Verziera Agnesi

Verziera (versiera) Agnesi (uneori încuietoarea lui Agnesi ) este o curbă plană , locul punctelor pentru care are loc relația , unde este diametrul cercului, este semicordul acestui cerc, perpendicular pe . Versiera Agnesi și-a primit numele în onoarea matematicianului italian Maria Gaetana Agnesi , care a studiat această curbă. $M$ $\textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}$ $OA$ $î.Hr$ $OA$

Istorie

Pierre Fermat în 1630 a găsit zona regiunii dintre curbă și asimptota acesteia. În 1703, Guido Grandi , independent de Fermat, a descris construcția acestei curbe, iar în lucrarea sa din 1718 a numit-o versiera (în italiană Versiera , din latină Versoria ), deoarece funcția sine-versus a fost folosită în construcția ei . [unu]

În 1748, Maria Agnesi a publicat binecunoscuta lucrare de generalizare Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana , în care curba, ca în opera lui Grandi, a fost numită versier. Întâmplător, cuvântul italian Versiera/Aversiera , derivat din latinescul Adversarius , avea și semnificația „vrăjitoare” ( vrăjitoare în engleză ) [2] . Poate din acest motiv, profesorul de la Cambridge John Colson, care a tradus opera lui Agnesi în engleză, a tradus greșit acest cuvânt, drept urmare curba este adesea menționată în literatura engleză drept vrăjitoarea lui Agnesi .

Ecuații

$O=(0,0)$ , $A=(0,a)$

Într -un sistem de coordonate dreptunghiular :

y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}

Concluzie

Coordonatele punctului situat pe versier sunt , . iar prin definiție construim proporția $M$ $x=BM$ $y=OB$ $OA=a$

\textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}

De aici

\textstyle BC={\frac {xy}{a}}

Pe de altă parte , poate fi găsit din ecuația cercului: $î.Hr$

\textstyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}

Știm , așa că exprimăm : $y=OB$ $x^{2}$

\textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}

Echivalează ambele expresii pentru : $î.Hr$

\textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac { a}{2}}\dreapta)^{2}

Pătrare, traducere și paranteză: $y^{2}$

\textstyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=da

Exprimăm y (y=0 nu este potrivit prin definiție):

\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}

Dacă - acesta nu este diametrul , ci raza cercului, atunci ecuația este: $A$

\textstyle y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}

Ecuație parametrică:

{\begin{cases}x=a\,\operatorname {tg}\,\varphi \\y=a\cos ^{2}\varphi \end{cases))

, unde este unghiul dintre și

\varphi

OA

OC

Concluzie

Coordonatele unui punct sunt determinate în mod unic de unghiul dintre și . Dacă , și , atunci prin definiția unui versier, se poate compune proporția $M$ $\varphi$ $OB$ $OC$ $OB=y$ $BM=x$

\textstyle {\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}

$OA$ prin presupunere este egal cu . Din triunghi : , atunci $A$ $OBC$ $BC=y\,\operatorname {tg}\,\varphi$

\textstyle {\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operatorname {tg}\,\varphi }}

de aici . Inlocuim aceasta formula in ecuatia curbei: $x=a\,\operatorname {tg}\,\varphi$

\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\operatorname {tg}^{2}\,\varphi }}

\textstyle y={\frac {a}{1+\,\operatorname {tg}^{2}\,\varphi }}

Folosind identitatea , obținem

y=a\cos ^{2}\varphi

În sistemul polar , ecuația versiera este destul de complicată: pentru a o găsi, trebuie să rezolvați ecuația cubică :

\textstyle \rho \sin {\varphi }={\frac {a^{3}}{a^{2}+\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi }}

\textstyle \rho ^{3}(\cos ^{2}\varphi \sin \varphi )+\rho (a^{2}\sin \varphi )-a^{3}=0

Cu toate acestea, formula rezultată va fi prea complexă și greoaie pentru a avea vreo valoare practică.

Proprietăți

Verzier este o curbă de ordinul trei.
Diametrul este singura axă de simetrie a curbei. $OA$
Curba are un maxim - și două puncte de inflexiune - $A(0;a)$ $\textstyle P_{{1,2}}\left(\pm {\frac {a}({\sqrt {3)}});{\frac {3a}{4}}\right)$
În vecinătatea vârfului , versierul se apropie de un cerc de diametru . Punctul este atins, iar curba coincide cu cercul. Aceasta este arătată de valoarea razei de curbură în punctul : . $A$ $OA$ $A$ $A$ $\textstyle R_{A}={\frac {a}{2}}$
Zona de sub grafic . Se calculează prin integrarea ecuației peste tot . $S=\pi a^{2}$ $\textstyle {\mathbb {R}}$
Volumul corpului de rotație al versierului în jurul asimptotei sale (axa ) . $BOU$ $\textstyle V={\frac {\pi ^{2}a^{3}}{2}}$

Clădire

Se construiește un cerc cu diametru și o tangentă la acesta. Pe o tangentă, un sistem de referință este selectat cu originea în punctul de contact. O linie dreaptă este construită prin punctul tangent selectat și punctul cerc opus punctului tangent. Această linie intersectează cercul la un moment dat. Prin acest punct se trasează o dreaptă paralelă cu tangenta . Punctul versier se află la intersecția acestei drepte și perpendiculara pe tangenta în punctul selectat. $A$

Fapte interesante

Springboard - rampa portavionului rus Amiral al Flotei Uniunii Sovietice Kuznetsov a fost formată de versierul Agnesi. Când avionul părăsește rampa, acesta se află în unghiul ideal de atac la o viteză de 180-200 km/h (pentru Su-27 ). Teoretic, o aeronavă de orice greutate la decolare poate decola de pe o trambulină. [3]

Vezi și

Literatură

Vygodsky M. Ya. Manual de matematică superioară. — M .: AST : Astrel , 2006.

Link -uri

I. M. Vinogradov. Agnesi curl // Enciclopedie matematică. — M.: Enciclopedia Sovietică . - 1977-1985. (Rusă)
Colecție unificată de resurse educaționale digitale . Preluat: 13 ianuarie 2012. (nedefinit)
Animație de construcție . Data accesului: 13 ianuarie 2012. Arhivat din original pe 14 martie 2012.
Articol în Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (fr.) . Consultat la 15 iunie 2010. Arhivat din original pe 14 martie 2012.
Articol de pe site- ul web Wolfram MathWorld . Preluat: 15 iunie 2010.
XahLee.org (engleză) . Preluat: 13 ianuarie 2012.
Leslie Pacher. „Vrăjitoarea” matematică (ing.) (link indisponibil) . Data accesului: 13 ianuarie 2012. Arhivat din original pe 14 martie 2012.

Note

↑ C. Truesdell . Corectare și completări pentru 'Maria Gaetana Agnesi // Arhiva pentru Istoria Științei Exacte. - 1991. - Vol. 43. - P. 385-386. - doi : 10.1007/BF00374764 .
↑ Pietro Fanfani . Vocabolario dell' uso toscano, p. 334 Arhivat la 2 mai 2014 la Wayback Machine
↑ O buclă de frumusețe și arbaleta unui gigant: simulatorul Thread - trecutul și viitorul . Preluat la 21 august 2012. Arhivat din original la 20 aprilie 2012. (nedefinit)

Dicționare și enciclopedii	Un norvegian grozav Britannica (online) Treccani

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius