Sectiune conica

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 21 iunie 2022; verificarea necesită 1 editare .

O secțiune conică , sau o conică [1] , este intersecția unui plan cu suprafața unui con circular drept . Există trei tipuri principale de secțiuni conice: elipsă , parabolă și hiperbolă , în plus, există secțiuni degenerate: punct , linie și pereche de linii. Cercul poate fi gândit ca un caz special al elipsei . În plus, o parabolă poate fi considerată un caz extrem al unei elipse, unul dintre focarele căreia se află la infinit.

Secțiunile conice pot fi obținute ca intersecția unui plan cu un con cu două fețe

a^{2}z^{2}=x^{2}+y^{2}

(în coordonate carteziene )

Aici

a=\operatorname {tg} \theta

\theta

este unghiul dintre generatoarea conului și axa acestuia.

Dacă planul trece prin origine , atunci se obține o secțiune degenerată. În cazul nedegenerat,

dacă planul de tăiere intersectează toți generatorii conului în punctele uneia dintre cavitățile sale, obținem o elipsă,
dacă planul de tăiere este paralel cu unul dintre planurile tangente ale conului, obținem o parabolă,
dacă planul de tăiere intersectează ambele cavități ale conului, obținem o hiperbolă.

Ecuația unui con circular este pătratică, prin urmare, toate secțiunile conice sunt cvadrici , de asemenea toate cvadricile planului sunt secțiuni conice (deși două drepte paralele formează o cvadrică degenerată, care nu poate fi obținută ca secțiune a unui con, dar poate poate fi obținută ca o secțiune a unui cilindru - un con degenerat și este de obicei considerat o „secțiune conică degenerată”).

Istorie

Secțiunile conice erau cunoscute de matematicienii din Grecia Antică .

Cea mai completă lucrare dedicată acestor curbe a fost „Secțiunile conice” ale lui Apollonius din Perga (aproximativ 200 î.Hr.). Se pare că el a fost primul care a descris focarele elipsei și hiperbolei [2] :41 .

Pappus din Alexandria a fost primul care a descris focalizarea unei parabole și a derivat ecuația generală pentru o secțiune conică drept locul punctelor pentru care raportul dintre distanțe la punctul de focalizare și directrice este constant [2] :48 .

Excentricitate

Toate secțiunile conice nedegenerate, cu excepția cercului , pot fi descrise în felul următor:

Să alegem un punct și o dreaptă pe plan și să setăm un număr real . Atunci locul punctelor , pentru care distanța până la punct și față de linie diferă cu un factor, este o secțiune conică. Punctul se numește focarul secțiunii conice, linia dreaptă este directriza , iar numărul este excentricitatea . $F$ $d$ $e\geq 0$ $F$ $d$ $e$ $F$ $d$ $e$

|FM|=e\cdot |MM'|,\ MM'\bot d

În funcție de excentricitate, se va dovedi:

când - hiperbolă . $e>1$
cand - parabola ; $e=1$
cand - elipsa ; $e<1$

Pentru un cerc se presupune (deși, de fapt, la GMT este doar un punct ). $e=0$ $e=0$ $F$

Excentricitatea este legată de parametrii conului și de locația planului de tăiere în raport cu axa conului prin următoarea relație [3] :46.47 :

e={\frac {\sin(90^{\circ }-\psi )}{\sin(90^{\circ }-\varphi )))={\frac {\cos \psi }{\cos \ varphi}},

aici - unghiul de înclinare a planului secant față de axa conului, - unghiul dintre generatrice și axa conului, egal cu jumătate din unghiul de deschidere al conului. Din această formulă se poate observa că prin intersectarea unui con dat cu un plan, se poate obține o elipsă cu orice excentricitate, o parabolă, iar o hiperbolă se poate obține doar una a cărei excentricitate nu depășește . Această valoare maximă este atinsă atunci când un anumit con este tăiat de un plan paralel cu axa lui. $\psi$ $\varphi$ ${\frac {1}{\cos \varphi ))$

Mingi de păpădie

Unele proprietăți importante ale secțiunilor conice sunt obținute prin luarea în considerare a două bile care sunt tangente la o secțiune conică și un con - bilele Dandelin . De exemplu, cu ajutorul lor se stabilește semnificația geometrică a focalizării, directricei și excentricității unei secțiuni conice [3] :46,47 .

Proprietăți

Prin oricare cinci puncte din plan, dintre care trei nu se află pe aceeași linie dreaptă, se poate desena o secțiune conică unică.
Caii au așa-numitul. proprietati optice. Mai cunoscută și mai aplicabilă este proprietatea optică a elipsei : lumina de la o sursă la un focar este reflectată de o oglindă eliptică, astfel încât razele sunt colectate la un alt focar. Deoarece o parabolă poate fi considerată ca un caz extrem al unei elipse, are o proprietate similară: lumina de la o sursă care este focalizată este reflectată de parabolă, astfel încât toate razele reflectate sunt paralele (adică se intersectează într-un punct). la infinit). O hiperbolă are, de asemenea, o proprietate optică : lumina de la o sursă situată la un focar este reflectată de hiperbolă, astfel încât continuarea razelor reflectate se intersectează la un alt focar. Din proprietățile optice rezultă că elipsa și hiperbola, având focare comune, sunt perpendiculare (adică tangentele la ele în punctele de intersecție sunt perpendiculare).
Dacă luăm în considerare segmentele pe care conica le decupează pe o familie arbitrară de drepte paralele, punctele medii ale tuturor acestor segmente se vor dovedi a se afla pe o singură linie dreaptă. Această linie dreaptă se numește diametrul conicii; fiecare familie de secante paralele are propriul diametru. Diametrul trece întotdeauna prin centrul conicii - mijlocul segmentului care leagă focarele. În cazul unei elipse și unei hiperbole, centrul este un punct al planului euclidian, în cazul unei parabole, este un punct infinit de distanță în aceeași direcție cu focarul „infinit”, adică, de fapt, coincide cu focalizarea.
Proprietate izogonală: dacă dintr-un punct din plan pot fi trase două tangente la o conică, atunci aceste tangente sunt izogonale în unghiul format de liniile care unesc punctul de focarele conicii. Cu alte cuvinte, dacă este un punct pe plan, este o conică cu focare și , sunt tangente la , atunci , unde simbolul indică un unghi direcționat sau orientat . Un caz special al proprietății izogonale - în cazul în care punctul se află pe o conică și două tangente „ună” într-una singură - este proprietatea optică mai sus menționată. $P$ $\gamma$ $F$ $F'$ $PA,PB$ $\gamma$ $\measuredangle (PA,PF)=\mesuredangle (PF',PB)$ $\measuredangle$ $P$
Teorema lui Pascal: dacă un hexagon (nu neapărat convex) este înscris într-o conică, atunci punctele de intersecție a trei perechi de laturi opuse se află pe aceeași dreaptă.

Teorema lui Brianchon: dacă un hexagon este circumscris lângă o conică, atunci trei diagonale care leagă vârfuri opuse ale acestui hexagon trec printr-un punct. Teorema lui Brianchon este duală cu teorema lui Pascal.
Teorema lui Fregier: să fie date o conică și un punct pe ea. Apoi toate acordurile conicii, văzute din punct în unghi drept, trec printr-un punct. $P$ $P$
Faptul anterior admite o generalizare: toate coardele văzute dintr-un punct la un unghi egal sau tangent la o conică. [patru] $P$ $\phi$ $180^{\circ }-\phi$
Lema lui Sollertinsky: săfie un punct arbitrar șisă fie o transformare proiectivă . Atunci mulțimea punctelor de intersecțieși, undeeste dreapta care trece prin, este o conică care trece prin punctele și. $P$ $f$ $l$ $f(l)$ $l$ $P$ $P$ $f(P)$

Dualitate polară

Fixăm un cerc pe plan . Orice punct al planului poate fi asociat cu polarul său relativ - și invers, orice linie dreaptă poate fi asociată cu polul său. Transformarea rezultată, care asociază linii cu puncte și puncte cu linii, se numește corespondență polară și este o involuție , imaginile punctelor și liniilor sub o astfel de transformare se numesc imagini duale. O corespondență polară poate fi definită nu numai în raport cu un cerc, ci și în raport cu orice conică - în acest caz, va fi o compoziție a unei transformări proiective care duce această conică într-un cerc, o corespondență polară în raport cu acest cerc și o transformare proiectivă inversă. $\omega$ $P$ $p$ $\omega$

Imaginea duală a unei curbe netede este setul de imagini duale ale tuturor tangentelor la această curbă. Atunci este adevărat că imaginea duală a unei conice este și ea o conică. Astfel, unele enunțuri, cum ar fi teoremele lui Pascal și Brianchon, sunt duale polare unul față de celălalt.

Transformați grupuri

Excentricitatea a două secțiuni conice nedegenerate este aceeași dacă și numai dacă pot fi transpuse una în cealaltă printr-o transformare de similaritate .
Transformările afine păstrează doar semnul excentricității, adică. din punctul de vedere al geometriei afine , există doar trei secțiuni conice diferite nedegenerate: elipsa, parabola și hiperbola.
Toate secțiunile conice nedegenerate nu se pot distinge în geometria proiectivă .

Reprezentarea coordonatelor

Coordonate carteziene

În coordonatele carteziene, secțiunile conice sunt descrise printr-un polinom pătratic general :

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,

Cu alte cuvinte, secțiunile conice sunt curbe de ordinul doi . Semn discriminant

B^{2}-4AC,

definește tipul de secțiune conică.

Dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci este o elipsă , un punct sau mulțimea goală .
Dacă discriminantul este zero, atunci este o parabolă , o dreaptă sau o pereche de drepte paralele.
Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci este o hiperbolă sau o pereche de drepte care se intersectează.

Coordonatele polare

În coordonatele polare , centrate la unul dintre focare și direcția zero de-a lungul axei principale, secțiunea conică este reprezentată de ecuație $(\rho,\theta)$

\rho (1+e\cos \theta)=l

unde e este excentricitatea și l este parametrul focal.

Traiectorii în domeniul gravitației și al forțelor similare

În cadrul mecanicii clasice , traiectoria unui punct material sau a unui corp rigid simetric sferic în câmpul unei forțe care se supune legii inversului pătratului este una dintre secțiunile conice - o parabolă, hiperbolă, elipsă (în special, un cerc) sau o linie dreaptă.

În cazul în care o astfel de forță este o forță atractivă, toate aceste traiectorii sunt posibile (în funcție de condițiile inițiale); dacă este o forță de respingere, atunci sunt posibile doar liniile drepte și hiperbolele.

Traiectoria de mișcare a unui corp (sau centrul său de masă în cazul oricărui corp nepunctual) în câmpul unei forțe constante uniforme [5] în cadrul mecanicii clasice este o parabolă exactă.

Această concluzie este valabilă nu numai pentru o poziție fixă (imobilă) a centrului de forță [6] , ci și pentru interacțiunea a două corpuri punctuale sau sferice de masă comparabilă [7] .

A doua afirmație în cadrul mecanicii clasice este exactă (în practică, este la fel de precisă ca și cum exact forța de interacțiune satisface legea inversului pătratului și nu există alte forțe).

Pentru mai mult de două corpuri care interacționează, toate acestea, în general, nu sunt adevărate (adică, orbitele pot fi secțiuni conice exacte doar în cazuri speciale rare - în condiții inițiale speciale selectate), dar poate fi o bună aproximare în cazul unui corp central masiv și care interacționează relativ slab cu alte corpuri mult mai puțin masive, în special pentru sistemul solar în ansamblu, cu excepția corpurilor cerești mici, care uneori se apropie prea mult de planete.

Din punct de vedere fizic, situația poate fi denumită interacțiunea punctului (care are o dimensiune foarte mică în comparație cu distanța față de alte corpuri) sau a corpurilor sferice sub acțiunea forțelor gravitaționale care se supun legii gravitației universale (această lege este o aproximare destul de bună descrierea interacțiunii gravitaționale reale în majoritatea cazurilor, cu care ne ciocnim în cadrul sistemului solar) și/sau forțe electrostatice care respectă legea lui Coulomb [8] .

Pentru ca traiectorii corpurilor să fie secțiuni conice [9] , este important ca condițiile pentru numărul și/sau masele corpurilor care interacționează descrise mai sus să fie îndeplinite și ca în mod ideal să nu existe (practic neglijabile, sau, uneori, bine compensate) toate celelalte forțe, cum ar fi, de exemplu, forțele de rezistență aerodinamice (pentru aceasta, de exemplu, o rarefacție suficientă a mediului, este nevoie de vid), pierderile de radiație (în cazul mișcării corpurilor încărcate electric, acestea poate fi semnificativă, în cadrul gravitației newtoniene, astfel de pierderi sunt întotdeauna egale cu zero, cu toate acestea, în realitate, pierderile datorate radiației undelor gravitaționale pot fi observate în timpul interacțiunii obiectelor masive și în mișcare rapidă din apropiere). Pe lângă rezistența aerodinamică obișnuită, forțe precum forța de presiune și forța de rezistență datorată vântului solar pot fi semnificative.

Când se deplasează corpurile cosmice, de regulă, aceste condiții sunt îndeplinite cel puțin într-o oarecare măsură, astfel încât secțiunea conică este o aproximare acceptabilă și adesea foarte bună a orbitei reale (de ceva timp).

În sistemul solar, orbitele planetelor sunt elipse cu o aproximare destul de bună (abaterea de la elipticitatea exactă este cea mai mare pentru Mercur), traiectoriile cometelor sunt elipse, hiperbole [10] ; traiectoriile cometelor sunt adesea „aproape parabolice” [11] (vezi și mecanica cerească ).

Calea de zbor a unei ghiulele în câmpul gravitațional al Pământului, fără a ține cont de influența aerului, este un arc de elipsă aproape de o parabolă (deoarece viteza ghiulei este mult mai mică decât prima cosmică).

Într-un laborator mic (în comparație cu raza Pământului), câmpul gravitațional poate fi considerat uniform și constant. Dacă aerul este pompat suficient de bine într-un astfel de laborator, atunci traiectoria unei pietre aruncate în el va fi aproape o parabolă (sau linie dreaptă) exactă [12] . În condiții normale (prezența aerului), traiectorii corpurilor aruncate, în general, sunt destul de diferite de parabolele și liniile drepte (cu excepția unei aruncări strict verticale), totuși, la viteze mici și la distanțe scurte de zbor, pot fi destul de aproape de o parabolă.

Vezi și

Note

↑ Dicționarul rus-englez al științelor matematice al lui Lohwater. Editat de R.P.Boas. 1990. pag. 162
↑ 1 2 Florian Cajori, O istorie a matematicii, ediția a V-a 1991
↑ 1 2 Pogorelov A. V. Geometrie. — M .: Nauka , 1983. — 288 p.
↑ A.V. Akopyan, A.A. Zaslavsky. Proprietățile geometrice ale curbelor de ordinul doi . — M.: MTsNMO, 2007. — S. 79 .
↑ Se înțelege o forță a cărei mărime și direcție sunt aceleași peste tot în regiunea de mișcare considerată și sunt constante în timp; alte forțe care ar încălca această proprietate sunt considerate absente. Cu alte cuvinte, în acest caz, corpul este întotdeauna afectat de aceeași, ca direcție și mărime, forță constantă. În practică, aceasta poate fi rezultanta mai multor forțe care satisfac condiția descrisă, iar abaterile posibile, dacă nu sunt exact zero, sunt mici - atunci parabola va fi o soluție aproximativă pentru traiectorie.
↑ Această opțiune este implementată cu o bună acuratețe în cazul în care masa unuia dintre corpurile care interacționează este mult mai mare decât masa celui de-al doilea. Atunci primul corp este (aproape) nemișcat și, în consecință, centrul forței care acționează asupra celui de-al doilea corp este nemișcat.
↑ În acest caz, este ușor de arătat că centrul de masă al sistemului de corpuri care interacționează va juca rolul unui centru de forță fix, iar forța care acționează asupra fiecăruia dintre cele două corpuri va fi invers proporțională cu pătratul lui distanța până la acest centru.
↑ În practică, acest caz de mișcare clasică în condiții de interacțiune pur electrostatică este mai puțin important și destul de rar, deoarece este destul de rar întâlnit cazul prezenței unei interacțiuni predominant electrostatice cu micimea comparativă a altor forțe, dar teoretic este este posibil.
↑ În realitate, acest lucru este posibil doar aproximativ, dar vorbim că este cel puțin o aproximare suficient de bună.
↑ Hughes D.U. On hyperbolic cometes // Journal of the British Astronomical Association. - 1991. - Vol. 101, nr. 2 . - P. 119-120 .
↑ Caracteristicile captării cometelor de tip Halley de pe orbite aproape parabolice
↑ Strict vorbind, numai dacă Pământul nu s-a rotit; rotația Pământului distorsionează traiectoria reală, deși slab.

Literatură

A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky Proprietăți geometrice ale curbelor de ordinul doi, - M.: MTsNMO , 2007. - 136 p.
I. N. Bronshtein, Proprietățile generale ale secțiunilor conice , Kvant , nr. 5, 1975.
D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometrie vizuală , capitolul I.
R. Courant, G. Robbins, Ce este matematica? Capitolul IV, § 8.
AI Markushevich Curbe remarcabile „Prelegeri populare despre matematică”. Problema 04
Şal, Michel . Despre proprietatea anarmonică a punctelor unei secțiuni conice etc. // Trecere în revistă istorică a originii și dezvoltării metodelor geometrice. T. 2. Aprox. XV-XVI. M., 1883.

Link -uri

Wikimedia Commons are conținut media legat de secțiunea Conic

Secțiuni conice
Principalele tipuri	Elipsă Hiperbolă Parabolă
Degenerat	Punct Drept Pereche de linii drepte
Un caz special al unei elipse	Cerc
Construcție geometrică	sectiune conica Mingi de păpădie Designul lui Steiner
Vezi si	Constanta conica
Matematică • Geometrie

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea Hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius