Matematica în Grecia Antică

Conceptul de matematică greacă antică acoperă realizările matematicienilor vorbitori de greacă care au trăit între secolul al VI-lea î.Hr. și secolul al VI-lea î.Hr. e. și secolul al V-lea d.Hr. e.

Matematica ca știință s-a născut în Grecia Antică [1] [2] . În țările contemporane Hellas, matematica era folosită fie pentru nevoile cotidiene (calcule, măsurători), fie, dimpotrivă, pentru ritualuri magice care vizează aflarea voinței zeilor ( astrologie , numerologie etc.). Grecii au abordat problema dintr-un unghi diferit: au prezentat teza „ Numerele conduc lumea ”. Sau, așa cum a formulat Galileo aceeași idee două milenii mai târziu: „ cartea naturii este scrisă în limbajul matematicii ” [3] .

Grecii au testat validitatea acestei teze în acele domenii în care au reușit: astronomie , optică , muzică , geometrie și, mai târziu, mecanică . Peste tot s-au remarcat succese impresionante: modelul matematic poseda o putere predictivă incontestabilă. În același timp, grecii au creat metodologia matematicii și au finalizat transformarea acesteia dintr-un set de algoritmi semi-euristici într-un sistem integral de cunoaștere. Pentru prima dată, metoda deductivă a devenit baza acestui sistem , arătând cum se deduce adevăruri noi din adevăruri cunoscute, iar logica derivării garantează adevărul noilor rezultate. Metoda deductivă vă permite, de asemenea, să identificați conexiuni neevidente între concepte, fapte științifice și domenii ale matematicii.

Surse

Cele mai multe dintre lucrările antice despre matematică nu au supraviețuit până în zilele noastre și sunt cunoscute doar din referiri la autori și comentatori de mai târziu, în primul rând Pappus din Alexandria (secolul al III-lea), Proclus (secolul al V-lea), Simplicius (secolul al VI-lea), etc. lucrările care au supraviețuit în primul rând ar trebui să fie numite „ Începuturile ” lui Euclid și cărți individuale ale lui Aristotel , Arhimede , Apollonius și Diophantus .

Perioada inițială

Până în secolul al VI-lea î.Hr. e. Matematica greacă nu s-a remarcat în niciun fel. Ca de obicei, numărarea și măsurarea au fost stăpânite. Numerotarea greacă (înregistrarea numerelor), ca mai târziu romană, era aditivă, adică se însumau valorile numerice ale numerelor. Prima sa versiune ( atică sau erodiană ) conținea semne cu litere pentru 1, 5, 10, 50, 100 și 1000. În consecință, a fost aranjată o tablă de numărare ( abac ) cu pietricele. Apropo, termenul de calcul (calcul) provine de la calcul  - o pietricică. O pietricică găurită specială notă cu zero.

Mai târziu (începând din secolul al V-lea î.Hr.), în locul numerotării atice a fost adoptată numerotarea alfabetică - primele 9 litere ale alfabetului grecesc desemnau numerele de la 1 la 9, următoarele 9 litere erau zeci, iar restul sute. Pentru a nu confunda cifrele cu literele, deasupra numerelor s-a trasat o liniuță. Numerele mai mari de 1000 au fost scrise pozițional, marcând cifrele suplimentare cu o contur specială (stânga jos). Semnele speciale au făcut posibilă reprezentarea numerelor mai mari de 10.000.

În secolul VI î.Hr. e. începe „miracolul grecesc”: apar deodată două școli științifice - ionienii ( Thales din Milet , Anaximenes , Anaximandru ) și pitagoreicii . Cunoaștem realizările matematicienilor greci timpurii în principal din referințele la autori de mai târziu, în principal comentatori despre Euclid , Platon și Aristotel .

Thales , un comerciant bogat, a învățat bine matematica și astronomia babiloniene , probabil în timpul călătoriilor comerciale. Ionii , conform lui Eudemus din Rhodos , au dat primele dovezi ale mai multor teoreme geometrice simple  - de exemplu, că unghiurile verticale sunt egale [4] . Cu toate acestea, rolul principal în crearea matematicii antice le revine pitagoreenilor .

Școala pitagoreică

Pitagora , fondatorul școlii, este o persoană legendară și este imposibil să verificăm fiabilitatea informațiilor despre el care au ajuns la noi. Se pare că el, ca și Thales, a călătorit mult și a studiat, de asemenea, cu înțelepții egipteni și babilonieni . Revenind în jurul anului 530 î.Hr. e. la Magna Grecia (o regiune din sudul Italiei), el a fondat ceva asemănător unui ordin spiritual secret în orașul Croton . El a fost cel care a înaintat teza „ Numerele conduc lumea ” și s-a angajat cu o energie excepțională în justificarea ei. La începutul secolului al V-lea î.Hr e., după un discurs politic nereușit, pitagoreicii au fost expulzați din sudul Italiei, iar unirea a încetat să mai existe, dar popularitatea doctrinei din dispersie a crescut. Școlile pitagoreice au apărut la Atena , pe insule și în coloniile grecești, iar cunoștințele lor matematice, strict păzite de străini, au devenit proprietate comună [5] .

Multe dintre realizările atribuite lui Pitagora sunt probabil de fapt meritul elevilor săi. Pitagoreii erau angajați în astronomie , geometrie , aritmetică (teoria numerelor) , au creat teoria muzicii . Pitagora a fost primul european care a înțeles sensul metodei axiomatice, evidențiind clar ipotezele de bază ( axiome , postulate) și teoremele deduse din acestea [5] .

Geometria pitagoreilor s-a limitat în principal la planimetrie (judecând după lucrările ulterioare care au ajuns până la noi, foarte pe deplin expuse) și s-a încheiat cu demonstrarea „ teoremei lui Pitagora ”. Deși au fost studiate și poliedre regulate .

A fost construită o teorie matematică a muzicii . Dependența armoniei muzicale de raporturile numerelor întregi (lungimile corzilor) a fost un argument puternic pitagoreic în favoarea armoniei matematice primordiale a lumii, cântat de Kepler 2000 de ani mai târziu . Erau siguri că „ elementele numerelor sunt elementele tuturor lucrurilor... și că întreaga lume este armonie și număr ” [6] . Baza tuturor legilor naturii, credeau pitagoreenii, este aritmetica și cu ajutorul ei se poate pătrunde în toate secretele lumii. Spre deosebire de geometrie, aritmetica lor nu a fost construită pe o bază axiomatică, proprietățile numerelor naturale au fost considerate de la sine înțelese, dar dovezile teoremelor au fost realizate în mod constant și aici. Conceptele de zero și numere negative nu au apărut încă [5] .

Pitagoreenii erau mult avansați în teoria divizibilității , dar erau prea pasionați de numerele „ triunghiulare ”, „ pătrate ”, „ perfecte ”, etc., cărora, aparent, li s-a dat o semnificație mistică. Aparent, regulile pentru construirea „ triplelor pitagoreice ” erau deja deschise atunci; formule exhaustive pentru ele sunt date în Diophantus . Teoria celor mai mari divizori comuni și a celor mai mici multipli comuni este, de asemenea, aparent de origine pitagoreică. Ei au construit o teorie generală a fracțiilor (înțelese ca rapoarte ( proporții ), deoarece unitatea era considerată indivizibilă), au învățat cum să efectueze comparația (reducerea la un numitor comun) și toate cele 4 operații aritmetice cu fracții. Pitagoreenii cunoșteau, cu mult înainte de Principia lui Euclid , împărțirea numerelor întregi cu un rest și „ algoritmul euclidian ” pentru găsirea celui mai mare divizor comun în practică . Fracțiile continue ca obiect independent au fost evidențiate doar în timpurile moderne, deși parțialele lor parțiale sunt obținute în mod natural în algoritmul Euclid [5] .

Prima fisură din modelul pitagoreic al lumii a fost propria lor dovadă de iraționalitate , formulată geometric ca incomensurabilitate a diagonalei unui pătrat cu latura sa (secolul al V-lea î.Hr.). Imposibilitatea exprimării lungimii unui segment printr-un număr a pus sub semnul întrebării principiul principal al pitagorismului. Chiar și Aristotel, care nu le împărtășea părerile, și-a exprimat uimirea față de faptul că există lucruri care „nu pot fi măsurate cu cea mai mică măsură” [7] .

Talentatul Pitagora Theaetetus a încercat să salveze situația . El (și mai târziu Eudoxus ) a propus o nouă înțelegere a numărului, care a fost formulată acum în limbaj geometric, iar problemele de comensurabilitate nu au apărut. Theaetetus a dezvoltat, de asemenea, o teorie completă a divizibilității și o clasificare a iraționalităților. Aparent, el cunoștea și conceptul de număr prim și teorema fundamentală a aritmeticii [8] .

Ulterior, deja în timpurile moderne, s-a dovedit că construcția algebrei numerice pe baza geometriei a fost o greșeală strategică a pitagoreenilor. De exemplu, din punct de vedere al geometriei, expresiile și nici măcar nu aveau o interpretare geometrică și, prin urmare, nu aveau sens; același lucru este valabil și pentru numerele negative. Mai târziu , Descartes a făcut opusul, construind geometria pe baza algebrei și a făcut progrese extraordinare [9] .

Misticismul numerologic al pitagoreenilor a condus adesea la concluzii arbitrare și speculative. De exemplu, erau siguri de existența invizibilului Anti-Pământ, deoarece fără el numărul sferelor cerești (cerul inferior, Soarele, Luna și 6 planete) nu alcătuiește numărul perfect 10. În general, în ciuda abundenței misticismului și a prejudecăților excentrice, meritele pitagoreenilor în dezvoltarea și sistematizarea cunoștințelor matematice antice sunt de neprețuit.

secolul al V-lea î.Hr e. — Zenon, Democrit

În secolul al V-lea î.Hr e. au existat noi provocări la adresa optimismului pitagoreenilor.

Prima dintre acestea este cele trei probleme clasice ale antichității : dublarea cubului , trisecția unghiului și pătrarea cercului . Grecii au respectat cu strictețe cerința: toate construcțiile geometrice trebuie realizate cu ajutorul unei busole și al unei rigle, adică cu ajutorul unor linii perfecte - linii drepte și cercuri. Cu toate acestea, nu a fost posibil să se găsească o soluție pentru aceste probleme prin metode canonice. Din punct de vedere algebric, aceasta însemna că nu orice număr poate fi obținut folosind 4 operații aritmetice și luând rădăcina pătrată.

Remarcabilul geometru pitagoreian, autorul „ Principiilor ” pre-euclidiene, primul set de cunoștințe geometrice, Hipocrate din Chios , s-a angajat fără succes în pătrarea cercului .

Primele două probleme sunt reduse la ecuații cubice . Arhimede a dat mai târziu o soluție generală pentru astfel de ecuații folosind secțiuni conice , totuși mulți comentatori au continuat să găsească astfel de metode inacceptabile. Hippias din Elis ( secolul al V-lea î.Hr. ) a arătat că o cuadratrice (prima curbă transcendentală din istoria matematicii) a fost utilă pentru trisectarea unui unghi ; apropo, ea rezolvă și problema pătrarii cercului ( Dinostratus , secolul IV î.Hr.).

Pe lângă aceste probleme, grecii au explorat în mod activ „problema diviziunii cercurilor”: ce poligoane regulate pot fi construite cu o busolă și o riglă. Fără dificultate, a fost posibil să se împartă cercul în 3, 4, 5, 15 părți și, de asemenea, să se dubleze valorile enumerate. Dar nimeni nu a reușit să construiască un heptagon cu busolă și riglă. După cum sa dovedit, aici obținem și o ecuație cubică. Teoria completă a fost publicată doar de Gauss în secolul al XIX-lea.

A doua lovitură adusă pitagoreismului a fost adusă de Zenon din Elea , oferind un alt subiect pentru reflecțiile de secole ale matematicienilor. El a exprimat peste 40 de paradoxuri (aporii) , dintre care cele mai cunoscute sunt trei aporii despre mișcare. În ciuda încercărilor repetate de a le respinge și chiar de a le ridiculiza, ele, totuși, sunt încă subiectul unei analize serioase. Ele ating cele mai delicate întrebări ale fundamentelor matematicii - finitate și infinit , continuitate și discretitate . Matematica a fost considerată atunci un mijloc de cunoaștere a realității, iar esența disputelor ar putea fi exprimată ca inadecvarea unui model matematic continuu, infinit divizibil al materiei fizice discrete [10] .

La sfârşitul secolului al V-lea î.Hr. e. a trăit un alt gânditor remarcabil - Democrit . El este renumit nu numai pentru crearea conceptului de atomi . Arhimede a scris că Democrit a găsit volumul piramidei și al conului , dar nu a dat dovada formulelor sale. Probabil, Arhimede a avut în vedere dovada prin epuizare , care încă nu exista la acea vreme.

secolul al IV-lea î.Hr e. — Platon, Eudoxus

Deja la începutul secolului al IV-lea î.Hr. e. Matematica greacă a fost cu mult înaintea tuturor profesorilor săi, iar dezvoltarea sa rapidă a continuat. În 389 î.Hr. e. Platon își fondează școala la Atena - celebra Academie . Matematicienii care s-au alăturat Academiei pot fi împărțiți în două grupuri: cei care și-au primit studiile matematice în afara Academiei și studenții Academiei. Printre primii s-au numărat Theaetetus din Atena , Archytas din Tarentum și mai târziu Eudoxus din Cnidus ; printre cei doi se numără fraţii Menechmus şi Dinostratus .

Platon însuși nu a efectuat cercetări matematice specifice, ci a publicat raționamente profunde despre filosofia și metodologia matematicii. Iar studentul lui Platon, Aristotel , ne-a lăsat note inestimabile despre istoria matematicii.

Eudoxus din Knidos a fost primul care a creat un model geocentric al mișcării luminilor cu 27 de sfere. Acest design a fost dezvoltat ulterior de Apollonius , Hipparchus și Ptolemeu , care au crescut numărul de sfere la 34 și au introdus epicicluri. De asemenea, deține două descoperiri remarcabile: teoria generală a relațiilor (modelul geometric al numerelor reale) și analiza antică - metoda epuizării .

secolul al III-lea î.Hr e. — Euclid, Arhimede, Apollonius

După cuceririle lui Alexandru cel Mare , Alexandria Egiptului a devenit centrul științific al lumii antice. Ptolemeu I a fondat Mouseion (Casa Muzelor) în ea și i-a invitat pe cei mai importanți oameni de știință acolo. A fost prima academie de stat din lumea vorbitoare de greacă, cu cea mai bogată bibliotecă (al cărei nucleu era biblioteca lui Aristotel), care până în secolul I î.Hr. e. a constat din 70.000 de volume.

Oamenii de știință din Alexandria au combinat puterea de calcul și cunoștințele străvechi ale matematicienilor babilonieni și egipteni cu modelele științifice ale elenilor. Au făcut progrese semnificative trigonometria plană și sferică, statica și hidrostatică, optica, muzica etc.. Eratostene a precizat lungimea meridianului și a inventat faimoasa sa „ sită ”. În istoria matematicii sunt cunoscuți trei mari geometri ai antichității și, mai ales, Euclid cu „ Principiile ” sale. Cele treisprezece cărți ale începuturilor  sunt baza matematicii antice, rezultatul dezvoltării sale de 300 de ani și baza pentru cercetări ulterioare. Influența și autoritatea acestei cărți a fost enormă de două mii de ani.

Fundamentul matematicii descris de Euclid a fost extins de un alt mare om de știință - Arhimede , unul dintre puținii matematicieni ai antichității care au fost la fel de dispuși să se angajeze atât în ​​știința teoretică, cât și în cea aplicată. El, în special, după ce a dezvoltat metoda epuizării , a fost capabil să calculeze ariile și volumele numeroaselor figuri și corpuri care nu au cedat anterior eforturilor matematicienilor.

Ultimul dintre cei trei mari a fost Apollonius din Perga , autorul unui studiu profund al secțiunilor conice .

Declinul științei antice

După Apollonius (din secolul al II-lea î.Hr.), a început un declin în știința antică. Nu apar idei noi profunde. În 146 î.Hr. e. Roma cucerește Grecia, iar în 31 î.Hr. e. — Alexandria.

Printre puținele realizări:

• descoperirea conchoidului ( Nycomedes );
• Formula binecunoscută a lui Heron pentru aria unui triunghi ( secolul I d.Hr.);
• un studiu semnificativ al geometriei sferice de către Menelau din Alexandria ;
• finalizarea modelului geocentric al lumii al lui Ptolemeu ( secolul al II-lea d.Hr.), care a necesitat o dezvoltare profundă a trigonometriei plane și sferice .

Este de remarcat activitatea lui Pappus din Alexandria ( secolul al III-lea ). Numai datorită lui au ajuns la noi informații despre oamenii de știință antici și lucrările lor.

Pe fondul stagnării și declinului general, se evidențiază puternic figura gigantică a lui Diofantus  , ultimul dintre marii matematicieni antici, „părintele algebrei”.

După secolul al III-lea d.Hr. e. școala alexandriană a existat de aproximativ 100 de ani - sosirea creștinismului și tulburările frecvente în imperiu au redus drastic interesul pentru știință. Lucrări academice separate încă apar în Atena, dar în 529 Iustinian a închis Academia din Atena ca focar al păgânismului.

Unii oameni de știință s-au mutat în Persia sau Siria și și-au continuat munca acolo. De la ei, comorile supraviețuitoare ale cunoștințelor antice au fost primite de oamenii de știință din India și țările islamice .

Concluzie

Matematica greacă lovește, în primul rând, prin frumusețea și bogăția conținutului ei. Mulți oameni de știință ai New Age au remarcat că au aflat motivele descoperirilor lor de la antici. Rudimentele analizei se remarcă la Arhimede, rădăcinile algebrei la Diophantus, geometria analitică la Apollonius etc. Dar acesta nu este nici măcar punctul principal. Două realizări ale matematicii grecești au supraviețuit cu mult creatorilor lor [11] .

În primul rând, grecii au construit matematica ca o știință holistică cu propria lor metodologie bazată pe legi clar formulate ale logicii.

În al doilea rând, ei au proclamat că legile naturii sunt de înțeles pentru mintea umană, iar modelele matematice sunt cheia cunoașterii lor.

În aceste două privințe, matematica antică este destul de modernă.

Note

1. ↑ Petrov Yu. P. Istoria și filosofia științei. Matematică, informatică, informatică. SPb.: BHV-Peterburg, 2005. ISBN 5-94157-689-7 , 448 p., p. 9.
2. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , p. 232..
3. ↑ Schmutzer E., Schutz W. Galileo Galilei . - M . : Mir, 1987. - S.  116 . — 140 s.
4. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , p. 240..
5. ↑ 1 2 3 4 Prasolov, 2018-2019 , p. 38-43.
6. ↑ Aristotel . Metafizică. Traducere și note de A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, p. 26-27.
7. ↑ Aristotel . Metafizică. Traducere și note de A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, p. 22.
8. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , p. 260..
9. ↑ John J. O'Connor și Edmund F. Robertson . Descartes  este  o biografie din arhiva MacTutor .
10. ↑ Vezi Aporia#Interpretarea modernă a lui Zeno pentru mai multe detalii .
11. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , p. 436-437..

Literatură

• Bashmakova I. G. Prelegeri despre istoria matematicii în Grecia antică // Cercetări istorice și matematice . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nr. 11 . - S. 225-440 .
• Van der Waerden . Trezirea Științei. Matematica Egiptului antic, Babilonului și Greciei. — M .: Nauka, 1959. — 456 p.
• Vygodsky M. Ya. Aritmetică și algebră în lumea antică. - M .: Nauka, 1967.
• Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. - M . : Educaţie, 1964. - 376 p.
• Depman I. Ya. Istoria aritmeticii. Un ghid pentru profesori. Ed. al doilea. - M .: Educație, 1965.
• Istoria matematicii / Editat de A. P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka , 1970. - T. I.
• Kline M. Matematică. Pierderea certitudinii . — M .: Mir, 1984. — 446 p.
• Neugebauer O. Ştiinţe exacte în antichitate. - M., 1968.
• Prasolov VV Istoria matematicii, în două volume. - M. : MTSNMO , 2018-2019.
  • Volumul 1: 296 p. ISBN 978-5-4439-1275-2 , 978-5-4439-1276-9, 2018.
  • Volumul 2: 304 p. ISBN 978-5-4439-1275-2 , 978-5-4439-1277-6, 2019.
• Rosenfeld B. A. Apollonius din Perga. (2004)
• Rybnikov K. A. Istoria matematicii. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1994. - 496 p. — ISBN 5-211-02068-5 .
• Cititor despre istoria matematicii. Aritmetică și algebră. Teoria numerelor. Geometrie / Ed. A. P. Iuşkevici . - M . : Educaţie, 1976. - 318 p.

Link -uri

• Matematică // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron  : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.