Deltoid

Deltoidul (sau curba Steiner ) este o curbă algebrică plană descrisă de un punct fix al unui cerc care se rostogolește de-a lungul părții interioare a altui cerc, a cărui rază este de trei ori mai mare decât raza primului.

Deltoidul este un caz special al hipocicloidului la .

Istorie

Cicloizii obișnuiți au fost studiati de Galileo Galilei și Marin Mersenne încă din 1599, dar curbele cicloidale speciale au fost luate în considerare pentru prima dată de Ole Rømer în 1674, în timp ce studia cea mai bună formă de dinți angrenaj. Leonhard Euler menționează pentru prima dată un deltoid real în 1745 în legătură cu o problemă de optică.

Curba și-a primit numele pentru asemănarea cu litera greacă Δ . Proprietățile sale au fost studiate mai întâi de L. Euler în secolul al XVIII-lea , iar apoi de J. Steiner în secolul al XIX -lea .

Ecuații

• Deltoidul poate fi reprezentat (până la rotație și translație paralelă) prin următoarea ecuație parametrică :

unde a este raza cercului de rulare, b este raza cercului mai mare de-a lungul căruia se rostogolește cercul menționat mai sus. (În figura de mai sus , b = 3a .)

• În coordonate complexe, ia forma

• Ecuație implicită într-un sistem dreptunghiular :

• Parametric:

• În coordonatele polare, ia forma

Proprietăți

• Curba are trei singularități ( cusp ) corespunzătoare ecuației parametrice de mai sus.
• Cele 3 vârfuri ale deltoidului sunt cele 3 vârfuri ale unui triunghi echilateral .
• Deltoidul este o curbă rațională a genului zero .
• Lungimea intersecției zonei delimitate de deltoid cu oricare dintre tangentele sale este fixă ​​și egală cu , unde  este raza cercului fix.
• Deltoidul este o curbă algebrică de ordinul 4.
• Lungimea curbei , unde  este raza cercului fix.
• Zona delimitată de deltoid, .
• Deltoizii tangente la două ramuri (în figură, toate cele trei ramuri sunt negre), desenate în două puncte ale capetelor segmentului tangentei la a treia ramuri a acesteia (numite două puncte conectate, sunt albastre în figură), se intersectează întotdeauna în unghi drept (nu este prezentat în figură) . Vârful acestui unghi drept se află întotdeauna pe cercul unui cerc mic (în aceeași figură, un cerc mic este roșu și este descris de un punct roșu în mijlocul segmentului albastru), atingând cele trei ramuri indicate [1] .

Aplicații

Deltoizii apar în mai multe domenii ale matematicii. De exemplu:

• Setul de valori proprii complexe ale matricelor unistohastice de ordinul trei formează un deltoid .
• Secțiunea transversală a mulțimii de matrici unistohastice (unistohastice) de ordinul trei formează un deltoid.
• Setul de urme posibile de matrici unitare aparținând grupului SU(3) formează un deltoid.
• Intersecția a doi deltoizi parametriză o familie de matrice Hadamard complexe (matricea Complex Hadamard) de ordinul al șaselea.
• Toate liniile lui Simson ale triunghiului dat formează plicuri sub forma unui deltoid. Este cunoscut sub numele de deltoidul lui Steiner sau hipocicloidul lui Steiner după Jakob Steiner , care a descris forma și simetria curbei în 1856 [2] .
• Plicul pentru familia de linii care bisectează aria triunghiului este o curbă asemănătoare deltoidului cu vârfuri la mijlocul celor trei mediane . Arcele acestui „deltoid” sunt arcele unei hiperbole care au asimptote care trec prin laturile triunghiului [3] [4] .
• Deltoidul a fost propus ca o soluție la problema acului .

Vezi și

• Astroidul  este un hipocicloid la .
• Hipocicloid
• Deltoid 
• Problemă cu acul
• Linia dreaptă a lui Simson
• Cicloid

Note

1. ↑ Savelov, 1960 , p. 127.
2. ↑ Lockwood, 1961 .
3. ↑ Dunn, JA și Pretty, JA, „Halving a triangle”, Mathematical Gazette 56, mai 1972, 105-108.
4. ↑ Bisectoarele ariei unui triunghi . Consultat la 29 octombrie 2019. Arhivat din original la 21 noiembrie 2017. (nedefinit)

Literatură

• Savelov  A.A. _ Curbe plate: sistematică, proprietăți, aplicații. Ghid de referință / Ed. A.P. Norden . - M .: Fizmatlit , 1960. - S. 124-129.
• V. Berezin. Deltoid  // Kvant . - 1977. - Nr. 3 . - S. 19 . (Rusă)
• EH Lockwood. Capitolul 8: Deltoidul // A Book of Curves  (engleză) . — Cambridge University Press , 1961.