Cassini oval

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 15 martie 2022; verificările necesită 2 modificări .

Ovalul Cassini este o curbă care este locul punctelor , produsul distanțelor de la care la două puncte date (focale) este constant și egal cu pătratul unui anumit număr . Este un caz special al secțiunii torice și al curbei Perseus . $A$

Un caz special al ovalului Cassini cu o distanță focală egală cu , este lemniscata lui Bernoulli . $2a$

În timpurile moderne, curba a fost introdusă (redescoperită) de astronomul Giovanni Cassini . El a crezut în mod eronat că determină mai precis orbita Pământului decât o elipsă [1] . Deși această linie este numită oval Cassini , nu este întotdeauna ovală (vezi mai jos - Caracteristici de formă ).

Variante (alte cazuri)

Curba sumei constante a distanțelor până la două puncte date - elipsă , raport constant - cerc al lui Apollonius , diferență constantă - hiperbolă .

Ecuații

Distanța dintre focare . $2c$

În coordonate dreptunghiulare :

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Concluzie
Se concentrează - și . Luați un punct arbitrar , găsiți distanța de la focare până la acesta și echivalați-l cu : $F_{1}(-c;0)$ $F_{2}(c;0)$ $M(x;y)$ $a^2$ $\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}=a^{2}$ Punem la patrat ambele laturi ale ecuatiei: $\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(xc)^{2}+y^{2}{\Big )}=a^{4}$ Extindeți parantezele din partea stângă: $\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}$ Deschidem parantezele, prăbușim noul pătrat al sumei și scoatem factorul comun: $\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$

Concluzie

Se concentrează - și . Luați un punct arbitrar , găsiți distanța de la focare până la acesta și echivalați-l cu :

F_{1}(-c;0)

F_{2}(c;0)

M(x;y)

a^2

\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}=a^{2}

Punem la patrat ambele laturi ale ecuatiei:

\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(xc)^{2}+y^{2}{\Big )}=a^{4}

Extindeți parantezele din partea stângă:

\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}

Deschidem parantezele, prăbușim noul pătrat al sumei și scoatem factorul comun:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Ecuație explicită în coordonate dreptunghiulare:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4c^{2}x^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

Concluzie
$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$ Îndreptăm și deschidem parantezele: $\textstyle x^{4}+2x^{{2}}y^{2}+y^{4}-2c^{{2}}x^{2}+2c^{{2}}y^{ 2}=a^{4}-c^{4}$ Ne aducem în minte $\textstyle y^{4}+2y^{{2}}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{{2}}x^{2}-a^ {4}+c^{4}=0$ Aceasta este o ecuație pătratică pentru . Rezolvând-o, obținem $y^{2}$ $\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {a^{4}+4x^{{2}}c^{2}}}$ Luând rădăcina și eliminând opțiunea cu un al doilea termen negativ, obținem: $\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}$ unde varianta pozitivă definește jumătatea superioară a curbei, varianta negativă o definește pe cea inferioară.

Concluzie

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Îndreptăm și deschidem parantezele:

\textstyle x^{4}+2x^{{2}}y^{2}+y^{4}-2c^{{2}}x^{2}+2c^{{2}}y^{ 2}=a^{4}-c^{4}

Ne aducem în minte

\textstyle y^{4}+2y^{{2}}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{{2}}x^{2}-a^ {4}+c^{4}=0

Aceasta este o ecuație pătratică pentru . Rezolvând-o, obținem $y^{2}$

\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {a^{4}+4x^{{2}}c^{2}}}

Luând rădăcina și eliminând opțiunea cu un al doilea termen negativ, obținem:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

unde varianta pozitivă definește jumătatea superioară a curbei, varianta negativă o definește pe cea inferioară.

În sistemul de coordonate polare :

\rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos {2\varphi }=a^{4}-c^{4}

Concluzie
$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$ Folosind formulele pentru trecerea la sistemul de coordonate polare , obținem: $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ ${\Big (}\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{{2}}\varphi {\Big )}^{2}-2c^ {2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c ^{4}$ Scoatem factorii comuni și folosim identitatea trigonometrică : $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ $\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}$ Să folosim altă identitate : $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$ $\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}$

Concluzie

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Folosind formulele pentru trecerea la sistemul de coordonate polare , obținem: $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$

{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{{2}}\varphi {\Big )}^{2}-2c^ {2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c ^{4}

Scoatem factorii comuni și folosim identitatea trigonometrică : $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}

Să folosim altă identitate : $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}

Caracteristicile formularului

Ecuația curbei conține doi parametri independenți: - jumătate din distanța dintre focare și - rădăcina pătrată a produsului distanțelor de la focare la orice punct al curbei. Din punct de vedere al formei, cel mai semnificativ este raportul parametrilor, și nu valorile acestora, care, cu un raport constant, determină doar dimensiunea figurii. Pot fi distinse șase tipuri de forme în funcție de mărimea raportului : $c$ $A$ $\textstyle {\frac {c}{a}}$

$\textstyle {\frac {c}{a}}=\infty$ , adică la . $\textstyle a=0$ $\textstyle c\neq 0$

Curba degenerează în două puncte care coincid cu focarele. Când forma curbei tinde spre două puncte.

c\to\infty

$\textstyle 1<{\frac {c}{a}}<\infty$ , acesta este $\textstyle 0<a<c$

Curba se împarte în două ovale separate , fiecare dintre ele extins spre celălalt și are forma unui ou .

$\textstyle {\frac {c}{a}}=1$ , acesta este $\textstyle a=c$

Partea dreaptă a ecuației în coordonate dreptunghiulare (vezi mai sus) dispare și curba devine o lemniscat Bernoulli .

$\textstyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}}}<{\frac {c}{a}}<1$ , acesta este $\textstyle c<a<c{\sqrt {2}}$

Curba are patru puncte de inflexiune simetrice (câte unul în fiecare cadran de coordonate). Curbura în punctele de intersecție cu axa tinde spre zero când tinde spre și spre infinit când tinde spre .

OY

A

c

A

c{\sqrt {2}}

$\textstyle 0<{\frac {c}{a}}\leqslant {\frac {1}({\sqrt {2}}}}$ , acesta este $\textstyle a\geqslant c{\sqrt {2}}$

Curba devine ovală , adică o curbă închisă convexă .

$\textstyle {\frac {c}{a}}=0$ , adică când $\textstyle c=0$ $\textstyle a\neq 0$

Pe măsură ce raportul crește (adică tinde spre zero), curba tinde spre un cerc de rază . Dacă , atunci raportul ajunge la zero, caz în care curba degenerează într-un cerc.

A

\textstyle {\frac {c}{a}}

A

c=0

\textstyle {\frac {c}{a}}

Proprietăți

Ovalul Cassini este o curbă algebrică de ordinul al patrulea.
Este simetric față de mijlocul segmentului dintre focare.
At are două maxime absolute și două minime: $0<a<c{\sqrt {2}}$

{\begin{cases}x=\pm {\frac {{\sqrt {4c^{4}-a^{4)))){2c}}\\y=\pm {\frac {a^{2 }}{2c}}\end{cazuri}}

Locul punctelor de maxime și minime absolute este un cerc de rază centrat în mijlocul segmentului dintre focare.

c

La , curba are patru puncte de inflexiune . Coordonatele lor polare sunt: $c<a\leqslant c{\sqrt {2}}$

{\begin{cases}\rho ={\sqrt[ {4}]{{\frac {a^{4}-c^{4}}{3))))\\\cos 2\varphi =-{ \sqrt {{\frac {1}{3}}\left({\frac {a^{4}}{c^{4}}}-1\right)))\end{cases}}

Locul punctelor de inflexiune este o lemniscate cu vârfuri .

\left(0;\pm c\right)

Raza de curbură pentru reprezentarea în coordonate polare :

R={\frac {a^{2}\rho }{\rho ^{2}+c^{2}\cos {2\varphi ))}={\frac {2a^{2}\rho ^{ 3}}{c^{4}-a^{4}+3\rho ^{4}}}

Aplicație

În cazul radarului cu două poziții , aria de detectare a țintei este o cifră delimitată de ovalul Cassini, dacă luăm poziția sursei de radiație ca unul dintre focusul său și poziția receptorului ca cealaltă. În mod similar, în astronomie, când se observă, de exemplu, asteroizii care strălucesc cu lumina reflectată a Soarelui, condițiile pentru detectarea lor la o anumită sensibilitate a telescopului sunt descrise de formula ovală Cassini. În acest caz, limita de detectare va fi suprafața formată prin rotația ovalului în jurul axei care leagă Soarele și observatorul.

Ovale Cassini pe un torus (toroid)

Ovalele Cassini apar ca secțiuni plate ale unui tor , dar numai atunci când planul de tăiere este paralel cu axa torului, iar distanța sa față de axă este egală cu raza generatricei cercului (vezi figura).

Generalizări

Ovalul Cassini este un caz special al lemniscatei .

Ovalul Cassini este un caz special al curbei Perseus .

În special, ecuația curbei Perseus în sistemul de coordonate carteziene

(x^2 + y^2)^2 = ax^2 + by^2 + c

când intră în ecuația ovalului Cassini $a=-b=2c^{2},c=a^{4}-c^{4)$

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Vezi și

Literatură

Enciclopedia matematică (în 5 volume), Moscova, „Enciclopedia sovietică”, 1982, v. 2 D - Koo, p. 759.
Markushevich A. I. Remarkable curves , Popular lectures in mathematics Arhivat 26 august 2017 la Wayback Machine , numărul 4, Gostekhizdat 1952 , 32 p.

Note

↑ E. Sklyarevsky . Cassini space ovals Arhivat pe 5 decembrie 2008 la Wayback Machine .

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius