3 Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 71.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 74-75.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 58.
↑ 1 2 Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 59.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 60.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 69.
↑ L. O. Cehov. Produs normal // Enciclopedie fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică (vol. 1-2); Marea Enciclopedie Rusă (vol. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ 1 2 3 Peskin și Schroeder, 2001 , p. 102.
↑ Yu. S. Vernoe. Lucrare cronologică // Enciclopedie fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică (vol. 1-2); Marea Enciclopedie Rusă (vol. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ D. V. Shirkov. Teorema lui Vika // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică (vol. 1-2); Marea Enciclopedie Rusă (vol. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 44.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 45-46.
↑ 1 2 3 Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 167.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 2005 , p. 168.
↑ Bjorken și Drell, vol. 2, 1978 , p. 193.
↑ 1 2 Bjorken și Drell, vol. 2, 1978 , p. 194.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 115.
↑ 1 2 Peskin și Schroeder, 2001 , p. 120.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 116.
↑ 1 2 Peskin și Schroeder, 2001 , p. 121.
↑ Zee, 2010 , p. 61.
↑ Zee, 2009 , p. 12-15.
↑ 1 2 Zee, 2009 , p. 13.
↑ 1 2 Peskin și Schroeder, 2001 , p. 97.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 47.
↑ Zee, 2009 , p. 28.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 101.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 98.
↑ Bjorken și Drell, vol. 2, 1978 , p. 189.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 281.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 103.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 284.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 92.
↑ 1 2 Peskin și Schroeder, 2001 , p. 105.
↑ 1 2 3 Peskin și Schroeder, 2001 , p. 106.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 111.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 107.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 112.
↑ Zee, 2009 , p. 53.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 309.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 316.
↑ 1 2 Peskin și Schroeder, 2001 , p. 317.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 318.
↑ Peskin și Schroeder, 2001 , p. 319.
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 719–727.
↑ Zee, 2010 , p. 798.
↑ Smilga, 2019 , p. 84.
↑ 1 2 Smilga, 2019 , p. 87.
↑ Smilga, 2019 , p. 85.
↑ Smilga, 2019 , p. 86.
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 393.
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 417.
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 410-411.
↑ Fujita, Takehisa (2008-02-01), Ecuația grupului de fizică a renormalizării în QED, arΧiv : hep-th/0606101 .
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 420 .
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 531 .
↑ Aharony, Ofer (19.05.2015). „Dicționarul holografic pentru funcțiile beta ale constantelor de cuplare cu urme multiple.” Journal of High Energy Physics . 2015 (5) : 31.arXiv : 1501.06664 . Cod biblic : 2015JHEP ...05..031A . DOI : 10.1007/JHEP05(2015)031 .
↑ Kovacs, Stefano (26-08-1999), N = 4 teoria supersimetrică Yang–Mills și corespondența AdS/SCFT, arΧiv : hep-th/9908171 .
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 402-403.
↑ Zee, 2009 , p. 170.
↑ Streater, Raymond Frederick. Teoria câmpului cuantic Wightman // Scholarpedia. - 2009. - doi : 10.4249/scholarpedia.7123 .
↑ V. P. Pavlov, S. S. Khoruzhy. Teoria axiomatică a câmpului cuantic // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1988. - T. 1: Aharonov - Efectul Bohm - Rânduri lungi. — 707 p. — 100.000 de exemplare.
↑ D. A. Kirzhnits. Teoria câmpului cuantic nonlocal // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3: Magnetoplasmic - Teorema lui Poynting. — 672 p. - 48.000 de exemplare. — ISBN 5-85270-019-3 .
↑ Stefan Hollands, Robert M. Wald . Câmpuri cuantice în spațiu- timp curbat // Rapoarte de fizică . - 2015. - doi : 10.1016/j.physrep.2015.02.001 .
↑ Parker, L. (19.08.1968). „Crearea particulelor în universuri în expansiune” . Scrisori de revizuire fizică . 21 (8): 562-564. DOI : 10.1103/PhysRevLett.21.562 .
^ Hawking, SW (1993-05-01), Particle Creation by Black Holes , World Scientific, p. 167–188, ISBN 978-981-02-0515-7 , doi : 10.1142 /9789814539395_0011 , < https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/97898145195_.0391 Preluat la 15 august 2021. Arhivat la 15 ianuarie 2022 la Wayback Machine
↑ Crispino, Luis CB; Higuchi, Atsushi; Matsas, George E.A. (2008-07-01). „Efectul unruh și aplicațiile sale” . Recenzii despre fizica modernă . 80 (3): 787-838. DOI : 10.1103/RevModPhys.80.787 . HDL : 11449/24446 .
↑ Birrell, N.D. Câmpuri cuantice în spațiu curbat . - Cambridge [Cambridgeshire] : Cambridge University Press, 1982. - ISBN 0-521-23385-2 .
↑ Brito, João PB; Bernard, Raphael P.; Crispino, Louis CB (2020-06-11). „Radiția geodezică de sincrotron în spațiu-timp Schwarzschild--de Sitter” . Revizuirea fizică D. 101 (12): 124019. arXiv : 2006.08887 . DOI : 10.1103/PhysRevD.101.124019 .
↑ Brunetti, Romeo; Fredenhagen, Klaus ; Rejzner, Katarzyna (2016). „Gravația cuantică din punctul de vedere al teoriei câmpului cuantic local covariant.” Comunicări în fizică matematică . 345 : 741-779. DOI : 10.1007/s00220-016-2676-x .
↑ Ivancevic, Vladimir G. & Ivancevic, Tijana T. (2008), Note de curs de licență în teoria câmpului cuantic topologic, p. 36, arΧiv : 0810.0344v5 [math-th].
↑ Carlip, Steven. Gravitația cuantică în dimensiuni 2+1 . - Cambridge University Press, 1998. - P. 27-29. — ISBN 9780511564192 . - doi : 10.1017/CBO9780511564192 . Arhivat pe 17 mai 2021 la Wayback Machine
↑ Carqueville, Runkel, 2018 , pp. 1–5.
↑ Witten, Edward (1989). „Teoria câmpului cuantic și polinomul Jones”. Comunicări în fizică matematică . 121 (3): 351-399. Cod biblic : 1989CMaPh.121..351W . DOI : 10.1007/BF01217730 .
↑ Putrov, Pavel; Wang, Juven; Yau, Shing-Tung (2017). „Statistici de împletire și invarianți de legătură ale materiei cuantice topologice bosonice/fermionice în dimensiunile 2+1 și 3+1”. Analele fizicii . 384 (C): 254-287. arXiv : 1612.09298 . Cod biblic : 2017AnPhy.384..254P . DOI : 10.1016/j.aop.2017.06.019 .
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 78.
↑ 1 2 3 Peskin și Schroeder, 1995 , p. 795 .
↑ Zee, 2009 , p. 520.
↑ Weinberg, vol. 1, 2015 , p. 76-77.
↑ Zee, 2010 , p. 444 .
↑ Zee, 2010 , p. 450 .
↑ de Wit, Bernard & Louis, Jan (18-02-1998), Supersymmetry and Dualities in various dimensions, arΧiv : hep-th/9801132 .
↑ Polchinski, Iosif. teoria corzilor. - Cambridge University Press, 2005. - ISBN 978-0-521-67228-3 .
↑ Zee, 2010 , p. 448.
↑ Zee, 2010 , p. 450.
↑ Zee, 2010 , p. 444.
↑ Nath, P. (1975). „Simetria super-gauge generalizată ca un nou cadru pentru teoriile gabaritului unificat.” Fizica Litera B . 56 (2). Cod biblic : 1975PhLB ...56..177N . DOI : 10.1016/0370-2693(75)90297-x .
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 796-797.
↑ Munoz, Carlos (18.01.2017). „Modele de supersimetrie pentru materia întunecată”. EPJ Web of Conferences . 136 : 01002.arXiv : 1701.05259 . Cod biblic : 2017EPJWC.13601002M . doi : 10.1051/ epjconf /201713601002 .
↑ Hershberger, Scott. Statutul supersimetriei . https://www.symmetrymagazine.org . Revista Symmetry (1 decembrie 2021). Consultat la 9 februarie 2022. Arhivat din original pe 9 februarie 2022.
↑ Peskin și Schroeder, 1995 , p. 797.
↑ Zee, 2010 , p. 443.
↑ Morandi, G. Field Theories for Low-Dimensional Condensed Matter Systems / G. Morandi, P. Sodano, A. Tagliacozzo ... [ și alții ] . - Springer, 2000. - ISBN 978-3-662-04273-1 . Arhivat pe 17 mai 2021 la Wayback Machine
↑ Zee, 2010 , p. 452.
↑ Zee, 2010 , p. 428-429.
↑ Parker, Leonard E. Teoria câmpului cuantic în spațiu-timp curbat / Leonard E. Parker, David J. Toms. - Cambridge University Press, 2009. - P. 43 . — ISBN 978-0-521-87787-9 .
↑ Shifman, 2012 , p. 3-4.
↑ Di Francesco, Philippe. Teoria câmpului conformă / Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Sénéchal. - Springer, 1997. - ISBN 978-1-4612-7475-9 . Arhivat pe 17 mai 2021 la Wayback Machine
↑ Thirring, W. (1958). „O teorie relativistică solubilă a câmpului?”. Analele fizicii . 3 (1): 91-112. Cod biblic : 1958AnPhy ...3...91T . DOI : 10.1016/0003-4916(58)90015-0 .
↑ Haag, Rudolf (1955). „Despre teoriile câmpului cuantic” (PDF) . Dan Mat Fys Medd . 29 (12). Arhivat (PDF) din original pe 2019-07-01 . Extras 2021-09-04 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ Kevin Costello, Renormalization and Effective Field Theory , Mathematical Surveys and Monografii Volumul 170, American Mathematical Society, 2011, ISBN 978-0-8218-5288-0
↑ Folland, GB Teoria câmpului cuantic: un ghid turistic pentru matematicieni. — Providence, RI: Societatea Americană de Matematică, 2008. — ISBN 0821847058 .
↑ Nguyen, Timothy (2016). „Abordarea perturbativă a integralelor de cale: un tratament matematic succint”. J Math. Fiz . 57 . arXiv : 1505.04809 . DOI : 10.1063/1.4962800 .
↑ 1 2 Buchholz, Detlev (2000). „Tendințe actuale în teoria câmpului cuantic axiomatic”. Teoria Câmpului Cuantic . 558 : 43-64. arXiv : hep-th/9811233 . Cod biblic : 2000LNP ...558...43B . DOI : 10.1007/3-540-44482-3_4 .
↑ 1 2 3 Summers, Stephen J. (2016), A Perspective on Constructive Quantum Field Theory, p. 2.10, arΧiv : 1203.3991v2 [math-ph].
↑ Simon, Barry. Teoria câmpului euclidian (cuantic) P(phi)_2. - Princeton University Press, 1974. - ISBN 0-691-08144-1 .
↑ Glimm, James. Fizica cuantică: un punct de vedere funcțional integral. - Springer New York, 1987. - ISBN 978-1-4612-4728-9 .
↑ Sati, Hisham & Schreiber, Urs (2012-01-06), Survey of mathematical foundations of QFT and perturbative string theory, arΧiv : 1109.0955v2 [math-ph].
↑ Jaffe, Arthur; Witten, Edward Quantum Yang–Mills Teoria . Institutul de Matematică Clay . Preluat la 18 iulie 2018. Arhivat din original la 14 noiembrie 2020. (nedefinit)

Literatură

In rusa

Weinberg S. Teoria câmpului cuantic / Ed. V. Ch. Jukovski. Teoria generala. - M. : Fizmatlit, 2015. - T. 1. - 648 p. - ISBN 978-5-9221-1620-6 .
Weinberg S. Teoria câmpului cuantic / Ed. V. Ch. Jukovski. Aplicații moderne. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. 2. - 528 p. — ISBN 5-9221-0404-7 .
Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Oksak A. I., Todorov I. T. Principii generale ale teoriei câmpurilor cuantice. - M. : Nauka, 1987. - 616 p.
Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Câmpuri cuantice. - Ed. a III-a - M . : Fizmatlit, 2005. - 384 p. — ISBN 5-9221-0580-9 .
Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Introducere în teoria câmpurilor cuantificate. — M .: Nauka, 1984. — 600 p.
Björken JD , Drell S.D. Teoria cuantică relativistă. Mecanica cuantică relativistă. - M. : Nauka, 1978. - T. 1. - 296 p.
Bjorken JD, Drell SD Teoria cuantică relativistă. Câmpuri cuantice relativiste. - M. : Nauka, 1978. - T. 2. - 408 p.
Weinberg S. Teoria câmpului cuantic. - M . : Fazis, 2002. - T. 3. - 458 p.
Wentzel G. Introducere în teoria cuantică a câmpurilor de undă. - M. : GITTL, 1947. - 292 p.
Gribov, Vladimir Naumovich Electrodinamică cuantică / Ed. I. B. Hriplovici . - Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”, 2001. - 288 p. — ISBN 5-93972-089-7 .
Zee E. Teoria câmpului cuantic pe scurt. - Izhevsk: RHD, 2009. - 632 p. — ISBN 978-5-93972-770-9 .
Isaev P. S. Obișnuit, ciudat, fermecat, frumos. — M .: Energoatomizdat, 1995. — 320 p. (despre istoria dezvoltării ideilor teoretice în fizica particulelor elementare)
Itsikson K., Zuber J.-B. Teoria câmpului cuantic. - M . : Mir, 1984. - T. 1. - 448 p.
Peskin M. , Schroeder D. Introducere în teoria câmpului cuantic / Ed. pe. A. A. Belavin . - Izhevsk: RHD, 2001. - 784 p.
Poboyko, I. V. Seminarii la cursul „Introducere în teoria cuantică a câmpului” . - 2017. - 68 p.
Ryder L. Teoria câmpului cuantic. — M .: Mir , 1987. — 512 p.
Sadovsky, M. V. Prelegeri despre teoria cuantică a câmpului . - Izhevsk: Institutul de Cercetare Informatică, 2003. - 480 p. - ISBN 5-93972-241-5 .
Smilga, A. V. Teoria câmpului cuantic pentru prânz. - M. : Editura MCNMO, 2019. - 432 p. — ISBN 978-5-4439-3365-8 .
Sokolov, A.; Ivanenko, D. D. Teoria câmpului cuantic. - Sankt Petersburg (Leningrad): Editura de Stat de Literatură Tehnică și Teoretică, 1952. - 781 p.
Feynman R. QED este o teorie ciudată a luminii și materiei . — M .: Nauka , 1988. — 144 p.
Cheng, T.-P.; Lee, L.-F. Teorii gauge în fizica particulelor elementare. — M .: Mir, 1987. — 624 p.

În limba engleză

Carqueville, Nils; Runkel, Ingo (2018). „Prelegeri introductive în teoria câmpului cuantic topologic”. Publicaţii Centrului Banach . 114 :9-47. arXiv : 1705,05734 . DOI : 10.4064/bc114-1 .
Heilbron, John L. Companionul Oxford pentru istoria științei moderne . - Oxford University Press , 2003. - ISBN 978-0-19-974376-6 .
Heisenberg, Werner . Fizica și filozofia: revoluția în știința modernă. - 2007. - ISBN 978-0061209192 .
Hobson, Art (2013). „Nu există particule, există doar câmpuri.” Jurnalul American de Fizică . 81 (211): 211-223. arXiv : 1204,4616 . Cod biblic : 2013AmJPh..81..211H . DOI : 10.1119/1.4789885 .
Kuhlmann, Meinard. Teoria câmpului cuantic // The Stanford Encyclopedia of Philosophy. — 2020.
Peskin, M. O introducere în teoria câmpului cuantic / M. Peskin, D. Schroeder. - Westview Press, 1995. - ISBN 978-0-201-50397-5 . Arhivatpe 18 mai 2021 laWayback Machine
Schwinger, Julian. Particule, surse și câmpuri. - CRC Press, 2018. - Vol. I. - P. 444. - ISBN 9780738200538 .
Shifman , M. Subiecte avansate în teoria câmpului cuantic . - Cambridge University Press , 2012. - ISBN 978-0-521-19084-8 .
Sundermeier, Kurt. Simetrii în fizica fundamentală. - Cham: Springer, 2014. - ISBN 9789400776418 .
Nu Hooft, Gerard. Evoluția teoriei câmpului cuantic // Teoria standard a fizicii particulelor. - 2015. - Vol. 26.—P. 1–27. - ISBN 978-981-4733-50-2 . - doi : 10.1142/9789814733519_0001 .
Thomson, Joseph John . Note despre cercetările recente în electricitate și magnetism: intenționat ca o continuare a „Tratatului despre electricitate și magnetism” al profesorului Clerk-Maxwell.. - Dawsons, 1893.
Tong, David. Prelegeri despre Teoria Câmpului Cuantic . — 2015. Arhivat27 ianuarie 2022 laWayback Machine
Weinberg, Steven (1977). „Căutarea unității: note pentru o istorie a teoriei câmpului cuantic” . Daedalus . 106 (4): 17-35.
Weisskopf, Victor (noiembrie 1981). „Dezvoltarea teoriei câmpului în ultimii 50 de ani”. Fizica Astăzi . 34 (11): 69-85. Cod biblic : 1981PhT ....34k..69W . DOI : 10.1063/1.2914365 .
Zee, A. Teoria câmpului cuantic pe scurt . - Princeton University Press, 2010. - ISBN 978-0-691-01019-9 .

Prelegeri video despre QFT

Secțiuni de fizică cuantică
Mecanica cuantică teoria câmpului cuantic optica cuantică electrodinamică cuantică cromodinamica cuantică gravitația cuantică

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNF : 11938428w GND : 4047984-5 J9U : 987007550894905171 LCCN : sh85109461 NDL : 00560512 NKC : ph135395