Istoria teoriei probabilităților

Istoria teoriei probabilităților este marcată de multe caracteristici unice. În primul rând, spre deosebire de alte ramuri ale matematicii care au apărut în aceeași perioadă (de exemplu, analiza matematică sau geometria analitică ), teoria probabilității nu a avut în esență predecesori antici sau medievali, este în întregime o creație a New Age [1] . Multă vreme, teoria probabilității a fost considerată o știință pur experimentală și „nu tocmai matematică” [2] [3] , justificarea sa riguroasă a fost dezvoltată abia în 1929, adică chiar mai târziu decât axiomatica teoriei mulțimilor.(1922). În zilele noastre, teoria probabilității ocupă unul dintre primele locuri în științele aplicate în ceea ce privește amploarea domeniului său de aplicare; „Nu există aproape nicio știință naturală în care metodele probabilistice să nu fie aplicate într-un fel sau altul” [4] .

Istoricii evidențiază câteva perioade în dezvoltarea teoriei probabilităților [5] [6] .

  1. Preistorie până în secolul al XVI-lea inclusiv. În antichitate și în Evul Mediu, filozofii naturii s-au limitat la argumente metafizice despre originea întâmplării și rolul acesteia în natură [7] . Matematicienii din această perioadă au luat în considerare și uneori au rezolvat probleme legate de teoria probabilităților, dar nu au apărut încă metode generale și concepte tematice. Principala realizare a acestei perioade poate fi considerată dezvoltarea metodelor combinatorii , care mai târziu a fost utilă pentru creatorii teoriei probabilităților.
  2. Începutul formării în a doua jumătate a secolului al XVII-lea a conceptelor și metodelor de bază ale teoriei probabilităților pentru variabile aleatoare cu un număr finit de valori. Stimulul la început a fost în principal probleme apărute în jocurile de noroc , cu toate acestea, domeniul de aplicare al teoriei probabilităților începe aproape imediat să se extindă, inclusiv problemele aplicate de statistică demografică , afaceri de asigurări și teoria calculelor aproximative . În această etapă, Pascal și Fermat au adus contribuții importante la ideile noii științe . Huygens a introdus două concepte fundamentale: o măsură numerică a probabilității unui eveniment, precum și conceptul de așteptare matematică a unei variabile aleatoare.
  3. În secolul al XVIII-lea au apărut monografii cu o expunere sistematică a teoriei probabilității. Prima dintre acestea a fost arta conjecturei a lui Jacob Bernoulli (1713). În ea, Bernoulli a propus definiția clasică a probabilității unui eveniment aleatoriu ca raport dintre numărul de rezultate la fel de probabile asociate cu acest eveniment și numărul total de rezultate. El a subliniat, de asemenea, regulile pentru calcularea probabilității pentru evenimente complexe și a oferit prima versiune a „legii numerelor mari” cheie , explicând de ce frecvența unui eveniment într-o serie de teste nu se schimbă aleatoriu, ci, într-un sens, tinde să valoarea sa limită teoretică (adică probabilitatea).
  4. Ideile lui Bernoulli au fost dezvoltate la începutul secolului al XIX-lea de către Laplace , Gauss , Poisson . Utilizarea metodelor probabilistice în statistica aplicată s-a extins semnificativ. Conceptul de probabilitate a fost definit și pentru variabile aleatoare continue, ceea ce a făcut posibilă aplicarea metodelor de analiză matematică. Apar primele încercări de aplicare a teoriei probabilității în fizică. Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, a apărut fizica statistică , o teorie riguroasă a erorilor de măsurare, iar metodele probabilistice au pătruns într-o mare varietate de științe aplicate.
  5. În secolul al XX-lea, teoria microlumii a fost creată în fizică, iar teoria eredității în biologie , ambele fiind în esență bazate pe metode probabiliste. Karl Pearson a dezvoltat algoritmi de statistică matematică care sunt pe scară largă și omniprezent în analiza măsurătorilor aplicate, testarea ipotezelor și luarea deciziilor . AN Kolmogorov a dat axiomatica clasică a teoriei probabilităților . Dintre celelalte noi domenii de aplicare ale teoriei probabilității, este necesar să menționăm teoria informației și teoria proceselor aleatorii . Dezbaterile filozofice despre ce este probabilitatea și care este motivul stabilității acesteia continuă.

Europa medievală și timpurile moderne timpurii

Primele probleme de natură probabilistică au apărut în diverse jocuri de noroc  - zaruri , cărți etc. [8] Canonul francez din secolul al XIII-lea Richard de Fournival a calculat corect toate sumele posibile de puncte după ce a aruncat trei zaruri și a indicat numărul de moduri în care fiecare dintre aceste sume poate fi obţinută. Acest număr de moduri poate fi considerat ca prima măsură numerică a așteptării unui eveniment, analog cu probabilitatea. Înainte de Fournival, și uneori după el, această măsură a fost adesea calculată incorect, având în vedere, de exemplu, că sumele de 3 și 4 puncte sunt la fel de probabile, deoarece ambele pot apărea „într-un singur mod”: conform rezultatelor aruncare, „trei unități” și, respectiv, „două cu două unități. Totodată, nu s-a luat în considerare faptul că trei unități se obțin efectiv într-un singur mod: , iar două cu două unități - trei: , deci aceste evenimente nu sunt la fel de probabile [9] . Greșeli similare au fost întâlnite în mod repetat în istoria ulterioară a științei.

Extensa enciclopedie matematică „Suma aritmetică, geometrie, rapoarte și proporții” a italianului Luca Pacioli (1494) conține probleme originale pe această temă: cum să împărțim pariul între doi jucători dacă o serie de jocuri este întreruptă înainte de termen. Un exemplu de sarcină similară: jocul urcă până la 60 de puncte, câștigătorul primește întregul pariu de 22 de ducați , în timpul jocului primul jucător a marcat 50 de puncte, al doilea - 30, iar apoi jocul trebuia oprit; este necesar să se împartă în mod corect rata inițială. Decizia depinde de ceea ce se înțelege prin împărțire „echitabilă”; Pacioli însuși a sugerat împărțirea proporțională cu punctele înscrise (55/4 și 33/4 ducați) [10] ; ulterior hotărârea sa a fost recunoscută ca eronată [11] .

Algebristul proeminent al secolului al XVI-lea, Gerolamo Cardano, a dedicat o monografie informativă analizei jocului, Cartea zarurilor (1526, publicată postum). Cardano a efectuat o analiză combinatorie completă și inconfundabilă pentru valorile sumei de puncte și a indicat pentru diferite evenimente valoarea așteptată a proporției de evenimente „favorabile”: de exemplu, la aruncarea a trei zaruri, proporția cazurilor în care valorile tuturor celor 3 zaruri sunt aceleași este 6/216 sau 1/36. Cardano a făcut o observație perspicace: numărul real de evenimente studiate poate diferi foarte mult de cel teoretic pentru un număr mic de jocuri, dar cu cât mai multe jocuri în serie, cu atât este mai mică ponderea acestei diferențe. În esență, Cardano s-a apropiat de conceptul de probabilitate [12] :

Deci, există o regulă generală pentru calculare: trebuie să luați în considerare numărul total de apariții posibile și numărul de moduri în care aceste apariții pot apărea, apoi găsiți raportul dintre ultimul număr și numărul de apariții posibile rămase. .

Un alt algebriist italian, Niccolo Tartaglia , a criticat abordarea lui Pacioli de a rezolva problema împărțirii pariului: la urma urmei, dacă unul dintre jucători nu a reușit încă să marcheze niciun punct, atunci algoritmul lui Pacioli dă întregul pariu adversarului său, dar acest lucru cu greu poate fi numit corect, din moment ce există unele șanse de câștig pe care le mai are rămasul. Cardano și Tartaglia și-au propus propriile lor (diverse) metode de împărțire, dar mai târziu aceste metode au fost și ele recunoscute ca nereușite [13] .

Acest subiect a fost studiat și de Galileo Galilei , care a scris un tratat „Despre problema punctelor la jocul cu zaruri” (1718, publicat postum). Prezentarea teoriei jocurilor de către Galileo se distinge prin completitatea și claritatea sa exhaustivă. În cartea sa principală, Dialog on the Two Major Systems of the World , Ptolemaic și Copernican, Galileo a subliniat, de asemenea, posibilitatea de a estima eroarea măsurătorilor astronomice și de altă natură și a afirmat că erorile mici de măsurare sunt mai probabile decât cele mari, abaterile în ambele direcții sunt la fel de probabile, iar rezultatul mediu ar trebui să fie aproape de valoarea adevărată a valorii măsurate. Aceste raționamente calitative au devenit prima predicție a distribuției normale a erorilor [14] .

Secolul al XVII-lea: Pascal, Fermat, Huygens

În secolul al XVII-lea, a început să se formeze o înțelegere clară a problemelor teoriei probabilităților și au apărut primele metode matematice ( combinatorii ) pentru rezolvarea problemelor probabilistice. Blaise Pascal și Pierre de Fermat [15] au devenit fondatorii teoriei matematice a probabilității .

Înainte de asta, matematicianul amator Chevalier de Mere a apelat la Pascal despre așa-numita „problema punctelor”: de câte ori trebuie să arunci două zaruri pentru a paria pe pierderea simultană a cel puțin o dată când doi șase a fost profitabilă? Pascal și Fermat au intrat în corespondență între ei cu privire la această problemă și la întrebările conexe ( 1654 ). Ca parte a acestei corespondențe, oamenii de știință au discutat o serie de probleme legate de calculele probabilistice; în special, a fost luată în considerare vechea problemă a împărțirii pariului, iar ambii oameni de știință au ajuns la decizia că este necesar să se împartă pariul în funcție de șansele rămase de câștig. Pascal i-a arătat lui de Mere greșeala pe care a făcut-o în rezolvarea „problema punctelor”: în timp ce de Mere a identificat greșit evenimente la fel de probabile, primind răspunsul: 24 de aruncări, Pascal a dat răspunsul corect: 25 de aruncări [15] [16 ] ] .

Pascal în scrierile sale a avansat mult în utilizarea metodelor combinatorii, pe care le-a sistematizat în cartea sa Tratat despre triunghiul aritmetic (1665) [17] . Pe baza unei abordări probabilistice, Pascal chiar a susținut (în notele publicate postum) că este mai profitabil să fii credincios decât ateu (vezi „ Pariul lui Pascal ”).

Subiectul discuției dintre Pascal și Fermat (fără detalii) a devenit cunoscut lui Christian Huygens , care a publicat propriul său studiu „On the Calculations in Gambling” ( 1657 ): primul tratat de teoria probabilității [15] . În prefață, Huygens scrie [18] :

Cred că la studierea atentă a subiectului, cititorul va observa că nu are de-a face doar cu un joc, ci că aici se pun bazele unei teorii foarte interesante și profunde.

Tratatul lui Huygens detaliază întrebările luate în considerare de Fermat și Pascal, dar ridică și noi întrebări [11] . Principala realizare a omului de știință olandez a fost introducerea conceptului de așteptare matematică , adică valoarea medie teoretică a unei variabile aleatoare . Huygens a subliniat, de asemenea, modalitatea clasică de calcul [18] :

Dacă de câte ori se obține suma este , și de câte ori se obține suma este , atunci costul așteptării mele este .

Huygens, după cum se poate observa din citat, a folosit pentru prima dată termenul „valoare”, iar termenul „așteptare” a apărut pentru prima dată când Van Schouten a tradus tratatul lui Huygens în latină și a devenit general acceptat în știință [19] .

Cartea conține un număr mare de probleme, unele cu soluții, altele „pentru soluție independentă”. Dintre acestea din urmă, „ problema ruinei jucătorului ” a stârnit un interes deosebit și o discuție plină de viață . Într-o formă oarecum generalizată, se formulează după cum urmează: jucătorii A și B au și monede , respectiv, se câștigă o monedă în fiecare joc, probabilitatea ca A să câștige în fiecare joc este egală , trebuie să găsiți probabilitatea completă a lui. ruina. O soluție generală completă a „problemei ruinelor” a fost dată de Abraham de Moivre o jumătate de secol mai târziu (1711) [20] . În zilele noastre, schema probabilistică a „problemei ruinei” este utilizată în rezolvarea multor probleme de tip „ mers aleatoriu ” [21] .

Huygens a analizat și sarcina împărțirii pariului, dând soluția finală a acestuia: pariul trebuie împărțit proporțional cu probabilitățile de câștig dacă jocul continuă [22] . De asemenea, el a fost pionier în aplicarea metodelor probabiliste la statisticile demografice și a arătat cum se calculează speranța de viață [23] .

Publicațiile statisticienilor englezi John Graunt (1662) și William Petty (1676, 1683) aparțin aceleiași perioade . După ce au prelucrat datele de mai bine de un secol, ei au arătat că multe dintre caracteristicile demografice ale populației londoneze, în ciuda fluctuațiilor aleatoare, sunt destul de stabile - de exemplu, raportul dintre numărul de băieți și fete nou-născuți se abate rareori de la proporția de 14. la 13, fluctuațiile sunt mici și procentul de decese din motive aleatorii specifice. Aceste date au pregătit comunitatea științifică pentru percepția noilor idei [18] .

Graunt a fost și primul care a alcătuit tabele de viață  , tabele cu probabilitatea decesului în funcție de vârstă. Problemele teoriei probabilităților și aplicarea acesteia la statisticile demografice au fost abordate și de Johann Hudde și Jan de Witt în Țările de Jos, care în 1671 au compilat și tabele de mortalitate și le-au folosit pentru a calcula mărimea rentei viagere . Această serie de întrebări a fost descrisă mai detaliat în 1693 de către Edmund Halley [11] [24] .

secolul al XVIII-lea

Cartea lui Huygens s-a bazat pe tratatele de la începutul secolului al XVIII-lea ale lui Pierre de Montmort Essay d'analyse sur les jeux de hazard ( franceză  Essay d'analyse sur les jeux de hazard ; publicată în 1708 şi retipărită cu adăugiri în 1713) şi Jacob Bernoulli . Arta Conjecturii a lui ( lat.  Ars conjectandi ; publicat după moartea savantului, în același 1713). Acesta din urmă a fost deosebit de important pentru teoria probabilității [11] .

Arta presupunerii de Jacob Bernoulli

Jacob Bernoulli a lucrat la tratatul „Arta Asumpțiilor” timp de douăzeci de ani, deja cu zece ani înainte de publicare, textul acestei lucrări sub forma unui manuscris neterminat a început să se răspândească în toată Europa, stârnind un mare interes. Tratatul a fost prima expunere sistematică a teoriei probabilității. În această carte, autorul a dat, în special, definiția clasică a probabilității unui eveniment ca raport dintre numărul de rezultate asociate cu acest eveniment și numărul total de rezultate (un eveniment de încredere are o probabilitate de unu, un imposibil). evenimentul are o probabilitate zero). Schema probabilistică studiată sistematic de Bernoulli se numește acum distribuția binomială [25] .

