Brahistocron

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 noiembrie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Brachistochrone (din grecescul βράχιστος „cel mai scurt” + χρόνος „timp”) - curba celei mai rapide coborâri. Sarcina de a-l găsi a fost stabilită în iunie 1696 de Johann Bernoulli , după cum urmează:

Printre curbele plane care leagă două puncte date și care se află în același plan vertical (de mai jos ), găsiți-o pe cea care se deplasează de-a lungul căruia, sub acțiunea numai gravitației , co-direcțională cu semiaxa negativă , punctul material din va ajunge în cel mai scurt timp. $A$ $B$ $B$ $A$ $OY$ $A$ $B$

Soluția problemei brahistocronei este un arc de cicloid cu o bază orizontală, al cărui vârf se află în punctul , sau cu alte cuvinte, având o tangentă verticală în punctul . $A$ $A$

Este de remarcat faptul că timpul de coborâre până la punctul de jos nu depinde de locația punctului de plecare pe arcul cicloidului.

Rezolvarea problemei brahistocronei

Isaac Newton , Jacob Bernoulli , G. V. Leibniz , G. F. Lopital , E. V. Tschirnhaus au răspuns articolului lui Johann Bernoulli . Toți, la fel ca însuși Johann Bernoulli, au rezolvat problema în moduri diferite. Metoda de rezolvare obținută la 26 ianuarie 1697 de Isaac Newton a stat la baza celui mai important domeniu al științelor naturale - calculul variațiilor .

Să fie două puncte arbitrare situate pe ordonate diferite . Mai mult, lăsați un punct material arbitrar M să se rotească din punctul A în punctul B numai sub acțiunea gravitației ( nu există forțe de frecare ). Să găsim o astfel de traiectorie , la care timpul de rulare va fi minim.

Să direcționăm axa y în jos și să comparăm valoarea zero a ordonatei cu punctul de plecare. Să notăm legea conservării energiei pentru punctul material M:

{\frac {mv^{2}}{2}}=mgy,

Unde

m

- greutatea corporală ,

g

este accelerația de cădere liberă ,

y

- ordonata ,

v

este viteza corpului.

Primim:

v={\sqrt {2gy}),

unde puteți găsi valoarea proiecției vitezei pe axă : $X$

v_{x}={\frac {v}{\sqrt {1+(y')^{2))))={\frac {\sqrt {2gy)} {\sqrt {1+(y ')^{2}}}}.

Deoarece timpul de coborâre este , problema se reduce la minimizarea valorii integralei $\int _{a}^{b}{\frac {1}{v_{x}}}\,dx$

{\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+(y')^{2}}{y}}} \,dx.

Literatură

Kleiber I. A. Brachistochrone // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.

Link -uri

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius