Algebră liniară

Algebra liniară este o secțiune a algebrei care studiază obiecte de natură liniară : spații vectoriale (sau liniare), mapări liniare , sisteme de ecuații liniare , printre principalele instrumente utilizate în algebra liniară se numără determinanții , matricele , conjugare . Teoria invariantă și calculul tensorial sunt de obicei considerate (în întregime sau parțial) și părți constitutive ale algebrei liniare [1] . Obiecte precum formele pătratice și biliniare , tensorii și operații precum produsul tensor rezultă direct din studiul spațiilor liniare, dar ca atare aparțin algebrei multiliniare .

Algebra liniară este generalizată prin intermediul algebrei generale , în special, definiția modernă a unui spațiu liniar (vector) se bazează numai pe structuri abstracte, iar multe rezultate ale algebrei liniare sunt generalizate la module arbitrare pe un inel . Mai mult, metodele algebrei liniare sunt utilizate pe scară largă în alte secțiuni ale algebrei generale, în special, este adesea folosită o tehnică precum reducerea structurilor abstracte la cele liniare și studierea lor cu mijloace relativ simple și bine dezvoltate ale algebrei liniare, de exemplu. , it is implemented in the theory of group representations . Analiza funcțională a apărut ca o aplicare a metodelor de analiză matematică și algebrei liniare la spații liniare cu dimensiuni infinite și se bazează în mare parte pe metodele algebrei liniare și în generalizările sale ulterioare. De asemenea, algebra liniară a găsit o aplicație largă în numeroase aplicații (inclusiv programarea liniară , econometria ) și științele naturii (de exemplu, mecanica cuantică ).

Istorie

Primele elemente ale algebrei liniare au urmat din problemele practice de calcul în jurul rezolvării ecuațiilor liniare , în special trucuri aritmetice precum regula triplă și regula poziției false au fost formulate în antichitate. În Elementele lui Euclid apar două teorii cu caracter „liniar”: teoria mărimii și teoria numerelor întregi. Abordări ale rezolvării sistemelor de ecuații liniare apropiate de metodele matriceale moderne se găsesc la babilonieni (sisteme de două ecuații cu două variabile) și la vechii chinezi (în „ Matematica în nouă cărți ”, până la trei ecuații cu trei variabile) [2] . Cu toate acestea, după ce s-a atins certitudinea cu principalele întrebări de găsire a soluțiilor sistemelor de ecuații liniare , dezvoltarea secțiunii practic nu a avut loc și chiar și la sfârșitul secolului al XVIII-lea - începutul secolului al XIX-lea se credea că nu există mai multe probleme cu ecuațiile de gradul întâi, mai mult, sistemele de ecuații liniare cu un număr de variabile care diferă de ecuațiile numerice sau cu coeficienți dependenți liniar din partea stângă au fost considerate pur și simplu incorecte [3] .

Методы, сформировавшие линейную алгебру как самостоятельную отрасль математики, уходят корнями в другие разделы. Ферма в 1630-е годы, создав классификацию плоских кривых, ввёл в математику (ключевой для линейной алгебры) принцип размерности и разделил задачи аналитической геометрии по числу неизвестных (с одним неизвестным — отыскание точки, с двумя — кривой или геометрического места на плоскости, с тремя — поверхности). Эйлер создал классификацию кривых по порядкам, обратив внимание на линейный характер преобразований координат, и ввёл в оборот понятие аффинного преобразования (и само слово «аффинность»)[4].

Первое введение понятия определителя для целей решения систем линейных уравнений относят к Лейбницу (1678 [5] или 1693 год [6]), но эти работы не были опубликованы. Также определитель обнаруживается в трудах Сэки Такакадзу 1683 года, в которых он обобщил метод решения систем линейных уравнений из древнекитайской «Математики в девяти книгах» до $n$ уравнений с $n$ неизвестными[7]. Маклорен, фактически используя простейшие определители в трактате, вышедшем в 1748 году, приводит решения систем из двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трёх уравнений с тремя неизвестными[8]. Крамер и Безу в работах по проблеме отыскания плоской кривой, проходящей через заданную точку, вновь построили это понятие (правило Крамера сформулировано в 1750 году), Вандермонд и Лагранж дали индуктивное определение для случаев $n>3$ [9], а целостное определение и окончательные свойства определителей дали Коши (1815) и Якоби (1840-е годы)[3]. Гауссу (около 1800 года) принадлежит формализация метода последовательного исключения переменных для решения этих задач, ставшего известным под его именем[10] (хотя по существу для решения систем линейных уравнений именно этот метод и использовался с древности[4]).

Д’Аламбер, Лагранж и Эйлер, работая над теорией дифференциальных уравнений, в том или ином виде выделили класс линейных однородных уравнений и установили факт, что общее решение такого уравнения порядка $n$ является линейной комбинацией $n$ частных решений (однако, при этом не отмечали необходимость линейной независимости решений)[11]. Основываясь на наблюдении, что множество значений целочисленной функции $f (x, y)$ не меняется от того, что над $X$ и $y$ совершается линейная подстановка (с целыми коэффициентами и определителем, равным 1), Лагранж в 1769 году разрабатывает теорию представления целых чисел квадратичными формами, а в 1770 году обобщает теорию до алгебраических форм. Гаусс развил теорию Лагранжа, рассматривая вопросы эквивалентности форм, и ввёл серию понятий, относящихся к линейным подстановкам, самым важным из которых было понятие сопряжённой (транспонированной) подстановки[12]. С этого времени арифметические и алгебраические исследования квадратичных и связанных с ними билинейных форм составляют существенную часть предмета линейной алгебры[13].

O altă sursă de abordare a algebrei liniare a fost geometria proiectivă , a cărei creație a fost începută de Desargues în secolul al XVII-lea și a fost dezvoltată semnificativ în lucrările lui Monge la sfârșitul secolului al XVIII-lea și mai târziu în lucrările lui Poncelet , Brianchon și Chall. de la începutul până la mijlocul secolului al XIX-lea. În acele zile, subiectul principal de studiu al geometriei proiective erau conici și cvadrici , care sunt în esență forme pătratice. În plus, conceptul de dualitate a spațiilor proiective, introdus de Monge, este unul dintre aspectele dualității în spațiile liniare (totuși, această legătură a fost remarcată abia la sfârșitul secolului al XIX-lea de către Pinkerle ) [14] .

Но основной базой линейной алгебры стало фактически влившееся в раздел векторное исчисление, очерченное Гауссом в работах по геометрической интерпретации комплексных чисел (1831) и обретшее окончательную форму в трудах Мёбиуса, Грассмана и Гамильтона 1840-х — 1850-х годах. Так, Гамильтон в 1843 году открывает кватернионы, четырёхмерный аналог комплексных чисел, и даёт им геометрическую интерпретацию по аналогии с гауссовой (Гамильтону, в том числе, принадлежит и введение термина «вектор»). Физики школы Гамильтона, из которых самым выдающимся был Максвелл, тщательно проработали то, что сейчас относится к векторной алгебре в трёхмерном евклидовом пространстве: введены понятия скалярного, векторного и смешанного произведений векторов, набла-оператор [15], сформирована вошедшая в традицию символика, также начиная с этого времени векторы проникают и в школьные программы. Вместе с тем для школы Гамильтона центральным понятием были не векторы, а кватернионы, и определения линейной алгебры давались в терминах умножения кватернионов.

Параллельно шло развитие линейной алгебры и в Европе. В 1844 году Грассман строит понятие внешней алгебры, описывающей подпространства линейного пространства[16]. Долгое время его работы незаслуженно обходились вниманием: языком, адекватным физической картине мира, считался язык кватернионов. Так, Тэт, лидер школы «кватернионистов», считал смехотворной критику Гиббса, указывавшего, что язык кватернионов не приспособлен для описания пространств размерности выше четырёх, ибо пространство-время четырёхмерно; в то время как для Гиббса это было крайне важно, ибо фазовые пространства в разработанной им статистической механике имеют очень большую размерность (порядка числа Авогадро). Впоследствии правота Гиббса, идеи которого были развиты Хевисайдом, подтвердилась: основным языком стал именно язык векторного исчисления, а повсеместное употребление кватернионов осталось историческим курьёзом. Синтез идей Грассмана и Гамильтона был осуществлён в 1870-х Клиффордом: введённое им понятие алгебры Клиффорда включает как частные случаи как алгебру кватернионов, так и внешнюю алгебру.

Понятие матрицы ввёл Сильвестр в 1850 году [17][18]. Кэли обстоятельно разрабатывает матричное исчисление, публикуя в 1858 году «Мемуар о теории матриц» (англ. Memoir on the theory of matrices), принципиально, что Кэли рассматривает матрицы как нотацию для линейных подстановок[16]. В частности, в этой работе Кэли вводит сложение и умножение матриц, обращение матриц, рассматривает характеристические многочлены матриц и формулирует и доказывает для случаев 2×2 и 3×3 утверждение об обращении в нуль характеристического многочлена квадратной матрицы (известное как теорема Гамильтона — Кэли, так как случай 4×4 доказал Гамильтон с использованием кватернионов), доказательство для общего случая принадлежит Фробениусу (1898). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867). Матричные группы, связанные с неевклидовыми геометриями, появились в работах Киллинга в 1880-х годах, вместе с более ранними работами Ли они стали основой теории групп и алгебр Ли. На рубеже веков эта теория была обогащена Энгелем и Картаном, давшими классификацию полупростых алгебр Ли и попутно открывшими векторное произведение в семимерном пространстве.

Теория инвариантов в классическом варианте — учение о свойствах алгебраических форм, сохраняющихся при линейных преобразованиях, сформирована начиная с 1840-х годов в работах Кэли, Эрмита и Сильвестра (известных как «инвариантная троица», фр. la trinité invariantive), считается[19], что именно теория инвариантов и приводит к созданию принципов решения произвольных систем линейных уравнений. В частности, Эрмит[уточнить] сформулировал и решил в частном случае проблему нахождения системы линейных диофантовых уравнений, решение в общем случае найдено Смитом, результат которого остался незамеченным, пока не был обнаружен в 1878 году Фробениусом [19]. Финальный вид результаты о системах линейных уравнений с произвольными числовыми коэффициентами получили в работах, организованных Кронекером, в которых принимали участие Вейерштрасс, Фробениус и группа немецких учёных, особое внимание уделялось строгости и точности формулировок. В частности, определитель в курсе лекций Кронекера — Вейерштрасса вводился как полилинейная знакопеременная функция от $n$ векторов $n$ -мерного пространства, нормированная таким образом, что принимает значение 1 для единичной матрицы; притом это определение эквивалентно вытекающему из исчисления Грассмана [19][20]. Фробениус в 1877 году ввёл понятие ранга матрицы, основываясь на котором в ближайшие годы сразу несколько учёных доказали утверждение об эквивалентности разрешимости системы линейных уравнений совпадением рангов её основной и расширенной матрицы, известной в русских и польских источниках как теорема Кронекера — Капелли, во французских — теорема Руше (фр. Eugène Rouché) — Фонтене (фр. Georges Fontené), в немецких и испанских — теорема Руше — Фробениуса, в итальянских и английских — теорема Руше — Капелли.

В 1888 году Пеано на базе исчисления Грассмана впервые в явном виде сформулировал аксиомы линейного пространства (векторных пространств над полем действительных чисел в том числе бесконечномерных) и применил обозначения, сохранившиеся в употреблении в XX—XXI века[21]. Тёплиц в начале 1910-х годов обнаружил, что при помощи аксиоматизации линейного пространства для доказательства основных теорем линейной алгебры не требуется прибегать к понятию определителя, что позволяет распространить их результаты на случай бесконечного числа измерений [21]. Аксиоматическое определение векторного и евклидова пространства было впервые чётко сформулировано в начале XX века практически одновременно Вейлем и фон Нейманом, исходя из запросов квантовой механики [22].

Тензорное исчисление, разработанное в 1890-е годы Риччи и Леви-Чивитой, составило своей алгебраической частью основное содержание полилинейной алгебры. Особое внимание к этому подразделу было привлечено в 1910-е — 1930-е годы благодаря широкому использованию тензоров Эйнштейном и Гильбертом в математическом описании общей теории относительности.

В 1922 году Банах, изучая полные нормированные линейные пространства, ставшие известными после его работ как банаховы, обнаружил, что уже в конечном случае возникают линейные пространства, не изоморфные своему сопряжённому[21], и в этой связи в первой половине XX века методы и результаты линейной алгебры обогатили функциональный анализ, сформировав его основной предмет в современном понимании — изучение топологических линейных пространств [23]. Также в 1920-е — 1950-е годы получает распространение направление по линеаризации общей алгебры, так, развивая результат Дедекинда о линейной независимости любых автоморфизмов поля, Артин линеаризовывает теорию Галуа, а в 1950-е годы, прежде всего, в работах Джекобсона, эти результаты обобщены на произвольные расширения тел [24]; благодаря этим построениям обретена возможность применения инструментов и достижений хорошо изученной линейной алгебры в весьма абстрактных разделах общей алгебры.

Со второй половины XX века, с появлением компьютеров, развитием методов вычислительной математики и компьютерной алгебры, в рамках линейной алгебры получило бурное развитие вычислительное направление — отыскание методов и алгоритмов, обеспечивающих эффективное решение задач линейной алгебры с использованием вычислительной техники, сформировался самостоятельный раздел вычислительной линейной алгебры (англ. numerical linear algebra), а решение задач линейной алгебры стало одной из важных практических составляющих использования компьютеров. В числе работ, положивших начало разработке этого направления, стало создание Тьюрингом алгоритма LU-разложения квадратной матрицы на верхнюю и нижнюю треугольные (1948)[25]. Показательно, что результаты тестов Linpack, в которых вычислительные системы должны решить сложные системы линейных уравнений с использованием LU-разложения, считаются основным показателем производительности вычислений с плавающей запятой, в том числе и для кластерных систем. В 1950-е — 1960-е годы крупные исследования в области вычислительной линейной алгебры опубликованы Фаддеевым и Уикинсоном, значительные результаты в 1970-е — 2000-е годы получены Марчуком, Самарским, Годуновым, Голубом (англ. Gene H. Golub), Аксельсоном[26].

Matrici și determinanți

Матрица — математический объект, записываемый в прямоугольной таблице размером $m \ ori n$ , в ячейках которой расположены элементы произвольного заранее выбранного (основного) поля (в наиболее общем случае — ассоциативного кольца [27]) — это могут быть целые, вещественные или комплексные числа, векторы, рациональные функции — в зависимости от приложений и задач:

\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

Для матриц используется также сокращённая запись $(a_ {ij})$ , но обычно с матрицами оперируют как с едиными объектами: над матрицами определены сложение и умножение, также матрицу можно умножить на скаляр — элемент основного поля, относительно этих операций образуют векторное пространство над основным полем (или, в наиболее общем случае — модуль над кольцом). Другие операции над матрицами — транспонирование (замена строк на столбцы) и псевдообращение (обобщение обращения квадратных матриц). Матрицы размера $De 1 \ ori n$ и $m \ ori 1$ называются вектор-строка и вектор-столбец соответственно.

Матрица с равным числом строк и столбцов называется квадратной, в зависимости от содержания они могут быть диагональными (все элементы — нули основного поля, кроме диагональных: $i \ neq j \ dreapta a_ {ij} = 0$ ), единичными (все диагональные элементы равны единице основного поля, а остальные — нулю), симметричными (все элементы симметричны относительно главной диагонали: $a_ {ij} = a_ {ji}$ ), кососимметричными ( $a_{ij} = - a_{ji}$ ), треугольными (все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю), ортогональными. Среди квадратных матриц вводится отношение подобия ( $A \sim B \Leftrightarrow \exists P (A = P^{-1} \cdot B \cdot P$ ), где $P^{-1}$ — матрица, обратная $P$ ), такие характеристики матриц, как ранг (максимальное количество линейно независимых строк или столбцов) и характеристический многочлен инвариантны относительно подобия[28]. Также одинаковы для подобных прямоугольных матриц такие характеристики, как след (взятие суммы элементов главной диагонали) и определитель.

Определитель — многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы особым способом, характеризующий обратимость матрицы. Точнее, определитель матрицы обращается в нуль тогда и только тогда, когда матрица необратима. Это же условие, равносильно тому, что в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы. Квадратные матрицы, определитель которых равен нулю называются вырожденными, если определитель отличен от нуля — то матрица называется невырожденной. Определитель может использоваться при решении систем линейных уравнений. На его базе вводятся понятия минора, дополнительного минора, алгебраического дополнения [29].

Conceptul de vector (termenul „vector” în sine a fost introdus de W. Hamilton ) a apărut inițial ca o abstractizare geometrică pentru obiecte caracterizate atât prin mărime, cât și prin direcție, precum viteza , momentul forței , intensitatea câmpului electric , magnetizarea . La începutul secolului al XX-lea, interpretarea originală a vectorilor (folosită încă în matematica elementară) ca „segmente direcționate” s-a schimbat la axiomatica unui spațiu vectorial cu două operații : adunarea vectorială și înmulțirea unui vector cu numere (mai general, prin elemente ale unui câmp ). În plus, sunt adesea introduse diverse tipuri de produs vectorial: scalar , vector , mixt , pseudoscalar , vector dublu .

Rolul cheie în algebra liniară este jucat de conceptul de independență liniară a vectorilor, care stă la baza definițiilor bazei și dimensiunii unui spațiu vectorialː un număr se numește dimensiunea unui spațiu vectorial dacă conține vectori liniar independenți și orice vector de acest spațiu sunt dependente liniar. Un astfel de spațiu vectorial se numește -dimensional și oricare dintre vectorii săi este reprezentat printr-o succesiune ordonată de numere (determinată în mod unic prin alegerea unei baze). Astfel, vectorii pot fi scriși ca matrici de dimensiune sau - vectori coloană și, respectiv, vectori rând, și toate operațiile de algebră vectorială pot fi reduse la algebră matriceː, de exemplu, adăugarea vectorială este aceeași cu adunarea matricei, iar multiplicarea vectorilor poate fi poate fi exprimat ca produsul unei matrice simetrice oblice construite din primul factor și un vector coloană care reprezintă al doilea factor. $n$ $n$ $k> n$ $n$ $n$ $De 1 \ ori n$ $n ori 1$

Tensors arose as a natural development of ideas about linear algebra objects: if a scalar in -dimensional is represented by a zero-dimensional object (consisting of only one element of the field ), a vector is a one-dimensional array (a matrix of size ), a linear transformation is a two-dimensional matrix , then the tensor can be represented as a multidimensional an array of elements of the size field (the number of dimensions of the array is called the valency of the tensor ), and scalars, vectori, operatorii liniari se dovedesc a fi cazuri speciale ale tensorului (cu valențe 0, 1 și respectiv 2). $n$ $De 1 \ ori n$ $n \ times n \ times \ cdots \ times n$ $r$ $l$ $k$ $r = k+l$ $(L, K)$

În algebra tensorială sunt introduse și studiate operații liniare pe tensori, cum ar fi înmulțirea cu un scalar, adunarea, convoluția . Un rol deosebit îl joacă operația produsului tensor ( ), a cărui generalizare la spații liniare a făcut posibilă generalizarea definiției tensorului: să se considere tensorul de rang într-un spațiu liniar ca element al produsului tensor al instanțe și instanțe ale conjugatului său : $\ OTimes$ $(L, K)$ $V$ $k$ $V$ $l$ $V^*$

\begin{matrix} \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V} & \otimes & \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^*} \\ k & & l \end{matrix}

Formele algebrice ( polinoame omogene pe spațiile vectoriale date de polinoamele omogene în coordonatele vectoriale) aparțin formelor multilineare , dar forme quadratice, bilineare, iar unele tipuri speciale de forme ( sesquilineare , hermitiene ) sunt de asemenea importante în algebra liniară pură. Semnificația formelor bilineare și quadratice este aceea că acestea sunt exprimate prin matrici, la fel ca operatorii liniari. Proprietățile formelor bilineare simetrice și simetrice simetrice au fost studiate în cele mai multe detalii . $(B(x,y)=B(y,x))$ $(B(x,y)= - B(y,x))$

Toate structurile matematice studiate în algebra liniară - vectori, tensori, matrici, forme algebrice, precum și operațiuni pe ele, sunt universalizate în conceptul algebric general al unui spațiu vectorial (liniar). Un spațiu vectorial este definit ca o algebră peste un set arbitrar de elemente , numite vectori și un câmp arbitrar , ale cărui elemente sunt numite scalare , în plus, vectori cu funcționarea adiției vectoriale formează un grup abelian și funcționarea vectorilor multiplicați prin Un scalar este definit: astfel încât următoarele proprietăți ( ): $\langle V, \mathfrak F, +, \cdot \rangle$ $V$ $\mathfrak F$ $\langle V, + \rangle$ $\cdot : \mathfrak F \times V \to V$ $1, \alpha, \beta \in \mathfrak F, \, \mathbf v, \mathbf u \in V$

1 \cdot \mathbf v = \mathbf v

\alpha \cdot (\mathbf v + \mathbf u) = \alpha \cdot \mathbf v + \alpha \cdot \mathbf u

(\alpha + \beta) \cdot \mathbf v = \alpha \cdot \mathbf v + \beta \cdot \mathbf v

(\alpha \beta) \cdot \mathbf v = \alpha \cdot (\beta \cdot \mathbf v)

Ca câmp, domeniul numerelor reale este uneori considerat special (apoi se vorbește despre un spațiu vectorial real) sau despre câmpul numerelor complexe (spațiu vectorial complex) cu operațiunile obișnuite de adăugare și înmulțire, în special, în teoria lui Seturi convexe, multe rezultate sunt formulate special pentru spații vectoriale reale sau complexe [30] . Dar o parte semnificativă a declarațiilor și a majorității construcțiilor sunt valabile pentru câmpurile arbitrare, în plus, multe rezultate ale algebrei liniare obținute pentru spațiile vectoriale au fost generalizate în secolul XX până la module unitare peste inele de diviziune non-commutativă și chiar la module arbitrare peste inele sau module cu anumite restricții.

Combinațiile liniare de vectori sunt formei finitesume $\alpha_1 \mathbf v_1 + \dots + \alpha_n \mathbf v_n$

În analiza funcțională sunt studiate generalizări suplimentare ale spațiilor vectoriale, cum ar fi înzestrarea lor cu seminorme , norme , valor , topologii .

La fel ca teoriile altor structuri algebrice, algebra liniară studiază mapări între spațiile vectoriale care păstrează structura spațiului vectorial. O mapare liniară (transformare liniară, operator liniar) de spații vectoriale arbitrare pe un câmp este o mapare care păstrează liniaritatea: $L: V \to U$

L (\mathbf v_1 + \mathbf v_2) = L (\mathbf v_1) + L (\mathbf v_2)

L (\alpha \cdot \mathbf v) = \alpha \cdot L (\mathbf v)

Când există o mapare unu la unu între două spații vectoriale care este liniară, atunci se spune că aceste spații sunt izomorfe ; Multe proprietăți ale spațiilor vectoriale sunt păstrate sub transformările izomorfe (sunt invariante sub izomorfism).

Над классом всех линейных отображений данных векторных пространств можно определить структуру векторного пространства. Линейные отображения конечномерных векторных пространств могут быть записаны в матричной форме и их свойства уже изучаются средствами матриц.

În general, acțiunea mapării liniare poate fi destul de complexă. O sarcină importantă și comună este găsirea unei astfel de bază a spațiului vectorial în care matricea unei mapări liniare date are cea mai simplă formă. În rezolvarea acestei probleme, rolul cheie este jucat de subspațiile invariante ale unei mapări liniare , adică subspațiile a căror imagine este încorporată în sine în timpul cartografierii . Dacă se găsesc subspații invariante ale dimensiunii non-zero (adică ) a căror sumă directă este întregul spațiu , atunci matricea de mapare are o formă diagonală bloc cu blocuri de ordine , pe diagonală principală, dacă alegem o bază constând din Grupuri de vectori, unde grupul -th este baza în subspațiu . $V$ $L : V \rightarrow V$ $L$ $L$ $W_1, \ldots, W_k$ $L(W_i) \subset W_i$ $V$ $L$ $n_1, \ldots, n_k$ $n_i = \dim W_i$ $k$ $i$ $W_i$

Cel mai simplu caz al unui subspațiu invariant este un subspațiu invariant unidimensional , care poate fi specificat folosind un vector nr . În acest caz, condiția de a cuibărea imaginea subspațiului în sine ia forma cu un număr ; O astfel de construcție duce la definiția unui vector propriu și a unei valori proprii: dacă pentru un vector și un număr pe care îl deține egalitatea , atunci se numește valoarea eigen a cartografiei , iar vectorul este numit eigenvector . Valorile proprii ale unei mapări liniare sunt definite în mod unic, iar vectorii proprii sunt definiți până la proporționalitate, adică până la înmulțire cu un număr arbitrar nr. $W$ $x \in W$ $L(x) {=} \lambda x$ $\lambda$ $x \ neq 0$ $\lambda$ $L(x) {=} \lambda x$ $\lambda$ $L$ $X$

Dacă cartografierea are un set de vectori proprii independenți liniar, al cărui număr este egal cu dimensiunea spațiului , ele pot forma o bază (numită eigenbasis a cartografiei date), în care matricea de mapare este diagonală, cu Valorile proprii pe diagonală principală. Se spune că astfel de mapări liniare sunt diagonalizabile . O condiție suficientă (dar nu este necesară) pentru diagonalizare este prezența valorilor proprii distincte. $n$ $n$ $V$ $n$

Iordan forma normală

Aplicație

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными — это система уравнений вида

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}

Poate fi reprezentat sub formă de matrice ca:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

AX = b

Teoria reprezentării

Programare liniară

Econometrie

Mecanica cuantică

Note

↑ Algebra liniară / P. S. Aleksandrov // Marea Enciclopedie sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
↑ Kleiner, 2007 , în urmă cu aproximativ 4000 de ani Babylonienii au știut să rezolve un sistem de două ecuații liniare în două necunoscute (un sistem 2 × 2). În celebrele lor nouă capitole ale artei matematice, chinezii au rezolvat sistemele 3 × 3, lucrând doar cu coeficienții lor (numerici). Acestea au fost prototipuri ale metodelor matrice, nu spre deosebire de „metodele de eliminare” introduse de Gauss și alții, p. 79.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , p. 74.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , p. 75.
↑ Prasolov, 1996 , p. 9.
↑ Kleiner, 2007 , p. 80.
zece.
↑ Kleiner, 2007 , prima publicație care conține câteva informații elementare despre determinanți a fost tratatul de algebră al lui Maclaurin, în care au fost utilizate pentru a rezolva sistemele 2 × 2 și 3 × 3, p. 81.
↑ Daan-Dalmedico, 1986 , p. 394.
↑ Kleiner, 2007 , p. 79.
↑ Bourbaki, 1963 , p. 75-76.
↑ Bourbaki, 1963 , p. 76.
↑ Бурбаки, 1963, с. 76—77, 134—137.
↑ Bourbaki, 1963 , p. 77-78.
↑ Daan-Dalmedico, 1986 , p. 402.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , p. 80.
↑ de la Lat. Matrice - „Cauză rădăcină”. Multe surse consideră că termenul a fost introdus de Sylvester în 1848, dar nu a publicat nicio lucrare în acel an, a se vedea JJ Sylvester. Lucrările matematice colectate ale lui James Joseph Sylvester / HF Baker. - Cambridge : Cambridge University Press, 1904. , în timp ce se afla într -o lucrare din 1850 de JJ Sylvester. Adăugări la articolele din numărul din septembrie al acestui jurnal, „Pe o nouă clasă de teoreme” și pe teorema lui Pascal // The London, Edinburgh și Dublin Philosophical Magazine și Journal of Science. — Vol. Xxxvii . - P. 363-370 . : "... acest lucru nu va reprezenta în sine un determinant, ci este, așa cum a fost, o matrice din care putem forma diverse sisteme de determinanți ..."
↑ Kleiner, 2007 ,… Termenul „Matrix” a fost inventat de Sylvester în 1850, p. 82.
↑ 1 2 3 Bourbaki, 1963 , p. 82.
↑ Kleiner, 2007 , p. 81.
↑ 1 2 3 Bourbaki, 1963 , p. 84.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Algebră și geometrie liniară . - Moscova: FizMatlit, 2009. - P. 511 . - 1000 de exemplare. -ISBN 978-5-9221-1139-3 .
— М.
↑ Bourbaki, 1963 , p. 85.
— ediția a II-a.
Nature , 1999, nr. 6 (1 iunie 1999).
↑ Maltsev, 1970 , p. 12.
↑ Maltsev, 1970 , p. 55-59.
↑ Прасолов, 1996, с. 9—29.
Kadets M.I.

Literatură

Bourbaki . Algebra liniară și multilineară // Eseuri despre istoria matematicii / I. G. Bashmakova (tradusă din franceză). - m .: Editura de literatură străină, 1963. - S. 73-86. - 292 p. - (Elemente de matematică).
Gantmakher F. R. Teoria matricei. — M.: Nauka, 1966.
Gel'fand I.M. Prelegeri despre algebră liniară . - M . : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 320 p. - 5000 de exemplare. copie. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Structuri liniare // Căi și Labirinturi. Eseuri despre istoria matematicii = rute et dédales / tradus din franceză de A. A. Bryadinskaya, editat de I. G. Bashmakova. - m .: Mir, 1986. - S. 394-402. - 432 p. - (Matematică modernă. Seria populară). — 50.000 de exemplare.
Israel Kleiner. Istoria algebrei liniare // O istorie a algebrei abstracte . - Boston : Birkhäuser, 2007. - P. 79-89 . - 168p. -ISBN 978-0-8176-4684-4 . -doi : 10.1007 / 978-0-8176-4685-1_5 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Algebră liniară și geometrie. — M .: Nauka , 1986. — 304 p.
Maltsev AI Fundamentele algebrei liniare. - al 3-lea. — M .: Nauka , 1970. — 400 p.
Postnikov M. M. Linear Algebra (Prelegeri de geometrie. Semestrul II). - al 2-lea. — M .: Nauka , 1986. — 400 p.
Prasolov VV Probleme și teoreme ale algebrei liniare. - m .: Nauka, 1996. - 304 p. - (fizMatlit). -ISBN 5-02-014727-3 .
Forța G. Algebra liniară și aplicațiile sale. — M .: Mir , 1980. — 454 p.
Faddeev D. K. Prelegeri despre algebră. - a 5-a. - Sankt Petersburg. : Lan , 2007. - 416 p.
Halmos P. Spații vectoriale cu dimensiuni finite. — M .: Fizmatgiz , 1963. — 263 p.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie. — M .: Fizmatlit , 2009. — 511 p.

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNE: XX527736 BNF : 11937509N GND: 4035811-2 J9U: 987007293931805171 LCCN: sh85003441 LNB: 000082525 NDL: 00570681 NKC: ph122353

Ramuri ale matematicii

Portalul „Știință”

Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii

Teoria numerelor ( aritmetică )

Algebră
Algebră elementară	Soluția ecuației
Algebră liniară	Calcul vectorial matrici Calcul tensor Algebră multiliniară
Algebră generală	Algebră comutativă Teoria reprezentării Algebră diferențială Algebră omologică Algebră universală Teoria categoriilor

Analiză
Analiza clasică	Calcul diferenţial Calcul integral
Teoria funcției	Analiza armonică Analiza cuaterniilor Analiză complexă teoria măsurării Teoria funcțiilor unei variabile reale analiza functionala Calculul variațiilor
Ecuații diferențiale și integrale	Sisteme dinamice și teoria ergodică Ecuatii diferentiale comun în derivate parţiale Ecuații integrale
Analiza Vectorială Analiza globală Teoria catastrofei Analiză personalizată Analiză infinitezimală netedă

Geometrie și topologie
Geometrie	Geometrie algebrică Geometrie analitică Geometrie euclidiană Geometrie non-euclidiană Planimetrie Stereometrie
Topologie	Topologie generală Topologie algebrică Geometrie și topologie diferențială

Matematică discretă
Combinatorică teoria grafurilor

Matematică aplicată
Fizică matematică Chimie matematică biologie matematică Statistici matematice Modelare matematică Teoria algoritmilor Metode numerice economie matematică matematica financiara Teoria probabilității Cercetare operațională Teoria jocului

Portalul „Matematică”
Categoria „Matematică”