Pi (număr)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 19 august 2022; verificarea necesită 1 editare .

Numere iraționale ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π și π
Notaţie	Scorul numeric $\pi$
Zecimal	3.1415926535897932384626433832795...
Binar	11,00100100001111110110…
hexazecimal	3.243F6A8885A308D31319…
Sexagesimal	3; 08 29 44 00 47 25 53 07 …
Aproximari rationale	22 ⁄ 7 , 179 ⁄ 57 , 223 ⁄ 71 , 333 ⁄ 106 , 355 ⁄ 113 , 103 993 ⁄ 33 102 (enumerate în ordinea creșterii preciziei)
Fracție continuă	[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, …] (Această fracție continuă nu este periodică . Scrisă în notație liniară)
Trigonometrie	$\pi$ radian = 180°

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4 999999 837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 598253 4904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2918
…

Număr cu primele mii de cifre mai mari ale zecimalei [1]

\pi

${\bold symbol {\pi ))$ (pronunțat „ pi ”) este o constantă matematică egală cu raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său [K 1] . Notat cu litera alfabetului grecesc „ π ”. Din iunie 2022, sunt cunoscute primele 100 de trilioane de zecimale ale lui pi [2] .

Proprietăți

Transcendență și iraționalitate

Numărul este irațional , adică valoarea lui nu poate fi exprimată exact ca fracție , unde este un număr întreg și este un număr natural. Prin urmare, reprezentarea sa zecimală nu se termină niciodată și nu este periodică . Iraționalitatea unui număr a fost demonstrată pentru prima dată de Johann Lambert în 1761 [3] prin extinderea tangentei într-o fracție continuă . În 1794, Legendre a dat o dovadă mai riguroasă a iraționalității numerelor și . Mai multe dovezi sunt detaliate în articolul Demonstrări că π este irațional . $\pi$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$ $\pi$ $\pi$ $\pi ^{2}$

$\pi$ - număr transcendental , adică nu poate fi rădăcina vreunui polinom cu coeficienți întregi. Transcendența unui număr a fost dovedită în 1882 de Lindemann , profesor la Königsberg și mai târziu la Universitatea din München . Dovada a fost simplificată de Felix Klein în 1894 [4] . Întrucât în geometria euclidiană aria unui cerc și circumferința sunt funcții ale unui număr , dovada transcendenței a pus capăt încercărilor de pătrare a cercului , care a durat mai mult de 2,5 mii de ani. $\pi$ $\pi$ $\pi$

În 1934 Gelfond a demonstrat [5] că numărul este transcendent . În 1996, Yuri Nesterenko a demonstrat că pentru orice număr natural și sunt independente din punct de vedere algebric , de unde, în special, rezultă [6] [7] că numerele și sunt transcendente . $e^{\pi }$ $n$ $\pi$ $e^{\pi {\sqrt {n))}$ $\pi +e^{\pi },\pi e^{\pi }$ $e^{\pi {\sqrt {n))}$

$\pi$ este un element al inelului perioadei (și, prin urmare, un număr calculabil și aritmetic ). Dar nu se știe dacă aparține inelului perioadelor. $1/\pi$

Rapoarte

Există multe formule pentru calcularea numărului : $\pi$

Formula lui Vieta pentru aproximarea numărului π :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}} \cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))){2}}\cdot \ldots

Aceasta este prima reprezentare explicită cunoscută cu un număr infinit de operații. Se poate dovedi astfel. Aplicând identitatea recursiv și trecând la limită, obținem

\pi

\sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi

\varphi \cos {\dfrac {\varphi {2}}\cos {\frac {\varphi {4}}\cdots =\sin \varphi .

Rămâne să înlocuiți și să utilizați formula cosinusului cu unghi dublu :

\varphi ={\frac {\pi }{2)}

\cos 2\varphi =\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi .

Formula Wallis :

{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\ frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

Seria Leibniz :

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1} {9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

Seria folosind factorial dublu:

2+{1 \over 3}\left(2+{2\over 5}\left(2+{3\over 7}\left(2+{4\over 9}(\dots)\right )\right)\right)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!))=\pi

1+{2 \over 2}\left(1+{1 \over 3}\left(1+{4\over 4}\left(1+{2\over 5}\left(1+{) 6 \over 6}(\dots )\right)\right)\right)\right)=\pi

Formula găsită de Srinivasa Ramanujan :

$1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right) ^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\ldots ={\frac {2}{\ pi}}$

Alte rânduri:

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

( serie inversă pătrată )

{\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\dots ={\pi ^{2} \over 12}

{\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\ frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\dots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}

{\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\ frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\dots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}

\pi =2{\sqrt {3}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\,3^{k}\,( 2k+1)}}

\pi =\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k)} {4^{k))}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)

Următoarele rânduri vă permit să calculați semnele în notația hexazecimală a lui pi fără a calcula semnele anterioare:

{\begin{aliniat}\pi &={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}} \left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k +7}}\right)=\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\ stânga({\frac {8}{8k+1}}+{\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}-{\frac {2}{8k+ 5 }}-{\frac {2}{8k+6}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\end{aliniat}}

Mai multe rânduri:

\pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k} }}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}} {(m^{2}+k^{2})^{2))}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty } \sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3))))}

Limite :

\pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m)){\left[(2m)!\right]^{ 2}\,m}}

\pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to

aici sunt numere prime

p_{k)

\pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\ sqrt {2}}}}}}}}}},

unde este egal cu numărul de rădăcini din expresia [8] .

n

Identitatea lui Euler :

e^{i\pi }+1=0\;

Alte legături între constante :

{\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{ 2k-1}\stanga({\frac {k}{k+1}}\dreapta)^{2k}

\pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left ({\frac {k}{k+1}}\dreapta)^{2k}

Formula găsită de Srinivasa Ramanujan :

{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5 \cdot 7))+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9))+\ldots +{\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {1}{ 1+\displaystyle {\frac {2}{1+\displaystyle {\frac {3}{1+\displaystyle {\frac {4}{1+\displaystyle {\frac {5}{1+\ldots }} )))))))))))={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2))))

T. n. Integrală Poisson sau integrală Gaussiană :

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {Br(x)}{\displaystyle e^{Br^{4}(x))}}dx={\sqrt {\pi }},

unde este rădăcina Bring .

B(x)

Sinus integral :

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi

Exprimarea prin dilogaritm [9] :

\pi ={\sqrt {6\ln ^{2}2+12\ \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)))

Prin integrala improprie :

\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x))))=\pi

;

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dx}{(x^{2}+1)))=\pi

Poveste

Pentru prima dată, matematicianul britanic William Jones în 1706 [10] a folosit desemnarea acestui număr cu o literă greacă și a devenit general acceptat după lucrarea lui Leonard Euler în 1737. Această denumire provine de la litera inițială a cuvintelor grecești περιφέρεια - cerc, periferie și περίμετρος - perimetru [11] . $\pi$

Studiul numărului și rafinarea semnificației sale au mers în paralel cu dezvoltarea tuturor matematicii și durează câteva milenii. Studiat mai întâi din punctul de vedere al geometriei , apoi dezvoltarea analizei matematice în secolul al XVII-lea a arătat universalitatea acestui număr. $\pi$ $\pi$

perioada geometrică

Faptul că raportul dintre circumferință și diametru este același pentru orice cerc și că acest raport este puțin mai mult de 3, era cunoscut geometrilor antici egipteni , babiloniști , indieni antici și greci antici , cele mai vechi aproximări datează până în mileniul III î.Hr. e.

În Babilonul antic, era considerat egal cu trei, ceea ce corespundea înlocuirii circumferinței cu perimetrul hexagonului înscris în el . Aria unui cerc a fost definită [12] ca pătratul circumferinței împărțit la 12, ceea ce este, de asemenea, în concordanță cu ipoteza . Cele mai vechi aproximări mai precise cunoscute datează din jurul anului 1900 î.Hr. e.: aceasta este 25/8 = 3.125 (tableta de lut din Susa din perioada Vechiului regat babilonian ) [13] și 256/81 ≈ 3.16 (papirul egiptean Ahmes din perioada Regatului Mijlociu ); ambele valori diferă de valoarea adevărată cu cel mult 1%. Textul vedic „ Shatapatha Brahmana ” oferă ca aproximare fracția 339/108 ≈ 3,139 . $\pi$ $\pi =3.$ $\pi$

Filosoful și omul de știință chinez Zhang Heng , în secolul al II-lea, a propus două echivalente pentru număr: 92/29 ≈ 3,1724 și ≈ 3,1622. În cărțile sacre ale jainismului , scrise în secolele V-VI î.Hr. e., s-a constatat că atunci în India s-a luat egal [14] $\pi$ ${\sqrt {10}}$ $\pi$ ${\sqrt {10}}$

Arhimede ar fi fost primul care a propus un mod matematic de calcul . Pentru a face acest lucru, el a înscris într- un cerc și a descris poligoane regulate în jurul acestuia . Luând diametrul unui cerc ca unitate, Arhimede a considerat perimetrul poligonului înscris drept limită inferioară pentru circumferința cercului, iar perimetrul poligonului circumscris drept limită superioară. Considerând un 96-gon obișnuit, Arhimede a primit o estimare și a propus pentru un calcul aproximativ superioarele granițelor pe care le-a găsit: - 22/7 ≈ 3,142857142857143. $\pi$ $3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}$ $\pi$

Următoarea aproximare în cultura europeană este asociată cu astronomul Claudius Ptolemeu (c. 100 - c. 170), care a creat un tabel de acorduri în trepte de jumătate de grad, care i-a permis să obțină o aproximare de 377 / 120 , care este aproximativ egal cu jumătatea perimetrului 720-gonului înscris în cercul unitar [15] . Leonardo din Pisa ( Fibonacci ) în cartea „ Practica Geometriae ” (circa 1220), luând aparent aproximarea lui Ptolemeu ca limită inferioară pentru , oferă aproximarea sa [16 ] - 864/275 . Dar s-a dovedit a fi mai rău decât cel al lui Ptolemeu, deoarece acesta din urmă a făcut o greșeală în determinarea lungimii coardei cu o jumătate de grad în sus, drept urmare aproximarea 377/120 s -a dovedit a fi limita superioară pentru . $\pi$ $\pi$ $\pi$

În India, Aryabhata și Bhaskara I au folosit aproximativ 3,1416. Varahamihira în secolul al VI-lea folosește aproximarea în Pancha Siddhantika . ${\sqrt {10}}$

Aproximativ 265 d.Hr. e. Matematicianul Wei Liu Hui a oferit un algoritm iterativ simplu și precis pentru calcularea la orice grad de precizie. El a efectuat independent calculul pentru 3072-gon și a obținut o valoare aproximativă pentru în conformitate cu următorul principiu: $\pi$ $\pi$

\pi \approx A_{3072}={3\cdot 2^{8}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+ {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1))))))))))))))))))))))}\aprox. 3,14159.

