Număr obișnuit

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 iunie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Numerele regulate sunt numere care împart în mod egal puterile lui 60 (sau, în mod echivalent, puterile lui 30 ). De exemplu, 60 2 = 3600 = 48 × 75, deci atât 48, cât și 75 sunt divizori ai puterii lui 60. Astfel, sunt numere ordinare . În mod echivalent, acestea sunt numere ai căror singuri divizori primi sunt 2, 3 și 5.

Numerele care se împart în mod egal la o putere de 60 apar în mai multe domenii ale matematicii și aplicațiile acesteia și au nume diferite luate din aceste domenii diferite de studiu.

Teoria numerelor

În mod formal, un număr regulat este un întreg de forma 2 i ·3 j ·5 k pentru numerele întregi nenegative i , j și k . Acest număr este un divizor . Numerele regulate sunt numite și 5 - netede , indicând faptul că cel mai mare factor prim al lor este cel mult 5.

Primele câteva numere obișnuite

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, ... (secvența A051037 în OEIS ).

Alte secvențe din OEIS au definiții care includ numere cu 5 netezi [2] .

Deși numerele obișnuite par dense în intervalul de la 1 la 60, ele sunt destul de rare printre numerele întregi mari. Un număr regulat n = 2 i 3 j 5 k este mai mic sau egal cu N dacă și numai dacă punctul ( i , j , k ) aparține unui tetraedru , mărginit de planurile de coordonate și de plan

după cum se poate observa luând logaritmul ambelor părți ale inegalității 2 i ·3 j ·5 k ≤ N . Prin urmare, numărul de numere regulate care nu depășesc N poate fi estimat ca volumul acestui tetraedru, care este egal cu

Chiar mai precis, folosind notația „O” este mare , numărul de numere regulate până la N este

și s-a sugerat că eroarea acestei aproximări este de fapt [3] . O formulă similară pentru numărul de numere 3-netede până la N este dată de Srinivasa Ramanujan în prima sa scrisoare către Godfrey Harold Hardy [4] .

Matematica babiloniana

În notația sexagesimală babiloniană , reciproca unui număr regulat are o reprezentare finită, deci este ușor divizibil. În special, dacă n împarte 60 k , atunci reprezentarea sexagesimală a lui 1/ n este 60 k / n deplasată cu un anumit număr de locuri.

De exemplu, să presupunem că vrem să împărțim la numărul comun 54 = 2 1 3 3 . 54 este un divizor al lui 603 și 603/54 = 4000, deci împărțirea la 54 în sexagesimal se poate face prin înmulțirea cu 4000 și deplasarea a trei cifre. În sexagesimal 4000 = 1x3600 + 6x60 + 40x1, sau (după cum a afirmat Joyce) 1:6:40. Deci 1/54 în sexagesimal este 1/60 + 6/60 2 + 40/60 3 , care este de asemenea notat 1:6:40, așa cum au făcut convențiile babiloniene. fără a preciza gradul cifrei iniţiale. În schimb, 1/4000 = 54/60 3 , deci împărțirea la 1:6:40 = 4000 se poate face prin înmulțirea cu 54 și deplasarea a trei cifre sexagesimale.

Babilonienii au folosit tabele cu numere regulate reciproce, dintre care unele au supraviețuit până în zilele noastre (Sachs, 1947). Aceste tabele au existat relativ neschimbate de-a lungul timpului babilonian [5] .

Deși principalul motiv pentru a prefera numerele obișnuite față de altele este caracterul finit al reciprocelor lor, unele calcule babiloniene, altele decât reciprocele, au inclus și numere regulate. De exemplu, s-au găsit tabele de pătrate regulate [5] , iar cuneiformul spart al tăbliței Plimpton 322 a fost interpretat de Otto E. Neugebauer ca o enumerare a triplelor pitagoreene generate de ambele numere regulate p , q care sunt mai mici de 60 . [6] .

Teoria muzicii

În teoria muzicii, acordarea naturală a scării diatonice include numere obișnuite: înălțimile dintr-o octava a acestei scale au frecvențe proporționale cu numerele din secvența 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 aproape consecutive regulate. numere. Astfel, pentru un instrument cu acest acord, toate tonurile sunt armonice regulate de aceeași frecvență fundamentală . Această scară se numește acordarea cu 5 -limită , ceea ce înseamnă că intervalul dintre oricare două tonuri poate fi descris ca produsul a 2 i 3 j 5 k puteri ale primelor până la 5 sau, echivalent, ca un raport al obișnuit. numere.

Scale muzicale cu 5 limite, altele decât scala diatonica familiară a muzicii occidentale, au fost, de asemenea, utilizate atât în ​​muzica tradițională din alte culturi, cât și în muzica experimentală modernă: Honingh & Bod (2005 ) enumeră 31 de scale diferite cu 5 limite luate dintr-o bază de date mare de cântare muzicale. Fiecare dintre aceste 31 de scale împărtășește cu intonația diatonica proprietatea că toate intervalele sunt rapoarte ale numerelor regulate. Euler Tonal Grid oferă o reprezentare grafică convenabilă a înălțimii în orice acord cu 5 limite prin extragerea rapoartelor de octave (puteri de două), astfel încât valorile rămase să formeze o grilă plană . Unii teoreticieni ai muzicii au afirmat, în general, că numerele regulate sunt fundamentale pentru muzica tonale în sine și că rapoartele de înălțime bazate pe numere prime mai mari de 5 nu pot fi consoane [7] . Cu toate acestea, temperamentul egal al pianelor moderne nu este o acordare cu 5 limite, iar unii compozitori moderni au experimentat acorduri bazate pe numere prime mai mari de 5.

În legătură cu aplicarea numerelor obișnuite la teoria muzicii, este interesant să găsim perechi de numere obișnuite care diferă cu unul. Există exact zece astfel de perechi ( x , x + 1) [8] și fiecare astfel de perechi definește o relație de superparticule ( x + 1)/ x , care are sens ca interval muzical. Este 2/1 ( octavă ), 3/2 (a cincea perfectă ), 4/3 (a patra perfectă ), 5/4 (a treia majoră ), 6/5 (a treia minoră ), 9/8 ( secundă majoră ), 10/9 ( secundă minoră ), 16/15 ( semiton diatonic ), 25/24 ( semiton cromatic ) și 81/80 ( virgulă sintonică ).

Algoritmi

Algoritmii pentru calcularea numerelor regulate în ordine crescătoare au fost popularizați de Edsger Dijkstra . Dijkstra [9] [10] îl creditează pe Hamming cu problema construirii unei succesiuni infinite crescătoare a tuturor numerelor cu 5 netede; această problemă este acum cunoscută sub numele de problema Hamming , iar numerele astfel obţinute sunt numite şi numere Hamming . Ideile lui Dijkstra pentru calcularea acestor numere sunt următoarele:

Acest algoritm este adesea folosit pentru a demonstra puterea unui limbaj de programare funcțional leneș , deoarece implementările paralele eficiente (implicit) care utilizează un număr constant de operații aritmetice per valoare generată sunt ușor de construit așa cum este descris mai sus. Implementări la fel de eficiente funcționale stricte sau imperative secvenţiale sunt, de asemenea, posibile, în timp ce soluțiile generative explicit paralele pot fi non-triviale [11] .

În limbajul de programare Python, codul funcțional leneș pentru generarea de numere obișnuite este folosit ca unul dintre testele încorporate pentru corectitudinea implementării limbajului [12] .

O problemă conexă discutată în Knuth (1972 ) este listarea tuturor numerelor hexazecimale cu k cifre în ordine crescătoare, așa cum a făcut (pentru k = 6) scriitorul din era seleucid Inakibit-Anu în tableta AO6456. În termeni algoritmici, aceasta este echivalentă cu generarea (în ordine) a unei secvențe infinite de numere obișnuite în intervalul 60 k până la 60 k + 1 . A se vedea Gingerich (1965 ) pentru o descriere timpurie a codului computerizat care generează aceste numere din ordine și apoi le sortează; Knuth descrie un algoritm special, pe care îl atribuie lui Bruins (1970 ), pentru a genera mai rapid numere de șase cifre, dar nu se generalizează în mod direct la valorile mari ale lui k . Eppstein (2007 ) descrie un algoritm pentru calcularea tabelelor de acest tip în timp liniar pentru valori arbitrare ale lui k .