Anterior, matematicienii operau cel mai adesea pe numărul de rezultate în sine; istoricii cred că înlocuirea cantității cu „frecvență” (adică împărțită la numărul total de rezultate) a fost determinată de considerente statistice: frecvența, spre deosebire de cantitate, tinde în general să se stabilizeze pe măsură ce numărul de observații crește. Definiția probabilității „după Bernoulli” a devenit imediat acceptată în general, a fost reprodusă de Abraham de Moivre în cartea „Doctrina cazurilor” (1718) și de toți matematicienii ulterioare. Singura clarificare importantă – că toate „rezultatele elementare” trebuie să fie la fel de probabile – a fost făcută de Pierre-Simon Laplace în 1812. Dacă este imposibil să se calculeze probabilitatea clasică pentru un eveniment (de exemplu, din cauza lipsei capacității de a identifica rezultate equiprobabile), atunci Bernoulli a sugerat utilizarea unei abordări statistice, adică estimarea probabilității pe baza rezultatelor observațiilor. a acestui eveniment sau legat de acesta [25] .

În prima parte a tratatului său, Bernoulli retipărește complet cartea lui Huygens, căreia îi acordă cel mai mare rating și o completează semnificativ cu propriile sale comentarii. În special, el dă „ formula Bernoulli ” generală : dacă probabilitatea unui eveniment este , atunci probabilitatea ca evenimentul să se întâmple o dată la teste este de . Bernoulli elaborează apoi combinatoria și o folosește pentru a rezolva mai multe probleme cu selecția aleatorie. În ultima parte a cărții, care a rămas neterminată, Bernoulli urma să ia în considerare aplicațiile economice și alte aplicații practice ale teoriei probabilității [26] .

De mare importanță atât pentru teoria probabilității, cât și pentru știință în general a fost prima versiune a legii numerelor mari demonstrată de Bernoulli (mai târziu Poisson a dat numele legii ) [27] . Această lege explică de ce frecvența statistică, cu o creștere a numărului de observații, se apropie de valoarea sa teoretică - probabilitate și, prin urmare, conectează două definiții diferite ale probabilității. Mai târziu, legea numerelor mari a fost semnificativ generalizată și rafinată de lucrările multor matematicieni; după cum s-a dovedit, tendința frecvenței statistice la cea teoretică diferă de tendința la limită în analiză - frecvența se poate abate semnificativ de la limita așteptată și se poate argumenta doar că probabilitatea unor astfel de abateri tinde să zero cu creșterea numărului de încercări. În același timp, abaterile de frecvență de la probabilitate sunt, de asemenea, susceptibile de analiză probabilistică [28] .

Dezvoltarea ideilor lui Bernoulli

Tratatul lui Jacob Bernoulli a provocat o creștere bruscă a interesului pentru problemele probabilistice și o creștere a numărului de studii ale problemelor noi. Abraham de Moivre a publicat mai multe lucrări, dintre care cel mai interesant este articolul „On the Measurement of Chance, or the Probabilities of Results in Gambling” (1711) și tratatul „The Doctrine of Cases” (1718), care a trecut prin trei ediţii în secolul al XVIII-lea. În acest tratat, De Moivre nu numai că a rezolvat complet „problema ruinării jucătorilor” menționată mai sus, dar a și estimat pentru aceasta durata medie a jocului și probabilitatea de a câștiga pentru un anumit număr de jocuri pentru fiecare jucător [11] [29] . Într-o altă lucrare numită „Analytical Mixture”, De Moivre a oferit prima versiune a teoremei De De Moivre-Laplace , care explorează distribuția posibilelor abateri ale frecvenței statistice de la probabilitate. De Moivre a considerat doar cazul în care probabilitatea este egală cu 1/2, în timp ce cazul general pentru orice probabilitate a fost demonstrat de Laplace [30] . O altă realizare a lui Moivre a fost prima introducere în știința distribuției normale (1733), care i-a apărut ca o aproximare a distribuției binomiale [31] .

La această știință a contribuit și Daniel Bernoulli , nepotul fondatorului teoriei probabilităților. El, independent de De Moivre, a studiat distribuția normală a erorilor de observație, a fost primul care a aplicat metodele de analiză matematică problemelor probabilistice și a publicat primul dintre paradoxurile probabilistice (1738) [32] .

Următorul pas important a fost făcut de matematicianul englez Thomas Simpson , care, în cursul analizei numerice din cartea Nature and the Laws of Chance (1740), a folosit de fapt a treia definiție (împreună cu cea clasică și cea statistică) a probabilității - geometric, potrivit pentru studiul variabilelor aleatoare continue cu un număr infinit de valori. În problema XXVI, Simpson a găsit probabilitatea ca un paralelipiped aruncat aleatoriu pe un plan să se oprească pe fața sa dată [33] .

Abordarea lui Simpson a fost dezvoltată de Georges-Louis de Buffon , care în 1777 a dat un exemplu clasic de problemă de probabilitate geometrică [31] . Aceasta a fost „ problema Buffon de a arunca un ac ” , care a ocupat mai târziu mulți matematicieni : avionul este demarcat „într-o riglă”, un ac este aruncat la întâmplare, este necesar să se găsească probabilitatea ca acul să traverseze linia [33] . Dacă lungimea acului este mai mică decât distanța dintre linii , atunci probabilitatea necesară este . Această formulă a fost verificată experimental de mai multe ori, inclusiv de către Buffon însuși, iar în 1901 matematicianul italian Mario Lazzarini a folosit-o pentru a determina experimental numărul . Problema Buffon, analiza ei și diferitele modificări au fost discutate de matematicieni de mulți ani [34] .

A fost rezolvată cea mai importantă problemă de calcul a probabilității pentru evenimente complexe. Matematicianul englez Thomas Bayes a fost primul care a articulat teorema de adunare a probabilității pentru mai multe evenimente incompatibile și „ formulele Bayes ” fundamentale în teoria și statistica probabilităților (1763, publicat postum). În terminologia modernă, formulele Bayes vă permit să calculați probabilitatea condiționată , precum și să rafinați probabilitatea calculată după primirea de date noi. Teorema înmulțirii probabilităților a fost descoperită anterior de De Moivre (1718) și ia dat o formulare complet modernă, deși verbală: „probabilitatea apariției a două evenimente dependente este egală cu produsul probabilității de apariție a unuia dintre ele de către probabilitatea ca celălalt să apară dacă primul dintre ei a apărut deja” [35] .

Până la mijlocul secolului al XVIII-lea, analiza jocurilor a atras încă un oarecare interes - de exemplu, Leonhard Euler a oferit o analiză detaliată a diferitelor tipuri de loterie [36] , dar atenția matematicienilor devine din ce în ce mai mult statisticile demografice , asigurările și estimarea erorilor (măsurători, rotunjire etc.). .). Euler a dedicat multe lucrări statisticii și asigurărilor; el, în special, a rezolvat problema: să estimeze din tabele statistice care este probabilitatea ca o persoană la vârsta de ani să trăiască alți ani [37] .

secolul al XIX-lea

Tendințe generale și critică

În secolul al XIX-lea, numărul lucrărilor despre teoria probabilității a continuat să crească, au existat chiar încercări de a compromite știința pentru a-și extinde metodele cu mult peste limitele rezonabile - de exemplu, în domeniul moralității, psihologiei, aplicării legii și chiar al teologiei. [38] . În special, filozoful galez Richard Price , și după el Laplace , au considerat posibil să se calculeze probabilitatea viitorului răsărit folosind formulele lui Bayes [39] , Poisson a încercat să efectueze o analiză probabilistică a corectitudinii sentințelor judecătorești și a fiabilității mărturia martorului [40] . Filosoful J. S. Mill în 1843, evidențiind astfel de aplicații speculative, a numit calculul probabilităților „de rușine a matematicii” [41] . Aceasta și alte estimări au mărturisit rigoarea insuficientă a justificării teoriei probabilităților.

Între timp, aparatul matematic al teoriei probabilităților a continuat să se îmbunătățească. Scopul principal al aplicării sale la acel moment era prelucrarea matematică a rezultatelor observaționale care conțineau erori aleatorii, precum și calculul riscurilor în activitatea de asigurări și alți parametri statistici. Printre principalele probleme aplicate ale teoriei probabilităților și statisticii matematice ale secolului al XIX-lea se numără următoarele [42] :

Până la mijlocul secolului al XIX-lea, se forma o teorie probabilistică a tragerii de artilerie. Majoritatea țărilor europene majore au înființat organizații naționale de statistică. La sfârșitul secolului, domeniul de aplicare al metodelor probabiliste a început să se răspândească cu succes în fizică, biologie, economie și sociologie [43] [44] .

Gauss, Laplace, Poisson

Carl Friedrich Gauss , care a fost constant angajat în calcule astronomice, a dezvoltat o tehnică probabilistică pentru lucrul cu măsurători care conțineau erori (1809). El a studiat în profunzime distribuția normală , a arătat că în multe situații practice este limita pentru valori aleatoare, a justificat utilizarea metodei celor mai mici pătrate pentru a estima valoarea măsurată și parametrii posibilului său interval de răspândire. Versiunea finală a teoriei a fost prezentată de Gauss în două lucrări, The Theory of the Combination of Observations Subject to Random Errors (1823, 1828) [45] . Deși legea normală a fost cunoscută cu mult înaintea lui Gauss, contribuția sa la teoria acestei distribuții atât de importante este atât de mare încât multă vreme legea normală a fost numită „legea lui Gauss”; termenul modern a fost fixat datorită lucrărilor lui Karl Pearson la sfârșitul secolului al XIX-lea [44] .

Principalele realizări ale teoriei probabilității sunt rezumate în monografia fundamentală a lui Laplace „The Analytical Theory of Probability” (1812), care a încheiat „etapa clasică” în dezvoltarea acestei științe. În secolul al XIX-lea, opera lui Laplace a trecut prin trei retipăriri în Franța și a fost tradusă în multe limbi ale lumii [43] . Laplace a studiat atât variabilele aleatoare discrete, cât și cele continue (fără a introduce încă termenul de „variabilă aleatoare”), iar pentru cele continue a dat conceptul cheie al densității distribuției probabilităților , folosit anterior implicit și limitat de Daniel Bernoulli. Conceptul integral al funcției de distribuție a apărut mult mai târziu (a fost introdus în 1912 de A. M. Lyapunov ); termenul general „variabilă aleatorie” de asemenea, aparent, a apărut pentru prima dată în lucrările școlii probabilistice ruse [46] . Introducerea densității probabilității și a funcțiilor caracteristice a permis lui Laplace să aplice instrumente analitice puternice pentru a rezolva probleme probabilistice, inclusiv ecuații cu diferențe parțiale [40] .

Laplace a dat o formulă pentru probabilitatea totală pentru mai multe „cauze” inconsistente (în terminologia modernă, „ipoteze”), a demonstrat o serie de teoreme limită, inclusiv teorema Moivre-Laplace și convergența distribuției binomiale la distribuția normală cu o creșterea numărului de încercări. O parte semnificativă a cărții este dedicată aplicațiilor statistice și rezolvării problemelor. Pentru a estima intervalul posibil de valori ale valorii măsurate, Laplace, ca și Gauss, a recomandat metoda celor mai mici pătrate [47] .

Laplace a descris, de asemenea, înțelegerea sa asupra esenței întâmplării și probabilității. În opinia sa, cursul proceselor reale este complet predeterminat ( „determinat” ), aleatorietatea apare numai în percepția umană și numai acolo unde o persoană nu are cunoștințe deplină despre ceea ce se întâmplă [48] :

Mintea, care ar cunoaște pentru un moment dat toate forțele care animă natura și poziția relativă a tuturor părților sale componente, dacă în plus s-ar dovedi suficient de extinsă pentru a supune aceste date analizei, ar cuprinde într-o singură formulă: mișcarea celor mai mari corpuri ale universului pe picior de egalitate.cu mișcările celor mai ușori atomi; nu ar mai rămâne nimic care să nu fie sigur pentru el, iar viitorul, ca și trecutul, aveau să apară în fața ochilor lui.

Siméon Denis Poisson a generalizat în 1837 legea numerelor mari a lui Bernoulli eliminând condiția ca probabilitatea unui eveniment în fiecare joc să fie aceeași; în aceste noi condiții, frecvența statistică va converge către media aritmetică pentru probabilitățile jocurilor individuale [49] . El a publicat, de asemenea , formula Poisson , care este convenabilă pentru a descrie schema Bernoulli în cazul în care probabilitatea unui eveniment este aproape de zero sau de unu. Distribuția Poisson („legea evenimentelor rare”) este una dintre principalele probleme aplicate, de exemplu, dezintegrarea radioactivă , nașterea tripleților, statistica accidentelor și accidentelor [50] se supun acesteia .

Teoria erorilor de măsurare

Principala problemă în acest domeniu este următoarea. Fie că măsurătorile succesive ale unei anumite cantități dau valori apropiate, dar inegale. Se înțelege că sunt luate în considerare erorile sistematice și dependența mărimii de timpul de măsurare (să zicem, cu rotația firmamentului ), astfel încât diferența de date este cauzată de erori pur aleatorii. Pe baza rezultatelor măsurătorilor, este necesar să se găsească cea mai bună estimare a valorii adevărate a cantității studiate [51] .

Primul studiu matematic al acestui subiect practic important (mai ales în astronomie) a fost întreprins de Thomas Simpson (1755). El a pornit de la ipoteza greșită că erorile de măsurare sunt distribuite conform „legei triunghiulare”, dar a concluzionat corect că media aritmetică a rezultatelor măsurătorii este mai aproape de valoarea adevărată decât o singură măsurătoare. Daniel Bernoulli (1778) credea că densitatea distribuției erorii este un arc de cerc, dar concluzia lui Simpson a confirmat [52] . Ideile lui Simpson au fost dezvoltate de I. G. Lambert , care a aplicat mai întâi metoda de generare a funcțiilor și metoda maximei probabilități , generalizate ulterior de R. E. Fisher [53] .

În secolul al XIX-lea, Laplace a subliniat că erorile de măsurare observate sunt de obicei rezultatul însumării mai multor erori aleatoare și, prin urmare, distribuția lor ar trebui să fie aproape de normal . În locul mediei aritmetice, el a propus o mediană statistică . Cu toate acestea, aproape simultan, metoda mult mai practică a celor mai mici pătrate a lui Gauss (1809) a fost publicată și a devenit în uz general. În 1853, Cauchy a descoperit un exemplu de distribuție pentru care media aritmetică este o estimare foarte slabă. Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, teoria statistică a gestionării erorilor era în mare măsură completă [52] .

Paradoxurile lui Bertrand

În 1889, matematicianul francez Joseph Bertrand , în cursul său „Analiza probabilităților”, a propus o serie de paradoxuri legate de probabilitatea geometrică. În fiecare paradox, interpretări diferite ale conceptelor „la întâmplare” sau „luate în mod arbitrar” au condus la soluții diferite ale problemei. Un exemplu al unuia dintre paradoxurile lui Bertrand: găsiți probabilitatea ca o coardă aleasă aleatorie a unui cerc să fie mai lungă decât o latură a unui triunghi înscris în acest cerc. Cu diferite metode de alegere a unui acord „la întâmplare”, se obțin răspunsuri diferite.

Discuția paradoxurilor lui Bertrand a contribuit la clarificarea fundamentelor teoriei probabilităților și a semnificației termenului „echiprobabil” [54] .

Fizică statistică

Până la mijlocul secolului al XIX-lea, aplicarea practică a teoriei probabilităților s-a limitat în principal la statistici și calcule aproximative , astfel încât termenul general de „variabilă aleatorie” a apărut destul de târziu [55] . Unul dintre primele procese aleatorii din fizică a fost mișcarea haotică a polenului care plutea în apă, studiată la microscop de Robert Brown în 1827 (" Mișcarea browniană "). Modelul său matematic a apărut însă abia la începutul secolului al XX-lea ( A. Einstein , M. Smoluchowski , N. Wiener ) [56] .

Primele modele probabilistice fizice au apărut în fizica statistică , care a fost dezvoltată în a doua jumătate a secolului al XIX-lea de L. Boltzmann , D. K. Maxwell și D. W. Gibbs . Boltzmann într-o serie de lucrări (1870) a arătat că legile termodinamice sunt de natură probabilistic-statistică și sunt asociate cu tranziția sistemelor fizice de la o stare mai puțin probabilă la una mai probabilă, iar entropia este o măsură a probabilității . În aceiași ani, Maxwell a derivat legea de distribuție a vitezelor moleculelor într-un gaz, ceea ce face posibilă calcularea energiei , a drumului liber mediu și a altor caracteristici ale moleculelor. În 1902, Gibbs a publicat monografia „Principii de bază ale mecanicii statistice”, care a avut o mare influență asupra dezvoltării fizicii [57] . Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, importanța practică enormă a metodelor probabiliste devenise un fapt general recunoscut.

Școala rusă

În Rusia, în prima jumătate a secolului al XIX-lea, au început să apară cercetări serioase despre teoria probabilității. Primul curs a fost predat de S. Revkovsky la Universitatea din Vilnius (1829), unde în 1830 a fost înființat primul departament de teoria probabilității din Imperiul Rus. Din 1837, prelegerile de la Universitatea din Sankt Petersburg au fost citite mai întâi de V. A. Ankudovich , iar din 1850 de V. Ya. Bunyakovsky . Manualul fundamental „Fundamentals of the Mathematical Theory of Probability” a fost publicat de Bunyakovsky în 1846, iar terminologia rusă pe care a inventat-o ​​a devenit general acceptată. Cursul a apărut la Universitatea din Moscova în 1850, prelegeri au fost susținute de A. Yu. Davidov , viitorul președinte al Societății de Matematică din Moscova [58] .

Articole pe subiecte probabilistice au fost publicate de mulți matematicieni ruși de seamă, printre care M. V. Ostrogradsky , N. D. Brashman , N. I. Lobachevsky , N. E. Zernov . Într-o parte semnificativă a acestor lucrări, se poate simți influența puternică a lucrărilor și vederilor lui Laplace [59] .

Primii matematicieni ruși de talie mondială în teoria probabilităților au fost P. L. Cebyshev și studenții săi A. A. Markov și A. M. Lyapunov . Încă de la începutul carierei sale științifice, Cebyshev a acordat cea mai mare atenție teoriei probabilității (împreună cu teoria numerelor ), iar din 1860 l-a înlocuit pe Bunyakovsky la Departamentul de Teoria Probabilității și și-a început seria de prelegeri. A publicat doar patru lucrări pe această temă, dar de natură fundamentală. Un interes deosebit este articolul său „Despre medii” (1866), care prezintă „ inegalitatea Chebyshev ”, întărită mai târziu de Markov :

.

Această formulă înseamnă că probabilitatea de abatere a oricărei variabile aleatoare de la valoarea sa medie ( aşteptări matematice ) cu mai mult decât abaterile standard ( ) nu depăşeşte . De exemplu, o abatere de 5 are o probabilitate de cel mult 1/25, adică nu mai mult de 4%.

Ca o consecință a inegalității sale, Cebyshev a obținut o formulare extrem de generală a legii numerelor mari : dacă așteptările matematice ale unei serii de variabile aleatoare și pătratele acestor așteptări matematice sunt mărginite în agregat, atunci media aritmetică a acestor cantități converge odată cu creșterea către media aritmetică pentru așteptările lor matematice. Din această teoremă se obține drept corolare ale teoremelor Bernoulli și Poisson; Cebyshev a fost primul care a evaluat riguros acuratețea acestor teoreme și a altor aproximări [60] .

În 1887, a apărut un articol de Cebyshev „Despre două teoreme privind probabilitățile”. În această lucrare, el a stabilit că în anumite condiții (mai degrabă generale), teorema limitei este adevărată: suma unui număr mare de variabile aleatoare independente (de exemplu, erori de măsurare) este distribuită aproximativ conform legii normale și cu atât mai precis. , cu atât mai mulți termeni. În generalitatea sa, acest rezultat depășește cu mult teorema Moivre-Laplace și toți analogii ei [61] . Mai târziu, A. A. Markov și A. M. Lyapunov au rafinat și au generalizat în continuare această teoremă Cebyshev.

Ambele teoreme ale lui Cebyshev ocupă un loc central în teoria probabilității. Deosebit de important este faptul că Cebyshev nu numai că a indicat distribuția limitativă, dar în ambele cazuri a analizat în detaliu limitele posibilelor abateri de la această limită [5] .

Dacă Cebyshev a studiat variabile aleatoare independente, atunci A. A. Markov în 1907 a extins domeniul de cercetare, luând în considerare cazul în care o nouă valoare aleatoare depinde de cea veche. Markov a dovedit o variantă a legii numerelor mari pentru unele tipuri comune de mărimi dependente, introducând „ lanțuri Markov ” în terminologia științei mondiale. Markov a dedicat multe lucrări analizei și clasificării acestor lanțuri; Lanțurile Markov și procesele aleatoare Markov sunt folosite nu numai în matematică, ci și în alte științe, cum ar fi fizica statistică , mecanica cuantică , teoria controlului automat și multe altele [62] . Markov deține și justificarea probabilistică a metodei celor mai mici pătrate [63] .

AM Lyapunov a introdus metoda funcțiilor caracteristice în teoria teoremelor limită în teoria probabilităților [63] .

secolul al XX-lea

Întrebări teoretice și metode matematice

În secolul al XX-lea, studiile lui Cebyshev și Markov au fost continuate de A. Ya. Khinchin , A. N. Kolmogorov și alții. În special, Jarl V. Lindeberg (1922) și Kolmogorov (1926) au găsit condițiile necesare și suficiente pentru legea lui numere mari de ținut [64 ] .

Aparatul matematic al teoriei probabilităților a fost îmbogățit semnificativ în multe direcții. După dezvoltarea teoriei măsurii, s-a dovedit a fi convenabil să se aplice acest concept general la teoria probabilității, adică să se considere probabilitatea ca o măsură a unui set (finit sau infinit) de „evenimente favorabile”. Această abordare permite descrierea și explorarea proprietăților probabilității în limbajul bine dezvoltat al teoriei mulțimilor [65] .

În teoria sistemelor dinamice , soluțiile ecuațiilor diferențiale ale unor sisteme se comportă ca procese stocastice . Această descoperire majoră a condus la crearea conceptului de „ haos dinamic ” și a „teoriei haosului” generală . Un exemplu este „ problema celor trei corpuri ” a mecanicii cerești [66] .

Până în secolul al XX-lea, distribuțiile normale, binomiale și (uneori) Poisson au fost utilizate în principal , dar multe alte legi teoretice s-au dovedit a fi practic utile . De exemplu, distribuția lognormală apare adesea în situațiile în care valoarea studiată este produsul mai multor variabile aleatoare pozitive independente [67] .

Metodele probabilistice s-au dovedit fructuoase în multe domenii ale matematicii teoretice și aplicate, chiar și în cele clasice precum teoria numerelor [68] sau logica [69] . La rândul său, teoria probabilității modernă folosește metode și abordări dezvoltate în analiza funcțională , topologia și alte ramuri ale matematicii apărute în secolul XX [70] .

Crearea statisticilor matematice

Mulți oameni de știință, de la Huygens și Laplace la Quetelet și Galton , au fost implicați în aplicarea metodelor matematice în statistică, inclusiv a celor special dezvoltate în acest scop . Statistica matematică ca bază pentru luarea deciziilor de încredere cu privire la variabile aleatorii a apărut la începutul secolelor XIX și XX datorită lucrării fundamentale a lui Karl Pearson , un student al lui Galton. Pearson a dezvoltat teoria corelației , teste de bunătate a potrivirii , analiza de regresie , testarea ipotezelor , luarea deciziilor și algoritmi de estimare a parametrilor [71] . Algoritmii propuși de Pearson sunt folosiți pe scară largă în fizică, medicină, biologie, sociologie, agricultură etc. [72]

Cel mai proeminent succesor al lucrării lui Pearson privind statistica matematică aplicată în prima jumătate a secolului al XX-lea a fost Ronald Aylmer Fisher . El a publicat lucrări despre designul experimentului , a dezvoltat metoda de maximă probabilitate , testul de semnificație statistică , analiza varianței și soluția unui număr de alte probleme statistice importante practic. Împreună cu Jerzy Neumann , a dezvoltat conceptul de interval de încredere (1937). Fisher este autorul termenului general acceptat „ varianță a unei variabile aleatoare ” ( varianță în engleză  ) [73] .

Începând cu anii 1920, teoria controlului statistic al calității produselor industriale s-a dezvoltat rapid. Prima problemă pe această temă a fost luată în considerare de Thomas Simpson în 1846. În producția de masă, este necesar să se determine prin ce metodă articolele ar trebui retrase dintr-unul sau mai multe loturi de produse pentru a le verifica calitatea [74] .

Abundența de studii statistice de astăzi, care dă adesea rezultate opuse (de exemplu, privind prezența sau absența daunelor de la telefoanele mobile sau produse modificate genetic ), a făcut ca problema furnizării de concluzii fiabile dintr-un studiu statistic să fie relevantă și adesea discutată. Cea mai frecventă greșeală este anunțul că dependența ( corelația ) statistică a factorilor studiați ar indica o relație cauzală între aceștia, deși adesea relația acestor factori se explică de fapt prin dependența lor de unul sau mai mulți factori terți [75] . „Dependența statistică, oricât de puternică, nu poate stabili niciodată o relație de cauzalitate: ideile noastre despre cauză trebuie să provină din statistici externe, în cele din urmă dintr-o altă teorie” [76] .

Procese aleatorii

Conceptul de proces aleatoriu (sau stocastic) , care a apărut la începutul secolului al XX-lea, a devenit una dintre aplicațiile centrale, cu rapidă dezvoltare și cele mai utile ale teoriei probabilităților. Un proces aleatoriu este o variabilă aleatoare care variază în timp. Primele studii ale proceselor aleatorii au vizat în principal electronica și mesajele de teorie a comunicării , astăzi se pot cita ca exemple serii de timp în economie sau medicină, registregrame de teoria mecanismelor , statistica de viață a biologiei populației . Teoria stării de aşteptare are o sferă largă de aplicare practică . Printre problemele tipice ale analizei proceselor aleatorii [77] :

S-a realizat o clasificare a tipurilor de procese aleatoare, au fost dezvoltate instrumente analitice pentru studiul lor ( funcții de corelație și covarianță , descompunere spectrală) [78] [79] . Pentru analiza proceselor au fost dezvoltate instrumente noi precum ecuații diferențiale stocastice , integrale stocastice , instrumente de analiză spectrală și de filtrare [80] .

Aplicații noi

Noi aplicații ale metodelor probabilistice au apărut constant în secolul al XX-lea și în multe științe; Să enumerăm pe scurt câteva dintre reperele acestei tendințe.

Fizică

Conceptul central al mecanicii cuantice , creat în anii 1920, este funcția de undă complexă , pătratul modulului căruia, conform interpretării comune de la Copenhaga , determină densitatea de probabilitate a detectării unei microparticule într-un punct dat din spațiu. Dacă acceptăm o astfel de interpretare, atunci în modelul matematic al microlumii, aleatorietatea este de neînlăturat, iar determinismul laplacian este complet infirmat [81] . Pentru microcosmos, au fost dezvoltate statistici cuantice speciale Bose-Einstein și Fermi-Dirac .

Biologie

După descoperirile lui Mendel și Morgan , a devenit clar că trăsăturile ereditare sunt transmise descendenților printr-o combinație aleatorie a uneia dintre cele două trăsături ( alele ) de la tată și una dintre cele două alele similare de la mamă. Alegerea aleatoare a alelei tatălui determină în același timp sexul viitorului descendent. Mutațiile aleatoare sunt suprapuse suplimentar acestui proces , astfel încât metodele probabilistice au stat la baza geneticii . De asemenea, sunt utilizate în studiul și managementul dezvoltării populațiilor biologice [82] . Abordările probabiliste (de exemplu, metode și metode bayesiene bazate pe principiul probabilității maxime ) sunt utilizate în mod semnificativ în filogenetica computațională , care implică utilizarea unor algoritmi de calcul speciali și programe de calculator pentru construirea arborilor filogenetici [83] [84] .

Cibernetică și Teoria Informației

Teoria informației se bazează pe conceptul de entropie informațională introdus de Claude Shannon în 1948 [85] . Dacă o variabilă aleatorie poate lua valori , ale căror probabilități sunt, respectiv, egale cu , atunci entropia este determinată de formula:

.

Entropia definită în acest fel este o măsură a aleatoriei (sau a incertitudinii): este egală cu zero dacă nu există aleatoriu, adică cu o probabilitate de 1, valoarea capătă o valoare definită. O creștere a aleatoriei este asociată cu o creștere a entropiei [86] .

Teoria controlului automat a folosit inițial și metode probabilistice. Odată cu apariția computerelor, utilizarea unor astfel de metode s-a extins de multe ori. Folosind un generator de numere pseudoaleatoare , este posibil să simulați variabile aleatoare sau procese cu o distribuție arbitrară pe un computer, iar aceasta, la rândul său, vă permite să explorați o varietate de procese reale prin simulare pe computer ( metoda Monte Carlo ) [87 ] .

Lingvistică

În a doua jumătate a secolului al XX-lea, aplicarea metodelor teoriei probabilităților și statisticii matematice la studiul fenomenelor lingvistice a luat contur într-un domeniu important al lingvisticii matematice . Numeroase studii bazate pe utilizarea unor astfel de metode au inclus: obținerea de estimări probabilistic-informaționale ale normei de limbă ; analiza distribuţiei informaţiei sintactice în forma cuvântului , condiţionalitatea contextuală şi redundanţa textelor , interacţiunea proceselor aleatorii şi deterministe în vorbire ; dezvoltarea unor metode adecvate de experiment lingvistic; identificarea caracteristicilor statistice ale seriilor de variații lingvistice etc. [88]

Justificare și axiomatizare

În momentul în care a fost creată teoria probabilității, baza matematicii era două clase de obiecte  - numere și figuri geometrice. Pentru teoria probabilității, a fost necesar să se adauge la această listă un obiect cu totul special: un eveniment aleatoriu , precum și concepte strâns legate de acesta (probabilitate, variabilă aleatoare etc.). Originalitatea noii științe s-a manifestat și prin faptul că afirmațiile sale nu erau necondiționate, așa cum era acceptat anterior în matematică, ci probabil probabilistice.

Pe măsură ce teoria probabilității s-a dezvoltat, au continuat disputele cu privire la faptul dacă un eveniment idealizat poate fi considerat un concept matematic (și atunci teoria probabilității face parte din matematică) sau dacă este un fapt observat în experiență (și apoi teoria probabilității ar trebui atribuită naturii). științe). Diferiți savanți și-au exprimat opinii foarte diferite în această chestiune. P. L. Chebyshev a considerat cu încredere teoria probabilității ca fiind o disciplină matematică, a cărei sarcină este de a determina probabilitatea necunoscută a evenimentului studiat din probabilitățile cunoscute ale unor evenimente. Potrivit lui David Hilbert , teoria probabilității este legată de mecanică, adică este o „disciplină fizică” matematicizată [41] . August de Morgan și adeptul său W. S. Jevons au considerat conceptul de bază de „ probabilitate subiectivă ”, adică o măsură cantitativă a înțelegerii noastre a subiectului de studiu, și au conectat teoria probabilității cu logica [89] . Problemele legate de probabilitatea subiectivă ambiguă au fost discutate în mod repetat, ele fiind adesea formulate sub formă de „paradoxuri probabilistice” (vezi, de exemplu, „ paradoxul a trei prizonieri ” sau „ paradoxul unui băiat și al unei fete ”). O formalizare a probabilității subiective compatibile cu cea a lui Kolmogorov a fost propusă de Bruno de Finetti (1937) și Leonard Savage (1954).

Chiar și Bernoulli a dat de fapt două definiții ale probabilității: ca proporție de „cazuri favorabile” și ca frecvență statistică; pentru a reduce a doua înțelegere la prima, era nevoie de legea numerelor mari . Matematicianul și mecanicul austriac Richard von Mises a propus abordarea opusă (1914): considerați limita de frecvență ca fiind definiția probabilității. Mises nu a atribuit teoria probabilității matematicii, a considerat-o o știință experimentală care studiază fapte observabile [41] . Definiția lui Mises și axiomatica prezentată de el au fost criticate pentru că sunt goale, întrucât nu există mijloace pentru a afla dacă frecvența unui eveniment dat are o limită [90] . Discuția despre conceptul Mises continuă uneori până în zilele noastre [91] . Au existat și alte încercări de justificare - John Maynard Keynes (1921) și Harold Jeffreys (1939) au propus să înțeleagă probabilitatea unei afirmații ca „gradul de probabilitate” al acestei afirmații, această abordare fiind de asemenea menționată din când în când în discutarea problemei [92] .

La începutul secolului al XX-lea, școala lui D. Hilbert a pus astfel de secțiuni clasice ale matematicii precum geometria și analiza pe o bază axiomatică strictă , iar axiomatica a apărut în alte secțiuni ale matematicii: teoria mulțimilor , logica matematică etc. trebuie să dezvolte axiomatica pentru teoria probabilității, deoarece justificarea veche, semi-intuitivă și informală a lui Bernoulli și Laplace este demult depășită. Prima versiune a unei astfel de axiomatici a fost dată de matematicianul sovietic S. N. Bernshtein în cursul său „Teoria probabilității” (1927). Varianta lui A. N. Kolmogorov , publicată în 1929-1933 și bazată pe ideile teoriei măsurii , a devenit general recunoscută în știință [93] . În a doua jumătate a secolului al XX-lea, Alfred Renyi și A. N. Kolmogorov au explorat posibilitatea de a da o justificare pentru teoria probabilității pe baza teoriei informației [94] . În zilele noastre, „există o înțelegere clară a faptului că teoria probabilității este o știință cu adevărat matematică, care, în același timp, are cele mai strânse și mai directe legături cu o gamă largă de științe ale naturii, precum și cu cele tehnice și socio-economice. discipline” [95] .

În ciuda eficienței metodelor probabilistice dovedite prin practică, rolul aleatoriei în natură, cauza și limitele stabilității statistice rămân subiect de discuție [96] . „În cei 200 de ani care au trecut de pe vremea lui Laplace și Gauss, știința nu a făcut progrese la întrebarea fundamentală – când apare stabilitatea statistică” [97] .

Vezi și

Note

  1. ↑ Gnedenko B.V. Despre lucrările lui M.V. Ostrogradsky despre teoria probabilității // Cercetări istorice și matematice . - M. : GITTL, 1951. - Nr. 4 . - S. 120 .
  2. ↑ Gnedenko B. V. Eseuri despre istoria matematicii în Rusia. - M. - L .: OGIZ, 1946. - S. 201.
  3. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 303.
  4. ↑ Wentzel E. S. Teoria probabilității. - Ed. al 4-lea, stereotip. - M. : Nauka, 1969. - S. 17. - 577 p.
  5. ↑ 1 2 Kolmogorov A. N. Rolul științei ruse în dezvoltarea teoriei probabilităților // Note științifice ale Universității de Stat din Moscova. - M., 1947. - T. I , nr. 91, cartea 1 . - S. 53-64 .
  6. ↑ Sheinin O. B., 1978 , p. 284-285.
  7. ↑ Sheinin O. B., 1978 , p. 285-288.
  8. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , p. 366.
  9. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 22.
  10. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , p. 368.
  11. ↑ 1 2 3 4 5 Renyi A. Despre istoria teoriei probabilităților // Renyi A.   Trilogie despre matematică. - M . : Mir, 1980. - 376 p.  - S. 184-186.
  12. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 23-31.
  13. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , p. 370-371.
  14. ↑ Maistrov L. E. Elemente de teoria probabilității în Galileo // Întrebări de istorie a științelor naturale și a tehnologiei. - M .: Nauka, 1964. - Numărul. 16 . - S. 94-98 .
  15. ↑ 1 2 3 Stroyk D. Ya., 1984 , p. 143.
  16. ↑ Van der Waerden B. L. Corespondența dintre Pascal și Fermat privind teoria probabilității // Studii istorice și matematice . - M . : Nauka, 1976. - Nr. 21 . - S. 228-232 .
  17. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , p. 375-376, 379.
  18. ↑ 1 2 3 Istoria matematicii, Volumul II, 1970 , p. 89-91.
  19. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , p. 379-380.
  20. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , p. 399-400.
  21. ↑ Viterbi E.D. Principiile comunicării coerente . - M . : Radio sovietică, 1970. - S. 102. - 392 p.
  22. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 58-60.
  23. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 64-65.
  24. ↑ Alter G. Plague and the Amsterdam Annuitant: A New Look at Life Annuities as a Source for Historical Demography // Population Studies , 37 , 1983.  - P. 23-41.
  25. ↑ 1 2 Gnedenko B.V., 2005 , p. 387-389, 73.
  26. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 67-79.
  27. ↑ Bernoulli, I., 1986 .
  28. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 81-89.
  29. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , p. 402.
  30. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 95-96.
  31. ↑ 1 2 Stroik D. Ya., 1984 , p. 175.
  32. ↑ Nikiforovsky V. A., 1992 , p. 48.
  33. ↑ 1 2 Gnedenko B.V., 2005 , p. 390-391.
  34. ↑ Badger L. Lazzarini's Lucky Approximation of // Mathematics Magazine , 67 (2), 1994.  - P. 83-91. - doi : 10.2307/2690682 .
  35. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , p. 394-397.
  36. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 119-125.
  37. ↑ Gnedenko B. V. Despre lucrările lui Leonhard Euler despre teoria probabilității, teoria procesării observațiilor, demografie și asigurări // La 250 de ani de la nașterea lui L. Euler. - Colectie. - Editura Academiei de Științe a URSS, 1958.
  38. ↑ Wentzel E. S. Teoria probabilității. - Ed. al 4-lea, stereotip. - M. : Nauka, 1969. - S. 20. - 577 p.
  39. ↑ Istoria matematicii, Volumul III, 1972 , p. 138, 148-149, 151.
  40. ↑ 1 2 Sheinin O. B. Teoria probabilității a lui P. S. Laplace // Cercetări istorice și matematice . - M . : Nauka, 1977. - Nr. 22 . - S. 212-224 .
  41. ↑ 1 2 3 Grigoryan A. A. Teoria probabilității lui R. von Mises: istorie și fundamente filozofice și metodologice // Studii istorice și matematice . - M. : Janus-K, 1999. - Nr. 38 (4) . - S. 198-220 .
  42. ↑ Istoria matematicii, Volumul III, 1972 , p. 149.
  43. ↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul III, 1972 , p. 150-151.
  44. ↑ 1 2 Matematica secolului al XIX-lea. Volumul I, 1978 , p. 208, 239.
  45. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 178-187.
  46. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , p. 414.
  47. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 167-175.
  48. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 163.
  49. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 187-189.
  50. ↑ Nikiforovsky V. A., 1992 , p. 113-114.
  51. ↑ Shchigolev B. M. Prelucrarea matematică a observațiilor. - Ed. al doilea, stereotip. - M. : Fizmatlit, 1962. - S. 209-215. — 344 p.
  52. ↑ 1 2 Gnedenko B.V., 2005 , p. 408-411.
  53. ↑ Istoria matematicii, Volumul III, 1972 , p. 134.
  54. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 279-285.
  55. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , p. 417-418.
  56. ↑ Spassky B. I. Istoria fizicii . - M . : Şcoala superioară, 1977. - T. II. - S. 74-75.
  57. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 268-276.
  58. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 191-197, 204-213.
  59. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 197-204, 214.
  60. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 225-238.
  61. ↑ Cebyshev P. L.  Complete Works. - Editura Academiei de Științe a URSS, 1948. - T. III. - S. 404.
  62. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 253-259.
  63. ↑ 1 2 Stroik D. Ya., 1984 , p. 255.
  64. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 310-311.
  65. ↑ Chernova N. I. Măsură și măsură de probabilitate . Preluat la 11 ianuarie 2014. Arhivat din original la 25 iunie 2013.
  66. ↑ Tikhomirov V. Matematica în a doua jumătate a secolului XX  // Kvant . - 2001. - Nr. 1 .
  67. ↑ Distribuție logaritmic normală // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3.
  68. ↑ Postnikov A. G. Teoria probabilității numerelor. - M . : Cunoașterea, 1974. - 63 p.
  69. ↑ Logica probabilistică // Dicționar enciclopedic filosofic / Colegiul editorial principal: L. F. Ilicicev, P. N. Fedoseev, S. M. Kovalev, V. G. Panov. - M. : Enciclopedia Sovietică, 1983.
  70. ↑ Teoria probabilității // Matematica în URSS timp de patruzeci de ani, 1917-1957. - M. : Fizmatgiz, 1959. - T. I.
  71. ↑ John J. O'Connor și Edmund F. Robertson . Pearson  , Carl _  _
  72. ↑ Porter, T.M. Karl Pearson: Viața științifică într-o epocă statistică . - Princeton University Press, 2004. - ISBN 978-0-691-12635-7 .
  73. ↑ Corelația între rude pe presupunerea moștenirii mendeliane (1918). Consultat la 29 decembrie 2013. Arhivat din original pe 3 iunie 2013.
  74. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , p. 403-405.
  75. ↑ Myers David J. Corelație sau cauzalitate . Preluat la 6 ianuarie 2014. Arhivat din original la 25 aprilie 2021.
  76. ↑ Kendall M., Stewart A. Statistical inference and associations. - M. : Nauka, 1972. - S. 374. - 900 p.
  77. ↑ Rozanov Yu. A. Procese aleatorii. Curs scurt . - Ed. al 2-lea, revizuit. si suplimentare - M . : Nauka, 1979. - S.  174 -183. — 184 p.
  78. ↑ Gnedenko B.V., 2005, , p. 430-434.
  79. ↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics (pentru oameni de știință și ingineri) . - M . : Nauka, 1973. - S. 522-534. — 720 s.
  80. ↑ Rozanov Yu. A. Teoria probabilității, procese aleatorii și statistică matematică. - M . : Nauka, 1985. - S. 236-282. — 320 s.
  81. ↑ Detlaf A. A., Yavorsky B. M. Curs de fizică. Tutorial. - Ed. al 2-lea. - M . : Şcoala superioară, 1999. - S. 514. - 719 p. - ISBN 5-06-003556-5 .
  82. ↑ Teoria probabilității și statistică matematică. Modele matematice: manual. indemnizaţie în direcţia „Biologie”. - M .: Academia, 2009. - 315 p. — ISBN 978-5-7695-4704-1 .
  83. ↑ Kolaczkowski B., Thornton JW Long-Branch Attraction Bias and Inconsistency in Bayesian Phylogenetics // PLoS One , 4 (12), 2009.  - P. e7891. - doi : 10.1371/journal.pone.0007891 .
  84. ↑ Simmons MP Rezultatele înșelătoare ale analizelor filogenetice bazate pe probabilitate în prezența datelor lipsă // Cladistics , 28 (2), 2012.  - P. 208-222. - doi : 10.1111/j.1096-0031.2011.00375.x .
  85. ↑ Teoria informației . Enciclopedia „Circumnavigația”. Consultat la 29 decembrie 2013. Arhivat din original la 30 decembrie 2013.
  86. ↑ Volkenstein M. V. Entropie și informații. — M .: Nauka, 2006. — 325 p.
  87. ↑ Metoda Sobol I. M. Monte Carlo. - M .: Nauka, 1968. - (Prelegeri populare de matematică, numărul 46).
  88. ↑ Piotrovsky R. G. , Bektaev K. B. , Piotrovskaya A. A.  Lingvistică matematică. - M . : Şcoala superioară, 1977. - 383 p.  - S. 8-10, 110, 142, 189, 205-207, 233.
  89. ↑ Matematica secolului al XIX-lea. Volumul I, 1978 , p. 238-239.
  90. ↑ Khinchin A. Ya. Teoria frecvenței lui R. Mises și ideile moderne ale teoriei probabilităților // Questions of Philosophy. - 1961. - S. 91-102 (numărul 1), 77-89 (numărul 2) .
  91. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , p. 407.
  92. ↑ Robert CP, Chopin N., Rousseau J. Harold Jeffreys's Theory of Probability Revisited // Statistical Science , 24 (2), 2009.  - P. 141-172.
  93. ↑ Maistrov L.E., 1967 , p. 297-302, 311-313.
  94. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , p. 407-408.
  95. ↑ Matematica secolului al XIX-lea. Volumul I, 1978 , p. 240.
  96. ↑ Alimov Yu. I., Kravtsov Yu. A. Este probabilitatea unei mărimi fizice „normale”?  // Succesele științelor fizice. - M. , 1992. - Nr. 162 (7) . - S. 149-182 .
  97. ↑ Tutubalin V. N. Probability, computers and processing of experimental results  // Uspekhi fizicheskikh nauk. - M. , 1993. - Nr. 163 (7) . - S. 93-109 .

Literatură

Lucrările fondatorilor Cercetare modernă

Link -uri

 Istoria matematicii
Țări și epoci

Secțiuni tematice
Vezi si