Mai târziu, Liu Hui a venit cu o metodă rapidă de calcul și a venit cu o valoare aproximativă de 3,1416 cu doar 96-gon, profitând de faptul că diferența de suprafață a poligoanelor succesive formează o progresie geometrică cu numitor de 4. $\pi$

În anii 480, matematicianul chinez Zu Chongzhi a demonstrat că ≈ 355/113 și a arătat că 3,1415926 < < 3,1415927 folosind algoritmul lui Liu Hui aplicat unui 12288-gon. Această valoare a rămas cea mai precisă aproximare a numărului pentru următorii 900 de ani. $\pi$ $\pi$ $\pi$

perioada clasica

Până în mileniul al II-lea, nu se cunoșteau mai mult de 10 cifre . Alte realizări majore ale studiului sunt asociate cu dezvoltarea analizei matematice , în special cu descoperirea serii , care fac posibilă calcularea cu orice precizie, însumând un număr adecvat de termeni din serie. $\pi$ $\pi$ $\pi$

rândul Madhava - Leibniz

În anii 1400, Madhava din Sangamagrama a găsit primul dintre aceste rânduri:

{\pi }={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+\ cdots

Acest rezultat este cunoscut sub numele de seria Madhava-Leibniz sau seria Gregory-Leibniz (după ce a fost redescoperit de James Gregory și Gottfried Leibniz în secolul al XVII-lea). Cu toate acestea, această serie converge către foarte lent, ceea ce duce la dificultatea de a calcula mai multe cifre ale unui număr în practică - este necesar să adăugați aproximativ 4000 de termeni ai seriei pentru a îmbunătăți estimarea lui Arhimede. Cu toate acestea, transformând această serie în $\pi$

\pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{ \frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)

Madhava a putut să calculeze ca 3,14159265359 identificând corect 11 cifre în intrarea numărului. Acest record a fost doborât în 1424 de matematicianul persan Jamshid al-Kashi , care în lucrarea sa intitulată „Tratat asupra cercului” a dat 17 cifre ale numărului , dintre care 16 sunt corecte. $\pi$ $\pi$

numărul Ludolf

Prima contribuție europeană majoră de la Arhimede a fost cea a matematicianului olandez Ludolf van Zeulen , care a petrecut zece ani calculând un număr cu 20 de cifre zecimale (acest rezultat a fost publicat în 1596). Aplicând metoda lui Arhimede, a adus dublarea la n - gon, unde n = 60 2 29 . După ce și-a prezentat rezultatele în eseul „Despre circumferință” („Van den Circkel”), Ludolf a încheiat-o cu cuvintele: „Cine are o dorință, să meargă mai departe”. După moartea sa, în manuscrisele sale au fost găsite încă 15 cifre exacte ale numărului . Ludolph a lăsat moștenire că semnele pe care le-a găsit au fost sculptate pe piatra sa funerară. În onoarea lui, numărul a fost numit uneori „numărul Ludolf” sau „constanta Ludolf”. $\pi$ $\pi$ $\pi$

Numărul Ludolf este o valoare aproximativă pentru un număr cu 35 de zecimale valide [17] . $\pi$

Formula lui Vieta pentru aproximarea π

În această perioadă, în Europa au început să se dezvolte metode de analiză și definire a seriilor infinite. Prima astfel de reprezentare a fost formula lui Vieta pentru aproximarea numărului π :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}} \cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))){2}}\cdot \cdots

găsit de François Viet în 1593.

Formula Wallis

Un alt rezultat celebru a fost formula Wallis :

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\ frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac { 8}{9}}\cdots

crescut de John Wallis în 1655.

Lucrări similare:

$\pi =3\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2 }-\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}}$

$\pi ={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}}{k^{2}-\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}}$

$\pi =4\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2 }-\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}}$

$\pi ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}}{k^{2}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}$

$\pi =6\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left ({\frac {1}{6}}\dreapta)^{2}}}$

$\pi ={\frac {6}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}} {k^{2}-\stanga({\frac {5}{6}}\dreapta)^{2}}}$

$\pi =4\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {1}{4} }}}$

$\pi ={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9))))$

$\pi ={\frac {16}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}+k}{k^{2}+k+{\frac {3}{16))))$

$\pi ={\frac {36}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+ k}{k^{2}+k+{\frac {5}{36))))$

Un produs care dovedește o relație cu numărul e

$\pi =2{\sqrt {3}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1 }{2}}}\left(2k-1\right)^{{\frac {1}{2}}-k}}{2k+1}}\left({\frac {k}{k+1 }}\dreapta)^{2k}$

Metode bazate pe identități

În vremurile moderne , metodele analitice bazate pe identităţi sunt folosite pentru calcul . Formulele enumerate mai sus sunt de puțin folos în scopuri de calcul, deoarece fie folosesc serii care converg lentă, fie necesită o operație complexă de extragere a unei rădăcini pătrate. $\pi$

Formule Machin

Prima modalitate eficientă și modernă de a găsi un număr (precum și logaritmi naturali și alte funcții), bazată pe teoria seriilor și analiza matematică dezvoltată de el, a fost oferită în 1676 de Isaac Newton în a doua sa scrisoare către Oldenburg [18] , extinzându-se într-o serie . Pe baza acestei metode, cea mai eficientă formulă a fost găsită în 1706 de John Machin $\pi$ $\mathrm {arctg} {\frac {1}{2)}$

{\frac {\pi }{4}}=4\,\mathrm {arctg} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} {\frac {1}{239}}

Extinderea arc-tangentei într- o serie Taylor

\mathrm {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}} {7}}+\cdots

puteți obține o serie rapid convergentă, potrivită pentru calcularea unui număr cu mare precizie. $\pi$

Formulele de acest tip, cunoscute acum sub numele de formulele lui Machin , au fost folosite pentru a stabili mai multe înregistrări succesive și au rămas cele mai cunoscute metode de calcul rapid de către computere. Un record remarcabil a fost stabilit de fenomenalul contor Johann Daze , care în 1844, la ordinul lui Gauss, a aplicat formula lui Machin pentru a calcula 200 de cifre . Cel mai bun rezultat până la sfârșitul secolului al XIX-lea a fost obținut de englezul William Shanks , căruia i-a luat 15 ani să calculeze 707 cifre. Cu toate acestea, a făcut o greșeală în a 528-a cifră, în urma căreia toate cifrele ulterioare s-au dovedit a fi incorecte [19] . Pentru a evita astfel de erori, calculele moderne de acest fel sunt efectuate de două ori. Dacă rezultatele se potrivesc, atunci este posibil să fie corecte. Bug-ul lui Shanks a fost descoperit de unul dintre primele computere în 1948; a mai numărat 808 caractere în câteva ore . $\pi$ $\pi$ $\pi$

Pi este un număr transcendental

Progresele teoretice din secolul al XVIII-lea au condus la descoperiri asupra naturii numărului , care nu puteau fi obținute numai prin calcul numeric. Johann Lambert a dovedit iraționalitatea în 1761 și Adrien Legendre a dovedit iraționalitatea în 1774 . În 1735, s-a stabilit o legătură între numerele prime și când Leonhard Euler a rezolvat celebra problemă de la Basel - problema găsirii valorii exacte. $\pi$ $\pi$ $\pi ^{2}$ $\pi$

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1 }{4^{2}}}+\cdots

care s-a dovedit a fi egal . Atât Legendre, cât și Euler au sugerat că ar putea fi transcendental , ceea ce a fost în cele din urmă dovedit în 1882 de Ferdinand von Lindemann . ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ $\pi$

În 1945, Cartwright a simplificat dovada elementară a lui Charles Hermite că un număr este irațional . $\pi$

Simbolul " "

\pi

Sinopsisul lui William Jones Palmoriorum Mathesios , 1706, se crede că a fost primul care a introdus utilizarea unei litere grecești pentru această constantă, dar această notație a devenit general acceptată după ce Leonhard Euler a adoptat-o (sau a ajuns la ea independent) în 1737 [11]. ] . Euler a scris: „ Există multe alte modalități de a găsi lungimile sau ariile curbei sau figurii plane corespunzătoare, ceea ce poate facilita foarte mult practica; de exemplu, într-un cerc, diametrul este legat de circumferință de la 1 la ". $\pi$ $\left({\frac {16}{5}}-{\frac {4}{239}}\right)-{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {16}{ 5^{3}}}-{\frac {4}{239^{3}}}\right)+\cdots =3{,}14159\cdots =\pi$

Era computerului

Era tehnologiei digitale din secolul al XX-lea a dus la o creștere a vitezei de apariție a înregistrărilor de calcul. John von Neumann și alții au folosit ENIAC în 1949 pentru a calcula 2037 de cifre , ceea ce a durat 70 de ore. În 1961, Daniel Shanks a calculat 100.000 de caractere pe un IBM 7090 , iar marca milionului a fost depășită în 1973 [K 2] . Acest progres nu sa datorat doar hardware-ului mai rapid, ci și noilor algoritmi. $\pi$

Matematicianul olandez Leutzen Brouwer din prima jumătate a secolului al XX-lea a citat ca exemplu de sarcină fără sens căutarea în extinderea zecimală a unei secvențe - în opinia sa, acuratețea necesară pentru aceasta nu va fi niciodată atinsă. La sfârșitul secolului al XX-lea a fost descoperită această secvență, care începe cu 17.387.594.880 de zecimale [20] . $\pi$ $0123456789$

La începutul secolului al XX-lea, matematicianul indian Srinivasa Ramanujan a descoperit multe formule noi pentru , dintre care unele au devenit celebre pentru eleganța și profunzimea lor matematică. Una dintre aceste formule este o serie: $\pi$

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)! (1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}

Frații Chudnovsky în 1987 au găsit similar cu acesta:

{\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)! (13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}

care dă aproximativ 14 cifre pentru fiecare membru al seriei. Soții Chudnovsky au folosit această formulă pentru a stabili mai multe înregistrări de calcul la sfârșitul anilor 1980, inclusiv una care a rezultat în 1.011.196.691 de cifre zecimale în 1989. $\pi$

Această formulă este folosită în programele care calculează pe computerele personale, spre deosebire de supercalculatoare , care stabilesc recorduri moderne. $\pi$

În timp ce secvența îmbunătățește de obicei acuratețea cu o sumă fixă cu fiecare termen succesiv, există algoritmi iterativi care „multesc” numărul de cifre corecte la fiecare pas, dar necesită costuri de calcul mari la fiecare dintre acești pași.

O descoperire în acest sens a fost făcută în 1975, când Richard Brent și Eugene Salamis au descoperit independent algoritmul Brent-Salamin , care, folosind doar aritmetica, dublează numărul de caractere cunoscute la fiecare pas [21] . Algoritmul constă în setarea valorilor inițiale

a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2))}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4 }}\quad \quad \quad p_{0}=1

și iterații:

a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n} }}

t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n}

până când a n și b n sunt suficient de aproape. Apoi estimarea este dată de formula $\pi$

\pi \aprox {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.

Folosind această schemă, 25 de iterații sunt suficiente pentru a obține 45 de milioane de zecimale. Un algoritm similar care dublează precizia la fiecare pas a fost găsit de Jonathan Borwain Peter Borwain [22] . Cu aceste metode , Yasumasa Canada și grupul său, începând din 1980, au stabilit cele mai multe recorduri de calcul până la 206.158.430.000 de caractere în 1999. În 2002, Canada și grupul său au stabilit un nou record de 1.241.100.000.000 de zecimale. În timp ce majoritatea recordurilor anterioare ale Canadei au fost stabilite folosind algoritmul Brent-Salamin, calculul din 2002 a folosit două formule de tip Machin care au fost mai lente, dar au redus drastic utilizarea memoriei. Calculul a fost efectuat pe un supercomputer Hitachi cu 64 de noduri și 1 terabyte de RAM capabil să efectueze 2 trilioane de operații pe secundă. $\pi$

O dezvoltare recentă importantă este formula Bailey-Borwain-Pluff , descoperită în 1997 de Simon Pluff și numită după autorii articolului în care a fost publicată pentru prima dată [23] . Această formulă

\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k))}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac { 2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\dreapta),

notabil prin faptul că vă permite să extrageți orice cifră hexazecimală sau binară specifică a unui număr fără a le calcula pe cele precedente [23] . Din 1998 până în 2000, proiectul de calcul distribuit PiHex a folosit o formulă Bellard modificată pentru a calcula cvadrilionelea bit al numărului , care sa dovedit a fi zero [24] . $\pi$ $\pi$

În 2006, Simon Pluff, folosind algoritmul PSLQ, a găsit o serie de formule frumoase [25] . Fie q = e π , atunci

{\frac {\pi }{24}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {3}{q^{n} -1}}-{\frac {4}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\dreapta)

{\frac {\pi ^{3}}{180}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\left({\frac { 4}{q^{n}-1}}-{\frac {5}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\dreapta)

si alte tipuri

\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k))}\left({\frac {a}{q^{n}- 1))+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\dreapta)

unde q \ u003d e π , k este un număr impar , iar a , b , c sunt numere raționale . Dacă k are forma 4 m + 3, atunci această formulă are o formă deosebit de simplă:

p\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {2^{k-1}} {q^{n}-1}}-{\frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1 }}\dreapta)

pentru un p rațional al cărui numitor este un număr bine factorizabil, deși încă nu a fost oferită o demonstrație riguroasă.

În august 2009, oamenii de știință de la Universitatea Japoneză din Tsukuba au calculat o secvență de 2.576.980.377.524 de zecimale [26] .

Pe 19 octombrie 2011, Alexander Yi și Shigeru Kondo au calculat secvența la 10 trilioane de zecimale [27] [28] . Pe 28 decembrie 2013 au calculat și secvența cu o precizie de 12,1 trilioane de cifre după virgulă zecimală [29] .

Pe 14 martie 2019, când a fost sărbătorită sărbătoarea neoficială a numărului pi, Google a introdus acest număr cu 31,4 trilioane de zecimale. Emma Haruka-Iwao, angajată Google în Japonia, a reușit să o calculeze cu atâta acuratețe [30] .

În august 2021, oamenii de știință elvețieni de la Universitatea de Științe Aplicate Graubünden au reușit să calculeze un număr cu o precizie de 62,8 trilioane de zecimale, actualizând înregistrările anterioare. Calculele au fost făcute pe un supercomputer timp de 108 zile și nouă ore. Viteza de calcul a fost de două ori recordul stabilit de Google în 2019 și de 3,5 ori recordul stabilit în 2020, când au fost calculate peste 50 de trilioane de zecimale într-un număr [31] [32] . $\pi$ $\pi$

Pe 9 iunie 2022, o echipă Google condusă de Emma Haruka-Iwao a calculat primele 100 de trilioane de zecimale ale lui pi în aproape 158 de zile [2] [33] .

Programul „ Super Pi ”, care fixează timpul necesar pentru a calcula un anumit număr de cifre (până la 32 de milioane) de Pi, poate fi folosit pentru a testa performanța computerelor.

Aproximari rationale

${\frac {22}{7))$ - Arhimede (sec. III î.Hr.) - matematician, fizician și inginer grec antic;
${\frac {377}{120}}$ - Claudius Ptolemeu (secolul al II-lea d.Hr.) - astronom și geograf grec antic, iar Ariabhata (secolul al V-lea d.Hr.) - astronom și matematician indian;
${\frac {355}{113}}$ - Zu Chongzhi (secolul al V-lea d.Hr.) - astronom și matematician chinez.

Comparația preciziei aproximării

Număr	Valoare rotunjită	Precizie (coincidența cifrelor )
$\pi$	3.14159265...
${\frac {22}{7))$	3.14 285714...	2 zecimale
${\frac {377}{120}}$	3.141 66667...	3 zecimale
${\frac {355}{113}}$	3,141592 92…	6 zecimale

Probleme deschise

Măsura exactă a iraționalității pentru numere și este necunoscută (dar se știe că pentru aceasta nu depășește 7,103205334137) [34] [35] . $\pi$ $\pi ^{2}$ $\pi$
Măsura iraționalității nu este cunoscută pentru niciunul dintre următoarele numere: Nici măcar nu se știe pentru niciunul dintre ele dacă este un număr rațional , un număr irațional algebric sau un număr transcendental . Prin urmare, nu se știe dacă numerele și sunt independente din punct de vedere algebric [6] [36] [37] [38] [39] . $\pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e)),\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2)),\ln \pi ,\pi ^{\pi },e^{\pi ^{2)).$ $\pi$ $e$
Nu se știe dacă este un număr întreg la orice număr întreg pozitiv (vezi tetrarea ). ${^{n}\pi }$ $n$
Până acum, nu se știe nimic despre normalitatea numărului ; nici măcar nu se știe care dintre cifrele 0-9 apar în reprezentarea zecimală a numărului de un număr infinit de ori. O verificare computerizată cu 200 de miliarde de zecimale a arătat că toate cele 10 cifre apar în această înregistrare aproape la fel de des [40] : $\pi$ $\pi$ $\pi$

Număr	De câte ori apare
0	20 000 030 841
unu	19 999 914 711
2	20 000 013 697
3	20 000 069 393
patru	19 999 921 691
5	19 999 917 053
6	19 999 881 515
7	19 999 967 594
opt	20 000 291 044
9	19 999 869 180

Cu toate acestea, nu există nicio dovadă riguroasă.

Nu se știe dacă aparține inelului punctual . ${\frac {1}{\pi ))$

Metoda acului Buffon

Pe un plan căptușit cu linii echidistante, se aruncă aleatoriu un ac, a cărui lungime este egală cu distanța dintre liniile adiacente, astfel încât la fiecare aruncare acul fie să nu traverseze liniile, fie să traverseze exact una. Se poate dovedi că raportul dintre numărul de intersecții ale acului cu o anumită linie și numărul total de aruncări tinde să fie pe măsură ce numărul de aruncări crește la infinit [41] . Această metodă cu ac se bazează pe teoria probabilității și stă la baza metodei Monte Carlo [42] . ${\frac {2}{\pi }}$

Reguli mnemonice și înregistrări de memorare

Poezii pentru memorarea a 8-11 cifre ale numărului π:

Pentru a nu greși,
trebuie să citim corect:
Trei, paisprezece, cincisprezece,
Nouăzeci și doi și șase.

Trebuie doar să încerci
Și să-ți amintești totul așa cum este:
trei, paisprezece, cincisprezece,
nouăzeci și doi și șase.

Trei, paisprezece, cincisprezece,
nouă, doi, șase, cinci, trei, cinci.
Pentru a se angaja în știință,
toată lumea ar trebui să știe acest lucru.

Puteți încerca să
repetați mai des:
„Trei, paisprezece, cincisprezece,
nouă, douăzeci și șase și cinci”.

Memorarea poate fi ajutată prin observarea dimensiunii poetice:

Trei, paisprezece, cincisprezece, nouă doi, șase cinci, trei cinci
Opt nouă, șapte și nouă, trei doi, trei opt, patruzeci și șase
Doi șase patru, trei trei opt, trei doi șapte nouă, cinci zero doi
Opt opt și patru, nouăsprezece şapte unu

Există versete în care primele cifre ale numărului π sunt criptate ca număr de litere din cuvinte:

Acest lucru îl știu și îmi amintesc perfect: Și
multe semne îmi sunt de prisos, în zadar.
Să avem încredere în vastele cunoștințe
Aceia, care au numărat, numerele armadei.

Învață și cunoaște în numărul cunoscut
În spatele numărului se află numărul, cum să observi norocul.

De când Kolya și Arina
Am rupt paturile de pene.
Puf alb a zburat, s-a înconjurat,
Curaj, a înghețat,
Mulțumit,
Dar ne-a dat
Durerea de cap de bătrâne.
Wow, spirit pufos periculos!

— Gheorghi Alexandrov

Verse similare au existat și în ortografia pre-reformă . De exemplu, următorul poem, compus de profesorul gimnaziului Shenrok din Nijni Novgorod [43] :

Cine, în glumă și în curând dorește
să-l cunoască pe Pi, știe deja numărul.

Recordul mondial pentru memorarea zecimalei aparține studentului indian Rajveer Meena, în vârstă de 21 de ani, care în martie 2015 a reprodus 70.000 de zecimale în 9 ore și 27 de minute [44] . Înainte de aceasta, timp de aproape 10 ani, recordul a fost deținut de chinezul Liu Chao, care în 2006 a reprodus fără eroare 67.890 de zecimale în 24 de ore și 4 minute [45] [46] . În același 2006, japonezul Akira Haraguchi a declarat că și-a amintit numărul până la a 100.000-a zecimală [47] , dar nu a fost verificat oficial [48] . $\pi$ $\pi$

În Rusia, recordul de memorare a fost stabilit în 2019 de Denis Babușkin (13.202 caractere) [49] .

În cultură

În statul Indiana (SUA), în 1897, a fost adoptată Pi Bill , stabilindu-i legislativ valoarea egală cu 3,2 [50] . Acest proiect de lege nu a devenit lege din cauza intervenției în timp util a unui profesor de la Universitatea Purdue , care a fost prezent în legislatura statului la luarea în considerare a acestei legi;
Există un lungmetraj numit după Pi;
Sărbătoarea neoficială „ Ziua Pi ” este sărbătorită anual pe 14 martie , care în format american de dată (lună/zi) este scrisă ca 3.14, ceea ce corespunde valorii aproximative a numărului . Se crede [51] că sărbătoarea a fost inventată în 1987 de către fizicianul din San Francisco Larry Shaw , care a atras atenția asupra faptului că pe 14 martie exact la 01:59 data și ora coincid cu primele cifre ale lui Pi = 3,14159; $\pi$
- O altă dată asociată numărului este
22 iulie , care se numește „ Ziua aproximării Pi ”, deoarece în formatul european de dată această zi este scrisă ca 22/7, iar valoarea acestei fracții este o valoare aproximativă rațională a numerelor . $\pi$ $\pi$

Trupa americană de metal progresiv After The Burial a înregistrat piesa Pi - The Mercury God of Infinity, în care părțile de chitară ritmică și tobe bas se bazează pe cele mai mari cifre ale fracțiunii zecimale a numărului .

\pi

François Arago a scris în „Commonly intelligible Astronomy” [52] :

Să vedem cu ce precizie este posibil, folosind numerele Pi (numerele Pi), să calculăm circumferința, a cărei rază este egală cu distanța medie a Pământului față de Soare (150.000.000 km). Dacă luăm 18 cifre pentru Pi, atunci o eroare de o unitate în ultima cifră va atrage o eroare de 0,0003 milimetri în lungimea cercului calculat; este mult mai mică decât grosimea părului.

Am luat 18 cifre de Pi. Este ușor de imaginat ce eroare neînchipuit de mică ar fi fost făcută, având în vedere uriașa cercului calculat, dacă toate numerele cunoscute ar fi fost folosite pentru Pi. Din cele spuse, este clar cât de greșit sunt cei care cred că științele și-ar schimba forma, iar aplicațiile lor ar beneficia foarte mult de găsirea unui Pi exact, dacă acesta ar exista.

Deci, chiar și pentru astronomie‚ - știința care recurge la cele mai precise calcule‚ - nu este necesară o soluție complet precisă...

Vezi si

Note

Comentarii

↑ Această definiție este valabilă numai pentru geometria euclidiană . În alte geometrii, raportul dintre circumferința unui cerc și lungimea diametrului său poate fi arbitrar. De exemplu, în geometria Lobachevsky acest raport este mai mic decât . $\pi$
↑ În zilele noastre, cu ajutorul unui calculator, numărul este calculat cu o precizie de trilioane de cifre, ceea ce prezintă un interes mai mult tehnic decât științific, deoarece o asemenea acuratețe nu are nicio utilitate practică. Precizia calculului este de obicei limitată de resursele disponibile ale computerului, cel mai adesea de timp, ceva mai rar de cantitatea de memorie. $\pi$

Surse

↑ P.I. _ Consultat la 13 septembrie 2010. Arhivat din original pe 3 septembrie 2010. (nedefinit)
↑ 1 2 Pavel Kotov. Un angajat Google Cloud a calculat numărul de pi la 100 de trilioane de zecimale - acesta este un nou record . 3DNews Daily Digital Digest (06.09.2022). Preluat la 10 iunie 2022. Arhivat din original la 10 iunie 2022. (nedefinit)
↑ Lambert, Johann Heinrich . Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques, pp. 265-322.
↑ Dovada lui Klein este atașată lucrării „Întrebări de matematică elementară și superioară”, partea 1, publicată la Göttingen în 1908.
↑ Weisstein, constanta lui Eric W. Gelfond pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Irrational Number (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ Funcții modulare și întrebări de transcendență
↑ Romer P. O nouă expresie pentru π // V.O.F.E.M. . - 1890. - Nr 97 . - S. 2-4 . (Rusă)
^ Weisstein , Eric W. Pi Squared pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Gnezdovsky Yu. Yu . Introducere // Manual de trigonometrie. - Ecoperspectivă, 2006. - P. 3. - ISBN 985-469-141-1 .
↑ 1 2 Numărul omniprezent „pi”, 2007 , p. 10-11.
↑ Kympan, 1971 .
↑ E. M. Bruins . Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse Arhivat la 3 martie 2016 la Wayback Machine , 1950.
↑ Stroik D. Ya. Eseu scurt despre istoria matematicii = Abriss der Geschichte der Mathematik / Per. Cu acesta.; Ch. ed. Fiz.-Matematică. literatură. - Ed. a IV-a, Rev. - M . : Science , 1984. - S. 47-48. — 285 p. — ISBN 5-02-014329-4 . (Rusă)
↑ Numărul omniprezent „pi”, 2007 , p. 29.
↑ Kympan, 1971 , p. 81.
↑ Pi: O carte sursă . Preluat la 19 noiembrie 2021. Arhivat din original la 19 noiembrie 2021. (nedefinit)
↑ Isaac Newton. Lucrări de matematică (traduse și revizuite de Morduchai-Boltovsky) / Morduchai-Boltovsky (tot traducere și comentariu). - Moscova, Leningrad: Editura principală de literatură tehnică și teoretică, 1937.
↑ Arndt, George; Haenel, Christoph. Pi Dezlănțuit . — Springer-Verlag , 2006. — P. 194–196. — 270p. - ISBN 978-3-540-66572-4 .
↑ Joaquin Navarro, 2014 , p. unsprezece..
↑ Brent, Richard (1975), Traub, JF, ed., Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation , Analytic Computational Complexity (New York: Academic Press): 151–176 , < http:// wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html > Arhivat 23 iulie 2008 la Wayback Machine
↑ Jonathan M Borwein. Pi: O carte sursă. - Springer, 2004. - ISBN 0387205713 . (Engleză)
↑ 1 2 David H. Bailey, Peter B. Borwein, Simon Plouffe. Despre calculul rapid al diverselor constante polilogaritmice // Matematica calculului. - 1997. - T. 66 , nr. 218 . - S. 903-913 . (Engleză)
↑ Fabrice Bellard . O nouă formulă pentru a calcula a n- a cifră binară a lui pi . Consultat la 11 ianuarie 2010. Arhivat din original pe 21 august 2011.
↑ Simon Plouffe. Indentități inspirate din Caietele lui Ramanujan (partea 2) (eng.) (link indisponibil) . Consultat la 11 ianuarie 2010. Arhivat din original pe 21 august 2011.
↑ Este stabilită o nouă înregistrare pentru acuratețea calculării numărului π (link inaccesibil) . Consultat la 20 august 2009. Arhivat din original pe 22 august 2009. (nedefinit)
↑ 10 trilioane de cifre zecimale determinate pentru π (downlink) . Preluat la 4 octombrie 2019. Arhivat din original la 25 iulie 2018. (nedefinit)
↑ Runda 2…10 trilioane de cifre ale lui Pi . Data accesului: 22 octombrie 2011. Arhivat din original la 1 octombrie 2018. (nedefinit)
↑ Pi - 12,1 trilioane de cifre . www.numberworld.org. Preluat la 29 octombrie 2019. Arhivat din original la 1 octombrie 2018. (nedefinit)
↑ Valoarea numărului „pi” a fost calculată la 31,4 trilioane de zecimale . www.mk.ru Preluat la 14 martie 2019. Arhivat din original la 14 martie 2019. (Rusă)
↑ Cercetătorii elvețieni declară un nou record pentru cifra pi exactă . phys.org (17 august 2021). Preluat la 17 august 2021. Arhivat din original la 17 august 2021.
↑ Încercarea de record mondial de către UAS Grisons . fhgr.ch (17 august 2021). Preluat la 17 august 2021. Arhivat din original la 17 august 2021.
↑ Roman Kildyushkin. Google stabilește recordul mondial pentru calculul Pi Google a calculat Pi la 100 de trilioane de zecimale . Gazeta.ru (9.06.2022). Preluat la 10 iunie 2022. Arhivat din original la 10 iunie 2022. (nedefinit)
^ Weisstein , Eric W. Măsurarea iraționalității la Wolfram MathWorld .
↑ Doron Zeilberger, Wadim Zudilin. Măsura iraționalității lui Pi este de cel mult 7,103205334137 . archive.org (2019). Arhivat 17 octombrie 2020. (nedefinit)
^ Weisstein , Eric W. Pi pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Câteva probleme nerezolvate în teoria numerelor . Consultat la 27 septembrie 2010. Arhivat din original pe 19 iulie 2010. (nedefinit)
↑ Weisstein, Eric W. Număr transcendental (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
↑ O introducere în metodele iraționalității și transcendenței . Data accesului: 27 septembrie 2010. Arhivat din original la 17 mai 2013. (nedefinit)
↑ Numărul omniprezent „pi”, 2007 , p. 67-69.
↑ Înșelăciune sau amăgire? Arhivat la 30 ianuarie 2012 la Wayback Machine // Kvant. - 1983. - Nr. 5.
↑ Sistem dinamic Galperin G.A. Billiard pentru pi Copie de arhivă din 13 iunie 2014 la Wayback Machine .
↑ „Geometrie elementară” Kiselyov p. 225
↑ Un tânăr de 21 de ani memorează 70.000 de cifre Pi, stabilește recordul Guinness . Consultat la 3 aprilie 2016. Arhivat din original pe 18 aprilie 2016. (nedefinit)
↑ Un student chinez bate recordul Guiness recitând 67.890 de cifre de pi . Consultat la 26 septembrie 2010. Arhivat din original pe 7 mai 2011. (nedefinit)
↑ Interviu cu dl. Chao Lu . Consultat la 26 septembrie 2010. Arhivat din original pe 24 septembrie 2010. (nedefinit)
↑ Cum își poate aminti cineva 100.000 de numere? — The Japan Times, 17.12.2006.
↑ Pi World Ranking List . Consultat la 26 septembrie 2010. Arhivat din original la 30 septembrie 2010. (nedefinit)
↑ Iulia Stalin. „Gândurile despre Johnny Depp au ajutat”: un școlar din Ekaterinburg a memorat 13202 de cifre ale lui Pi . KP.RU (28.10.2019). Preluat la 10 iunie 2022. Arhivat din original la 15 mai 2022. (nedefinit)
↑ The Indiana Pi Bill, 1897 Arhivat 17 iunie 2016 la Wayback Machine
↑ Articolul din Los Angeles Times „Ai vrea o bucată ”? (numele joacă pe asemănarea ortografiei numărului și a cuvântului plăcintă (ing. plăcintă)) $\pi$ $\pi$ Copie de arhivă din 19 februarie 2009 la Wayback Machine (link inaccesibil din 22-05-2013 [3451 zile] - istoric , copie ) (eng.) .
↑ Citat din paginile 16-17 ale cărții: Perelman Ya. I. Squareing the circle. - L. : Casa științei distractive, 1941.

Literatură

Jukov A. V. Pe numărul π . - M. : MTsMNO, 2002. - 32 p. - ISBN 5-94057-030-5 .
Jukov A. V. Numărul omniprezent „pi”. - Ed. a II-a. - M . : Editura LKI, 2007. - 216 p. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
Quimpan, Florida. Istoria lui pi. — M .: Nauka , 1971. — 217 p.
Navarro, Joaquin. Secretele numărului De ce problema pătrarii cercului este de nerezolvat. — M .: De Agostini, 2014. — 143 p. — (Lumea matematicii: în 45 de volume, volumul 7). - ISBN 978-5-9774-0629-1 . $\pi.$
Perelman Ya. I. Pătratarea cercului. - L . : House of entertaining science, 1941.Reeditare: YOYO Media,ISBN 978-5-458-62773-3.
Shumikhin S., Shumikhina A. Numărul Pi. O istorie de 4000 de ani. - M . : Eksmo, 2011. - 192 p. - (Secretele universului). - ISBN 978-5-699-51331-4 . — ISBN 5-4574041-9-6 . - ISBN 978-5-4574041-9-9 .
David H. Bailey, Jonathan M. Borwein. Pi: The Next Generation O sursă despre istoria recentă a Pi și calculul său. - Springer, 2016. - 507 p. — ISBN 978-3-319-32375-6 .
Arndt, George; Haenel, Christoph. Pi Dezlănțuit . — Springer-Verlag , 2006. — P. 194–196. — 270p. - ISBN 978-3-540-66572-4 .

Legături

pi.delivery Arhivat pe 10 noiembrie 2020 la Wayback Machine 50 de trilioane de cifre pi (record mondial).
Weisstein, Eric W. Pi Formule (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Diverse reprezentări ale lui Pi Arhivate la 12 august 2011 la Wayback Machine pe WolframAlpha
https://functions.wolfram.com/Constants/Pi/ Arhivat 12 ianuarie 2021 la Wayback Machine
secvența A000796 în OEIS
22,4 trilioane de cifre de pi Arhivat 10 noiembrie 2020 la Wayback Machine

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNE : XX536170 GND : 4174646-6 J9U : 987007546007205171 LCCN : sh85101712 NDL : 00562015 NKC : ph117728

Numere cu nume proprii

Constante matematice

Algebric

Transcendental ,
probabil transcendental

Grade de o mie

numere vechi rusești

Alte puteri de zece

Puterile de doisprezece

Altele întregi

Alte numere

unitate imaginară

Numere irationale
Constanta Apéry ( ζ(3) ) Constanta Erdős-Borwein ( E ) Constantele Feigenbaum vis sofomorian Constanta numărului prim (ρ) Număr de plastic (ρ) Logaritm de doi (ln 2) Rădăcina a 12-a a lui 2 ( 12 √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 2 ( √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 3 ( √ 3 ) Rădăcină pătrată a lui 5 ( √5 ) Raportul de aur (φ) Super raport de aur (ψ) Secțiune de argint ( δS ) e π Constanta Gelfond ( e π ) Constanta Gelfond-Schneider ( 2 √ 2 ) constanta Fibonacci inversă (ψ)
transcendental Trigonometric