Teoria categoriilor

Teoria categoriilor este o ramură a matematicii care studiază proprietățile relațiilor dintre obiectele matematice care nu depind de structura internă a obiectelor.

Teoria categoriilor este esențială pentru matematica modernă [1] , și a găsit, de asemenea, aplicații în informatică [2] , logică [3] și fizică teoretică [4] [5] . Expunerea modernă a geometriei algebrice și algebrei omologice se bazează în esență pe conceptele teoriei categoriilor. Conceptele generale de categorie sunt utilizate activ și în limbajul de programare funcțional Haskell [6] .

Definiție

Categoria este: ${\mathcal {C}}$

clasa obiect ; $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C)}$
pentru fiecare pereche de obiecte se dă un set de morfisme (sau săgeți) , iar fiecărui morfism îi corespunde singurele și ; $A$ $B$ ${\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}}}(A,B)$ $A$ $B$
pentru o pereche de morfisme si se defineste compozitia ; $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g\in {\mathrm {Hom}}(B,C)$ $g\circ f\in {\mathrm {Hom}}(A,C)$
pentru fiecare obiect este dat morfismul identitar ; $A$ $\mathrm {id} _{A}\in \mathrm {Hom} (A,A)$

și două axiome sunt îndeplinite :

operatia de alcatuire este asociativa : si $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
morfismul identitar acţionează banal: pentru $f\circ \mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{B}\circ f=f$ $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$

Categoria mică

O clasă de obiecte nu este neapărat o mulțime în sensul teoriei axiomatice a mulțimilor . O categorie în care este o mulțime și (mulțimea tuturor morfismelor categoriei) este o mulțime se numește mic . În plus, este posibil (cu o ușoară corectare a definiției) să se ia în considerare categorii în care morfismele dintre oricare două obiecte formează și ele o clasă sau chiar o structură mai mare [7] . În această variantă a definiției, o categorie în care morfismele dintre două obiecte fixe formează o mulțime se spune că este local mică . ${\mathcal {C}}$ $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C)}$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})$

Exemple de categorii

Setul este o categorie de seturi . Obiectele din această categorie sunt mulțimi , morfismele sunt mapări ale mulțimilor.
Grp este o categorie de grupuri . Obiectele sunt grupuri, morfismele sunt mapări care păstrează structura grupului ( homomorfisme de grup ).
Vect K este categoria de spații vectoriale peste câmpul K . Morfismele sunt mapări liniare .
Categoria modulelor .

Categoriile pentru alte sisteme algebrice sunt definite în mod similar .

Top este o categorie de spații topologice . Morfismele sunt mapări continue .
Pentru orice poset, se poate construi o categorie mică ale cărei obiecte sunt elementele mulțimii , iar între elementele x și y există un morfism unic dacă și numai dacă x ≤ y (desigur, această categorie trebuie distinsă de categorie de seturi parțial ordonate!).
Met este o categorie ale cărei obiecte sunt spații metrice și ale cărei morfisme sunt mapări scurte .

Diagrame comutative

Diagramele comutative sunt modalitatea standard de a descrie afirmațiile teoriei categoriilor . O diagramă comutativă este un grafic direcționat cu obiecte la vârfuri și morfisme ca săgeți , iar rezultatul compoziției săgeților nu depinde de calea aleasă. De exemplu, axiomele teoriei categoriilor (asociativitatea compoziției și proprietatea morfismului identitar) pot fi scrise folosind diagrame:

Dualitate

Pentru o categorie , puteți defini o categorie duală , în care: ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}^{{op}}$

obiectele se potrivesc cu obiectele categoriei originale;
morfismele se obțin prin „inversarea săgeților”: ${\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}^{{op}}}}(B,A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}} }(A,B)$

Principiul dualității afirmă că pentru orice enunț de teorie a categoriilor este posibil să se formuleze o afirmație duală folosind inversarea săgeților, în timp ce adevărul enunțului nu se schimbă. Adesea, un concept dual este notat cu același termen cu prefixul co- (vezi exemplele de mai jos).

Definiții și proprietăți de bază

Izomorfism, endomorfism, automorfism

Un morfism se numește izomorfism dacă există un morfism astfel încât și . Două obiecte între care există un izomorfism se spune că sunt izomorfe . În special, morfismul de identitate este un izomorfism, deci orice obiect este izomorf cu sine. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g\in {\mathrm {Hom}}(B,A)$ $g\circ f=\mathrm {id} _{A}$ $f\circ g=\mathrm {id} _{B}$

Morfismele în care începutul și sfârșitul coincid se numesc endomorfisme . Mulțimea endomorfismelor este un monoid în raport cu operația de compunere cu elementul de identitate . ${\mathrm {End}}(A)={\mathrm {Hom}}(A,A)$ $\mathrm {id} _{A}$

Endomorfismele care sunt și izomorfisme se numesc automorfisme . Automorfismele oricărui obiect formează un grup de automorfisme după compoziție. ${\mathrm {Aut}}(A)$

Monomorfism, epimorfism, bimorfism

Un monomorfism este un morfismastfel încât pentru oricaredintreele rezultă că. Compoziția monomorfismelor este un monomorfism. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g_{1},g_{2}\in {\mathrm {Hom}}(X,A)$ $f\circ g_{1}=f\circ g_{2}$ $g_{1}=g_{2}$

Un epimorfism este un morfismastfel încât pentru oricaredintreurmătoarele. Compoziția epimorfismelor este un epimorfism. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g_{1},g_{2}\in {\mathrm {Hom}}(B,X)$ $g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$ $g_{1}=g_{2}$

Un bimorfism este un morfism care este atât un monomorfism, cât și un epimorfism. Fiecare izomorfism este un bimorfism, dar nu orice bimorfism este un izomorfism.

Monomorfismul, epimorfismul și bimorfismul sunt generalizări ale conceptelor de mapare injectivă , surjectivă și , respectiv, bijectivă . Orice izomorfism este un monomorfism și un epimorfism; invers, în general, nu este valabil pentru toate categoriile.

Obiecte inițiale și terminale

Obiectul inițial (inițial, respingător universal) al unei categorii este un astfel de obiect din care există un morfism unic oricărui obiect al categoriei.

Dacă obiectele inițiale dintr-o categorie există, atunci toate sunt izomorfe.

Într-un mod dublu, este definit un obiect terminal sau universal care atrage - acesta este un astfel de obiect la care de la orice obiect al categoriei există un morfism unic.

Un obiect de categorie se numește nul dacă este atât inițial, cât și terminal.

Exemplu: În categoria Set , obiectul inițial este un set gol , obiectul terminal este orice set de un element .

\varnothing

\{\cdot \}

Exemplu: Există un obiect nul în categoria Grp - acesta este un grup de un element.

Produsul și suma obiectelor

Produsul (perechea) obiectelor A și B este un obiectcu morfismeșiastfel încât pentru orice obiectcu morfismeșiexistă un morfism unicastfel încât diagrama din dreapta să fie comutativă. Morfismelesenumesc proiecții . $A\ori B$ $p_{1}:A\ori B\la A$ $p_{2}:A\ori B\la B$ $C$ $f_{1}:C\la A$ $f_{2}:C\la B$ $g:C\la A\ori B$ $p_{1}:A\ori B\la A$ $p_{2}:A\ori B\la B$

Suma sau coprodusul obiectelor și este dual definită . Morfismele corespunzătoare se numesc înglobări . În ciuda numelui lor, în general este posibil să nu fie monomorfisme . $A+B$ $A$ $B$ $\imath _{A}:A\la A+B$ $\imath _{B}:B\la A+B$

Dacă un produs și un coprodus există, atunci ele sunt determinate în mod unic până la izomorfism.

Exemplu: În categoria Mulțimi , produsul dintre A și B este un produs direct în sensul teoriei mulțimilor , iar suma este o uniune disjunctă .

A\ori B

A \sqcup B

Exemplu: în categoria Inele , suma este produsul tensor, iar produsul este suma directă a inelelor .

Uneori B

A\oplus B

Exemplu: În categoria Vect K (finit) produsul și suma sunt izomorfe - aceasta este suma directă a spațiilor vectoriale .

A\oplus B

Este ușor să definiți produsul oricărei familii de obiecte într-un mod similar . Produsele infinite sunt în general mult mai complicate decât produsele finite. De exemplu, în timp ce produsele și coprodusele finite din Vect K sunt izomorfe la sumele directe, produsele și coprodusele infinite nu sunt izomorfe. Elementele unui produs infinit sunt secvențe infinite arbitrare de elemente , în timp ce elementele unui coprodus infinit sunt secvențe în care doar un număr finit de termeni sunt nezero. $\prod _{{i\in I}}A_{i}$ $\prod _{{i\in I}}V_{i}$ $v_{i}\în V_{i}$ $\coprod _{{i\in I}}V_{i}$

Functorii

Functorii sunt mapări de categorii care păstrează structura. Mai precis,

Un functor (covariant) asociază fiecare obiect categorie cu un obiect categorie și fiecare morfism cu un morfism astfel încât ${\mathcal {F}}:{\mathcal {C}}\la {\mathcal {D}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ $f:A\la B$ $F(f):{\mathcal {F}}(A)\la {\mathcal {F}}(B)$

$F(\mathrm {id} _{A})=\mathrm {id} _{F(A))$ și
$F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)$ .

Un functor contravariant sau cofunctor poate fi înțeles ca un functor covariant de la la (sau de la la ), adică „un functor care inversează săgețile”. Și anume, el asociază fiecărui morfism morfismul , iar regula de compoziție este inversată în mod corespunzător: . ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}^{{op}}$ ${\mathcal {C}}^{{op}}$ ${\mathcal {D}}$ $f:A\la B$ $F(f):{\mathcal {F}}(B)\la {\mathcal {F}}(A)$ $F(g)\circ F(f)=F(f\circ g)$

Transformări naturale

Noţiunea de transformare naturală exprimă relaţia dintre doi functori. Functorii descriu adesea „construcții naturale”, în acest sens transformările naturale descriu „morfisme naturale” ale unor astfel de construcții.

Dacă și sunt functori covarianți din categoria la , atunci transformarea naturală atribuie fiecărui obiect al categoriei un morfism în așa fel încât pentru orice morfism din categorie următoarea diagramă să fie comutativă: $F$ $G$ $C$ $D$ $\eta$ $X$ $C$ $\eta_X: F(X)\to G(X)$ $f:X\la Y$ $C$

Se spune că doi functori sunt izomorfi în mod natural dacă există o transformare naturală între ei astfel încât să fie un izomorfism pentru orice . $\eta _{X}$ $X$

Unele tipuri de categorii

Vezi și

Note

↑ Helemsky, 2004 .
↑ Rydeheard, Burstall, 1988 .
↑ Goldblatt, 1983 .
↑ Rodin, 2010 .
↑ Ivanov .
↑ Teoria categoriilor în Haskell .
↑ J. Adámek, H. Herrlich, GE Strecker Rezumat și categorii concrete: The joy of cats Arhivat 25 martie 2010 la Wayback Machine , - New York: John Wiley and Sons, - 1990.

Link -uri

„Teoria categoriei” în Stanford Encyclopedia of Philosophy (engleză) .
I. Ivanov. Fizicienii au nevoie de teoria categoriilor? . Elemente (10 septembrie 2008). (Rusă)
Teoria categoriilor în Haskell . Preluat la 13 martie 2011. Arhivat din original la 23 august 2011.

Literatură

S. Maclane [Maclane S.] Categorii pentru matematicianul lucrător . - Moscova: Fizmatlit, 2004. (Rusă)
S. Maclane [Maclane S.] Omologie . - Moscova: Mir , 1966. - T. 114. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Rusă)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Categorii . - 1969. - T. 06. - (VINITI - Rezultate de stiinta si tehnologie, Algebra-Topologie-Geometrie). (Rusă)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Prelegeri despre teoria categoriilor . - Moscova: Nauka , 1970. (Rusă)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Fundamentele teoriei categoriilor . - Moscova: Nauka , 1974. (Rusă)
Bucur I., Deleanu A. Introducere în teoria categoriilor și functorilor . - Moscova: Mir , 1972. - S. 259. (Rusă)
Faith [Faith C.] volumul 1 // Algebră - inele, module și categorii . - Moscova: Mir , 1977. - T. 190. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Rusă)
Faith [Faith C.] volumul 2 // Algebră - inele, module și categorii . - Moscova: Mir , 1977. - T. 191. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Rusă)
Gabriel [Gabriel P.], Zisman [Zisman M.] Categorii de coeficienti si teoria homotopiei . - Moscova: Mir , 1977. - T. 35. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Rusă)
Goldblatt [Goldblatt R.] Topoi - analiza categorică a logicii . - 1983. - T. 98. - ( Studii de logică și fundament de matematică ). (Rusă)
Fulton E, MacPherson R. Abordare categorică a studiului spațiilor cu singularități / ed. Buchstaber V. M .. - 1983. - T. 33. - ( Nou în știința străină, matematică ). (Rusă)
Artamonov V. A., Salii V. N., Skornyakov L. A., Shevrin L. N., Shulgeifer E. G. General Algebra . - Moscova: Nauka , 1991. - T. 2. - 480 p. - ( Nou în științe străine, matematică ). — 25.500 de exemplare. — ISBN 5-02-014427-4 . (Rusă)
DE Rydeheard, RM Burstall. Teoria categoriilor computaționale . - New York: Prentice Hall, 1988. - 257 p. — ISBN 0-13-162736-8 .
Helemsky A. Ya. Prelegeri despre analiza funcțională . - Moscova: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-065-8 . (Rusă)
R. Goldblatt. Topoi. Analiza categorica a logicii = Topoi. Analiza categorială a logicii . - Moscova: Mir , 1983. - 488 p. (Rusă)
Rodin A. V. Teoria categoriilor și căutarea unor noi fundamente matematice ale fizicii // Questions of Philosophy . - 2010. - Nr 7 . - S. 67 .

Ramuri ale matematicii

Portalul „Știință”

Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii

Teoria numerelor ( aritmetică )

Algebră
Algebră elementară	Soluția ecuației
Algebră liniară	Calcul vectorial matrici Calcul tensor Algebră multiliniară
Algebră generală	Algebră comutativă Teoria reprezentării Algebră diferențială Algebră omologică Algebră universală Teoria categoriilor

Analiză
Analiza clasică	Calcul diferenţial Calcul integral
Teoria funcției	Analiza armonică Analiza cuaterniilor Analiză complexă teoria măsurării Teoria funcțiilor unei variabile reale analiza functionala Calculul variațiilor
Ecuații diferențiale și integrale	Sisteme dinamice și teoria ergodică Ecuatii diferentiale comun în derivate parţiale Ecuații integrale
Analiza Vectorială Analiza globală Teoria catastrofei Analiză personalizată Analiză infinitezimală netedă

Geometrie și topologie
Geometrie	Geometrie algebrică Geometrie analitică Geometrie euclidiană Geometrie non-euclidiană Planimetrie Stereometrie
Topologie	Topologie generală Topologie algebrică Geometrie și topologie diferențială

Matematică discretă
Combinatorică teoria grafurilor

Matematică aplicată
Fizică matematică Chimie matematică biologie matematică Statistici matematice Modelare matematică Teoria algoritmilor Metode numerice economie matematică matematica financiara Teoria probabilității Cercetare operațională Teoria jocului

Portalul „Matematică”
Categoria „Matematică”