Logaritm

Logaritmul unui număr față de bază $b$ $A$ (din altă greacă λόγος , „raport” + ἀριθμός „număr” [1] ) este definit [2] ca un indicator al gradului în care trebuie ridicată baza pentru a obține numărul . Notație: , se pronunță: „ logaritm de bază ”. $A$ $b$ $\log _{a}b$ $b$ $A$

Din definiție rezultă că găsirea este echivalentă cu rezolvarea ecuației . De exemplu, pentru că . $x=\log _{a}b$ $a^{x}=b$ $\log _{2}8=3$ $2^{3}=8$

Calculul logaritmului se numește logaritm . Numerele sunt cel mai adesea reale , dar există și teoria logaritmilor complecși . $a,b$

Logaritmii au proprietăți unice care au determinat utilizarea lor pe scară largă pentru a simplifica semnificativ calculele consumatoare de timp [3] . În tranziția „în lumea logaritmilor”, înmulțirea este înlocuită cu o adunare mult mai simplă, împărțirea prin scădere, iar exponențiația și extragerea rădăcinii sunt convertite, respectiv, în înmulțire și împărțire cu un exponent. Laplace spunea că inventarea logaritmilor, „reducerea muncii astronomului, i-a dublat viața” [4] .

Definiția logaritmilor și un tabel al valorilor acestora (pentru funcțiile trigonometrice ) au fost publicate pentru prima dată în 1614 de către matematicianul scoțian John Napier . Tabelele logaritmice, extinse și rafinate de alți matematicieni, au fost utilizate pe scară largă pentru calcule științifice și de inginerie timp de mai bine de trei secole, până când au apărut calculatoarele electronice și calculatoarele.

De-a lungul timpului, s-a dovedit că funcția logaritmică este indispensabilă și în multe alte domenii ale activității umane: rezolvarea ecuațiilor diferențiale , clasificarea valorilor cantităților (de exemplu, frecvența și intensitatea sunetului ), aproximarea diferitelor dependențe, informații . teoria , teoria probabilitatilor , etc. Aceasta functie se refera la numarul de elementare , este inversa fata de functia exponentiala . Cei mai des utilizați sunt logaritmii reali cu baze ( binare ), numărul Euler e ( natural ) și ( logaritmul zecimal ). $y=\log _{a}x$ $2$ $zece$

Logaritm real

Logaritmul unui număr real este, prin definiție, o soluție a ecuației . Cazul nu este de interes, deoarece atunci pentru această ecuație nu are soluție, iar pentru orice număr este o soluție; în ambele cazuri logaritmul nu este definit. În mod similar, concluzionăm că logaritmul nu există pentru zero sau negativ ; în plus, valoarea funcției exponențiale este întotdeauna pozitivă, deci și cazul negativului trebuie exclus . În cele din urmă obținem [5] : $x=\log _{a}b$ $a^{x}=b$ $a=1$ $b\neq 1$ $b=1$ $A$ $a^{x}$ $b$

Logaritmul real are sens când $\log _{a}b$ $a>0,a\neq 1,b>0$

După cum știți, funcția exponențială (în condițiile specificate pentru ) există, este monotonă și fiecare valoare ia o singură dată, iar intervalul valorilor sale conține toate numerele reale pozitive [6] . Aceasta implică faptul că valoarea logaritmului real al unui număr pozitiv există întotdeauna și este determinată în mod unic. $y=a^{x}$ $A$

Cele mai utilizate sunt următoarele tipuri de logaritmi:

Natural : sau , bază: numărul Euler ( e ); $\log _{e}\,b$ $\ln\,b$
Decimală : sau , bază: număr ; $\log _{10}\,b$ $\lg \,b$ $zece$
Binar : sau , bază: . Ele sunt utilizate, de exemplu, în teoria informației , informatică și în multe ramuri ale matematicii discrete . $\log _{2}\,b$ $\operatorname {lb} \,b$ $2$

Proprietăți

Identitatea logaritmică de bază

Identitatea logaritmică de bază rezultă din definiția logaritmului [7] :

a^{\log _{a}b}=b

Corolar: din egalitatea a doi logaritmi reali rezultă egalitatea expresiilor logaritmice. Într-adevăr, dacă , atunci , de unde, după identitatea principală: . $\log _{a}b=\log _{a}c$ ${\displaystyle a^{\log _{a}b}=a^{\log _{a}c))$ $b=c$

Logaritmi de unitate și număr de bază

Două egalități, evidente din definiția logaritmului:

\log _{a}1=0;\;\log _{a}a=1.

Logaritmul coeficientului produs, grad și rădăcină

Iată un rezumat al formulelor, presupunând că toate valorile sunt pozitive [8] :

	Formulă	Exemplu	Dovada
Muncă	$\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3= 5$
Coeficientul de diviziune	$\log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
grad	$\log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$	Dovada $\log _{a}{x^{p}}=y$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p))$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac {y}{p}}$ $p\cdot log_{a}{x}=y$
Grad la bază	$\log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p))\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}( x)}{p}}$	$\log _{2^{10}}{\sin {\left({\frac {\pi }{6}}\right)}}={\frac {\log _{2}{\frac {1}{2}}}{10}}=-{\frac {1}{10}}=-0{,}1$	Dovada $\log _{a^{p}}{x}=y$ $a^{y\cdot p}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac {log_{a}{x}}{p}}=y$
Rădăcină	$\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{ a}(x)}{p}}$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5$	Dovada $\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}=y$ $a^{y}={\sqrt[{p}]{x))$ $a^{p\cdot y}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac {log_{a}{x}}{p}}=y$
Rădăcină la bază	$\log _{\sqrt[{p}]{a}}(x)=p\log _{a}(x)$	$\log _{\sqrt {\pi }}{(4\cdot \operatorname {arctg} {1})}=2\cdot \log _{\pi }{\left(4\cdot {\frac {\pi }{4}}\right)}=2\cdot \log _{\pi }{(\pi )}=2$	Dovada $\log _{\sqrt[{p}]{a}}{x}=y$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p))$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac {y}{p}}$ $p\cdot log_{a}{x}=y$

Există o generalizare evidentă a formulelor de mai sus în cazul în care sunt permise valori negative ale variabilelor, de exemplu:

\log _{a}|xy|=\log _{a}|x|+\log _{a}|y|

\log _{a}\!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\log _{a}|x|-\log _{a}|y|

Formulele pentru logaritmul produsului pot fi generalizate cu ușurință la un număr arbitrar de factori:

\log _{a}(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\log _{a}(x_{1})+\log _{a}(x_{2})+\ puncte +\log _{a}(x_{n})

\log _{a}|x_{1}x_{2}\dots x_{n}|=\log _{a}|x_{1}|+\log _{a}|x_{2}|+\ puncte +\log _{a}|x_{n}|

Proprietățile de mai sus explică de ce utilizarea logaritmilor (înainte de inventarea calculatoarelor) a facilitat foarte mult calculele. De exemplu, multiplicarea numerelor cu mai multe valori folosind tabele logaritmice a fost efectuată conform următorului algoritm: $X y$

găsiți logaritmi de numere în tabele ; $X y$
adăugați acești logaritmi, obținând (după prima proprietate) logaritmul produsului ; $x\cdot y$
după logaritmul produsului, găsiți produsul în sine în tabele.

Împărțirea, care fără ajutorul logaritmilor este mult mai laborioasă decât înmulțirea, s-a realizat după același algoritm, doar cu adăugarea logaritmilor înlocuită cu scăderea. În mod similar , exponențiarea și extracția rădăcinilor au fost simplificate .

Înlocuirea bazei logaritmului

Logaritmul la bază poate fi convertit [5] în logaritmul la altă bază : $\log _{a}b$ $A$ $c$

\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a))

Consecința (când ) este o permutare a bazei și a expresiei logaritmului: $b=c$

\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}

Consultați secțiunea de logaritm pentru un exemplu de astfel de permutare .

Coeficientul din formula de înlocuire a bazei se numește modul de tranziție de la o bază la alta [9] . ${\frac {1}{\log _{c}a}}=\log _{a}c$

Inegalități

Valoarea logaritmului este pozitivă dacă și numai dacă numerele se află pe aceeași parte a unuia (adică fie ambele sunt mai mari decât unul sau ambele sunt mai mici). Dacă se află pe părți opuse ale unității, atunci logaritmul este negativ [10] . $\log _{a}{b}$ $a,b$ $a,b$

Orice inegalitate pentru numere pozitive poate fi logaritmizată. În acest caz, dacă baza logaritmului este mai mare decât unu, atunci semnul inegalității se păstrează, iar dacă baza este mai mică decât unu, semnul inegalității este inversat [10] .

Alte identități și proprietăți

Dacă expresiile pentru baza logaritmului și pentru expresia logaritmului conțin exponențiere, se poate aplica următoarea identitate pentru simplitate:

{\log _{a^{q}}{b}}^{p}={\frac {p}{q}}\log _{a}{b}

Această identitate se obține imediat dacă, în logaritmul din stânga, baza este înlocuită cu conform formulei de modificare a bazei de mai sus. Consecințe: $a^{q}$ $A$

\log _{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log _{a}b;\quad \log _{\sqrt[{n}]{a}}b=n \log _{a}b;\quad \log _{a^{k}}b^{k}=\log _{a}b

O altă identitate utilă:

c^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}c}

Pentru a demonstra acest lucru, observăm că logaritmii laturilor stângă și dreaptă coincid în bază (egal ), iar apoi, conform corolarului din identitatea logaritmică principală, laturile stângă și dreaptă sunt identic egale. Luând logaritmul identității anterioare într-o bază arbitrară , obținem o altă identitate de „schimb de bază”: $A$ $\log _{a}b\cdot \log _{a}c$ $d,$

\log _{a}b\cdot \log _{d}c=\log _{d}b\cdot \log _{a}c

Funcție logaritmică

Caracteristici cheie

Dacă considerăm un număr logaritmic ca o variabilă, obținem o funcție logaritmică . Este definit la . Interval de valori: . Această curbă este adesea numită logaritm [11] . Din formula de schimbare a bazei logaritmului se poate observa că graficele funcţiilor logaritmice cu baze diferite mai mari decât una diferă între ele doar prin scara de-a lungul axei ; graficele pentru baze mai mici de unu sunt imaginea lor în oglindă în jurul axei orizontale. $y=\log _{a}x$ $a>0;\ a\neq 1;x>0$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$ $y$

Din definiție rezultă că dependența logaritmică este o funcție inversă pentru funcția exponențială , prin urmare graficele lor sunt simetrice față de bisectoarea primului și al treilea cadran (vezi figura). La fel ca și exponențiala, funcția logaritmică aparține categoriei funcțiilor transcendentale . $y=a^{x}$

Funcția crește strict pentru (vezi graficele de mai jos) și scade strict pentru . Graficul oricărei funcții logaritmice trece prin punctul . Funcția este continuă și nelimitat diferențiabilă peste tot în domeniul său de definiție. $a>1$ $0<a<1$ $(1;0)$

Axa y ( ) este asimptota verticală deoarece: $x=0$

\lim _{x\to 0+0}\log _{a}x=-\infty

la ;

a>1

\lim _{x\to 0+0}\log _{a}x=+\infty

la .

0<a<1

Derivata functiei logaritmice este:

{\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x\cdot \ln a}}

Din punctul de vedere al algebrei, funcția logaritmică implementează (singurul) izomorfism dintre grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive și grupul aditiv al tuturor numerelor reale. Cu alte cuvinte, funcția logaritmică este singura soluție continuă (definită pentru toate valorile pozitive ale argumentului) a ecuației funcționale [12] :

f(xy)=f(x)+f(y)

Logaritm natural

Din formula derivată generală de mai sus pentru logaritmul natural, obținem un rezultat deosebit de simplu:

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}

Din acest motiv, logaritmii naturali sunt utilizați în principal în cercetarea matematică. Ele apar adesea la rezolvarea ecuațiilor diferențiale , studierea dependențelor statistice (de exemplu, distribuția numerelor prime ), etc.

După ce am integrat formula pentru derivată în intervalul de la până la , obținem: $x=1$ $x=b$

\ln b=\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}

Cu alte cuvinte, logaritmul natural este egal cu aria de sub hiperbolă pentru intervalul x specificat . $y={\frac {1}{x}}$

Integrala nedefinită a logaritmului natural este ușor de găsit prin integrare pe părți :

\int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C

În analiza matematică și teoria ecuațiilor diferențiale , conceptul de derivată logaritmică a unei funcții joacă un rol important : $f(x)$

{\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)))

Extinderea seriei și calculul logaritmului natural

Extindem logaritmul natural într- o serie Taylor aproape de unitate:

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}} {4}}+\puncte

(Rândul 1)

Această serie, numită „ seria Mercator ”, converge la . În special: $-1<x\leqslant 1$

\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\puncte

Formula seriei 1 este nepotrivită pentru calculul practic al logaritmilor datorită faptului că seria converge foarte lent și numai într-un interval îngust. Cu toate acestea, nu este dificil să obțineți din aceasta o formulă mai convenabilă:

\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\puncte \right)

(Rândul 2)

Această serie converge mai repede și, în plus, partea stângă a formulei poate exprima acum logaritmul oricărui număr pozitiv , deoarece atunci valoarea absolută este mai mică de unu. Acest algoritm este deja potrivit pentru calculele numerice reale ale valorilor logaritmului, cu toate acestea, nu este cel mai bun din punct de vedere al intensității muncii. Există algoritmi mai eficienți [13] . $z={\frac {1+x}{1-x}}$ $x={\frac {z-1}{z+1)}$

Logaritm zecimal

Logaritmii la baza 10 (simbol: ) au fost folosiți pe scară largă pentru calcule înainte de inventarea calculatoarelor . Au un avantaj față de logaritmii cu o bază diferită: partea întreagă a logaritmului unui număr este ușor de determinat [14] : $\lgx$ $[\lgx]$ $X$

Dacă , atunci 1 este mai mic decât numărul de cifre din partea întreagă a . De exemplu, este imediat evident ce este în interval . $x\geqslant 1$ $[\lgx]$ $X$ $\lg 345$ $(2,3)$
Dacă , atunci cel mai apropiat număr întreg de latura mai mică este egal cu numărul total de zerouri din fața primei cifre diferite de zero (inclusiv zero înainte de virgulă zecimală), luate cu semnul minus. De exemplu, este în intervalul . $0<x<1$ $\lgx$ $X$ $\lg 0{,}0014$ $(-3,-2)$

În plus, când mutați un punct zecimal într-un număr cu cifre, valoarea logaritmului zecimal al acestui număr se schimbă în . De exemplu, . Rezultă că pentru a calcula logaritmii zecimali este suficient să alcătuiești un tabel de logaritmi pentru numerele din intervalul de la [14] . $n$ $n$ $\lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3$ $unu$ $zece$

Relația cu logaritmul natural [15] :

\ln x\aprox 2{,}30259\ \lg x,\quad \ln x={\frac {\lg x}{\lg e))=\ln 10\cdot \lg x=(2{,} 30259\dots )\lg x

\lg x\aprox 0{,}43429\ \ln x,\quad \lg x={\frac {\ln x}{\ln 10))=\lg e\cdot \ln x=(0{,} 43429\dots )\ln x

Deoarece utilizarea logaritmilor pentru calcule odată cu apariția tehnologiei informatice aproape a încetat, astăzi logaritmul zecimal a fost înlocuit în mare măsură cu cel natural [16] . Se păstrează în principal în acele modele matematice în care a prins rădăcini istoric - de exemplu, la construirea scalelor logaritmice .

Raporturi limită

Iată câteva limite utile legate de logaritmi [17] :

\lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e={\frac {1}{\ln a}}

\lim _{x\la 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0\quad (b>0)

\lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{b))}=0\quad (b>0)

\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left( 1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\dreapta)

\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}

Alte proprietăți

Din teorema lui Gelfond rezultă că dacă sunt numere algebrice ( ), atunci fie raționale , fie transcendentale . În acest caz, logaritmul este rațional și egal numai în cazul [18] când numerele sunt legate prin relația . $a,b$ $a\neq 1$ $\log _{a}b$ ${p\peste q}$ $a,b$ $a^{p}=b^{q}$
Suma (suma parțială a seriei armonice ) în general se comportă ca , unde este constanta Euler-Mascheroni . $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))$ $n$ $\ln n+\gamma +O(n^{-1})$ $\gamma \aprox 0{,}5772156649\dots$

Ecuații logaritmice

Logaritm complex

Definiție și proprietăți

Pentru numerele complexe, logaritmul este definit în același mod ca și cel real. În practică, se folosește aproape exclusiv logaritmul complex natural, care este notat și definit ca o soluție a ecuației (alte definiții echivalente sunt date mai jos). $\mathrm {Ln} \,z$ $w$ $e^{w}=z$

În domeniul numerelor complexe, soluția acestei ecuații, spre deosebire de cazul real, nu este determinată în mod unic. De exemplu, conform identităţii lui Euler , ; totusi si . Acest lucru se datorează faptului că funcția exponențială de -a lungul axei imaginare este periodică (cu perioadă ) [19] , iar funcția ia aceeași valoare de nenumărate ori. Astfel, funcția logaritmică complexă este multivalorică . $e^{\pi i}=-1$ $e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\dots =-1$ $2\pi i$ $w=\mathrm {Ln} \,z$

Complexul zero nu are logaritm deoarece exponentul complex nu ia valoare zero. Diferit de zero poate fi reprezentat în formă exponențială: $z$

z=r\cdot e^{i\varphi }

Apoi se găsește prin formula [20] : $\mathrm {Ln} \,z$

\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)

Aici este un logaritm real, este un întreg arbitrar . Din aceasta rezultă: $\ln \,r=\ln \,|z|$ $k$

Logaritmul complex există pentru orice , iar partea sa reală este determinată în mod unic, în timp ce partea imaginară are un număr infinit de valori care diferă cu un multiplu întreg al lui . $\mathrm {Ln} \,z$ $z\neq 0$ $2\pi$

Din formula se poate observa că una și numai una dintre valori are o parte imaginară în interval . Această valoare se numește valoarea principală a logaritmului natural complex [11] . Funcția corespunzătoare (deja cu o singură valoare) se numește ramura principală a logaritmului și se notează . Uneori denotă și valoarea logaritmului, care nu se află pe ramura principală. Dacă este un număr real, atunci valoarea principală a logaritmului său coincide cu logaritmul real obișnuit. $(-\pi ,\pi ]$ $\ln\,z$ $\ln\,z$ $z$

De asemenea, din formula de mai sus rezultă că partea reală a logaritmului este determinată după cum urmează prin componentele argumentului:

\operatorname {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})

Figura arată că partea reală în funcție de componente este simetrică central și depinde doar de distanța până la origine. Se obține prin rotirea graficului logaritmului real în jurul axei verticale. Pe măsură ce se apropie de zero, funcția tinde spre . $-\infty$

Logaritmul unui număr negativ se găsește prin formula [20] :

\mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )

Exemple de valori pentru logaritmul complex

Iată valoarea principală a logaritmului ( ) și expresia sa generală ( ) pentru unele argumente: $\ln$ $\mathrm{Ln}$

\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i

\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi

\ln(i)=i{\frac {\pi }{2));\;\mathrm {Ln} (i)=i{\frac {4k+1}{2))\pi

Ar trebui să fiți atenți când convertiți logaritmi complecși, ținând cont de faptul că sunt multivalori și, prin urmare, egalitatea acestor expresii nu rezultă din egalitatea logaritmilor oricărei expresii. Un exemplu de raționament eronat:

i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi

este o eroare, care, totuși, indică indirect că valorile care diferă prin , sunt logaritmi ai aceluiași număr. Rețineți că valoarea principală a logaritmului este în stânga, iar valoarea din ramura subiacentă ( ) este în dreapta. Motivul erorii este utilizarea neglijentă a proprietății , care, în general vorbind, în cazul complex implică întregul set infinit de valori ale logaritmului, și nu doar valoarea principală. $2i\pi$ $k=-1$ $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$

Funcția logaritmică complexă și suprafața Riemann

În analiza complexă , în loc să se ia în considerare funcțiile cu mai multe valori pe plan complex , s-a luat o decizie diferită: să se considere funcția ca fiind cu o singură valoare, dar definită nu în plan, ci pe o varietate mai complexă , care se numește Riemann. suprafata [21] . Din această categorie aparține și funcția logaritmică complexă: imaginea ei (vezi figura) este formată dintr-un număr infinit de ramuri răsucite în spirală. Această suprafață este continuă și simplu conectată . Singurul zero al funcției (de ordinul întâi) se obține la . Puncte singulare: și (puncte de ramificare de ordine infinită) [22] . $z=1$ $z=0$ $z=\infty$

În virtutea faptului că este pur și simplu conectată, suprafața Riemann a logaritmului este o acoperire universală [23] pentru planul complex fără punct . $0$

Continuare analitică

Logaritmul unui număr complex poate fi definit și ca continuarea analitică a logaritmului real la întregul plan complex . Lăsați curba să înceapă de la unu, nu trece prin zero și nu intersectați partea negativă a axei reale. Atunci valoarea principală a logaritmului la punctul final al curbei poate fi determinată prin formula [22] : $\Gamma$ $w$ $\Gamma$

\ln w=\int \limits _{\Gamma {du \over u)

Dacă este o curbă simplă (fără auto-intersecții), atunci pentru numerele care se află pe ea, identitățile logaritmice pot fi aplicate fără teamă, de exemplu: $\Gamma$

\ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma

Ramura principală a funcției logaritmice este continuă și diferențiabilă pe întregul plan complex , cu excepția părții negative a axei reale, pe care partea imaginară sare la . Dar acest fapt este o consecință a limitării artificiale a părții imaginare a valorii principale de către intervalul . Dacă luăm în considerare toate ramurile funcției, atunci continuitatea are loc în toate punctele cu excepția zero, unde funcția nu este definită. Dacă curbei i se permite să traverseze partea negativă a axei reale, atunci prima astfel de intersecție transferă rezultatul de la ramura principală a valorii la ramura vecină, iar fiecare intersecție ulterioară provoacă o deplasare similară de-a lungul ramurilor funcției logaritmice [22]. ] (vezi figura). $2\pi$ $(-\pi ,\pi ]$ $\Gamma$

Din formula de continuare analitică rezultă că pe orice ramură a logaritmului [19] :

{\frac {d}{dz}}\ln z={1 \over z}

Pentru orice cerc care cuprinde un punct : $S$ $0$

\oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i

Integrala este luată în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic ). Această identitate stă la baza teoriei reziduurilor .

Se mai poate defini continuarea analitică a logaritmului complex folosind seria de mai sus: seria 1 sau seria 2 , generalizată la cazul unui argument complex. Totuși, din forma acestor serii rezultă că la unitate suma seriei este egală cu zero, adică seria se referă numai la ramura principală a funcției multivalorice a logaritmului complex. Raza de convergență a ambelor serii este 1.

Relația cu funcțiile trigonometrice și hiperbolice inverse

Deoarece funcțiile trigonometrice complexe sunt legate de exponențial ( formula lui Euler ), atunci logaritmul complex ca inversul funcției exponențiale este legat de funcțiile trigonometrice inverse [24] [25] :

\operatorname {Arcsin} z=-i\operatorname {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})

\operatorname {Arccos} z=-i\operatorname {Ln} (z+i{\sqrt {1-z^{2}}})

\operatorname {Arctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+zi}{1-zi}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

\operatorname {Arcctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {zi-1}{zi+1}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

Funcțiile hiperbolice pe plan complex pot fi considerate funcții trigonometrice ale argumentului imaginar, așa că și aici există o legătură cu logaritmul [25] :

\operatorname {Arsh} z=\operatorname {Ln} (z+{\sqrt {z^{2}+1)))

- sinus hiperbolic invers

\operatorname {Arch} z=\operatorname {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)

este cosinusul hiperbolic invers

\operatorname {Arth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)

este tangenta hiperbolică inversă

\operatorname {Arcth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)

este cotangenta hiperbolică inversă

Contur istoric

Predecesori

Sursa ideologică și stimulul pentru utilizarea logaritmilor a fost faptul (cunoscut lui Arhimede [26] ) că la înmulțirea puterilor, exponenții acestora se adună [27] : . Matematicianul indian din secolul al VIII-lea Virasena , explorând dependențele de putere, a publicat un tabel de exponenți întregi (adică, de fapt, logaritmi) pentru bazele 2, 3, 4 [28] . $a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c)$

Pasul decisiv a fost făcut în Europa medievală. Nevoia de calcule complexe în secolul al XVI-lea a crescut rapid și o mare parte din dificultate a fost asociată cu înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre, precum și cu extragerea rădăcinilor . La sfârșitul secolului, mai mulți matematicieni, aproape simultan, au venit cu ideea: să înlocuiască înmulțirea consumatoare de timp cu adunarea simplă, comparând progresiile geometrice și aritmetice folosind tabele speciale, în timp ce cea geometrică va fi cea originală [26] . Apoi împărțirea este înlocuită automat cu o scădere nemăsurat mai simplă și mai fiabilă, iar exponențiarea și extragerea rădăcinii vor fi, de asemenea, simplificate .

Primul care a publicat această idee în cartea sa „ Arithmetica integra ” (1544) a fost Michael Stiefel , care, însă, nu a depus eforturi serioase pentru implementarea practică a ideii sale [29] [30] . Principalul merit al lui Stiefel este trecerea de la exponenți întregi la exponenți raționali arbitrari [31] (primii pași în această direcție au fost făcuți de Nikolay Orem în secolul al XIV-lea și Nicola Schuquet în secolul al XV-lea).

John Napier și „tabelul său uimitor de logaritmi”

În 1614, matematicianul amator scoțian John Napier a publicat o lucrare în latină intitulată Description of the Amazing Table of Logarithms ( în latină: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Avea o scurtă descriere a logaritmilor și proprietăților acestora, precum și tabele de 8 cifre ale logaritmilor sinusurilor , cosinusurilor și tangentelor , cu un pas de 1'. Termenul de logaritm , propus de Napier, s-a impus în știință. Napier a expus teoria logaritmilor într-o altă dintre cărțile sale, „ Construcția unui tabel uimitor de logaritmi ” ( lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), publicată postum în 1619 de fiul său Robert.

Judecând după documente, Napier a stăpânit tehnica logaritmului până în 1594 [32] . Scopul imediat al dezvoltării sale a fost de a facilita calcule astrologice complexe pentru Napier [33] ; de aceea au fost incluse în tabele doar logaritmii funcţiilor trigonometrice .

Conceptul de funcție nu exista încă, iar Napier a definit logaritmul cinematic , comparând mișcarea uniformă și logaritmică lentă; de exemplu, el a definit logaritmul sinusului după cum urmează [34] :

Logaritmul unui sinus dat este un număr care crește întotdeauna aritmetic în aceeași rată cu care sinusul complet a început să scadă geometric.

În notația modernă, modelul cinematic Napier poate fi reprezentat printr-o ecuație diferențială [35] :

{\frac {dx}{x}}=-{\frac {dy}{M}}

unde M este un factor de scalare introdus pentru ca valoarea să se dovedească a fi un număr întreg cu numărul necesar de cifre ( fracțiunile zecimale nu erau încă utilizate pe scară largă atunci). Napier a luat M = 10.000.000.

Strict vorbind, Napier a tabulat funcția greșită, care se numește acum logaritm. Dacă notăm funcția sa ca , atunci este legată de logaritmul natural după cum urmează [35] : $\operatorname {LogNap} (x)$

\operatorname {LogNap} (x)=M\cdot (\ln(M)-\ln(x))

Evident, adică logaritmul „sinusului complet” (corespunzător la 90 °) este zero - asta a realizat Napier cu definiția sa. De asemenea, a vrut ca toți logaritmii să fie pozitivi; este ușor de verificat dacă această condiție pentru este îndeplinită. . $\operatorname {LogNap} (M)=0$ $x<M$ $\operatorname {LogNap} (0)=\infty$

Principala proprietate a logaritmului Napier: dacă mărimile formează o progresie geometrică , atunci logaritmii lor formează o progresie aritmetică . Cu toate acestea, regulile pentru logaritmul pentru funcția non-Peer diferă de regulile pentru logaritmul modern, de exemplu:

\operatorname {LogNap} (a\cdot b)=\operatorname {LogNap} (a)+\operatorname {LogNap} (b)-\operatorname {LogNap} (1)

Dezvoltare ulterioară

După cum sa dovedit curând, din cauza unei erori în algoritm, toate valorile tabelului Napier conțineau numere incorecte după a șasea cifră [36] . Cu toate acestea, acest lucru nu a împiedicat noua metodă de calcul să câștige o mare popularitate, iar mulți matematicieni europeni au preluat compilarea tabelelor logaritmice. Kepler a introdus o dedicație entuziastă lui Napier în cartea de referință astronomică pe care a publicat-o în 1620 (neștiind că inventatorul logaritmilor murise deja). În 1624, Kepler a publicat propria sa versiune a tabelelor logaritmice ( lat. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos ) [37] . Folosirea logaritmilor ia permis lui Kepler să finalizeze mulți ani de muncă la Tabelele Rudolphiene relativ rapid , ceea ce a cimentat succesul astronomiei heliocentrice .

La câțiva ani după cartea lui Napier, au apărut tabelele logaritmice, folosind o înțelegere mai modernă a logaritmului. Profesorul londonez Henry Briggs a publicat tabele cu 14 cifre de logaritmi zecimali (1617), și nu pentru funcții trigonometrice, ci pentru numere întregi arbitrare până la 1000 (7 ani mai târziu, Briggs a crescut numărul de numere la 20000). În 1619, profesorul de matematică londonez John Spidell a republicat tabelele logaritmice ale lui Napier, corectate și completate astfel încât acestea să devină de fapt tabele de logaritmi naturali. Spidell avea și logaritmii numerelor în sine până la 1000 (mai mult, logaritmul unității, ca și Briggs, era egal cu zero) - deși Spidell a păstrat scalarea la numere întregi [38] [39] .

Curând a devenit clar că locul logaritmilor în matematică nu se limitează la confortul computațional. În 1629, matematicianul belgian Grégoire de Saint-Vincent a arătat că aria sub o hiperbolă variază după o lege logaritmică [40] . În 1668, matematicianul german Nicholas Mercator (Kaufmann) a descoperit și publicat în cartea sa Logarithmotechnia extinderea logaritmului într-o serie infinită [41] . Potrivit multor istorici, apariția logaritmilor a avut o influență puternică asupra multor concepte matematice, inclusiv: $y={\frac {1}{x}}$

Formarea și recunoașterea conceptului general de numere iraționale și transcendentale [42] .
Apariția unei funcții exponențiale și conceptul general de funcție numerică , numărul Euler , dezvoltarea teoriei ecuațiilor la diferență [43] .
Noțiuni introductive cu Infinite Series [41] .
Metode generale de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale de diferite tipuri.
Evoluții substanțiale în teoria metodelor numerice necesare pentru calcularea tabelelor logaritmice exacte.

Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, nu a existat o desemnare general acceptată a logaritmului, baza a era indicată fie în stânga, cât și deasupra simbolului jurnalului , apoi deasupra acestuia. În cele din urmă, matematicienii au ajuns la concluzia că locul cel mai convenabil pentru bază este sub linie, după log : simbol . Scurte desemnări ale celor mai comune tipuri de logaritm - pentru zecimal și natural - au apărut mult mai devreme deodată de mai mulți autori și au fost în cele din urmă fixate și până la sfârșitul secolului al XIX-lea [44] . $\log _{a}b$ $\lg ,\;\ln$

Aproape de înțelegerea modernă a logaritmului - ca operație, inversul ridicării la putere - a apărut pentru prima dată la Wallis (1685) și Johann Bernoulli (1694), și a fost în cele din urmă legitimat de Euler [36] . În cartea „Introduction to the Analysis of Infinite” ( 1748 ), Euler a dat definiții moderne atât ale funcțiilor exponențiale , cât și ale funcțiilor logaritmice, le-a extins în serii de puteri și a notat mai ales rolul logaritmului natural [45] . Euler are și meritul de a extinde funcția logaritmică la domeniul complex.

Extinderea logaritmului la domeniul complex

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli , dar nu au reușit să creeze o teorie holistică, în primul rând din cauza faptului că conceptul de logaritm în sine nu era încă clar. definit [46] . Discuția pe această temă a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea între d'Alembert și Euler. Bernoulli și d'Alembert credeau că ar trebui definit , în timp ce Leibniz a susținut că logaritmul unui număr negativ este un număr imaginar [46] . Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și în esență nu diferă de cea modernă [47] . Deși controversa a continuat (d'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), abordarea lui Euler până la sfârșitul secolului al XVIII-lea a primit recunoaștere universală. $\log(-x)=\log(x)$

În secolul al XIX-lea, odată cu dezvoltarea analizei complexe , studiul logaritmului complex a stimulat noi descoperiri. Gauss în 1811 a dezvoltat o teorie completă a multivalorității funcției logaritmice [48] , definită ca integrală a lui . Riemann , bazându-se pe fapte deja cunoscute despre aceasta și funcții similare, a construit o teorie generală a suprafețelor Riemann . ${\frac {1}{z))$

Dezvoltarea teoriei mapărilor conformale a arătat că proiecția Mercator în cartografie , care a apărut chiar înainte de descoperirea logaritmilor (1550), poate fi descrisă ca un logaritm complex [49] .

Câteva aplicații practice

Relații logaritmice în știință și natură

Funcțiile logaritmice sunt extrem de răspândite atât în matematică, cât și în științele naturii. Adesea, logaritmii apar acolo unde apare auto-asemănarea , adică un obiect este reprodus în mod constant la o scară redusă sau mărită; vezi mai jos pentru exemple precum algoritmi recursivi , fractali sau cochilii. Iată câteva exemple de utilizare a logaritmilor în diverse științe.

Teoria numerelor

Distribuția numerelor prime respectă asimptotic legi simple [50] :

Numărul de numere prime între 1 și aproximativ egal cu . $n$ ${\frac {n}{\ln n))$
k --lea prim este aproximativ egal cu . $k\ln k$

Estimările și mai precise folosesc logaritmul integral .

Adesea apare problema de a estima aproximativ un număr foarte mare, cum ar fi un factorial sau un număr Mersenne cu un număr mare. Pentru a face acest lucru, ar fi convenabil să scrieți aproximativ numărul în format exponențial , adică sub forma unei mantise și a unui exponent zecimal.

Problema este ușor de rezolvat folosind logaritmi. Luați în considerare, de exemplu, al 44-lea număr Mersenne . $M=2^{32582657}-1$

\lg M\aprox 32582657\cdot \lg 2\aprox 9808357{,}09543

Prin urmare, mantisa rezultatului este egală cu În cele din urmă obținem: $10^{0{,}09543}\aprox 1{,}25.$

M\aprox 1{,}25\cdot 10^{9808357}.

Analiză matematică

Logaritmii apar adesea la găsirea integralelor și la rezolvarea ecuațiilor diferențiale . Exemple:

\int {\operatorname {tg} x}\,dx=-\ln |\cos x|+C;\quad \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+a} }}=-\ln \ \left|\ x+{\sqrt {x^{2}+a}}\ \right|+C

Teoria probabilității și statistică

În statistică și teoria probabilității, logaritmul este inclus într-un număr de distribuții de probabilitate practic importante. De exemplu, distribuția logaritmică [51] este utilizată în genetică și fizică. Distribuția lognormală apare adesea în situațiile în care valoarea studiată este produsul mai multor variabile aleatoare pozitive independente [52] .

Legea lui Benford („legea primei cifre”) descrie probabilitatea ca o anumită primă cifră semnificativă să apară la măsurarea valorilor reale.

Pentru a estima un parametru necunoscut, metoda probabilității maxime și funcția de log-probabilitate asociată [53] sunt utilizate pe scară largă .

Fluctuațiile într -o plimbare aleatorie sunt descrise de legea Khinchin-Kolmogorov .

Informatică și matematică computațională

În informatică : o unitate de măsură pentru informație ( bit ). De exemplu, pentru a stoca un număr natural într-un computer (în formatul binar obișnuit pentru un computer), aveți nevoie de biți. $N$ $\log _{2}N+1$

Entropia informației este o măsură a cantității de informații.

Estimarea complexității asimptotice a algoritmilor recursivi de împărțire și cucerire [54] cum ar fi sortarea rapidă , transformarea Fourier rapidă etc.

De obicei, valorile numerice sunt stocate în memoria unui computer sau a unui procesor specializat în format virgulă mobilă . Dacă, totuși, adunarea și scăderea sunt rareori efectuate pe un grup de date, dar înmulțirea, împărțirea, exponențiarea și extragerea rădăcinilor sunt efectuate mult mai des, atunci este logic să luați în considerare stocarea acestor date într-un format logaritmic . În acest caz, în locul unui număr, logaritmul modulului său și semnul sunt stocate , iar viteza de calcul datorită proprietăților logaritmului crește semnificativ [55] . Formatul de stocare logaritmică a fost folosit în mai multe sisteme unde sa dovedit a fi eficient [56] [57] .

Fractali și dimensiuni

Logaritmii ajută la exprimarea dimensiunii Hausdorff a unui fractal [58] . De exemplu, luăm în considerare triunghiul Sierpinski , care se obține dintr -un triunghi echilateral prin îndepărtarea succesivă a triunghiurilor similare, dimensiunea liniară a fiecăruia dintre ele fiind înjumătățită în fiecare etapă (vezi figura). Dimensiunea rezultatului este determinată de formula:

{\frac {\ln 3}{\ln 2))\aprox 1{,}58

Mecanica si fizica

Principiul Boltzmann în termodinamica statistică este una dintre cele mai importante funcţii ale stării unui sistem termodinamic , care caracterizează gradul de aleatorie a acestuia .

Formula Tsiolkovsky este folosită pentru a calcula viteza unei rachete.

Chimie și chimie fizică

Ecuația Nernst conectează potențialul redox al sistemului cu activitățile substanțelor incluse în ecuația electrochimică, precum și cu potențialele standard de electrozi ale perechilor redox.

Logaritmul este utilizat în definițiile unor cantități precum indicele constantei de autoprotoliză (autoionizarea moleculei) și indicele de hidrogen (aciditatea soluției).

Teoria muzicii

Pentru a rezolva problema câte părți să împărțim octava , este necesar să găsim o aproximare rațională pentru . Dacă extindem acest număr într-o fracție continuă , atunci a treia fracție convergentă (7/12) ne permite să justificăm împărțirea clasică a octavei în 12 semitonuri [59] . $\log _{2}{\frac {3}{2}}\approx 0{,}585$

Psihologie și fiziologie

Percepția umană a multor fenomene este bine descrisă de legea logaritmică.

Legea Weber-Fechner este o lege psihofiziologică empirică , care afirmă că intensitatea senzației este proporțională cu logaritmul intensității stimulului [60] - intensitatea sunetului [61] , luminozitatea luminii.

Legea lui Fitts : cu cât se efectuează mișcarea corpului mai departe sau mai precis, cu atât este necesară mai multă corecție pentru implementarea ei și cu cât această corecție se efectuează mai mult [62] .

Timpul pentru a lua o decizie în prezența unei alegeri poate fi estimat conform legii lui Hick [63] .

Biologie

Un număr de forme biologice corespund bine unei spirale logaritmice [64] - o curbă în care tangenta în fiecare punct formează același unghi cu vectorul rază în acest punct, adică creșterea razei pe unitatea de lungime a unui cerc este constant:

Shell Nautilus
Amplasarea semințelor pe floarea soarelui
conopida Romanesco

Diverse

Numărul de ture ale jocului conform sistemului olimpic este egal cu logaritmul binar al numărului de participanți la competiție, rotunjit la cel mai apropiat număr întreg mai mare [65] .

Scară logaritmică

Scara neuniformă a logaritmilor zecimali este utilizată în multe domenii ale științei. Pentru a asigura calculele, acesta este reprezentat pe reguli de calcul . Alte exemple:

Acustica - nivelul presiunii sonore și intensitatea sunetului ( decibeli ) [66] .
Raportul semnal-zgomot în inginerie radio și telecomunicații [67] .
Astronomie - scara luminozității stelelor [68] .
Chimie - activitatea ionilor de hidrogen ( pH ) [69] .
Seismologie - scara Richter [70] .
Densitatea optică este o măsură a absorbției luminii de către obiectele transparente sau a reflectării luminii de către obiectele opace [71] .
Latitudinea fotografică este o caracteristică a materialului fotosensibil [72] .
Viteza obturatorului și scara diafragmei în fotografie [73] .
Teoria muzicii este o scară muzicală, în raport cu frecvențele sunetelor muzicale [59] .
Agricultura este principala caracteristică hidrofizică a solului [74] .
Teoria controlului - răspuns logaritmic amplitudine-fază în frecvență [75] .

Scara logaritmică este utilă mai ales în cazurile în care nivelurile mărimii măsurate formează o progresie geometrică , de atunci logaritmii lor sunt distribuiti cu un pas constant. De exemplu, 12 semitonuri ale unei octave clasice formează (aproximativ) o astfel de progresie [59] cu numitorul . La fel, fiecare nivel al scalei Richter corespunde unei energii de 10 ori mai mare decât nivelul precedent. Chiar și în absența unei progresii geometrice, o scară logaritmică poate fi utilă pentru o reprezentare compactă a unei game largi de valori măsurate. ${\sqrt[{12}]{2}}\aprox 1{,}059$

Scara logaritmică este, de asemenea, utilizată pe scară largă pentru a evalua exponentul în dependențe exponențiale și coeficientul în exponent. În același timp, un grafic trasat pe o scară logaritmică de-a lungul uneia sau două axe ia forma unei linii drepte, care este mai ușor de studiat.

Tabele logaritmice

Din proprietățile logaritmului, rezultă că, în loc de înmulțirea consumatoare de timp a numerelor cu mai multe valori, este suficient să găsiți (conform tabelelor) și să adăugați logaritmii acestora, apoi să efectuați potențarea folosind aceleași tabele (secțiunea " Antilogaritmi " ) , adică găsiți valoarea rezultatului după logaritmul său. Efectuarea diviziunii diferă doar prin faptul că logaritmii sunt scăzuți.

Primele tabele de logaritmi au fost publicate de John Napier ( 1614 ) și conțineau doar logaritmii funcțiilor trigonometrice și cu erori. Independent de el, Jost Bürgi , un prieten al lui Kepler , și-a publicat tabelele ( 1620 ). În 1617 profesorul de matematică de la Oxford Henry Briggs a publicat tabele care includeau deja logaritmii zecimali ai numerelor în sine, de la 1 la 1000, cu 8 (mai târziu 14) cifre. Dar au existat și erori în tabelele Briggs. Prima ediție infailibilă bazată pe tabelele lui Georg Vega ( 1783 ) a apărut abia în 1857 la Berlin ( tabelele lui Bremiker ) [76] .

În Rusia, primele tabele de logaritmi au fost publicate în 1703 cu participarea lui L. F. Magnitsky [77] . Mai multe colecții de tabele de logaritmi au fost publicate în URSS [78] :

Bradis V. M. Tabele matematice cu patru valori. M.: Butarda, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0 . Tabelele Bradis, publicate încă din 1921, au fost folosite în instituțiile de învățământ și în calculele inginerești care nu necesită o mare precizie. Acestea conțineau mantise de logaritmi zecimali ai numerelor și funcții trigonometrice, logaritmi naturali și alte câteva instrumente utile de calcul.
Vega G. Tabele de logaritmi cu șapte cifre, ediția a IV-a, M.: Nedra, 1971. Colecție profesională pentru calcule exacte.
Bremiker K. Tabele logaritmo-trigonometrice. M.: Nauka, 1962. 664 p. Tabelele clasice din șase cifre, convenabile pentru calcule cu funcții trigonometrice .
Tabelele cu cinci cifre ale valorilor naturale ale mărimilor trigonometrice, logaritmii lor și logaritmii numerelor, ediția a 6-a, M .: Nauka, 1972.
Tabele de logaritmi naturali, ediția a II-a, în 2 volume, Moscova: Nauka, 1971.
Tabele din zece cifre ale logaritmilor numerelor complexe. M., 1952.

Regula de calcul

În anii 1620, Edmund Wingate și William Oughtred au inventat prima regulă de calcul, care a servit ca instrument de calcul indispensabil pentru un inginer până la apariția calculatoarelor de buzunar [79] . Cu acest instrument compact, puteți efectua rapid toate operațiile algebrice, inclusiv cele care implică funcții trigonometrice [80] . Precizia calculelor este de aproximativ 3 cifre semnificative.

Variații și generalizări

Logaritmul ca soluție a unei ecuații poate fi definit nu numai pentru numere reale și complexe. $a^{x}=b$

Puteți introduce o funcție logaritmică pentru cuaternioni (vezi funcțiile variabile cuaternioane ). Cu toate acestea, majoritatea proprietăților algebrice ale logaritmului se pierd [81] — de exemplu, logaritmul unui produs nu este egal cu suma logaritmilor, iar acest lucru reduce valoarea practică a unei astfel de generalizări.
Dacă sunt elemente ale unui grup multiplicativ abelian finit , atunci logaritmul în sensul indicat (dacă există) se numește discret . Cel mai adesea, este considerat pentru un grup finit al unui inel de reziduuri modulo some, unde este numit index modulo this [82] și joacă un rol important în criptografie . În grupurile ciclice , un logaritm există dacă baza sa este o rădăcină primitivă a acelui grup. $a,b$
Logarithm matrice :Puteți defini logaritmi și pentrumatrice [83] .
Se poate defini logaritmul p-adic pentru unele numere p-adice [84] .
Pentru a lucra cu numere foarte mari se introduce conceptul de superlogaritm , care nu este legat de exponentiare , ci de o operatie de ordin superior: tetrarea .

Vezi și

Antilog
scăderea logaritmică
Semn logaritmic de convergență
hârtie logaritmică
polilogaritm
Ordin de mărime
Funcția prostaferetică
Lista integralelor funcțiilor logaritmice

Note

↑ Dicționar scurt de cuvinte străine. M.: Limba rusă, 1984.
↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară, 1978 , p. 186.
↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară, 1978 , p. 184-186.
↑ Shvetsov K.I., Bevz G.P. Manual de matematică elementară. Aritmetică, algebră. Kiev: Naukova Dumka, 1966. §40. Informații istorice despre logaritmi și regula de calcul.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , p. 34.
↑ Algebra și începutul analizei. Manual pentru clasele 10-11. ediția a XII-a, Moscova: Iluminismul, 2002. pp. 229.
↑ Algebra și începutul analizei. Manual pentru clasele 10-11. ediția a XII-a, Moscova: Iluminismul, 2002. pp. 233.
↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară, 1978 , p. 187.
↑ Matematică elementară, 1976 , p. 93f.
↑ 1 2 Matematică elementară, 1976 , p. 89.
↑ 1 2 Funcție logaritmică. // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3.
↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, 1966 , Volumul I, pp. 159-160.
↑ Sasaki T., Kanada Y. Practically fast multiple-precision evaluation of log(x ) // Journal of Information Processing. - 1982. - Vol. 5 , iss. 4 . - P. 247-250 .
↑ 1 2 Matematică elementară, 1976 , p. 94-100.
↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară, 1978 , p. 189.
↑ Klein F. Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior, 1987 , p. 406.
↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, 1966 , Volumul I, p. 164.
↑ Baker, Alan (1975), Teoria numerelor transcendentale , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20461-3 , p. zece.
↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, 1966 , Volumul II, pp. 520-522.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , p. 623.
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe, 1967 , p. 92-94.
↑ 1 2 3 Sveșnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe, 1967 , p. 45-46, 99-100.
↑ Boltyansky V. G. , Efremovici V. A. Topologie vizuală . - M . : Nauka, 1982. - S. 112. - (Biblioteca Quantum, numărul 21).
↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, 1966 , Volumul II, pp. 522-526.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , p. 624.
↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Eseu despre istoria logaritmilor, 1923 , p. 9.
↑ Klein F. Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior, 1987 , p. 206.
↑ Gupta, RC (2000), History of Mathematics in India , în Hoiberg, Dale & Ramchandani, Students' Britannica India: Select essays , New Delhi: Popular Prakashan, p. 329 Arhivat 17 martie 2018 la Wayback Machine
↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 54-55.
↑ Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics , New York: Holt, Rinehart, Winston, p. 182, ISBN 978-0-03-077670-0 , < https://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel >
↑ Klein F. Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior, 1987 , p. 210.
↑ Uspensky Ya. V. Eseu despre istoria logaritmilor, 1923 , p. 13.
↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 56.
↑ Cititor despre istoria matematicii. Analiza matematică. Teoria probabilității / Ed. A. P. Iuşkevici . - M . : Educaţie, 1977. - S. 40. - 224 p.
↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul II, 1970 , p. 59.
↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul II, 1970 , p. 61.
↑ Uspensky Ya. V. Eseu despre istoria logaritmilor, 1923 , p. 39.
↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 63.
↑ Charles Hutton. Tabele matematice. Arhivat la 11 septembrie 2016 la Wayback Machine London, 1811, p. treizeci.
↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 133.
↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Eseu despre istoria logaritmilor, 1923 , p. 52.
↑ Klein F. Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior, 1987 , p. 51, 286, 352.
↑ Klein F. Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior, 1987 , p. 213, 217.
↑ Florian Cajori . O istorie a matematicii, ed. a 5-a (nedefinită) . - Librăria AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024 .
↑ Rybnikov K. A. Istoria matematicii. În două volume. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1963. - T. II. - S. 25.
↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul III, 1972 , p. 325-328.
↑ Rybnikov K. A. Istoria matematicii. În două volume. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231.
↑ Matematica secolului al XIX-lea. Volumul II: Geometrie. Teoria funcţiilor analitice, 1981 , p. 122-123.
↑ Klein F. Matematică elementară dintr-un punct de vedere superior . - M . : Nauka, 1987. - T. II. Geometrie. - S. 159-161. — 416 p.
↑ Derbyshire, John. Obsesie simplă. Bernhard Riemann și cea mai mare problemă nerezolvată din matematică. - Astrel, 2010. - 464 p. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
^ Weisstein , Eric W. Log-Series Distribution . lumea matematică. Consultat la 26 aprilie 2012. Arhivat din original pe 11 mai 2012.
↑ Distribuție logaritmic normală // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3.
↑ Metoda maximă de probabilitate // Enciclopedia matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3.
↑ Harel, David; Feldman, Yishai A. Algoritmici: spiritul de calcul . - New York: Addison-Wesley, 2004. - P. 143 . - ISBN 978-0-321-11784-7 .
↑ N.G. Kingsburg, PJW Rayner. Filtrare digitală folosind aritmetică logaritmică // Electronics Letters : jurnal. - 1971. - 28 ianuarie ( vol. 7 ). — P. 55 .
↑ R. C. Ismail și J. N. Coleman. LNS fără ROM (neopr.) // 2011 20th IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH). - 2011. - iulie. - S. 43-51 . - doi : 10.1109/ARITH.2011.15 .
↑ Haohuan Fu, Oskar Mencer, Wayne Luk. Comparing Floating-point and Logarithmic Number Representations for Reconfigurable Acceleration // IEEE Conference on Field Programmable Technology : journal. - 2006. - Decembrie. - P. 337 . - doi : 10.1109/FPT.2006.270342 .
↑ Ivanov M. G. Mărime și dimensiune // „Potențial”, august 2006.
↑ 1 2 3 Shilov G. E. Gama simplă. Dispozitiv de cântare muzicală. Copie de arhivă din 22 februarie 2014 la Wayback Machine M.: Fizmatgiz, 1963. 20 p. Seria „Prelegeri populare de matematică”, numărul 37.
↑ Golovin S. Yu. WEBER-FECHNER LAW // Dictionary of a Practical Psychologist . Consultat la 17 aprilie 2012. Arhivat din original pe 27 mai 2012. (nedefinit)
↑ Irina Aldoshina. Fundamentele psihoacusticii // Inginer de sunet. - 1999. - Emisiune. 6 .
↑ Legea lui Fitts // Enciclopedia psihologică . Consultat la 17 aprilie 2012. Arhivat din original pe 27 mai 2012. (nedefinit)
↑ Welford, A. T. Fundamentals of skill . - Londra: Methuen, 1968. - P. 61 . - ISBN 978-0-416-03000-6 .
↑ Spirală logaritmică //Dicţionar Enciclopedic Matematic / Ch. ed. Iu. V. Prohorov . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1988. - S. 328. - 847 p. — ISBN 5-85270-278-1 .
↑ Kharin A. A. Organizarea și desfășurarea de concursuri. Ghid metodologic . - Izhevsk: UdGU, 2011. - S. 27.
↑ Decibel // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
↑ Complex educațional și metodologic: Metode și mijloace de procesare a semnalului . Consultat la 28 aprilie 2012. Arhivat din original pe 18 februarie 2012. (nedefinit)
↑ Magnitudinea stelei // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
↑ Bates R. Determinarea pH-ului. Teorie și practică. - Ed. a II-a. - L. : Chimie, 1972.
↑ Scara Gorkin A.P. Richter // Geografie. - M. : Rosmen-Press, 2006. - 624 p. — (Enciclopedie ilustrată modernă). — 10.000 de exemplare. — ISBN 5-353-02443-5 .
↑ Densitatea optică // Fotokinotehnică: Enciclopedie / Cap. ed. E. A. Iofis . — M .: Enciclopedia sovietică , 1981. — 447 p.
↑ Latitudinea fotografică // Fotokinotehnică: Enciclopedie / Cap. ed. E. A. Iofis . — M .: Enciclopedia sovietică , 1981. — 447 p.
↑ Kulagin S. V. Extras // Tehnica foto-cinema: Enciclopedie / Cap. ed. E. A. Iofis . — M .: Enciclopedia sovietică , 1981. — 447 p.
↑ Shein E. V. Curs de fizica solului. M.: Editura Universității de Stat din Moscova, 2005. - 432 p. ISBN 5-211-05021-5 .
↑ Conceptul de răspuns în frecvență . Consultat la 28 aprilie 2012. Arhivat din original pe 27 mai 2012. (nedefinit)
↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 62.
↑ Gnedenko B. V. Eseuri despre istoria matematicii în Rusia, ediția a II-a. - M. : KomKniga, 2005. - S. 66. - 296 p. - ISBN 5-484-00123-4 .
↑ Tabele logaritmice // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 65-66.
↑ Berezin S.I. Rigla de calcul de numărare. - M . : Mashinostroenie, 1968.
↑ David Eberly. Quaternion algebra and calculus (engleză) (2 martie 1999). Consultat la 12 aprilie 2012. Arhivat din original pe 27 mai 2012.
↑ Vinogradov I. M. Fundamentele teoriei numerelor . - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 97. - 180 p.
↑ Gantmakher F. R. Teoria matricei. — M .: Nauka, 1967. — 576 p.
↑ p-adic exponențial și logaritmul p-adic // PlanetMath.org .

Literatură

Teoria logaritmilor

Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară . — M .: Nauka, 1978.
- Reeditare: AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matematică elementară. Repetă cursul. - Ediția a treia, stereotipă. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Korn G., Korn T. Manual de matematică (pentru cercetători și ingineri) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - ed. al 6-lea. — M .: Nauka, 1966. — 680 p.
Shakhmeister A. Kh. Logaritmi. Manual pentru școlari, participanți și profesori. - ed. al 5-lea. - Sankt Petersburg. : MTSNMO, 2016. - 288 p. - ISBN 978-5-4439-0648-5 .

Istoria logaritmilor

Abelson I. B. Nașterea logaritmilor . - M. - L .: Gostekhizdat, 1948. - 231 p.
Girshvald L. Ya. Istoria descoperirii logaritmilor. - Harkov: Editura Universității din Harkov, 1952. - 33 p.
Klein F. Matematică elementară dintr-un punct de vedere superior . - M . : Nauka, 1987. - T. I. Aritmetică. Algebră. Analiză. — 432 p.
Matematica secolului al XVII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
Matematica secolului al XVIII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (ed.). Matematica secolului al XIX-lea. Geometrie. Teoria funcţiilor analitice. - M . : Nauka, 1981. - T. II.
Uspensky Ya. V. Eseu despre istoria logaritmilor. - Petrograd: Editura științifică, 1923. - 78 p.

Dicționare și enciclopedii

mare danez
mare danez
Mare norvegian
Rusă mare
Rusă mare
Brockhaus și Efron
in jurul lumii
Micul Brockhaus și Efron
Muzical Riemann
Britannica (online)
Britannica (online)

În cataloagele bibliografice
BNE : XX527539 BNF : 11941516p GND : 4168047-9 J9U : 987007533701405171 LCCN : sh85078091 NDL : 00572566