Analiză complexă

Analiza complexă [1] , teoria funcțiilor unei variabile complexe (sau variabile complexe ; prescurtat ca TFCF ) este o secțiune a analizei matematice în care sunt luate în considerare și studiate funcțiile unui argument complex .

Concepte generale

Fiecare funcție complexă poate fi considerată ca o pereche de funcții reale a două variabile: definindu-și părțile reale și, respectiv, imaginare. Funcțiile sunt numite componente ale unei funcții complexe . $w=f(z)=f(x+iy)$ $f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$ $u,v$ $f(z)$

În plus, oriunde vorbim despre mărginirea unei funcții complexe, ne referim la mărginirea modulului ei (care implică mărginirea în sensul obișnuit al ambelor componente).

Conceptul de limită pentru o secvență și o funcție este introdus în același mod ca în cazul real, cu valoarea absolută înlocuită cu un modul complex. Dacă , atunci și Reversul este de asemenea adevărat: existența limitei funcției în sine decurge din existența limitelor componentelor, iar limitele componentelor vor fi componentele limitei. Continuitatea unei funcții complexe este, de asemenea, definită în același mod ca și în cazul real și este echivalentă cu continuitatea ambelor componente [2] . $\lim _{{z\to a+bi}}f(z)=A+Bi$ $\lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}u(x,y)=A$ $\lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}v(x,y)=B.$

Toate teoremele principale privind limita și continuitatea funcțiilor reale au loc și în cazul complex, dacă această extensie nu este legată de compararea mărimilor complexe cu mai mult sau mai puțin . De exemplu, nu există un analog direct al teoremei privind valorile intermediare ale unei funcții continue.

$\varepsilon$ - vecinătatea unui număr este definită ca un set de puncte mai mic decât : $z_{0}$ $z$ $z_{0}$ $\varepsilon$

|z-z_{0}|<\varepsilon

Pe planul complex , vecinătatea este interiorul unui cerc [2] de rază centrat pe . $\varepsilon$ $\varepsilon$ $z_{0}$

Point at Infinity

În analiza complexă, este adesea util să se ia în considerare întregul plan complex [3] , completat în comparație cu punctul obișnuit de la infinit : Cu această abordare, se consideră că o secvență care crește infinit (în valoare absolută) converge către punctul de la infinit . Operațiile algebrice cu infinit nu sunt efectuate, deși mai multe relații algebrice sunt valabile: $z=\infty .$

${\frac {z}{\infty }}=0;z+\infty =\infty (z\neq \infty )$
$z\cdot \infty =\infty ;{\frac {z}{0}}=\infty (z\neq 0)$

$\varepsilon$ Vecinătatea unui punct la infinit este considerată a fi mulțimea de puncte al căror modul este mai mare decât , adică partea exterioară a vecinătății originii. $z$ ${\dfrac {1}{\varepsilon ))$ ${\dfrac {1}{\varepsilon ))$

Diferențiere

Definiție

Derivata pentru o functie complexa a unui argument este definita in acelasi mod ca si pentru una reala [4] : $w=f(z)$

f'(z)={\frac {df}{dz}}=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z) +h)-f(z)}{h}}.

Dacă această limită există, se spune că funcția este diferențiabilă sau holomorfă . în care

f(z+h)-f(z)={\frac {df}{dz}}\cdot h+o(h),

unde — " o " este mic .

o

O caracteristică importantă trebuie luată în considerare: deoarece funcția complexă este dată în plan, existența limitei reduse înseamnă că aceasta este aceeași atunci când se tinde spre din orice direcție. Acest fapt impune restricții semnificative asupra formei funcțiilor componente și determină relația rigidă a acestora ( condiții Cauchy-Riemann , sunt și condiții Euler-D'Alembert) [4] : $z$ $u,\;v$

{\frac {\partial u}{\partial x)}={\frac {\partial v}{\partial y));\qquad {\frac {\partial u}{\partial y))= -{\frac {\partial v}{\partial x)),

sau, pe scurt,

{\frac {\partial f}{\partial x))={\frac {\partial f}{i\partial y)).

Aceasta implică faptul că diferențiabilitatea componentelor și nu este suficientă pentru diferențiabilitatea funcției în sine. $u$ $v$

În plus, există următoarele proprietăți care disting analiza complexă de analiza reală [4] :

Orice funcție complexă diferențiabilă într-o anumită vecinătate a unui punct este diferențiabilă de un număr nelimitat de ori și este analitică , adică seria sa Taylor converge către o funcție dată în toate punctele acestei vecinătăți (în literatură, împreună cu termenul de funcție analitică , sinonimele sale „ funcție holomorfă ”, „ funcție obișnuită ” sunt, de asemenea, utilizate) ). $z$
( Teorema lui Liouville ): Dacă o funcție este diferențiabilă pe întregul plan complex și nu este o constantă, atunci modulul ei nu poate fi mărginit.
Ambele componente ale unei funcții complexe diferențiabile sunt funcții armonice , adică satisfac ecuația lui Laplace :

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0;\qquad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0.

Orice funcție armonică poate fi atât o componentă reală, cât și o componentă imaginară a unei funcții diferențiabile. În acest caz, cealaltă componentă este determinată unic (din condițiile Cauchy-Riemann), până la un termen constant.

Astfel, orice funcție complexă diferențiabilă este o funcție de forma , unde sunt funcțiile armonice interconectate a două argumente. $u+iv$ $u,\;v$

Alte proprietăți

Fie funcțiile și să fie diferențiabile în domeniul Atunci și sunt de asemenea diferențiabile în acest domeniu. Dacă nu dispare în regiunea , atunci va fi diferențiabilă în Compoziția funcțiilor este diferențiabilă peste tot unde este definită. Dacă derivata unei funcții din regiune nu dispare, atunci există o funcție inversă acesteia și va fi diferențiabilă. $f(z)$ $g(z)$ $G\subseteq \mathbb {C} .$ $f(z)\pm g(z)$ $f(z)\cdot g(z)$ $g(z)$ $G$ ${\frac {f(z)}{g(z)))$ $G.$ $f(g(z))$ $w=f(z)$ $G$ $z=\varphi (w)$

Derivată pentru suma, diferența, produsul, coeficientul, compoziția funcțiilor și funcția inversă se calculează folosind aceleași formule ca în analiza reală.

Sensul geometric al derivatului

Fiecare funcție complexă definește o mapare a planului complex cu coordonate pe un alt plan complex cu coordonate . În același timp, expresia $w=f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)$ $(X y)$ $(u,\;v)$

\left|{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\right|=k(h)

când este mic , poate fi interpretat geometric ca factor de scalare pe care îl efectuează această mapare atunci când se deplasează de la un punct la altul . Existența unei limite , adică modulul derivatei , înseamnă că factorul de scalare este același în orice direcție din punctul , adică nu depinde de direcție. În general, factorul de scalare variază de la un punct la altul [5] . $h$ $z$ $z+h$ $\lim _{h\to 0}k(h)$ $|f^{\prime }(z)|=k$ $z$

Dacă factorul de scalare , atunci în vecinătatea punctului , distanțele dintre puncte cresc, iar factorul de scalare se numește factor de întindere . Dacă factorul de scalare , atunci în vecinătatea punctului , distanțele dintre puncte scad, iar factorul de scalare se numește factor de compresie . Exemplu pentru funcția : la un punct derivata este 4, deci toate lungimile sunt de patru ori. $k>1$ $z$ $k<1$ $z$ $f(z)=z^{2}+2z-1$ $z=1$

În ceea ce privește argumentul derivat, acesta determină unghiul de rotație al unei curbe netede care trece printr-un punct dat . Toate curbele netede sunt rotite cu același unghi în acest afișaj. Hărțile care păstrează unghiurile se numesc conformale ; astfel, orice funcție complexă diferențiabilă definește o mapare conformă (în regiunea în care derivata ei nu dispare) [6] . Acest fapt este asociat cu utilizarea pe scară largă a funcțiilor complexe în cartografie și hidrodinamică [7] . $z$

Integrare

Integrarea funcțiilor complexe

Conceptul de funcție complexă antiderivată (integrală nedefinită) este introdus în același mod ca și în cazul real. Cu toate acestea, nu există un analog al integralei definite în intervalul de la până la pe planul complex, deoarece calea de la punctul inițial la cel final este ambiguă. Prin urmare, forma principală a integralei complexe este integrala curbilinie , care depinde de o anumită cale. Mai jos vom indica condițiile în care integrala nu depinde de cale, iar apoi integrala „din punct în punct” poate fi definită corect. $A$ $b$

Fie ecuația în care parametrul t este direcționat de la o valoare inițială a la valoarea finală b definește o curbă netedă în bucăți în plan complex, dotată cu o direcție, iar funcția este definită în punctele acestei curbe. Direcția în care se mișcă parametrul determină parcurgerea specifică a curbei: nu contează care este mai mare - b sau a . [8] Împărțiți segmentul de parametrizare în părți egale $z=z(t),$ $\gamma$ $f(z)$ $n$ $t_{0},t_{1}\cdots t_{n-1},t_{n}\colon$

$a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b,$ dacă a < b ;
sau dacă a > b , $a=t_{0}>\ldots >t_{n}=b,$

și luați în considerare suma integrală:

\sum _{k=1}^{n}f{\big (}z(t_{k}){\big )}\cdot {\big (}z(t_{k})-z( t_{k-1}){\big )}.

Limita acestei sume pe măsură ce crește fără limită se numește integrală (complexă) peste curba (direcționată) a funcției date ; se noteaza: $n$ $\gamma$ $f(z)$

\int _{\gamma }f(z)dz.

Pentru orice funcție continuă de-a lungul , această integrală există și poate fi calculată prin integrala reală obișnuită peste parametrul: $f(z)$ $\gamma$

\int _{\gamma}f(z)dz=\int _{a}^{b}f(z(t))z'(t)dt=\int _{\gamma }(u~ dx-v~dy)+i\int _{\gamma }(v~dx+u~dy).

Iată componentele . Din această reprezentare se poate observa că proprietățile integralei complexe sunt similare cu cele ale integralei curbilinii reale de al doilea fel. $u,\;v$ $f(z)$

Integrală de contur

De un interes practic deosebit sunt integralele de-a lungul unui contur (închis) , adică de-a lungul unei curbe netede pe bucăți fără puncte de auto-intersecție , în care punctul de plecare coincide cu punctul final. Conturul poate fi ocolit în două direcții; pozitivă este direcția în care zona delimitată de contur este situată la stânga în sensul de mers.

Dacă curba formează un contur închis, se folosește o notație specială pentru integrală: $\gamma$

\oint _{\gamma }f(z)dz.

Uneori, săgeata de pe cerc indică direcția: în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic.

Există o teoremă importantă a integralei Cauchy : pentru orice funcție care este analitică într-un domeniu simplu conectat și pentru orice buclă închisă , integrala peste aceasta este egală cu zero: $f(z)$ $A\subseteq \mathbb {C} ,$ $\gamma \subseteq A$

\oint _{\gamma}f(z)dz=0{.)

Corolar: să fie funcția analitică într-un domeniu simplu conectat și punctele din domeniu sunt conectate printr-o curbă . Atunci integrala depinde doar de puncte , dar nu de alegerea curbei care le leagă , deci poate fi notat $f(z)$ $A\subseteq \mathbb {C} ,$ $z_{1},z_{2}$ $A$ $\gamma$ $\textstyle \int _{\gamma }f(z)dz$ $z_{1},z_{2}$ $\gamma$ $\textstyle \int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}f(z)dz.$

Dacă sunt îndeplinite condițiile teoremei Cauchy, atunci putem introduce conceptul de integrală nedefinită pentru . Pentru a face acest lucru, fixăm un anumit punct în interiorul regiunii și luăm în considerare integrala: $f(z)$ $z_{0}$

F(z)=\int _{z_{0}}^{z}{f(w)dw}.

Derivata este , prin urmare , antiderivată pentru Familia de antiderivate care diferă într-o constantă (în funcție de alegerea lui ) formează o integrală nedefinită. Teorema Newton-Leibniz [9] susține : $F'(z)$ $f(z)$ $F(z)$ $f(z).$ $z_{0}$

\int _{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)\,dz}=F(z_{2})-F(z_{1}).

Există o generalizare a teoremei integrale a lui Cauchy pentru o regiune multiplă conectată: dacă o funcție este analitică într-o regiune multiplă conectată închisă , atunci integrala sa peste conturul exterior al regiunii este egală cu suma integralelor peste toate contururile interioare (în aceeași direcție ca de-a lungul celei exterioare) [10] . Această generalizare este convenabilă de aplicat dacă domeniul conține un punct singular al unei funcții (definiția unui punct singular de mai jos ), unde funcția nu este analitică sau nu este definită.

Alte instrumente puternice pentru explorarea integralelor complexe și reale:

Formula integrală a lui Cauchy și consecințele ei: principiul modulului maxim , teoreme ale valorii medii ;
teorema fundamentală a reziduului .

Teoreme de unicitate și continuare analitică

Zerul unei funcții este punctul în care funcția dispare: . $f(z)$ $z_{0}$ $f(z_{0})=0$

Teorema asupra zerourilor unei funcții analitice . Dacă zerourile unei funcții , care este analitică în domeniu , au un punct limită în interior , atunci funcția dispare peste tot în . $f(z)$ $D$ $D$ $f(z)$ $D$

Corolar: dacă o funcție este analitică într-un domeniu și nu este identic zero în el, atunci în orice subdomeniu închis mărginit poate avea doar un număr finit de zerouri. $f(z)$ $D$ $C\subseteq D$

Teorema unicității pentru o funcție analitică. Fie o succesiune convergentă infinită de puncte diferite ale domeniului . Dacă două funcții analitice coincid în toate punctele acestei secvențe, atunci ele sunt identic egale în $\{z_n\}$ $D.$ $f(z),g(z)$ $D.$

În special, dacă două funcții analitice coincid pe o curbă netedă pe bucăți în , atunci ele coincid peste tot în . Aceasta înseamnă că valorile unei funcții analitice, chiar și într-o zonă mică a domeniului, determină complet comportamentul funcției în întregul domeniu al definiției sale. După ce am dat o funcție analitică pe o curbă (de exemplu, pe axa reală), determinăm în mod unic extensia acesteia (dacă este posibil) la o zonă mai largă, care se numește continuarea analitică a funcției originale. $D$ $D$

Toate funcțiile standard de analiză - polinom , funcție fracțională liniară , funcție de putere, funcții exponențiale , funcții trigonometrice , funcții trigonometrice inverse , logaritm - permit continuarea analitică în planul complex. În același timp, aceleași identități algebrice, diferențiale și alte identități vor fi valabile pentru continuările lor analitice ca și pentru originalul real, de exemplu:

\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}.

Extinderea seriei

Seria de putere

Definiția sumei unei serii de numere și semnele de convergență în analiza complexă sunt practic aceleași ca în analiza reală, cu valoarea absolută înlocuită cu un modul complex; excepția o constituie semnele de convergență, în care există o comparație pentru mai mult sau mai puțin decât elementele seriei în sine, și nu modulele acestora.

Orice funcție diferențiabilă într-un punct se extinde în vecinătatea acestui punct într -o serie de puteri Taylor : $z_{0}$

f(z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

Coeficienții seriei sunt calculați folosind formulele uzuale. Această serie converge către o funcție într-un cerc de rază centrat în punctul , care servește ca un analog al intervalului de convergență al seriei reale. Seria converge absolut în acest cerc și diverge în afara lui. În acest caz, sunt posibile 3 cazuri. $f(z)$ $R$ $z_{0}$

Seria converge într-un cerc de rază finită și nenulă.
Seria converge în întregul plan complex, adică . Astfel de funcții se numesc numere întregi . $R=\infty$
Seria converge doar în punctul . Exemplu: . Astfel de puncte se numesc singular pentru funcția Punctele nesingurale sunt numite regulate . Interiorul cercului de convergență este format din puncte regulate. $z_{0}$ $\sum _{{n=0}}^{\infty }n!(z-z_{0})^{n}$ $z_{0}$ $f(z).$

Limita cercului de convergență conține cel puțin un punct singular. Rezultă că raza cercului de convergență într-un punct este egală cu distanța de la punctul singular cel mai apropiat de acesta. $z_{0}$ $z_{0}$