Alte aplicații

Heninger, Rains & Sloane (2006 ) arată că atunci când n este un număr regulat divizibil cu 8, funcția generatoare a unei rețele extremale n - dimensionale chiar unimodulare este puterea a n- a a unui polinom.

Ca și în cazul altor clase de numere netede , numerele obișnuite sunt importante ca dimensiuni ale problemelor în programele de calculator pentru efectuarea Transformării Fourier rapide , o tehnică de analiză a frecvențelor dominante ale semnalului în date care variază în timp . De exemplu, metoda lui Temperton (1992 ) cere ca lungimea transformării să fie un număr obișnuit.

Cartea a 8 -a a Statelor lui Platon are o alegorie a căsătoriei bazată pe numărul foarte regulat 60 4 = 12.960.000 și pe divizorii săi. Savanții de mai târziu au folosit atât matematica babiloniană, cât și teoria muzicii în încercarea de a explica acest pasaj [13] . (Vezi Numărul lui Platon .)

Note

  1. ↑ Inspirat de diagrame similare de Erkki Kurenniemi în „ Chords, scales and divisor lattices” Arhivat 10 februarie 2021 la Wayback Machine .
  2. ↑ Căutare OEIS pentru secvențe cu 5-smoothness Arhivat 10 aprilie 2021 la Wayback Machine .
  3. ↑ Neil Sloan . Enciclopedia on-line a secvențelor întregi . Preluat la 10 aprilie 2021. Arhivat din original la 6 mai 2021.
  4. ↑ Berndt, Bruce K. & Rankin, Robert Alexander, eds. (1995), Ramanujan: Scrisori și comentarii , voi. 9, History of Mathematics, Societatea Americană de Matematică, p. 23, ISBN 978-0-8218-0470-4  .
  5. ↑ 12 Aaboe (1965 ).
  6. ↑ Vezi Conway & Guy (1996 ) pentru o tratare populară a acestei interpretări. Plimpton 322 are alte interpretări, pentru care vezi articolul său, dar toate includ numere regulate.
  7. ↑ Asmussen (2001 ), de exemplu, afirmă că „în orice piesă de muzică tonală” toate intervalele trebuie să fie rapoarte ale numerelor regulate, reluând afirmații similare ale unor autori mult mai vechi, cum ar fi Habens (1889 ). În literatura de teorie muzicală contemporană, această afirmație este adesea atribuită lui Longuet-Higgins (1962 ), care a folosit un design grafic apropiat de o rețea tonală pentru a organiza tonuri cu 5 limite.
  8. ↑ Halsey & Hewitt (1972 ) au remarcat că acest lucru decurge din teorema lui Størmer ( Størmer 1897 ) și au furnizat dovezi în acest caz; vezi şi Silver (1971 ).
  9. ↑ Dijkstra, Edsger W. (1976), 17. Un exercițiu atribuit lui RW Hamming , A Programming Discipline , Prentice-Hall, p. 129–134 , ISBN 978-0132158718 , < https://archive.org/details/disciplineofprog0000dijk/page/129 > 
  10. ^ Dijkstra, Edsger W. (1981), Hamming Exercise in SASL , Raportul EWD792. Distribuit inițial privat ca notă scrisă de mână. , < http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd07xx/EWD792.PDF > Arhivat 4 aprilie 2019 la Wayback Machine 
  11. ↑ Vezi, de exemplu, Hemmendinger (1988 ) sau Yuen (1992 ).
  12. ↑ Funcția m235 pe test_generators.py Arhivat 29 septembrie 2007 la Wayback Machine .
  13. ↑ Barton (1908 ); McClain (1974 ).

Link -uri

Link- uri externe