Număr triunghiular

Versiunea stabilă a fost verificată pe 16 august 2022 . Există modificări neverificate în șabloane sau .

Un număr triunghiular este una dintre clasele de numere poligonale ondulate , definită ca numărul de puncte care pot fi aranjate sub forma unui triunghi regulat . După cum se poate observa din figură, al-lea număr triunghiular este suma primelor numere naturale : $n$ $T_{n}$ $n$

{\begin{aligned}T_{1}&=1&=&\ 1\\T_{2}&=1+2&=&\ 3\\T_{3}&=1+2+3&=& \ 6\\T_{4}&=1+2+3+4&=&\ 10\\\end{aligned}}

etc. Formula generală pentru al-lea număr triunghiular este: $n$

T_{n}={\frac {1}{2}}n(n+1),\;n=1,2,3\dots

;

Succesiunea numerelor triunghiulare este infinită. Începe așa: $T_{n}$

1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , 45 , 55 , 66 , 78 , 91 , 105.120 ... ( secvența OEIS A000217 )

Unele surse încep o succesiune de numere triunghiulare de la zero, care corespunde numărului $n=0.$

Numerele triunghiulare joacă un rol semnificativ în combinatorică și teoria numerelor , ele sunt strâns legate de multe alte clase de numere întregi .

Proprietăți

Formula recursiva pentru al n -lea numar triunghiular [1] :

T_{n}=T_{n-1}+n

Consecințele ( ) [2] [3] : $n>1$

T_{n+1}=T_{n-1}+2n+1

T_{n+1}+T_{n-1}=2T_{n}+1

T_{2n-1}=3T_{n-1}+T_{n)

(vezi poza din stânga).

{\displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1))

. (vezi poza din dreapta).

Încă două formule sunt ușor de demonstrat prin inducție [4] :

T_{m+n}=T_{m}+T_{n}+mn

T_{mn}=T_{m}T_{n}+T_{m-1}T_{n-1}

Toate numerele triunghiulare, cu excepția 1 și 3, sunt compuse . Niciun număr triunghiular nu se poate termina cu cifra [2] în notație zecimală.Paritatea elementului de secvență se modifică cu o perioadă de 4: impar, impar, par, par. $2,4,7,9.$

A treia linie laterală (diagonală) a triunghiului lui Pascal este formată din numere triunghiulare [5] .

Suma unei serii finite de numere triunghiulare se calculează cu una dintre formulele [6] :

S_{m-1}=1+3+6+\dots +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6} }

S_{m}=1+3+6+\dots +{\frac {m(m+1)}{2))={\frac {m(m+1)(m+2)}{ 6}}

O serie de numere reciproce ale convergerilor triunghiulare (vezi seria telescopică ):

1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\dots =2\sum _{n=1}^{\infty } \left({1 \over n}-{1 \over n+1}\right)=2

Criterii pentru triunghiularea unui număr

Un număr natural este triunghiular dacă și numai dacă numărul este un pătrat perfect . $X$ $8x+1$

Într-adevăr, dacă este triunghiular, atunci Invers, numărul este impar, iar dacă este egal cu pătratul unui număr, atunci este și impar: și obținem egalitatea: de unde: - număr triunghiular ■ . $X$ $8x+1=8{\frac {n(n+1)}{2}}+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}.$ $8x+1$ $A,$ $A$ $a=2n+1,$ $8x+1=(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1,$ $x={\frac {n(n+1)}{2))$

Corolar: numărul numărului din succesiunea numerelor triunghiulare este determinat de formula: $X$

n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}.

Aplicație

Numerele triunghiulare apar în multe situații practice.

Ca coeficient binomial , numărul determină numărul de combinații pentru alegerea a două elemente dintre cele posibile. $T_{n}=C_{n+1}^{2}$ $T_{n}$ $n+1$

Dacă obiectele sunt conectate în perechi prin segmente, atunci numărul de segmente ( numărul de muchii ale graficului complet ) va fi exprimat ca un număr triunghiular: $n$

T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2))

Acest lucru se poate vedea din faptul că fiecare dintre obiecte este conectat la restul obiectelor, astfel încât există conexiuni, totuși, cu această contabilitate, fiecare conexiune se numără de două ori (din două capete diferite), deci rezultatul trebuie să fie împărțit în jumătate. $n$ $n-1$ $n(n-1)$

În mod similar, numărul maxim de strângeri de mână pentru o persoană sau numărul de jocuri de șah într-un turneu cu participanți sunt egale Din aceleași considerente, putem concluziona că numărul de diagonale dintr-un poligon convex cu laturi (n>3) este egal. la: $n$ $n$ $T_{n-1}.$ $n$

T_{n-2}-1={\frac {n(n-3)}{2))

Numărul maxim de felii care pot fi obținute cu tăieturi drepte de pizza (vezi poza din dreapta) este (vezi Numerele poligonale centrale , secvența OEIS A000124 ). $p$ $n$ $T_{n}+1$

„ Numărul fiarei ” (666) cunoscut în mistică este al 36-lea triunghiular [7] . Este cel mai mic număr triunghiular care poate fi reprezentat ca o sumă de pătrate de numere triunghiulare [8] : $666=15^{2}+21^{2}.$

Pitagorei considerau cel de -al patrulea număr triunghiular 10 ( tetraksis ) ca fiind sacru, determinând armonia universului - în special, raportul intervalelor muzicale , schimbarea anotimpurilor și mișcarea planetelor [9] .

Relația cu alte clase de numere

Orice număr -unghiular poate fi exprimat în termeni de triunghiular [10] : $k$ $P_{n}^{(k)}\;(k\geqslant 3,n>1)$

P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-3)T_{n-1}+T_{ n}

Suma a două numere triunghiulare consecutive este un număr pătrat (un pătrat perfect), adică [7] :

T_{n-1}+T_{n}=n^{2}\;

(formula lui Theon din Smirna [11] .

Exemple:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

O generalizare a acestei formule este formula Nicomahiană - pentru orice, diferența dintre numerele -cărbune și -cărbune cu același număr este un număr triunghiular [12] : $k \geqslant 3$ $(k+1)$ $k$

P_{n}^{(k+1)}-P_{n}^{(k)}=T_{n-1)

Formula anterioară se obține prin $k=3.$

Există un triplu unic pitagoreic format din numere triunghiulare [13] :

\{T_{132},T_{143},T_{164}\}=\{8778,10296,13530\}.

Printre numerele triunghiulare, există numere palindrom , adică numere care sunt aceleași atunci când sunt citite de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga (secvența A003098 în OEIS ):

1,3,6,55,66,171,595,666,3003,5995,8778,\dots

Există infinit de multe numere triunghiulare care sunt simultan pătrate (" numere triunghiulare pătrate ") [14] [15] : (secvența A001110 în OEIS ). $1,36,1225,41616,1413721\dots$

Numărul triunghiular poate fi și în același timp

pentagonală (secvența A014979 în OEIS ):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315682646;

hexagonale (toate numerele triunghiulare cu un număr impar);
heptagonal (secvența A046194 în OEIS ):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921341979241, 18793835590881

etc. Nu se știe dacă există numere care sunt simultan triunghiulare, pătrate și pentagonale; o verificare computerizată a numerelor mai mici decât nu a găsit niciun astfel de număr, dar nu s-a dovedit că nu există [16] . $10^{22166},$

Cele patru numere triunghiulare sunt simultan numere Mersenne (secvența A076046 în OEIS ) (vezi ecuația Ramanujan-Nagel ). $1,3,15,4095$

Cinci numere (și numai ele) sunt atât triunghiulare, cât și tetraedrice (secvența A027568 în OEIS ). $1,10,120,1540,7140$

Cele patru numere sunt atât piramidale triunghiulare, cât și pătrate (secvența A039596 în OEIS ). $1,55,91,208335$

Niciun număr natural, cu excepția 1, nu poate fi simultan [17] [18] :

triunghiular și cubic;
triunghiular și biquadric [19] ;
triunghiular și puterea a cincea a unui număr întreg [17] ;

Fiecare număr perfect par este triunghiular [20] .

Orice număr natural poate fi reprezentat ca o sumă de cel mult trei numere triunghiulare. Afirmația a fost formulată pentru prima dată în 1638 de Pierre Fermat într-o scrisoare către Mersenne fără dovezi, dovedită pentru prima dată în 1796 de Gauss [21] .

Pătratul celui de-al n -lea număr triunghiular este suma cuburilor primelor numere naturale [22] . Corolar: Diferența pătratelor a două numere triunghiulare consecutive dă numărul cubic . De exemplu, $n$ $15^{2}-10^{2}=125=5^{3}.$

Funcție de generare

O serie de puteri ai cărei coeficienți sunt numere triunghiulare converge atunci când : $|x|<1$

{\frac {x}{(1-x)^{3}}}=T_{1}x+T_{2}x^{2}+T_{3}x^{3}+\dots +T_{n}x^{n}+\dots

Expresia din stânga este funcția generatoare pentru șirul numerelor triunghiulare [23] .

Variații și generalizări

O variație a numerelor triunghiulare sunt numere triunghiulare centrate .

Conceptul de număr triunghiular plat poate fi generalizat la trei sau mai multe dimensiuni. Analogii lor spațiali sunt numerele tetraedrice , iar într-un spațiu dimensional arbitrar se pot defini numere hipertetraedrice [24] : $d$

T_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!)))

Cazurile lor speciale sunt:

$T_{n}^{[2]}$ sunt numere triunghiulare.
$T_{n}^{[3]}$ sunt numere tetraedrice.
$T_{n}^{[4]}$ sunt numere pentatop .

O altă generalizare a numerelor triunghiulare sunt numerele Stirling de al doilea fel [25] :

T_{n}=S(n+1,n)

Note

↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 16.
↑ 12 Villemin . _
↑ Deza E., 2011 , p. 24-25, 29.
↑ Deza E., 2011 , p. 66.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 188.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 71.
↑ 1 2 Shamshurin A. V. Puterea magică a numerelor triunghiulare . Începeți în Știință . Data accesului: 7 aprilie 2021. (Rusă)
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 225.
↑ Dimitra Karamanides (2005), Pitagora: matematician pionier și teoretician muzical al Greciei Antice , The Rosen Publishing Group, p. 65, ISBN 9781404205000 , < https://books.google.com/books?id=DQpSA4CEnIwC > Arhivat 14 octombrie 2020 la Wayback Machine
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. cincisprezece.
↑ Deza E., 2011 , p. 23.
↑ În spatele paginilor unui manual de matematică, 1996 , p. cincizeci.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 195.
↑ Există numere triunghiulare care sunt și pătrate . taie-nodul . Consultat la 7 aprilie 2021. Arhivat din original pe 27 aprilie 2006.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 25-33.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 34-37.
↑ 1 2 Dicționarul Pinguin al numerelor curioase și interesante . Preluat: 9 martie 2021.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 77-78.
↑ Dickson, 2005 , p. opt.
↑ Voight, John. Numerele perfecte: o introducere elementară // Universitatea din California, Berkley. - 1998. - S. 7 . Arhivat din original pe 25 februarie 2017.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. zece.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 79.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 17-19.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 126-134.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 214-215.

Literatură

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. În spatele paginilor unui manual de matematică: Aritmetică. Algebră. Geometrie . - M . : Educaţie, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala . - M . : Educaţie, 1964. - 376 p.
Deza E. Numere speciale ale seriei naturale: Manual .. - M . : Casa de carte „LIBROKOM”, 2011. - 240 p. - ISBN 978-5-397-01750-3 .
Deza E., Deza M. Numere curly. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Dickson LE Polygonal. numere piramidale și figurate //Istoria teoriei numerelor . - New York : Dover, 2005. - Vol. 2: Analiza diofantină. - P. 22-23.

Link -uri

Numere ondulate . Grupul de edituri OSNOVA. (Rusă)
Villemin, Gerard. Nombre triangulaire Nombres Triangulaires (fr.) . Nombres-Curiosites, théorie et usages (2007).
Weisstein, Eric W. Număr triunghiular (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)

numere ondulate

apartament

Poligonală clasică	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal Dodecagonal
Centrat	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal În nouă unghiuri Decagonală

Piramidal	tetraedric Pătrat piramidal
cu mai multe fațete	cub octaedral Dodecaedral icosaedric Octaedral stelat

cu mai multe fațete	Pentatopic Bisquare

Clase de numere naturale

Puteri și
numere aferente

Numerele de forma
a × 2 b ± 1

Alte numere
polinomiale

Numere
definite recursiv

Seturi de numere
cu
proprietăți specifice

Exprimat
în termeni de sume

Non-ipotenuză
Practic
Principalul semisimplu
Ulama
Wolsenholm

Obținut
cu o sită

numere norocoase

Coduri înrudite
_

Mirtens

numere ondulate

2-dimensională

centrat _	triunghiular pătrat pentagonal hexagonal heptagonală octogonală neunghiulară decagonală stelat
decentrat _	triunghiular pătrat triunghiular pătrat hexagonal octogonală

3 dimensionale

centrat _	tetraedric cub octaedric dodecaedral icosaedric
decentrat _	tetraedric octaedric dodecaedral icosaedric Steaua-octaedrică
piramidal _	pătrat pentagonal hexagonal heptagonală

4-dimensională

centrat _	pentachoric triunghiular într-un pătrat
decentrat _	pentatop

Pseudosimple

Carmichael
Catalana
eliptic
Euler
Euler-Jacobi
Fermă
Frobenius
Luca
Somera - Luca
puternic pseudosimplu

numere combinatorii

Funcții aritmetice

σ( n )	redundant aproape perfect aritmetic colosal de redundant Descartes numere hemiperfecte numere extrem de redundante numere cu componente înalte numere hiperperfecte numere multiperfecte comise practic redundant primitiv usor redundante numerele tau numere maiestuoase numere supraabundente numere supercompozite numere superperfecte
Ω( n )	aproape simplu semisimplu
φ( n )	foarte covalent înalt cu răbdare perfect totient uşor toţios
s( n )	prietenos logodit insuficient semi-perfect

Euclid
numere de avere

Prin divizori

Alți
divizori primi sau
legați
de divizibilitate

Matematică distractivă

Sisteme numerice	număr automorf ciclic Osiris Dudeni cifre egale extravagant Factorion Friedman multumit Nivena Kita Lichrel suma cu cifra lipsă Armstrong palindromic pandigitală parazitar dăunătoare magic primitiv repdigits reunește autogenerat autodescriptivă Smarandsha - Wellena strict non-palindromic schimbatoare deplasare trimorf ondulat vampiri

secvența Aronson
numere de clătite