Teorema lui Abel : dacă este raza cercului de convergență al unei serii de puteri, atunci în orice cerc cu același centru, dar cu o rază mai mică, seria converge uniform . $R$

Seria Laurent

Este de mare interes practic să studiem comportamentul unei funcții în apropierea unui punct singular izolat , adică un punct în vecinătatea căruia funcția este analitică, dar în punctul în sine fie nu este analitică, fie nu este definită. Seria de putere este inutilă aici, așa că este introdusă seria Laurent mai generală :

\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{{n=0}}^{{\ infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {c_{{-n}}}{ (z-z_{0})^{n}}}

Dacă regiunea de convergență a seriei Laurent nu este goală, atunci este un inel circular : . $r<|z-z_{0}|<R$

Teorema principală : dacă o funcție este analitică într-un inel circular, atunci ea poate fi reprezentată în acest inel printr-o serie Laurent convergentă și în mod unic. $f(z)$

În ceea ce privește o serie de puteri, limitele inelului de convergență sunt determinate de distribuția punctelor singulare ale funcției. Pe baza formei seriei Laurent, putem trage câteva concluzii despre comportamentul funcției în apropierea punctului . $z_{0}$

Punct singular detașabil : dacă seria Laurent nu conține elemente cu puteri negative . Atunci aceasta este doar o serie de puteri care definește o funcție într-un cerc înconjurător . Suma seriei din acest cerc este finită și poate diferi doar de punctul , deci este suficient să redefiniți , astfel încât funcția să devină analitică în întregul cerc. Următorul criteriu este valabil: dacă o funcție apropiată este analitică și mărginită, atunci este un punct singular amovibil. $z-z_{0)$ $z_{0}$ $f(z)$ $z_{0}$ $f(z_{0})$ $z_{0}$ $z_{0}$
Pol : dacă seria Laurent conține un număr finit de elemente cu puteri negative . În acest caz, funcția în punct este infinită (modulo). $z-z_{0)$ $z_{0}$
Punct singular esențial : dacă seria Laurent conține un număr infinit de elemente cu puteri negative . În acest caz, funcția din punct nu poate fi definită corect ca fiind continuă. $z-z_{0)$ $z_{0}$

Aplicații în analiză reală

Cu ajutorul teoriei reziduurilor , care face parte din TFKP, sunt calculate multe integrale complexe pe contururi închise.

Mijloacele de analiză complexă explică unele puncte care nu pot fi interpretate cu ușurință din punct de vedere al analizei materiale. Să luăm un exemplu clasic: funcția

f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}

este continuă și infinit diferențiabilă pe întreaga linie reală. Luați în considerare seria lui Taylor

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots

Această serie converge doar în interval , deși punctele nu sunt speciale pentru . $(-1;\;1)$ $\pm 1$ $f(x)$

Situația devine mai clară la trecerea la funcția unei variabile complexe , care are două puncte singulare: . În consecință, această funcție poate fi extinsă într-o serie Taylor numai în cerc . $f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}$ $\pm i$ $\Delta =\{z\colon |z|<1\}$

Istorie

Lucrările fundamentale în analiza complexă sunt asociate cu numele lui Euler , Riemann , Cauchy , Weierstrass și mulți alți matematicieni celebri. Teoria mapărilor conformale a început să se dezvolte rapid datorită aplicațiilor existente în inginerie, metodele și rezultatele analizei complexe sunt utilizate în teoria analitică a numerelor . O nouă creștere a interesului pentru analiza complexă este asociată cu dinamica complexă și teoria fractalilor .

Vezi și

Funcția analitică
Deducție (analiza complexă)
Funcția holomorfă
Analiza cuaterniilor
Numere complexe
Analiza complexă multivariată
funcţie monogenă
Linia reală extinsă proiectiv este un analog unidimensional al planului complex, completat de un punct fără semn la infinit .

Note

↑
Tensiunea dublă este dată după următoarele surse:
- Marea Enciclopedie Sovietică , ed. a III-a. (1973), volumul 12, p. 588, articolul Numere complexe .
- Dicţionar enciclopedic sovietic (1982), p. 613, articol Număr complex .
- Ultima ediție a „Dicționarului dificultăților limbii ruse” (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, p. 273) indică ambele opțiuni: „numere complexe (complexe)”.
- În Marea Enciclopedie Rusă (Volumul 14, 2010), accentele sunt oferite simultan: Număr complex (p. 691), dar Analiză complexă (p. 695).
- Dicționarul de ortografie al limbii ruse (ediția a 6-a, 2010), Dicționarul de gramatică al limbii ruse, Dicționarul de ortografie rusă al Academiei Ruse de Științe , ed. V. V. Lopatina și o serie de alte dicționare indică opțiunile: „ complex ” și „ complex (matematică)”.
↑ 1 2 Smirnov V.I., 2010 , p. 7-15..
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. Decret. op., p. 20-21.
↑ 1 2 3 Smirnov V.I., 2010 , p. 15-22..
↑ Smirnov V.I., 2010 , p. 22-23.
↑ Smirnov V.I., 2010 , p. 24-25.
↑ Lavrentiev M. A., Shabat B. V. Probleme de hidrodinamică și modelele lor matematice . - M . : Nauka, 1973. (link inaccesibil)
↑ Fikhtengolts, Grigori Mihailovici . Curs de calcul diferenţial şi integral, capitolul 9, paragraful 2. . Preluat la 8 iunie 2021. Arhivat din original la 19 iulie 2020. (nedefinit)
↑ Matematica, conținutul, metodele și sensul ei (în trei volume). - Academia de Științe a URSS, 1956. - T. 2. - S. 204-205. — 397 p.
↑ Smirnov V.I., 2010 , p. 33.

Literatură

Evgrafov M. A. Funcții analitice. - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare — M .: Nauka , 1968. — 472 p.
Matematica secolului al XVIII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Funcțiile unei variabile complexe. calcul operațional. Teoria stabilității. — M .: Nauka , 1981. — 304 p.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metode ale teoriei funcțiilor unei variabile complexe. - a 4-a ed. — M .: Nauka , 1972 .
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Smirnov V. I. Un curs de matematică superioară în trei volume. - Ed. al 10-lea. - Sankt Petersburg. : BHV-Petersburg, 2010. - V. 3, partea 2. — 816 p. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
Titchmarsh E. Teoria funcţiilor: Per. din engleza. - Ed. a II-a, revizuită. — M .: Nauka , 1980. — 464 p.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral, în trei volume. - M. : Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka , 1969. — 577 p.

Ramuri ale matematicii

Portalul „Știință”

Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii

Teoria numerelor ( aritmetică )

Algebră
Algebră elementară	Soluția ecuației
Algebră liniară	Calcul vectorial matrici Calcul tensor Algebră multiliniară
Algebră generală	Algebră comutativă Teoria reprezentării Algebră diferențială Algebră omologică Algebră universală Teoria categoriilor

Analiză
Analiza clasică	Calcul diferenţial Calcul integral
Teoria funcției	Analiza armonică Analiza cuaterniilor Analiză complexă teoria măsurării Teoria funcțiilor unei variabile reale analiza functionala Calculul variațiilor
Ecuații diferențiale și integrale	Sisteme dinamice și teoria ergodică Ecuatii diferentiale comun în derivate parţiale Ecuații integrale
Analiza Vectorială Analiza globală Teoria catastrofei Analiză personalizată Analiză infinitezimală netedă

Geometrie și topologie
Geometrie	Geometrie algebrică Geometrie analitică Geometrie euclidiană Geometrie non-euclidiană Planimetrie Stereometrie
Topologie	Topologie generală Topologie algebrică Geometrie și topologie diferențială

Matematică discretă
Combinatorică teoria grafurilor

Matematică aplicată
Fizică matematică Chimie matematică biologie matematică Statistici matematice Modelare matematică Teoria algoritmilor Metode numerice economie matematică matematica financiara Teoria probabilității Cercetare operațională Teoria jocului

Portalul „Matematică”
Categoria „Matematică”

Dicționare și enciclopedii	mare danez Rusă mare in jurul lumii Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4018935-1 J9U : 987007553156205171 LCCN : sh85052356 NKC : ph135388