Combinatorică

Combinatoria  (uneori numită analiză combinatorică ) este o ramură a matematicii dedicată rezolvării problemelor legate de selecția și aranjarea elementelor unor mulțimi (cel mai adesea finite) în conformitate cu reguli date. Fiecare astfel de regulă definește o anumită selecție din elementele setului original, care se numește o configurație combinatorie . Cele mai simple exemple de configurații combinatorii [1] [2] sunt permutările , combinațiile și plasările .

Probleme tipice [1] de combinatorie :

1. Determinați numărul de configurații combinatorii corespunzătoare regulilor date (în special, dovediți sau infirmați existența acestora).
2. Găsiți un algoritm practic potrivit pentru construcția lor completă.
3. Determinați proprietățile clasei date de configurații combinatorii.

Combinatoria este strâns legată de multe alte domenii ale matematicii - algebră , geometrie , teoria probabilităților , teoria numerelor și altele . Este folosit într-o mare varietate de domenii de cunoaștere (de exemplu, în genetică , informatică , statistică , fizică statistică , lingvistică ).

Termenul de „combinatorie” a fost introdus în uz matematic de Leibniz , care în 1666 și-a publicat lucrarea „Discursuri asupra artei combinatorii”.

Exemple de configurații combinatorii și probleme

Pentru formularea și rezolvarea problemelor combinatorii se folosesc diverse modele de configurații combinatorii . Exemple de configurații combinatorii sunt:

• Un aranjament de n elemente prin k este o mulțime ordonată de k elemente diferite ale unei mulțimi de n elemente.
• O permutare a n elemente (de exemplu, numerele 1, 2, ... n ) este orice set ordonat al acestor elemente. O permutare este, de asemenea, un aranjament de n elemente prin n .
• O combinație de n cu k este un set de k elemente selectate dintre n elemente date. Seturile care diferă doar în ordinea elementelor (dar nu și în compoziție) sunt considerate la fel; așa difer combinațiile de plasări.
• O compoziție a unui număr n este orice reprezentare a lui n ca o sumă ordonată de numere întregi pozitive.
• O partiție a unui număr n este orice reprezentare a lui n ca o sumă neordonată de numere întregi pozitive.

Exemple de probleme combinatorii:

1. Câte moduri există de a plasa n obiecte în m casete astfel încât constrângerile date să fie îndeplinite?
2. Câte funcții există de la un set m -element la un set de n - element care satisfac constrângerile date?
3. Câte permutări diferite a 52 de cărți de joc există? Raspuns: 52! (52 factorial ), adică 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000,00

sau despre

4. Într -un joc de zaruri , două zaruri sunt aruncate și punctele aruncate se adună; câte combinații există în care suma punctelor de pe fețele superioare este egală cu douăsprezece? Soluție: Fiecare rezultat posibil corespunde unei funcții (argumentul funcției este numărul osului, valoarea sunt punctele de pe fața superioară). Evident, doar 6 + 6 ne oferă rezultatul dorit de 12. Astfel, există o singură combinație în care suma punctelor de pe fețele superioare este doisprezece.

Istorie

Antichitatea și Evul Mediu

Conceptele combinatorii de bază și rezultatele computaționale au apărut în lumea antică . Sarcina clasică a combinatoriei: „câte modalități există pentru a extrage m elemente din N posibile” este menționată în sutrele Indiei antice (începând în jurul secolului al IV-lea î.Hr.) [3] . Matematicienii indieni, aparent, au fost primii care au descoperit coeficienții binomi și legătura lor cu binomul lui Newton [3] . În secolul II î.Hr. e. indienii știau că suma tuturor coeficienților binomi de grad n este .

Motivele combinatorii pot fi văzute în simbolismul „ Cărții Schimbărilor ” chinezești (secolul al V-lea î.Hr.). Potrivit autorilor săi, totul în lume este combinat din diverse combinații de principii masculine și feminine , precum și opt elemente: pământ, munți, apă, vânt, furtună, foc, nori și cer [4] . Istoricii au observat, de asemenea, probleme combinatorii în manualele pentru jocul Go și alte jocuri. Interesul mare al matematicienilor din multe țări din cele mai vechi timpuri a trezit invariabil pătratele magice .

Grecii antici au considerat și probleme combinatorii separate, deși prezentarea lor sistematică a acestor probleme, dacă a existat, nu a ajuns la noi. Crisip ( sec. III î.Hr. ) şi Hiparh ( sec. II î.Hr. ) au calculat câte consecinţe se pot obţine din 10 axiome ; nu cunoaștem metoda de numărare, dar Crisip a obținut mai mult de un milion, iar Hiparh - mai mult de 100.000 [5] . Aristotel , când și-a prezentat logica, a enumerat fără greșeală toate tipurile posibile de silogisme cu trei termeni . Aristoxenus a considerat diverse alternanțe de silabe lungi și scurte în metri . [5] Pitagoreii au folosit probabil unele reguli combinatorii în construirea teoriei lor a numerelor și numerologiei ( numere perfecte , numere figurate , triple pitagoreice etc.).

În Evul Mediu, combinatoria a continuat să se dezvolte, în principal în afara civilizației europene . În secolul al XII-lea, matematicianul indian Bhaskara , în lucrarea sa principală Lilavati, a studiat în detaliu probleme legate de permutări și combinații, inclusiv permutări cu repetiții. Un alt matematician indian, Mahavira (mijlocul secolului al IX-lea), a publicat formule pentru numărul de permutări și combinații , iar aceste formule ar fi putut fi familiare matematicienilor indieni încă din secolul al VI-lea d.Hr. e. Filosoful și astronomul rabinul Abraham ibn Ezra (circa 1140) a numărat numărul de plasări cu permutări în vocalele numelui lui Dumnezeu [6] . El a stabilit, de asemenea, simetria coeficienților binomi . Formula exactă pentru ei a fost publicată mai târziu de talmudistul și matematicianul Levi ben Gershom (mai bine cunoscut sub numele de Gersonides) în 1321.

Mai multe probleme combinatorii sunt cuprinse în Cartea Abacului ( Fibonacci , secolul al XIII-lea). De exemplu, el a stabilit sarcina de a găsi cel mai mic număr de greutăți suficient pentru a cântări orice produs cântărind de la 1 la 40 de lire sterline.

Timp nou

Blaise Pascal a lucrat mult asupra coeficienților binomi și a descoperit o modalitate simplă de a-i calcula: „ triunghiul lui Pascal ”. Mai târziu s-a dovedit că această metodă era deja cunoscută în Orient (din aproximativ secolul al X-lea) și a fost numită triunghi aritmetic . Pascal, spre deosebire de predecesorii săi, a afirmat și a dovedit cu strictețe proprietățile acestui triunghi. Triunghiul aritmetic este o diagramă grafică care arată relațiile dintre coeficienții binomi. Mai târziu, în Anglia medievală, Campanology a oferit exemple de ceea ce sunt acum cunoscute sub numele de cicluri hamiltoniene în graficele Cayley permutate .

În Renaștere , împreună cu alte științe, combinatoria a început să se dezvolte rapid. Gerolamo Cardano a scris un studiu matematic perspicace al jocului de zaruri , publicat postum. Teoria acestui joc a fost studiată și de Niccolo Tartaglia și Galileo Galilei . Istoria teoriei probabilităților a început cu corespondența avidului jucător Chevalier de Meret cu Pierre Fermat și Blaise Pascal , unde au fost ridicate câteva întrebări combinatorii subtile. Pe lângă jocurile de noroc, metodele combinatorii au fost (și continuă să fie) folosite în criptografie  , atât pentru a dezvolta cifruri, cât și pentru a le sparge.

Termenul de „combinatorică” a fost inventat de Leibniz , el fiind considerat fondatorul combinatoricii moderne. În 1666 (avea atunci 20 de ani) publică cartea Discursuri despre arta combinatorie. Adevărat, Leibniz a înțeles termenul „combinatorică” prea larg, incluzând toată matematica finită și chiar logica [7] . Studentul lui Leibniz, Jacob Bernoulli , unul dintre fondatorii teoriei probabilității, a prezentat în cartea sa Arta conjecturilor (1713) o mulțime de informații despre combinatorie.

În aceeași perioadă s-a format terminologia noii științe. Termenul „ combinație ” ( combinație ) apare pentru prima dată în Pascal (1653, publicat în 1665). Termenul „ permutare ” ( permutare ) a fost folosit în cartea specificată de Jacob Bernoulli (deși se mai întâlnise ocazional înainte). Bernoulli a folosit și termenul de „ aranjament ” .

După apariția analizei matematice , s-a găsit o legătură strânsă între probleme combinatorii și o serie de probleme analitice. Abraham de Moivre și James Stirling au găsit formule pentru aproximarea factorialului [8] .

În cele din urmă, combinatoria ca ramură independentă a matematicii a luat forma în lucrările lui Euler . El a luat în considerare în detaliu, de exemplu, următoarele probleme:

• problema mișcării cavalerului ;
• problema cu șapte punți , care a început teoria grafurilor ;
• construcția de piețe greco-latine ;
• permutări generalizate .

Pe lângă permutări și combinații, Euler a studiat partițiile , precum și combinațiile și plasările cu condiții.

Starea actuală

Lucrările lui Pascal , Newton , Jacob Bernoulli și Euler au devenit fundamentale în dezvoltarea acestui domeniu. În timpurile moderne, lucrările lui J. J. Sylvester (sfârșitul secolului al XIX-lea) și Percy McMahon (începutul secolului al XX-lea) au contribuit la așezarea bazelor combinatoriei enumerative și algebrice . De asemenea, a existat un interes din ce în ce mai mare pentru teoria grafurilor , în special în legătură cu teorema celor patru culori și problemele din economie.

În a doua jumătate a secolului al XX-lea, combinatoria a cunoscut o nouă creștere explozivă, care a fost asociată cu dezvoltarea rapidă a matematicii discrete, informatică, cibernetică și proiectarea experimentelor . În parte, această creștere a fost stimulată de conexiunile și aplicațiile descoperite în alte domenii ale matematicii - în algebră, teoria probabilității, analiza funcțională , teoria numerelor etc. Aceste conexiuni estompează granițele dintre combinatorică și alte domenii ale matematicii, dar în același timp. timpul duce la o anumită combinatorie de fragmentare.

La începutul secolului al XX-lea a început dezvoltarea geometriei combinatorii : au fost demonstrate teoremele lui Radon , Helly , Young , Blaschke , iar teorema izoperimetrică a fost, de asemenea, demonstrată riguros . Teoremele Borsuk-Ulam și Lyusternik-Shnirelman au fost demonstrate la intersecția dintre topologie, analiză și combinatorică . În al doilea sfert al secolului al XX-lea s- au pus problema Borsuk și problema Nelson-Erdős-Hadwiger . În anii 1940, teoria Ramsey a luat contur . Părintele combinatoricii moderne este considerat a fi Pal Erdős , care a introdus analiza probabilistică în combinatorică. Atenția pentru matematica finită și, în special, pentru combinatorică a crescut semnificativ din a doua jumătate a secolului XX, când au apărut computerele . Acum este o zonă a matematicii extrem de bogată și în dezvoltare rapidă.

Metode și secțiuni de combinatorie

Combinatorică enumerativă

Combinatoria enumerativă (sau combinatoria enumerativă ) are în vedere problema enumerarii sau numărării numărului de configurații diferite (de exemplu, permutări ) formate din elemente de mulțimi finite, cărora li se pot impune anumite restricții, cum ar fi: distingerea sau indistingerea elementelor, posibilitatea de a repeta aceleaşi elemente etc.

Numărul de configurații format din mai multe manipulări pe o mulțime se numără după regulile de adunare și înmulțire .

Numerele Fibonacci sunt un exemplu tipic de problemă în combinatorica enumerativă, precum și binecunoscuta problemă cu litere . Calea duozecimală oferă o structură uniformă pentru numărarea permutărilor , combinațiilor și împărțirilor .

Combinatorică analitică

Combinatoria analitică se referă la enumerarea structurilor combinatorii folosind instrumente din analiza complexă și teoria probabilității . Spre deosebire de combinatoria enumerativă, care utilizează formule combinatorii explicite și generează funcții de secvență pentru a descrie rezultatele, combinatoria analitică își propune să obțină formule asimptotice .

Teoria partiționării

Teoria partițiilor studiază diverse probleme enumerative și asimptotice legate de partiționarea numerelor naturale și este strâns legată de seriile q , funcțiile speciale și polinoamele ortogonale . A fost inițial parte a teoriei și analizei numerelor , iar acum este considerată ca parte a combinatoriei sau a unui domeniu independent. Include o abordare bijectivă , diverse instrumente de analiză și teoria analitică a numerelor și are, de asemenea, legături cu mecanica statistică .

Teoria grafurilor

Graficele sunt obiecte fundamentale în combinatorică. Teoria graficelor ia în considerare enumerări (de exemplu, numărul n de vârfuri cu k muchii ale unui graf), structuri existente (de exemplu, cicluri hamiltoniene), reprezentări algebrice (de exemplu, luați un grafic G și două numere x și y , Tatta Polinom T G (x, y ) reprezentare combinatorie?). Deși există legături foarte puternice între teoria grafurilor și combinatorie, acestea sunt uneori tratate ca subiecte separate. În timp ce metodele combinatorii sunt aplicabile la multe probleme din teoria grafurilor, aceste două discipline sunt utilizate în mod obișnuit pentru a găsi soluții la diferite tipuri de probleme.

Teoria schemei

Teoria schemelor este studiul schemelor combinatorii , care sunt mulțimi de submulțimi cu anumite proprietăți de intersecție . Diagramele bloc  sunt diagrame combinatorii de tip special. Această zonă este una dintre cele mai vechi părți ale combinatoriei, cum ar fi problema școlii lui Kirkman propusă în 1850 . Rezolvarea problemei este un caz special al sistemului Steiner , ale cărui sisteme joacă un rol important în clasificarea grupurilor finite simple . Această zonă are conexiuni suplimentare cu teoria codificării și combinatoria geometrică.

Geometrie finită

Geometria finită este studiul sistemelor geometrice care au doar un număr finit de puncte. Structurile sunt similare cu cele întâlnite în geometria continuă ( plan euclidian , spațiu proiectiv real etc.), dar definite combinatoriu sunt principalele elemente studiate. Această zonă oferă o sursă bogată de exemple pentru teoria circuitelor . Nu trebuie confundat cu geometria discretă (geometrie combinatorie ).

Teoria ordinii

Teoria ordinii este studiul mulțimilor parțial ordonate , atât finite, cât și infinite. Diverse exemple de ordine parțiale se găsesc în algebră , geometrie, teoria numerelor și în combinatorică și teoria grafurilor. Clasele notabile și exemplele de ordine parțiale includ zăbrele și algebre booleene .

Teoria matroidei

Teoria matroidelor rezuma o parte din geometrie . Studiază proprietățile mulțimilor (de obicei mulțimi finite) de vectori dintr-un spațiu vectorial care nu depind de coeficienți anumiți într-o manieră dependentă liniar . Nu numai structura, ci și proprietățile enumerative aparțin teoriei matroidelor. Teoria matroidei a fost introdusă de Hassler Whitney și studiată ca parte a teoriei ordinii. În prezent, aceasta este o zonă independentă de cercetare, care are o serie de conexiuni cu alte secțiuni de combinatorie.

Combinatorică extremă

Combinatoria extremă studiază întrebări extreme despre sistemele de mulțimi . Tipurile de întrebări luate în considerare în acest caz se referă la cel mai mare grafic posibil care satisface anumite proprietăți. De exemplu, cel mai mare graf fără triunghiuri pe 2n vârfuri este un graf bipartit complet K n, n . Este adesea prea dificil să găsiți răspunsul extremal f(n) chiar și exact și se poate oferi doar o estimare asimptotică a .

Teoria Ramsey

Teoria Ramsey  este o altă parte a combinatoriei extreme. Ea susține că orice configurație suficient de mare va conține o anumită ordine și studiază prezența structurilor regulate în configurații aleatorii ale elementelor. Aceasta este o generalizare extinsă a principiului lui Dirichlet („principiul porumbeilor și cutiei”). Un exemplu de afirmație din teoria lui Ramsey este următorul:

într-un grup de 6 persoane, poți găsi oricând trei persoane care fie se cunosc în perechi, fie nu se cunosc în perechi.

În ceea ce privește combinatoria structurală, aceeași afirmație este formulată după cum urmează:

în orice grafic cu 6 vârfuri, există fie o clică , fie un set independent de dimensiunea 3.

Combinatorică probabilistică

Această secțiune răspunde la întrebări precum: Care este probabilitatea ca o anumită proprietate să fie prezentă pentru un obiect discret aleatoriu, cum ar fi un grafic aleatoriu ? De exemplu, care este numărul mediu de triunghiuri dintr-un grafic aleatoriu? Metodele probabilistice sunt, de asemenea, folosite pentru a determina existența unor obiecte combinatorii cu anumite proprietăți date (pentru care exemple explicite pot fi dificil de găsit) prin simpla observare a faptului că probabilitatea de a selecta aleatoriu un obiect cu aceste proprietăți este mai mare decât 0 . Această abordare (denumită adesea metoda probabilistică ) s-a dovedit a fi foarte eficientă în aplicațiile combinatoriei extreme și ale teoriei grafurilor. O zonă strâns legată este studiul lanțurilor Markov finite , în special pe obiecte combinatorii. Din nou, instrumentele probabilistice sunt folosite pentru a estima timpul de amestecare .

Adesea asociată cu Pal Erdős , care a făcut lucrări de pionierat pe acest subiect, combinatoria probabilistică a fost în mod tradițional văzută ca un set de instrumente pentru studierea problemelor din alte părți ale combinatoriei. Cu toate acestea, odată cu creșterea aplicațiilor pentru analiza algoritmilor în informatică , precum și a teoriei probabilităților clasice, a teoriei numerelor aditive și a teoriei numerelor probabilistice , domeniul a crescut recent pentru a deveni un domeniu al combinatoriei în sine.

Combinatorică algebrică

Combinatoria algebrică este o ramură a matematicii care utilizează metodele algebrei abstracte , în special teoria grupurilor și teoria reprezentării , în diferite contexte combinatorii și, dimpotrivă, aplică metode combinatorii la problemele din algebră . Combinatoria algebrică își extinde în mod constant domeniul de aplicare, atât în ​​direcții tematice, cât și în metode, și poate fi considerată ca un domeniu al matematicii în care interacțiunea metodelor combinatoriale și algebrice este deosebit de puternică și semnificativă.

Combinatoria cuvintelor

Combinatoria cuvintelor se ocupă de limbaje formale . A apărut independent în mai multe domenii ale matematicii, inclusiv teoria numerelor , teoria grupurilor și teoria probabilității . Are aplicații în combinatorică enumerativă, analiză fractală , informatică teoretică , teoria automatelor și lingvistică. Deși multe aplicații sunt noi, ierarhia clasică de clasă Chomsky a gramaticilor formale este poate cel mai cunoscut rezultat în domeniu.

Geometrie combinatorie

Combinatoria geometrică este legată de geometria convexă și discretă , în special de combinatoria poliedrelor . De exemplu, ea întreabă câte fețe din fiecare dimensiune poate avea un poliedru convex . Un rol important îl au și proprietățile metrice ale poliedrelor, de exemplu, teorema lui Cauchy privind rigiditatea poliedrelor convexe. Sunt de asemenea luate în considerare poliedre speciale, cum ar fi poliedre de permutare , poliedre asociate și poliedre Birkhoff . Geometria combinatorie  este un nume de modă veche pentru geometria discretă.

Combinatorică topologică

Combinatoria topologică aplică ideile și metodele combinatoricei în topologie , în studiul colorărilor graficelor , al împărțirii corecte , al partițiilor , al arborilor de decizie , al mulțimilor parțial ordonate , al problemelor de colier și al teoriei Morse discrete . Nu trebuie confundat cu topologia combinatorie , care este un nume mai vechi pentru topologia algebrică .

Combinatorică aritmetică

Combinatoria aritmetică a apărut din interacțiunea dintre teoria numerelor , combinatorică, teoria ergodică și analiza armonică . Este vorba despre evaluări combinatorii asociate cu operațiile aritmetice (adunare, scădere, înmulțire și împărțire). Teoria numerelor aditive (uneori numită și combinatorică aditivă) se referă la un caz special în care sunt implicate doar adunarea și scăderea. Una dintre metodele importante ale combinatoriei aritmetice este teoria ergodică a sistemelor dinamice .

Combinatorică infinită

Combinatorică infinită  - aplicarea ideilor și metodelor combinatoriei lamulțimi infinite (inclusiv nenumărate ). Face parte din teoria mulțimilor , un domeniu al logicii matematice , dar folosește instrumentele și ideile atât ale teoriei mulțimilor, cât și ale combinatoriei extreme.

Gian-Carlo Rota a folosit denumirea de combinatorică continuă pentru a descrie probabilitatea geometrică , deoarece există multe analogii între numărare și măsură.

Domenii conexe

Optimizare combinatorie

Optimizarea combinatorie  este studiul optimizării obiectelor discrete și combinatorii. A început ca parte a combinatoriei și a teoriei grafurilor, dar acum este văzută ca o ramură a matematicii aplicate și a informaticii legate de cercetarea operațională , teoria algoritmilor și teoria complexității computaționale .

Teoria codificării

Teoria codificării a început ca parte a teoriei circuitelor, cu construcții combinatorii timpurii de coduri de corectare a erorilor . Ideea principală a subiectului este de a dezvolta metode eficiente și fiabile de transmitere a datelor. Acum este o zonă mare de cercetare, parte a teoriei informațiilor .

Geometrie discretă și computațională

Geometria discretă (numită și geometrie combinatorie) a început, de asemenea, ca parte a combinatoriei, cu rezultate timpurii pe poliedre convexe și numere de contact . Odată cu apariția aplicațiilor geometriei discrete în geometria computațională , cele două domenii au fuzionat parțial și au devenit un domeniu de studiu separat. Rămân multe conexiuni cu combinatoria geometrică și topologică, care pot fi considerate ca fiind creații ale geometriei discrete timpurii.

Combinatorică și sisteme dinamice

Aspectele combinatorii ale sistemelor dinamice  este un alt domeniu emergent. Aici sistemele dinamice pot fi definite prin obiecte combinatorii. A se vedea, de exemplu, sistemul de grafice dinamice .

Combinatorică și fizică

Există o relație din ce în ce mai mare între combinatorică și fizică , în special fizica statistică . Exemplele includ soluția exactă a modelului Ising și legătura dintre modelul Potts, pe de o parte, și polinoamele cromatice și polinoamele Tattet , pe de altă parte.

Probleme deschise

Combinatoria (în special, teoria Ramsey) conține multe probleme deschise bine-cunoscute , uneori cu o formulare foarte simplă. De exemplu, nu se știe la ce minim în orice grup de oameni vor fi 5 persoane, fie cunoștințe în perechi între ele, fie necunoscute în perechi (deși se știe că 49 de persoane sunt suficiente) [9] .

Există și alte probleme nerezolvate și ipoteze nedovedite:

• Conjectura lui Hadamard (1893): Pentru fiecare natural care este divizibil cu 4, există o matrice Hadamard de ordin real . Explicație: se știe că divizibilitatea cu 4 este doar o condiție necesară pentru existența matricei Hadamard. Există diverse metode de construire a matricilor Hadamard de ordin real pentru unele serii infinite de numere naturale divizibile cu 4, dar ele nu permit demonstrarea conjecturii Hadamard. Cel mai mic ordin divizibil cu 4 pentru care matricea Hadamard este necunoscută este [10] .
• Existența unui plan proiectiv finit de ordin natural care nu este o putere a unui număr prim.
• Ipoteza Erdős-Renyi. Dacă  este un număr întreg fix , atunci  pentru  de la . Aici  , este permanenta matricei  — mulțimea tuturor  — matricelor de ordinul  c  cele din fiecare rând și fiecare coloană [11] .
• Numerele Ramsey  pentru caz  nu sunt aproape studiate [12] .
• Problema găsirii minimului permanentului unei matrice dublu stocastice nu a fost rezolvată în cazul general [13] .
• Nu se cunosc condițiile necesare și suficiente în care să existe o transversală comună pentru trei familii de submulțimi [14] .

Combinatorică în lingvistică

Combinatoria (lingvistica) este proprietatea unităților de limbaj și a unităților de vorbire corespunzătoare acestora de a intra în relații sintagmatice, adică în relații de compatibilitate.

Note

1. ↑ 1 2 Sachkov V. N. Analiză combinatorie // Mathematical Encyclopedia (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1979. - T. 2. - S. 974-979. — 1104 p.
2. ↑ BRE .
3. ↑ 1 2 Geanta Amulya Kumar . Teorema binomială în India antică. Arhivat 3 august 2021 la Wayback Machine Indian J. History Sci., 1:68-74, 1966.
4. ↑ Vilenkin N. Ya., 1975 , p. 7.
5. ↑ 1 2 Vilenkin N. Ya., 1975 , p. 9.
6. ↑ Comentariu scurt la Exodul 3:13.
7. ↑ Vilenkin N. Ya., 1975 , p. 19.
8. ↑ O'Connor, John; Edmund Robertson. Abraham de Moivre . Arhiva MacTutor Istoria matematicii . Data accesului: 31 mai 2010. Arhivat din original pe 27 aprilie 2012. (nedefinit)
9. ↑ Weisstein, Eric W. Ramsey numere  (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
10. ↑ ADAMAR MATRICES . Arhivat din original pe 21 ianuarie 2022.
11. ↑ Mink X. Permanenti .. - Lumea. - 1982. - 211 p.
12. ↑ Ribnikov, 1972 , p. 96.
13. ↑ Ribnikov, 1972 , p. 110.
14. ↑ Kapitonova Yu. V., Krivoy S. L., Letichevsky A. A. Prelegeri despre matematică discretă. - Sankt Petersburg. : BHV-Petersburg, 2004. - S. 530. - 624 p. — ISBN 5-94157-546-7 .

Literatură

• Anderson, James. Matematică discretă și combinatorică = Matematică discretă cu combinatorică. - M . : „Williams” , 2006. - 960 p. — ISBN 0-13-086998-8 .
• Vilenkin N. Ya. Combinatorică populară . — M .: Nauka, 1975.
• Vyalyi MN Inegalități liniare și combinatorie . M.: MTsNMO, 2003. 32 p.
• Erosh I. L. Matematică discretă. Combinatorică - Sankt Petersburg: SPbGUAP, 2001. - 37 p.
• Leontiev VK Probleme selectate de analiză combinatorie. - M .: Editura MSTU im. N. E. Bauman, 2001. - 179, [3] p.; 20 cm; ISBN 5-7038-1862-1
• Leontiev V.K. Combinatorică și informații: manual. aşezare ... în direcția ... „Matematică și Fizică Aplicată”. - Moscova: MIPT, 2015. - 21 cm; ISBN 978-5-7417-0518-6
• Leontiev VK, Gordeev EN Aspecte combinatorii ale teoriei informației . M.: MIPT, 2019.
• Lipsky V. Combinatorică pentru programator. — M .: Mir, 1988. — 213 p.
• Raigorodsky A. M. Metode liniar-algebrice și probabilistice în combinatorică . — Școala de vară „Matematică modernă” . — Dubna, 2006.
• Reiser G. J. Matematică combinatorie. - per. din engleza. - M. , 1966.
• Reingold E., Nivergelt Yu., Deo N. Algoritmi combinatori. Teorie și practică. - M . : Mir, 1980. - 476 p.
• Riordan J. Introducere în analiza combinatorie. - per. din engleza. - M. , 1963.
• Rybnikov K. A. Introducere în analiza combinatorie. - M. : MGU, 1972. - S. 96. - 308 p.
• Stanley R. Enumerative Combinatorics = Enumerative Combinatorics. - M . : „Mir” , 1990. - 440 p. — ISBN 5-03-001348-2 .
• Stanley R. Combinatorică enumerativă. Arbori producând funcții și funcții simetrice = Combinatorică enumerativă. Volumul 2. - M . : „Mir” , 2009. - 767 p. — ISBN 978-5-03-003476-8 .

Link -uri

• Beleșko D. Combinatorică . 2004.
• Analiză combinatorie  / Sachkov V. N. // Marea Enciclopedie Rusă  : [în 35 de volume]  / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M .  : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.
• Teoria probabilității. 3. Elemente de combinatorică

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare norvegian Rusă mare croat Britannica (online) Universalis
În cataloagele bibliografice BNE : XX525029 BNF : 119470231 GND : 4164746-4 J9U : 987007284727105171 LCCN : sh85028802 NKC : ph121739

Ramuri ale matematicii
Portalul „Știință”
Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii
Teoria numerelor ( aritmetică )
Algebră Algebră elementară Soluția ecuației Algebră liniară Calcul vectorial matrici Calcul tensor Algebră multiliniară Algebră generală Algebră comutativă Teoria reprezentării Algebră diferențială Algebră omologică Algebră universală Teoria categoriilor
Analiză Analiza clasică Calcul diferenţial Calcul integral Teoria funcției Analiza armonică Analiza cuaterniilor Analiză complexă teoria măsurării Teoria funcțiilor unei variabile reale analiza functionala Calculul variațiilor Ecuații diferențiale și integrale Sisteme dinamice și teoria ergodică Ecuatii diferentiale comun în derivate parţiale Ecuații integrale Analiza Vectorială Analiza globală Teoria catastrofei Analiză personalizată Analiză infinitezimală netedă
Geometrie și topologie Geometrie Geometrie algebrică Geometrie analitică Geometrie euclidiană Geometrie non-euclidiană Planimetrie Stereometrie Topologie Topologie generală Topologie algebrică Geometrie și topologie diferențială
Matematică discretă Combinatorică teoria grafurilor
Matematică aplicată Fizică matematică Chimie matematică biologie matematică Statistici matematice Modelare matematică Teoria algoritmilor Metode numerice economie matematică matematica financiara Teoria probabilității Cercetare operațională Teoria jocului
Portalul „Matematică” Categoria „Matematică”