Curbă duală

Curba duală (sau curba duală ) la o curbă dată pe planul proiectiv este o curbă pe planul proiectiv dual , constând din tangente la o curbă netedă dată. În acest caz, curbele sunt numite reciproc dual (dual) . Conceptul poate fi generalizat la curbe nenetede și la spațiu multidimensional.

Curbele duale sunt expresia geometrică a transformării Legendre din mecanica hamiltoniană .

Planul proiectiv dual

Punctele și dreptele de pe planul proiectiv joacă roluri simetrice unele față de altele: pentru orice plan proiectiv se poate considera planul proiectiv dual , în care punctele sunt prin definiție drepte ale planului original . În acest caz , punctele vor corespunde dreptelor planului , iar relația de incidență va fi aceeași până la o permutare a argumentelor. $P$ $P^*$ $P$ $P^*$ $P$

Definiție

Să fie dată o curbă netedă pe planul proiectiv . Luați în considerare mulțimea tuturor tangentelor sale . Această mulțime poate fi considerată ca fiind o mulțime de puncte din planul dual . Va forma o curbă (nu neapărat netedă) la , care se numește duala lui [1] . $C$ $P$ $C^{*}$ $P^*$ $P^*$ $C$

Datorită simetriei dintre spațiu și spațiu dual, curba duală cu curba în (adică familia de linii cu un singur parametru în ) va fi curba în . Această curbă se numește anvelopa familiei de linii [2] . $P^*$ $P$ $P$

Exemplu

Considerăm o elipsă dată de ecuație (vezi figura). Tangente la acesta vor fi drepte date de ecuații , unde . Astfel, curba duală acestei elipse este dată de ecuația în coordonate , . $(x/2)^{2}+(y/3)^{2}=1$ $\alpha x+\beta y=1$ $(2\alpha )^{2}+(3\beta )^{2}=1$ $(2\alpha )^{2}+(3\beta )^{2}=1$ $\alfa$ $\beta$

Proprietăți

Curbele duale au următoarele proprietăți [1] [3] :

Curba duală cu curba duală va fi curba originală: . $(C^{*})^{*}=C$
Dacă curba inițială este o curbă de ordinul doi , atunci curba duală cu aceasta va fi, de asemenea, de ordinul doi.
Fiecare tangentă dublă (adică tangentă la două puncte) a curbei inițiale corespunde unui punct de auto-intersecție a curbei duale.
Fiecare punct de inflexiune al curbei inițiale corespunde unui vârf al curbei duale.

Relația cu transformările Legendre

Curbele duale sunt aplicate pentru a descrie transformările Legendre în mecanica hamiltoniană . Și anume, transformarea Legendre este trecerea de la curbă la curba duală, scrisă în coordonate afine . Aceasta se datorează următoarei proprietăți: graficul unei funcții strict convexe este dual cu graficul transformării Legendre pentru această funcție [1] .

Parametrizare

Pentru o curbă definită parametric, curba duală este definită de ecuațiile [4] :

X={\frac {y'}{yx'-xy'}}

Y={\frac {x'}{xy'-yx'}}

Generalizări

Curbe nenetede

Conceptul de dualitate poate fi generalizat pentru linii întrerupte și, în general, pentru curbele nenetede, dacă luăm în considerare liniile de sprijin în loc de tangente . O linie dintr-un plan se numește linie de referință la o curbă dacă conține un punct al curbei, dar întreaga curbă se află într -un semiplan de la această linie. Pentru curbele netede, singura linie de referință care trece printr-un punct dat al curbei este tangenta la curba respectivă. Astfel, putem generaliza conceptele de dualitate pentru curbele nenetede: dualul unei curbe la o curbă arbitrară este mulțimea liniilor sale de sprijin.

Setul de linii de sprijin pentru o polilinie formează, de asemenea, o polilinie: liniile de sprijin care trec prin vârfurile poliliniei originale formează un segment al planului dual. Această linie întreruptă se numește linie întreruptă duală . Vârfurile sale sunt obținute din segmente ale poliliniei originale [1] . În special, dualul unui poligon este un poligon numit poligon dual .

Hipersuprafață dublă

Conceptul de dualitate poate fi generalizat și la un spațiu proiectiv de dimensiune arbitrară. Un spațiu proiectiv dublu este un spațiu format din hiperplanuri ale spațiului original.

Pentru o suprafață convexă dată într-un spațiu proiectiv, setul de hiperplane care susțin această suprafață se numește hipersuprafață duală [1] .

Exemple

Fie dat un cerc, dat într-un sistem de coordonate prin ecuația . Tangenta la cerc în punctul în care , este o dreaptă . Coordonatele acestei linii în sistemul de coordonate dual vor fi o pereche . Astfel, curba duală către cerc va fi setul de puncte ale curbei duale cu coordonatele , unde , adică din nou cercul. $x^{2}+y^{2}=1$ $(a,b)$ $a^{2}+b^{2}=1$ $ax+by=1$ $(a,b)$ $(a,b)$ $a^{2}+b^{2}=1$

Într-un caz mai general, dacă o normă este dată într-un spațiu , atunci în spațiul dual se poate considera norma duală . Fiecărui punct din spațiu îi corespunde un hiperplan dat de ecuația . Rezultă că suprafața conjugată la sfera unitară în spațiu (în sensul normei date) este duală cu sfera unitară în spațiul dual în sensul normei conjugate [1] . $\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathbb {R} ^{n}}^{*}$ $p$ ${\mathbb {R} ^{n}}^{*}$ $px=1$ $\mathbb {R} ^{n}$

Deci, de exemplu, un cub este o „sferă” în sensul normei uniforme ( ). Norma conjugată este o -normă . Prin urmare, suprafața duală față de cub ar fi „sfera” în , adică octaedrul . $L^{\infty }$ $L^{\infty }$ $L^1$ $L^1$

În plus, suprafața duală a unui politop va fi politopul dublu .

Vezi și

Plic

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 Vladimir Arnold. Metode geometrice în teoria ecuațiilor diferențiale ordinare . Litri, 21-02-2015. - S. 32-33. — 379 p. — ISBN 9785457718326 .
↑ Serghei Lvovsky. Familii de linii și cartografii gaussiene . — Litri, 27-06-2015. - P. 5. - 39 p. — ISBN 9785457742048 .
↑ Vladimir Arnold. Ecuații diferențiale obișnuite . Litri, 21-02-2015. - S. 120. - 342 p. — ISBN 9785457717886 .
↑ Evgueni A. Tevelev. Dualitate proiectivă și spații omogene . — Springer Science & Business Media, 2004-11-17. - S. 2. - 272 p. — ISBN 9783540228981 .

Transformări diferențiale ale curbelor în plan
Curba paralelă Evoluează Evolventă Podera antipodera Curbă dublă

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius